matrizes e sistemas lineares

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EA
D
Matrizes e Sistemas 
Lineares
2
1. OBJETIVOS
•	 Compreender	 a	 importância	 das	 matrizes	 como	 ferra-
menta	matemática	na	resolução	de	problemas.
•	 Rever	e	empregar	as	propriedades	das	matrizes	e	dos	sis-
temas	lineares.
•	 Compreender	como	ocorre	o	escalonamento	das	matri-
zes.	
•	 Calcular	 os	 sistemas	 lineares	 e	 aplicá-los	 em	 situações-
-problema.
2. CONTEÚDOS
•	 Matrizes:	conceito	e	classificação.
•	 Operações	com	matrizes.
•	 Matrizes	e	sistemas	lineares.
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•	 Escalonamento	de	sistemas	lineares.
•	 Resolução	e	discussão	de	sistemas	lineares.
3. ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE 
Antes	de	 iniciar	o	estudo	desta	unidade,	é	 importante	que	
você	leia	as	orientações	a	seguir:
1)	 Leia	e	analise	com	atenção	os	conteúdos	e	exemplos	so-
bre	matrizes	e	sistemas	lineares	disponíveis	nesta	unida-
de,	pois	eles	facilitam	o	entendimento	das	teorias	e	dos	
conceitos	relacionados.	
2)	 Consulte	os	livros	da	bibliografia	indicada	para	que	você	
amplie	seus	horizontes	teóricos.	Coteje-os	com	o	mate-
rial	didático	e	discuta	a	unidade	com	seus	colegas	e	com	
o	tutor.
3)	 Reflita	 sobre	 alguns	 conceitos	 introdutórios	 importan-
tes,	dando	atenção	especial	àqueles	referentes	aos	con-
juntos	numéricos.	
4. INTRODUÇÃO À UNIDADE
Na	unidade	anterior,	você	pôde	redescobrir	suas	habilidades	
de	operar	com	conjuntos	numéricos,	revendo	os	elementos	do	cál-
culo	algébrico.	
Nesta	segunda	unidade,	aprenderemos	conceitos	básicos	de	
matrizes,	sistemas	lineares	e	como	resolver	problemas	relaciona-
dos.	 Dessa	 forma,	 é	 fundamental	 que	 você	 compreenda	 que	 as	
matrizes	são	importantes	para	organizarmos	e	simplificarmos	di-
versos	tipos	de	problemas.	Quando	esses	problemas	possuem	cer-
tas	restrições	de	valores,	o	estudo	dos	sistemas	lineares	permite	
identificar	e	analisar	suas	possíveis	soluções.	
Faremos,	também,	uma	breve	incursão	no	campo	da	Mate-
mática	Discreta,	revendo	algumas	das	propriedades	das	matrizes		
um	arranjo	retangular	de	números,	bastante	útil	para	armazenar	e	
recuperar	dados	numéricos.
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© U2 - Matrizes e Sistemas Lineares
A	importância	das	matrizes	e	dos	sistemas	lineares	tem	cres-
cido	de	modo	diretamente	proporcional	ao	crescimento	do	poder	
computacional.	No	nosso	mundo,	em	que	grande	quantidade	de	
informações	e	dados	precisa	ser	armazenada	e	processada,	as	ma-
trizes	constituem	ferramenta	indispensável	nesse	processo.	
Os	 sistemas	 lineares	 são	modelos	matemáticos	 úteis	 para	
descrever	 problemas	 que	 envolvem	 uma	 grande	 quantidade	 de	
variáveis.	Aproveitando	a	linguagem	e	as	habilidades	operacionais	
no	 universo	 das	matrizes,	 desenvolveremos,	 num	 contexto	 sim-
ples,	um	método	sistemático	para	resolver	os	sistemas	lineares.
5. MATRIZES: CONCEITO E CLASSIFICAÇÃO
Você	se	lembra	do	conceito	de	matriz?
Matriz	é	uma	tabela	com	números	dispostos	em	linhas	e	co-
lunas.	Por	exemplo:
35 40 28 103
32 17 14 63
27 27 38 92
A
 
 =  
 
 
É	importante	observar	que	uma	disposição	de	números	des-
sa	maneira	é	muito	comum	no	nosso	dia	a	dia,	em	todos	os	ramos	
de	atividade.	Estamos	sempre	nos	deparando	com	“tabelas”,	nas	
quais	 são	armazenados	dados	de	uma	pesquisa	ou	de	aconteci-
mentos	históricos.	
Por	exemplo,	o	número	de	medalhas	conquistadas	pelos	pa-
íses	participantes	nas	Olimpíadas	de	2004	pode	ser	disposto	em	
uma	tabela:
© Matemática64
Tabela 1	Medalhas	olímpicas	–	Olimpíadas	de	2004.	
OURO PRATA BRONZE TOTAL
Estados 
Unidos 35 40 28 103
China 32 17 14 63
Rússia 27 27 38 92
Observamos	que	a	matriz	 A 	descrita	anteriormente	contém	
os	mesmos	números	dessa	tabela	referente	a	medalhas,	que	estão	
dispostos	na	mesma	ordem.	
O	trabalho	com	os	números	organizados	na	forma	matricial	
traz	vantagens,	porque	agiliza	a	criação	de	operações	que	definem	
a	álgebra	das	matrizes,	o	que	 facilita,	 também,	a	abordagem	de	
diversos	problemas	que	podem	ser	 formulados	nessa	 linguagem	
matricial.	
Na	matriz	 A 	já	citada,	os	números	estão	dispostos	em	3	li-
nhas	e	4	colunas;	assim,	essa	é	uma	matriz	“3 4× ”.
Vejamos	outros	exemplos:
Exemplo 1
Um	professor	de	Educação	Física,	ao	realizar	uma	pesquisa,	
recolheu	alguns	dados,	tais	como:	estatura,	massa	e	idade	de	um	
grupo	de	cinco	alunos.	Observe	esses	dados	dispostos	na	Tabela	2.	
Tabela 2	Pesquisa	sobre	estatura,	massa	e	idade.
ESTATURA (m) MASSA (kg) IDADE (anos)
Aluno A 1,70 80 26
Aluno B 1,65 73 28
Aluno C 1,60 71 22
Aluno D 1,81 89 34
Aluno E 1,73 65 21
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Os	dados	 da	 tabela	 podem	 ser	 representados	 da	 seguinte	
maneira: 1,70 80 26
1,65 73 28
1,60 71 22
1,81 89 34
1,73 65 21
 
 
 
 
 
 
  
Essa	forma	de	organizar	e	representar	os	dados	é	denomina-
da	matriz.	A	matriz	é	considerada	 importante	porque	permite	a	
realização	de	operações	matemáticas.	Observe	que,	nesse	exem-
plo,	ela	possui	5	linhas	e	3	colunas.	Existem,	portanto,	nessa	ma-
triz,	5 3 = 15 × 	elementos.	
Exemplo 2 
Para	 indicar	 os	 alunos	 presentes	 e	 os	 alunos	 ausentes	 em	
cada	aula,	o	professor	representa,	na	sua	lista	de	chamada,	cada	
aluno	por	seu	respectivo	número	de	matrícula;	além	disso,	para	
os	alunos	presentes,	ele	utiliza	o	número	1	e,	para	os	ausentes,	o	
número	0.	Observe	a	tabela	a	seguir:
Tabela 3	Representação	de	lista	de	chamada.
MATRÍCULA PRESENÇA
Aluno A 0031 1
Aluno B 0002 1
Aluno C 0007 0
Aluno D 0016 1
Aluno E 0050 0
A	Tabela	3	pode	ser	indicada	pela	matriz	a	seguir:
© Matemática66
0031 1
0002 1
0007 0
0016 1
0050 0
 
 
 
 
 
 
  
Essa	matriz	possui	5	linhas	e	2	colunas,	o	que	significa	que	
existem	5 2 10× = 	elementos.
Cada	elemento	da	matriz	é	identificado	pela	linha	e	pela	co-
luna	a	que	pertence.	Por	exemplo,	o	número	de	matrícula	do	aluno	
D	está	na	linha	4	e	na	coluna	1.	Esse	elemento	é	indicado	por:
41 0016a =
Genericamente,	indicamos	as	matrizes	por	letras	maiúsculas	
do	 alfabeto,	 e	 cada	 elemento	 da	matriz,	 por	 letras	minúsculas.	
Uma	matriz	 A 		que	contém	 m 	linhas	e	n 	colunas	é	representada	
por	 m nA × .	Cada	elemento	da	matriz	é	indicado	por	 ija ,	em	que	 i 	e	
j são	números	naturais	não	nulos	que	mostram,	respectivamen-
te,	a	linha	e	a	coluna	a	que	o	elemento	pertence.	
Pode-se	admitir	que:	 ija ,	1 i m≤ ≤ ,	1 j n≤ ≤ 	.
Os	elementos	da	matriz	são	esboçados	dentro	de	parênteses	
ou	colchetes.	Observe	o	exemplo	a	seguir:
11 1
1
n
m n
m mn
a a
A
a a
×
… 
 =  
 … 
   ou 
11 1
1
n
m n
m mn
a a
A
a a
×
… 
 =  
 … 
  
Exemplo 3 
O	Campeonato	Paulista	de	Futebol,	versão	2010,	numa	de-
terminada	 data,	 apresentou	 a	 seguinte	 classificação	 das	 quatro	
primeiras	 equipes	 que,	 possivelmente,	 disputarão	 as	 finais	 do	
campeonato:
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Tabela 4	Classificação	do	Campeonato	Paulista	de	Futebol.
PONTOS 
GANHOS VITÓRIAS EMPATES DERROTAS 
Santos 41 13 2 2
Santo André 36 11 3 3
Grêmio 
Prudente 31 9 4 4
São Paulo 30 9 3 5
Se	quisermos	saber:
a)	 quantas	vitórias	o	Santos	obteve	nessa	fase	do	campeo-
nato,	devemos	procurar	o	número	que	está	na	1ª	linha	
e	na	2ª	coluna;	
b)	 quantos	empates	o	São	Paulo	obteve	nessa	fase	do	cam-
peonato,	devemos	procurar	o	número	que	está	na	4ª	li-
nha	e	na	3ª	coluna;	
c)	 quantas	derrotas	o	Grêmio	Prudente	obteve	nessa	fase	
do	campeonato,	devemos	procurar	o	número	que	está	
na	3ª	linha	e	na	4ª	coluna;	
d)	 quantos	 jogos	o	Santo	André	 realizou	até	essa	 fase	do	
campeonato,	devemos	procurar	os	números	que	estão	
na	2ª	linha	e	nas	colunas	dois,	três	equatro	e	somá-los.
Uma	tabela	desse	tipo,	na	qual	os	números	estão	dispostos	
em	quatro	linhas	e	quatro	colunas,	denomina-se	matriz	4 4× 	(lê-
-se:	quatro	por	quatro),	e	sua	representação	é	feita,	usualmente,	
de	uma	das	seguintes	formas:
41 13 2 2
36 11 3 3
31 9 4 4
30 9 3 5
 
 
 
 
 
 
		ou	
	
41 13 2 2
36 11 3 3
31 9 4 4
30 9 3 5
 
 
 
 
 
 
Se	observarmos	a	matriz	a	seguir,	podemos	obter	informa-
ções	como:	é	uma	matriz	do	tipo	3 4× (lê-se:	três	por	quatro);	os	
números	3 ,	2 ,	1	e	-2		são	números	da	1ª	linha;	os	números	1,	 2 	
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e	 5 	são	os	números	da	3ª	coluna;	o	número	 4 está	na	3ª	linha	e	
na	2ª	coluna.
3 2 1 2
5 6 2 3
6 4 5 9
− 
 
− 
 − 
Como	vimos	anteriormente,	no	exemplo	2,	os	números	que	
aparecem	na	matriz	são	chamados	elementos	da	matriz.	Na	ma-
triz	anterior,	podemos	observar	que:
•	 O	elemento	3 	está	na	1ª	linha	e	na	1ª	coluna	e	é	indicado	
por:	 11a (lê-se:	 	um	um) 3= .	
•	 O	elemento	6 	está	na	2ª	linha	e	na	2ª	coluna	e	é	indicado	
por:	 22a (lê-se:	 a 	dois	dois) 6= .	
•	 O	elemento	 9− 	está	na	3ª	linha	e	na	4ª	coluna	e	é	indica
do	por:	 34a (lê-se:	 a 	três	quatro) 9= − .	
Observa-se,	 então,	 que,	 para	 representar	 o	 elemento	 de	
uma	matriz,	usamos	uma	 letra	com	dois	 índices:	o	1º	 indica	em	
que	linha	está	o	elemento,	e	o	2º	em	que	coluna	o	elemento	está.	
Podemos,	assim,	concluir	que	o	elemento	genérico	de	uma	
matriz	 A 	é	indicado	por	 ija ,	em	que	 i 	representa	a	linha	e	 j , a	
coluna	na	qual	o	elemento	está.	
É	 possível	 escrevermos	 uma	 matriz	 qualquer	 na	 forma:	
( )ij m nA a ×= ,	com	1 i m≤ ≤ 	e	1 j n≤ ≤ ,	onde	m 	é	o	número	de	li-
nhas	e	 n 	o	número	de	colunas.	
Exemplo 4 
Escreva	a	matriz	 3 2( )ijA a ×= ,	tal	que	 3 2 5ija i j= − + .	
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Para	resolver	esse	problema,	observamos	que	 3m = e	 2=n 	
e	concluímos	que	a	matriz	deve	ter	três	linhas	e	duas	colunas,	isto	
é:
11 12
21 22
31 32
a a
a a
a a
 
 
 
  
Considerando	o	que	foi	exposto,	podemos	escrever:
11
21
31
3(1) 2(1) 5 6
3(2) 2(1) 5 9
3(3) 2(1) 5 12
a
a
a
= − + =
= − + =
= − + = 	
12
22
32
3(1) 2(2) 5 4
3(2) 2(2) 5 7
3(3) 2(2) 5 10
a
a
a
= − + =
= − + =
= − + =
Logo,	obtemos	a	matriz	 A :	
6 4
9 7
12 10
 
 
 
  
Definição de matriz
Vamos,	agora,	definir	formalmente	uma	matriz.
Resumindo	o	que	já	foi	visto	nos	exemplos	anteriores,	dados	
dois	números	naturais e	 n 	, ambos	maiores	ou	iguais	a	1,	de-
nominamos	matriz m n× 	(que	se	lê:	“m por	 n ”)	uma	tabela	re-
tangular	formada	por	m n× 	números	reais	dispostos	em	m linhas	
e	 n colunas.	
Exemplos:
•	 Matriz	 “dois	 por	 dois”,	 2 2
5 1
3 5
A ×
 
=  
− 
:	 duas	 linhas	 e	
duas	colunas.
•	 Matriz	“três	por	dois”,	 3 2
4 3
0 0,5
6 3
A ×
− 
 =  
 
 
:	três	linhas	e	duas	
colunas.
© Matemática70
Representação genérica de uma matriz m n× 	
11 12 13 1
21 22 23 2
1 2 3
....
....
.. .. .. .... ..
....
n
n
m n
m m m mn
a a a a
a a a a
A
a a a a
×
 
 
 =
 
 
 
Os	índices	duplos	nos	elementos	representados	na	matriz	fa-
zem	 referência	 ao	 “endereço”	 ou	 à	 localização	 de	 tal	 elemento	
nessa	ordem:	“linha”	e	“coluna”.	Assim,	o	símbolo	 ija 	representa	o	
número	localizado	na	linha	“ i ”	e	na	coluna	” j ”.
Os	elementos são	os	números	que	aparecem	na	matriz.	O	
número	de	linhas	e	colunas	caracteriza	o	tipo	ou	a	ordem	da	ma-
triz.	Uma	matriz	 m nA × ,	como	a	descrita	anteriormente,	é	uma	ma-
triz	do	“tipo	m por	 n ”	ou	uma	matriz	de	“ordem	m por	 n ”.
Uma	forma	compacta	de	nos	referirmos	a	uma	matriz	de	or-
dem	m por	 n 	é	escrever:
( )m n ij m nA a× ×=
Exemplos:
1)	 Identificar	os	elementos	 21a ,	 12a ,	 24a 	e	 33a 	da	matriz:
0 5 8 2
7 1 3 12
3 0 1 7
 −
 
− 
 − 
Resolução:
	 21a 	é	o	elemento	da	2ª	linha	e	da	1ª	coluna,	então,	 21 7a = .
	 12a 	é	o	elemento	da	1ª	linha	e	da	2ª	coluna,	então,	 12 5a = − .	
	 24a 	é	o	elemento	da	2ª	linha	e	da	4ª	coluna,	então
24 12a = .	
	 33a 	é	o	elemento	da	3ª	linha	e	da	3ª	coluna,	então,	 33 1a = − .	
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2)	 Escrever	a	matriz	de	ordem	 2 3× ,	tal	que	 2ija i j= + .	
Resolução:
Calculando	os	elementos	da	1ª	linha	( 1i = ),	obtemos:	
11 2 1 1 3a = ⋅ + =
12 2 1 2 4a = ⋅ + =
13 2 1 3 5a = ⋅ + =
Calculando,	também,	os	da	2ª	linha	( 2i = ),	obtemos:
21 2 2 1 5a = ⋅ + =
22 2 2 2 6a = ⋅ + =
23 2 2 3 7a = ⋅ + =
Logo,	o	resultado	é	a	matriz:	
3 4 5
5 6 7
 
 
 
.	
Tipos especiais de matrizes: 
Igualdade de matrizes
Duas	matrizes	 ( )ij m nA a ×= 	e	 ( )ij m nB b ×= 	são	 iguais	quando	
possuem	a	mesma	ordem	e	os	elementos	correspondentes	tam-
bém	são	iguais,	isto	é,	 ij ija b= .	
Considere,	por	exemplo,	as	matrizes	 A 	e	B 	a	seguir:
	
1 7 2
3 0 5
A
− 
=  
 
	e	
7
3
a c
B
b d
 
=  
 
Observe	que	as	matrizes	 A 	e	B 	possuem	o	mesmo	número	
de	linhas	(duas)	e	o	mesmo	número	de	colunas	(três).	Para	a	ma-
triz	 A 	ser	igual	à	matriz	 B ,	é	necessário,	também,	que	as	letras	
representadas	na	matriz	 B 	 tenham	os	 seguintes	 valores:	 1a = ,	
0b = 	,	 2c = − 	e	 5d = .	Caso	as	letras	não	tenham	esses	valores,	as	
matrizes	não	serão	iguais.	
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Observe,	a	seguir,	os	tipos	especiais	em	que	as	matrizes	po-
dem	se	apresentar:
1)	 Matriz linha:	é	a	matriz	 formada	por	uma	única	 linha.	
Por	exemplo:	 ( )2 1 7A = − 	é	uma	matriz	linha	de	or-
dem	1 3× .
2)	 Matriz coluna:	é	a	matriz	formada	por	uma	única	colu-
na.	Por	exemplo:	
4
3
B  =  
 
	 é	uma	matriz	 coluna	de	or-
dem	 2 1× .
3)	 Matriz quadrada:	 é	 toda	matriz	 em	que	o	 número	de	
linhas	 é	 igual	 ao	 número	 de	 colunas.	 Por	 exemplo:	
3 9
-1 0
C  =  
 
	é	uma	matriz	quadrada	de	ordem	 2 .	
Vimos	que	uma	matriz	é	representada	por	 ( )ij m nA a ×= ,	onde	
ija 	representa	o	elemento	genérico	da	matriz,	m 		representa	o	nú-
mero	de	linhas	e	 n 	representa	o	número	de	colunas.	Uma	matriz	
é	denominada	matriz quadrada de ordem n 	quando	o	número	de	
linhas	é	igual	ao	número	de	colunas,	ou	seja,	m n= .	
A	matriz	a	seguir,	que	representa	a	classificação	das	quatro	
primeiras	 equipes	 do	 campeonato	 paulista,	 versão	 2010,	 é	 uma	
matriz	quadrada	de	ordem	 4 	 ( 4)m n= = .
41 13 2 2
36 11 3 3
31 9 4 4
30 9 3 5
 
 
 
 
 
 
Numa	matriz	quadrada	de	ordem	 n ,	os	elementos	 11a ,	 22a ,	
33a ,	 ... ,	 nna 	 formam	 a	diagonal principal	 da	matriz.	 Observe	
que	os	elementos	da	diagonal	principal	de	uma	matriz	são	elemen-
tos	que	ocupam	posições	onde	 i j= .	
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Na	matriz	anterior,	os	elementos	41 ,	11,	4 	e	5 		compõem	a	
diagonal	principal	dessa	matriz.
Outra	diagonal	da	matriz	quadrada	é	denominada	diagonal 
secundária	 e	 é	 composta	 pelos	 elementos	 ija 	 da	 matriz,	 onde	
1i j n+ = + .	
Na	referida	matriz,	os	elementos	 30 ,	 9 ,	 3 	e	 2 	compõem	a	
diagonal	secundária	dessa	matriz.
1)	 Matriz nula:	é	a	matriz	em	que	todos	os	seus	elementos	
são	iguais	a	zero.	
Exemplos:	
2 3
0 0 0
0 0 0
O ×
 
=  
  ;	
2
0 0
0 0
O  =  
  ;	
2 1
0
0
O ×
 
=  
 
2)	 Matriz diagonal: é	uma	matriz	 quadrada	de	ordem	 n 	
em	que	todos	os	elementos	acima	e	abaixo	da	diagonal	
principal	são	nulos.	
Exemplo:	 2 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 4
D
 
 − =
 
 
 
3)	 Matriz identidade:	 é	 uma	matriz	 diagonal	 em	 queos	
elementos	da	diagonal	são	todos	iguais	a	1.	
Exemplos:
2
1 0
0 1
I  =  
  ;							
4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
I
 
 
 =
 
 
 
	
4)	 Transposta de uma matriz: dada	uma	matriz	 A ,	a	trans-
posta	de	 A ,	que	indicaremos	por	
tA ,	será	obtida	de	 A ,	
trocando-se, ordenadamente, as linhas pelas colunas.	
© Matemática74
Exemplos:
	
7 3
1 2
A  =  − 
⇒
7 1
3 2
tA
− 
=  
 
;	
	
3 5 1
2 7 4
B  =  
 
⇒
3 2
5 7
1 4
tB
 
 =  
 
 
6. OPERAÇÕES COM MATRIZES
Iniciaremos	este	tópico	com	a	operação	de	adição.
Adição
Dadas	 duas	 matrizes	 de	 mesma	 ordem	 ( )ij m nA a ×= 	 e	
( )ij m nB b ×= ,	a	soma	 A B+ 	é	a	matriz	 ( )ij m nC c ×= ,	de	mesma	or-
dem	 que	 as	 matrizes	 A 	 e	 B ,	 tal	 que:	 ij ij ijc a b= + ,	
1 , 1i m j n≤ ≤ ≤ ≤ .	
Exemplo:
	
2 8 4 1 5 2 1 7
5 0 3 3 0 3 2 8
2 4 7 9 5 3 1 3
− −   
   − +   
   −   
=
2 5 8 2 4 1 1 7
5 0 0 3 3 2 3 8
2 5 4 3 7 1 9 3
+ − + − + 
 + + − + + 
 + − + + 
7 6 3 8
5 3 1 11
7 1 8 12
− 
 = − 
 
  .
Subtração de matrizes
Sendo	 A 	e	B 	duas	matrizes	de	mesma	ordem,	a	diferença	
entre	 A 	e	 B ,	 representada	por	 A B− ,	é	a	matriz	em	que	cada	
elemento	é	a	diferença	entre	os	elementos	correspondentes	de	 A 	e	B .	
75
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© U2 - Matrizes e Sistemas Lineares
Exemplo:
4 5 2 2 5 7
1 6 0 1 3 2
5 3 1 0 6 3
   
   − − −   
   −   
=
( )
4 2 5 5 2 7
1 1 6 3 0 2
5 0 3 6 1 3
− − − 
 − − − − − 
 − − − − 
=
2 0 5
0 3 2
5 9 2
− 
 − 
 − − 
Multiplicação de um número real por uma matriz
Para	multiplicar	uma	matriz	 A 	por	um	número	real	α ,	mul-
tiplicamos	 todos	 os	 elementos	 de	 A 	 pelo	 número	 α .	
Observe	o	exemplo:	
Seja	a	matriz
3 1 0 3
2 6 1 8
A
− 
=  
 
Agora,	vamos	calcular	a	matriz	3A :
	
3 1 0 3
3 3.
2 6 1 8
A
− 
=  
 
=
( )3.3 3.1 3.0 3. 3
3.2 3.6 3.1 3.8
 − 
 
 
=
9 3 0 9
6 18 3 24
− 
 
 
A	multiplicação	 de	matriz	 por	 um	 número	 segue	 algumas	
propriedades.	Considere,	então,	as	matrizes	 A 	e	 B 	e	os	números	
reais	 x 	e	 y .	
1ª Propriedade
( ) x A B x A x B⋅ + = ⋅ + ⋅
© Matemática76
O	produto	de	um	número	pela	soma	de	duas	matrizes	é	igual	
à	soma	do	produto	desse	número	pelas	respectivas	matrizes.	
Exemplo: 
Sejam	as	matrizes	
4 1
1 3
A  =  − 
	e	
1 4
2 0
B
− 
=  
 
	e	o	número	
real	 6x = − .
( ) ( ) ( )
4 1 1 4 5 3 30 18
6 6
1 3 2 0 3 3 18 18
x A B
 −  − −       
⋅ + = − ⋅ + = − ⋅ =        − − −        
e
( ) ( )
4 1 1 4
6 6
1 3 2 0
xA xB
−   
+ = − ⋅ + − ⋅   −   
( )
24 6 6 24 30 18
.
6 18 12 0 18 18
x A xB x A B
− − − −     
+ = + = = ⋅ +     − − −     
2ª Propriedade
( ). . .x y A x A y A+ = +
O	produto	de	uma	matriz	pela	soma	de	dois	números	é	igual	
à	soma	do	produto	dessa	matriz	pelos	respectivos	números.
Exemplo: 
Sejam	 6x = − 	e	 3y = .
( ) ( ) ( )
4 1 4 1 12 3
6 3 3
1 3 1 3 3 9
x y A
− −     
+ ⋅ = − + ⋅ = − ⋅ =     − − −     
e
( ) ( )
4 1 4 1
6 3
1 3 1 3
xA yA    + = − ⋅ + ⋅   − −   
( )
24 6 12 3 12 3
.
6 18 3 9 3 9
x A yA x y A
− − − −     
+ = + = = + ⋅     − − −     
77
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© U2 - Matrizes e Sistemas Lineares
3ª Propriedade
0 A 0⋅ = 	
A	multiplicação	de	uma	matriz	por	zero	é	igual	a	zero.	
Exemplo:	(existência	de	elemento	neutro	na	multiplicação)
( )
0 4 0 14 1 0 0
0 0
0 1 0 31 3 0 0
A
⋅ ⋅    
⋅ = ⋅ = = = Ο    ⋅ ⋅ −−    
(0 	é	o	número	real	zero,	e	O 	é	matriz	nula).	
4ª Propriedade 
( ) ( ). . . .x y A x y A= 	
Um	número	que	multiplica	o	produto	de	outro	número	por	
uma	matriz	é	igual	ao	produto	desses	números	pela	matriz.
Exemplo: 
( ) ( ) ( )
4 1 12 3 72 18
6 3 6
1 3 3 9 18 54
x y A
  − −     
⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = − ⋅ =      − − −      
e
( ) ( ) ( ) ( )
4 1 4 1 72 18
6 3 18
1 3 1 3 18 54
x y A x y A
− −     
⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = − ⋅ = = ⋅ ⋅         − − −     
A	seguir,	veremos	mais	alguns	exemplos	do	produto	de	um	
número	por	uma	matriz:
Exemplo 1 
Se	
2 1
,
2 3
A  =  
 
-1 4
2 -2
B  =  
 
	e	
1 2
 C
3 4
 
=  
 
Calcule:	3 2 4A B C+ − .
Fazemos:	
© Matemática78
2 1 1 4 1 2
3 2 4
2 3 2 2 3 4
−     
⋅ + ⋅ − ⋅ ⇒     −     
6 3 2 8 4 8 0 3
6 9 4 4 12 16 2 11
−       
⇒ + − =       − − −       
Logo,	
0 3
3 2 4
2 11
 
+ − =  − − 
A B C
Exemplo 2
Sendo	
2 5
A 4 e B 4
2 3
   
   = =   
   − −   
,	determine	a	matriz	 X ,	tal	
que	 2X A 2B+ = .	
Antes	de	iniciarmos	a	resolução,	podemos	fazer:
2 12 2 2 2 (2 )
2 2
B AX A B X B A X X B A−+ = ⇒ = − ⇒ = ⇒ = ⋅ −
	
Vamos	determinar,	inicialmente,	a	matriz	 2B A− :
5 2 10 2 8 8
2 4 4 8 4 4 2 4
3 2 6 2 4 4
B A
           
           × − = − = ⇒ − =           
           − − − − − −           
Agora,	vamos	determinar	a	matriz	 X ,	data	pela	expressão:	
1X (2B A)
2
= × − .	
8 4 4
1 4 2 2
2
4 2 2
X
     
     × = ⇒ =     
     − − −     
79
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Multiplicação de matrizes
O	produto	de	matrizes	é	mais	complicado	e	segue	a	seguinte	
regra:	
•	 Dadas	duas	matrizes	 ( ) ij mxnA a= 	e	 ( ) ij nxpB b= ,	o	pro-
duto	 das	 matrizes	 A 	 e	 B 	 ( )A B× é	 uma	 matriz	
( ) ij mxpC c= ,	na	qual	cada	elemento	 ijc é	obtido	multipli-
cando-se,	 ordenadamente,	 os	 elementos	 da	 linha	 i 	 da	
matriz	 A pela	coluna	 j da	matriz	B ,	adicionando-se,	em	
seguida,	os	produtos	obtidos.	
De	acordo	com	essa	regra	de	multiplicação	de	matrizes,	para	
que	exista	o	produto	 A B⋅ ,	é	necessário	que	o	número	de	colunas	
do	1º	fator	seja	igual	ao	número	de	linhas	do	2º	fator.	
Vamos	acompanhar	um	exemplo.	
Dadas	as	matrizes:	
		
2 3
2 5 1
3 0 1
A
×
− 
=  
 
	e	
3 2
2 1
3 5
1 3
B
×
− 
 =  
 
 
,	
obtenha	o	produto	 .C AB= .
Resolução:
O	primeiro	passo	é	verificar	se	a	multiplicação	pode	ser	feita,	
ou	seja,	verificar	se	as	ordens	das	matrizes	dadas	são	compatíveis.	
No	caso,	isso	é	possível,	pois,	a	matriz	 2 3xA possui	duas	linhas	e	três	
colunas,	enquanto	a	matriz	 3 2xB possui	três	linhas	e	duas	colunas.
Efetuando	a	multiplicação	de	“linhas”	por	“colunas”,	temos:	
	
2 1
2 5 1
. 3 5
3 0 1
1 3
C
− 
−   =       
 
=
© Matemática80
	 ( ) ( ) ( )
( )
2.2 5.3 1 .1 2. 1 5.5 1 .3
3.2 0.3 1.1 3. 1 0.5 1.3
+ + − − + + − 
 + + − + + 
= 18 20
7 0
 
 
 
	
Para	compreender	melhor	a	multiplicação	de	matrizes,	veja,	
a	seguir,	mais	um	exemplo.
Um	zoológico	alimenta	chimpanzés	e	gorilas	com	três	rações	
diferentes.	A	quantidade	de	 ração	consumida	por	animal	diaria-
mente	está	representada	na	Tabela	5.	
Tabela 5	Quantidade	de	ração	consumida.	
RAÇÃO 1	(porções) RAÇÃO 2	(porções) RAÇÃO 3	(porções)
Chimpanzé 2 1 3
Gorila 4 3 0
O	zoológico	tem,	atualmente,	cinco	chimpanzés	e	dois	gori-
las.	Quanto	se	consome	diariamente	de	cada	tipo	de	ração?
Para	determinar	o	consumo	de	cada	tipo	de	ração,	somamos	
o	consumo	dos	chimpanzés	com	o	consumo	dos	gorilas.
•	 Consumo	da	ração	1:	 ( ) ( )1 5 2 2 4 18ração chimpgorilasC = ⋅ + ⋅ = .
•	 Consumo	da	ração	2:	 ( ) ( )2 5 1 2 3 11ração chimp gorilasC = ⋅ + ⋅ = .
•	 Consumo	da	ração	3:	 ( ) ( )3 5 3 2 0 15ração chimp gorilasC = ⋅ + ⋅ = .
Observe	como	podemos	fazer	esse	cálculo	utilizando	matri-
zes.		Escrevemos	a	quantidade	de	animais	em	uma	matriz:	[ ]5 2 	
e	as	quantidades	de	ração	consumida	na	Tabela	5	em	outra	
matriz:	
2 1 3
4 3 0
 
 
 
81
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© U2 - Matrizes e Sistemas Lineares
Em	 seguida,	 multiplicamos	 a	 quantidade	 de	 animais	 pelo	
consumo	de	cada	ração,	conforme	demonstrado	a	seguir:
[ ]5 2 . 2 1 3
4 3 0
 
 
 
[ ]5.2 2.4 5.1 2.3 5.3 2.0= + + + 	
[ ]18 11 15=
	
Assim,	descobrimos	que	o	zoológico	gasta,	por	dia,	18	por-
ções	da	ração	1,	11	porções	da	ração	2	e	15	porções	da	ração	3.
Prático,	não?
Vamos	 observar	 outros	 exemplos,	 mas	 agora	 pensaremos	
apenas	nos	cálculos.
Exemplo 1
Dadas	as	matrizes	 A 	e	B 	a	seguir,	determine	 A B× .	
2 3
4 0
1 2
A
 
 =  
 
  	
4 1
3 2
B  =  
 
Como	 A é	uma	matriz	 3 2× 	e	 B 	é	uma	matriz	 2 2× ,	o	
número	de	colunas	de	 A é	 igual	 ao	número	de	 linhas	de	 B 	 e,	
portanto,	é	possível	realizarmos	o	produto	das	matrizes	 A 	e	 B ,	
que	será	igual	a:
11 12
21 22
31 32
.
c c
A B c c
c c
 
 =  
 
 
Vamos	calcular	os	elementos	 ijc 	do	produto	da	matriz	 A 	
pela	matriz	B ,	detalhadamente:
1)	 	 11c 	–	
multiplicamos	ordenadamente	os	elementos	da	1ª	
linha	da	matriz	 A 	pelos	elementos	da	1ª	coluna	da	ma-
© Matemática82
triz	 B ,	 e	 somamos	 os	 resultados,	 obtendo:	
11 2.4 3.3 8 9 17.= + = + =c
12
21 22
31 32
2 3 2.4 3.3
4 1
4 0 .
3 2
1 2
c
c c
c c
+   
    =        
   
2)	 	 12c 	–	multiplicamos	ordenadamente	os	elementos	da	
1ª	 linha	da	matriz	 A 	pelos	elementos	da	2ª	coluna	da	
matriz	 B 	 e	 somamos	 os	 resultados,	 obtendo:	
12 2.1 3.2 2 6 8c = + = + = .	
21 22
31 32
2 3 17 2.1 3.2
4 1
4 0 .
3 2
1 2
c c
c c
+   
    =        
   
3)	 	 21c 	–	multiplicamos	ordenadamente	os	elementos	da	2ª	
linha	da	matriz	 A 	pelos	elementos	da	1ª	coluna	da	ma-
triz	 B 	 e	 somamos	 os	 resultados,	 obtendo:	
21 4.4 0.3 16 0 16c = + = + = .	
22
31 32
2 3 17 8
4 1
4 0 . 4.4 0.3
3 2
1 2
c
c c
   
    = +        
   
4)	 22c 	–	multiplicamos	ordenadamente	os	elementos	da	2ª	
linha	da	matriz	 A 	pelos	elementos	da	2ª	coluna	da	ma-
triz	 B 	 e	 somamos	 os	 resultados,	 obtendo:	
22 4.1 0.2 4 0 4c = + = + =.	
31 32
2 3 17 8
4 1
4 0 . 16 4.1 0.2
3 2
1 2 c c
   
    = +        
   
83
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© U2 - Matrizes e Sistemas Lineares
5)	 31c 	–	multiplicamos	ordenadamente	os	elementos	da	3ª	
linha	da	matriz	 A 	pelos	elementos	da	1ª	coluna	da	ma-
triz	 B 	 e	 somamos	 os	 resultados,	 obtendo:	
31 1.4 2.3 4 6 10c = + = + =.	
32
2 3 17 8
4 1
4 0 . 16 4
3 2
1 2 1.4 2.3 c
   
    =        +   
6)	 32c 	–	multiplicamos	ordenadamente	os	elementos	da	3ª	
linha	da	matriz	 A 	pelos	elementos	da	2ª	coluna	da	ma-
triz	 B 	 e	 somamos	 os	 resultados	 obtendo:	
32 1.1 2.2 1 4 5c = + = + =.	
2 3 17 8
4 1
4 0 . 16 4
3 2
1 2 10 1.1 2.2
   
    =        +   
Resumindo,	temos:
2 3 2.4 3.3 2.1 3.2 17 8
4 1
4 0 . 4.4 0.3 4.1 0.2 . 16 4
3 2
1 2 1.4 2.3 1.1 2.2 10 5
A B
+ +     
      = + + ⇒ =            + +     
Exemplo 2 
Dadas	duas	matrizes	 A 	e	B ,	calcule	 .A B :	
3x2
2 1
4 2
5 3
A
− 
 =  
   	
2 2
1 3
0 6
B
×
− 
=  
 
Para	realizar	esse	cálculo,	procedemos	tal	como	fizemos	no	
exemplo	anterior:	multiplicamos	as	linhas	da	1ª	matriz	pelas	colu-
nas	da	2ª	matriz.	
© Matemática84
3 2
2 1
4 2
5 3
×
− 
 
 
   . 2 2
1 3
0 6
×
− 
 
 
2.1 ( 1).0 2.( 3) ( 1).6
4.1 2.0 4.( 3) 2.6
5.1 3.0 5.( 3) 3.6
+ − − + − 
 = + − + 
 + − +  	
3 2
2 12
4 0
5 3
×
− 
 =  
  
Você	sabe	por	que	a	matriz	resultante	tem	três	linhas	e	duas	
colunas?	 Se	 você	 ainda	 não	 descobriu,	 acompanhe	 este	 outro	
exemplo:
Exemplo 3
Sejam	as	matrizes	
2 3
1 2 3
2 0 1
A
×
− 
=  − 
	e		
3 1
1
2
4
x
B
− 
 = − 
  
.	
Então:	
2 3
1 2 3
2 0 1
A B
×
− 
⋅ =  −  . 3 1
1
2
4
×
− 
 − = 
  
2 1
1.( 1) ( 2).( 2) 3.4
2.( 1) 0.( 2) ( 1).4
×
− + − − + 
= = − + − + − 
2 1
1 4 12
2 0 4
×
− + + 
= = − + −  2 1
15
6
×
 
 −  	
	
85
Claretiano - Centro Universitário
© U2 - Matrizes e Sistemas Lineares
Agora,	a	matriz	resultante	tem	duas	linhas	e	uma	coluna.	Por	
quê?
A	resposta	é	simples.	Quando	multiplicamos	duas	matrizes,	
o	resultado	é	uma	nova	matriz,	que	apresenta:
•	 o	número	de	linhas	da	1ª	matriz;	
•	 o	número	de	colunas	da	2ª	matriz.
Por	esse	motivo,	a	propriedade	comutativa	não	é	válida	para	
a	multiplicação	de	matrizes,	isto	é,	o	produto	 . A B 	geralmente	é	
diferente	de	 .B A .	
Lembremos	o	exemplo	do	zoológico	especificado	na	Tabela	
5:	a	matriz	que	representa	a	quantidade	de	animais	possui	uma	
linha	e	duas	colunas	 ( )1 2A× ,	e	a	matriz	que	representa	as	porções	
de	ração	tem	duas	linhas	e	três	colunas	( )2 3B × .	A	matriz	resultante	
( )A B⋅ 	obtida	possui	uma	linha	e	três	colunas.
( )1 2 2 3 1 3A B A B× × ×⋅ = ⋅
Na	multiplicação	de	matrizes,	há	uma	 importante	proprie-
dade	a	destacar:	somente	é	possível	realizar	a	multiplicação	entre	
duas	matrizes	A	e	B	quando	o	número	de	colunas	da	matriz	A	for	
igual	ao	número	de	linhas	da	matriz	B.	
Alguns exemplos de aplicações de matrizes
Exemplo 1
Uma	indústria	de	calçados	utiliza	dois	componentes,	solado	
e	cabedal,	para	montar	calçados	de	três	modelos	diferentes,	con-
forme	especificação	da	Tabela	6.	
© Matemática86
Tabela 6	Modelos	de	calçados.	
MODELO A MODELO B MODELO C
Solado 3 5 2
Cabedal 8 10 5
A	produção	dos	três	modelos	deve	seguir	as	recomendações	
de	produção	para	os	dias	1	e	2	de	determinado	mês	conforme	es-
pecifica	a	Tabela	7.	
Tabela 7	Produção	de	calçados.
DIA 1 DIA 2
Modelo A 12 10
Modelo B 15 12
Modelo C 10 20
Nessas	condições,	quantos	cabedais	serão	usados	em	cada	
dia	de	produção?
Para	 resolvermos	esse	problema,	basta	efetuarmos	a	mul-
tiplicação	das	matrizes	obtidas	a	partir	das	tabelas	6	e	7.	Assim,	
teremos:
12 10
3 5 2
. 15 12
8 10 5
10 20
3.12 5.15 2.10 3.10 5.12 2.20
8.12 10.15 5.10 8.10 10.12 5.20
131 130
296 300
 
    =      
 
+ + + + 
= + + + + 
 
=  
 
Portanto,	serão	utilizados	131	solados	no	dia	1	e	130	no	dia	
2.	Quanto	à	quantidade	de	cabedais,	serão	utilizados	296	cabedais	
no	dia	1	e	300	cabedais	no	dia	2.
87
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© U2 - Matrizes e Sistemas Lineares
Exemplo 2
Pesquisas	recentes	constataram	que	pessoas	praticantes	de	
atividades	físicas,	aliadas	a	uma	dieta	balanceada	e	acompanhada	
por	nutricionistas,	têm	menor	probabilidade	de	voltarem	a	ganhar	
massa.	Além	disso,	a	adoção	desses	hábitos	saudáveis	acarreta	di-
versos	benefícios,	tais	como	a	diminuição	do	estresse,	o	controle	
da	pressão	arterial,	a	melhoria	da	resistência	física,	entre	outros.
Com	base	no	enunciado,	analisamos	a	seguinte	questão:
Antônio	é	um	professor	que	possui	74	kg	de	massa	e	deseja	
perder	parte	dessa	massa	por	meio	de	uma	dieta	balanceada	e	de	
atividades	físicas.	De	posse	da	Tabela	8,	fornecida	pela	sua	nutri-
cionista,	que	indica	a	quantidadede	calorias	consumidas	em	rela-
ção	a	uma	hora	de	atividade	física,	ele	montou	um	programa	de	
exercícios	físicos	a	serem	praticados	no	decorrer	de	uma	semana,	
de	acordo	com	o	exposto	na	Tabela	9.	
Tabela 8	Calorias	consumidas	por	hora	de	atividade	física.	
MASSA CAMINHAR A 3KM/H
CORRER A 
9KM/H
BICICLETA A 
9KM/H
JOGAR 
FUTEBOL
69 213 651 304 420
74 225 688 321 441
77 237 726 338 468
81 249 764 356 492
Tabela 9	Programação	do	tempo/hora	de	cada	atividade	no	decor-
rer	de	uma	semana.	
CAMINHAR CORRER BICICLETA JOGAR FUTEBOL
Segunda-feira 1,0 0,0 1,0 0,0
Terça-feira 0,0 0,0 0,0 2,0
Quarta-feira 0,4 0,5 0,0 0,0
Quinta-feira 0,0 0,0 0,5 2,0
Sexta-feira 0,4 0,5 0,0 0,0
© Matemática88
Após	os	resultados	obtidos	nas	Tabelas	8	e	9,	é	possível	cru-
zar	 as	 informações.	Observe	 que	 a	massa	 do	 professor	 Antônio	
corresponde	ao	que	está	descrito	na	segunda	linha	da	Tabela	8.	
Podemos	obter,	da	Tabela	8,	uma	matriz	 A 	do	tipo	 4 1× 	e,	
da	Tabela	9,	uma	matriz	 B 	do	tipo	5 4× .	Se	multiplicarmos	a	ma-
triz	 B 	pela	matriz	 A ,	obteremos	a	quantidade	de	calorias	consu-
midas	pelo	professor	dia	a	dia,	de	segunda	a	sexta-feira.	
Assim,	temos:
1,0 0,0 1,0 0,0
225
0,0 0,0 0,0 2,0
688
. .0, 4 0,5 0,0 0,0
321
0,0 0,0 0,5 2,0
441
0,4 0,5 0,0 0,0
B A
 
  
  
  =
  
  
  
 
Se	multiplicarmos	a	primeira	linha	da	matriz	 B 	(que	repre-
senta	a	quantidade	de	calorias	que	será	consumida	 na	 segun-
da-feira)	pela	coluna	da	matriz	 A 	(que	representa	a	quantidade	de	
calorias	 consumida	 por	 hora	 de	 atividade	 física	 para	 uma	
pessoa	de	massa	de	74	kg),	obteremos	a	quantidade	total	de	calo-
rias	que	será	consumida	na	segunda-feira.	
Logo,	fazemos,	para	o	cálculo	do	consumo	de	calorias	para	
todos	os	dias	da	semana,	a	multiplicação	das	linhas	da	matriz	 B 	
pela	coluna	da	matriz	 A :
1)	 Segunda-feira:	
	1,0 225 0,0 688 1,0 321 0,0 441 546× + × + × + × = 	calorias;
2)	 Terça-feira:	
	0,0 225 0,0 688 0,0 321 2,0 441 882× + × + × + × = 	calorias;
3)	 Quarta-feira:	
	0,4 225 0,5 688 0,0 321 0,0 441 434× + × + × + × = 	calorias;
89
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4)	 Quinta-feira:	
0,0 225 0,0 688 0,5 321 2,0 441 1042,5× + × + × + × = 	 c a l o -
rias;
5)	 Sexta-feira:
	0,4 225 0,5 688 0,0 321 0,0 441 434× + × + × + × = 	calorias.
Nessas	 condições,	 conclui-	 se	 que	 o	 professor	 Antônio	 irá	
consumir,	com	esse	programa	de	exercícios,	no	decorrer	da	sema-
na	(de	segunda	a	sexta-feira),	o	equivalente	a	3.338,5 	calorias.
7. MATRIZES E OS SISTEMAS LINEARES
Uma	 equação linear	 nas	 variáveis	 (ou	 incógnitas)	
, é	uma	expressão	algébrica	
do	 tipo	 ,	 envolvendo	 es-
sas	 variáveis,	 todas	 com	 expoente	 igual	 a	 1	 e	 sem	produtos	 ou	
quocientes	entre	elas.	
Quando	 o	 número	 de	 variáveis	 envolvidas	 não	 é	 muito	
grande,	 costumamos,	 por	 facilidade	 de	 escrita,	 utilizar	 as	 letras	
	para	indicar	essas	variáveis	em	vez	da	notação	indexada	
.	
Observe	os	exemplos	numéricos:
•	 	 	é	equação	linear.
•	 	 	é	equação	linear.
•	 	 	é	equação	linear.
•	 	 	é	equação	linear.
Sistema de equações lineares
Sistema de equações lineares	é	um	conjunto	de	 m 	equa-
ções	lineares	com	 n 	incógnitas,	como	o	exemplo	a	seguir:
© Matemática90
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
...
...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
...
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
+ + + + =
 + + + + =


 + + + + = 	
Observe	o	exemplo	numérico:
2
2 3 3 3
2 4 7
x y z
x y z
x y z
+ − =
 + − =
− + + =
Perceba	que,	nesse	exemplo,	há	um	sistema	de	três	equa-
ções	e	três	incógnitas.	Vamos	a	outro	exemplo:	
3 2 8
1
x y
x y
+ =
 − =
O	exemplo	anterior	é	um	sistema	de	duas	equações	e	duas	
incógnitas.
Para	mais	 clareza	na	exposição,	 trabalharemos	 com	exem-
plos	de	sistemas	numéricos,	com	poucas	variáveis.
Uma	vez	entendidos	o	método	e	as	técnicas	de	resolução,	a	
generalização	para	sistemas	“maiores”	torna-se	uma	tarefa	simples.
Um	sistema	de	equações	lineares,	da	forma	geral,	pode	sem-
pre	ser	escrito	na	notação	matricial:
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
...
...
... ... ... ... ... ...
...
n
n
m m mn n m
a a a x b
a a a x b
a a a x b
     
     
     × =
     
     
     
O	resultado	do	produto	da	matriz	 mxnA 	(matriz	dos	coeficien-
tes)	pela	matriz	coluna	 1nxX 	(matriz	das	incógnitas)	é	a	matriz	 1mxB 	
(matriz	dos	termos	conhecidos).	
91
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Resolver	um	sistema	de	equações	é	obter	um	conjunto	de	
valores	 0x ,	 0y ,	 0z 	etc.	que	satisfaçam,	simultaneamente,	todas	as	
equações	do	sistema.
Assim,	por	exemplo,	 2; 1x y= = 	é	solução	do	sistema:	
3 2 8
1
x y
x y
+ =
 − =
,	pois,	substituindo	 2x= 	e	 1y = 	em	
cada	uma	das	equações	do	sistema,	a	igualdade	é	satisfeita.
Método de Gauss ou Método de Escalonamento
Um	método	importante	para	resolução	de	sistemas	lineares	
é	o	 chamado	Método de Gauss	 ou	Método de Escalonamento,	
que	se	fundamenta	em	três	operações	possíveis	de	se	efetuar	so-
bre	as	linhas	de	um	sistema,	sem	que	se	altere	sua	solução:	
1)	 Trocamos	duas	linhas	de	posição.
2)	 Multiplicamos	 (ou	dividimos)	uma	das	 linhas	por	qual-
quer	número	real	não	nulo.
3)	 Substituímos	uma	das	 linhas	pela	 soma	 (ou	diferença)	
dessa	linha	com	outra	linha	multiplicada	por	um	número	
real	não	nulo.
O	processo	de	escalonamento	consiste	em	utilizar,	sistema-
ticamente,	as	propriedades	anteriores	(de	1	a	3)	para	transformar	
um	dado	sistema	linear	em	outro	sistema	equivalente	escrito	na	
forma	escalonada.
Para	sua	melhor	compreensão,	veja	o	exemplo	a	seguir:
2
2 3 3 3
2 4 7
x y z
x y z
x y z
+ − =
 + − =
− + + =
Esse	sistema	pode	ser	transformado	no	sistema	escalonado	
equivalente:
© Matemática92
2
1
2
x y z
y z
z
+ − =
 − = −
 =
Esse	sistema	escalonado	apresenta	a	seguinte	solução	ime-
diata:		 2z = ; 1y = ;	 3x = .
Para	efetuar	essas	transformações,	é	conveniente	escrever-
mos	o	sistema	linear	na	forma	matricial,	que	nos	dará	mais	facili-
dade	de	cálculos,	inclusive	possibilitando	a	utilização	de	softwares	
computacionais.
Utilizando	o	produto	de	matrizes,	podemos	escrever	um	sis-
tema,	por	exemplo,	da	seguinte	forma:	
2
2 3 3 3
2 4 7
x y z
x y z
x y z
+ − =
 + − =
− + + =
Esse	mesmo	sistema	na	forma	matricial	é	dado	deste	modo:	
1 1 1 2
2 3 3 3
1 2 4 7
x
y
z
−     
     − × =     
     −     
Nessa	 forma	matricial,	 destacamos	 as	matrizes	 associadas	
que	caracterizam	o	sistema:
matriz dos coeficientes
1 1 1
 2 3 3
1 2 4
− 
 − 
 − 
matriz dos coeficientes
1 1 1
2 3 3
1 2 4
− 
 − 
 − 
		e	

termos independentes
2
3
7
 
 
 
 
 
A	matriz	dos	coeficientes	é	chamada	matriz incompleta.	Se	
incorporarmos	a	coluna	dos	 termos	 independentes	à	matriz	dos	
coeficientes,	obteremos	a	matriz completa	associada	ao	sistema,	
representada	na	forma:
93
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1 1 1 2
2 3 3 3
1 2 4 7
− 
 − 
 − 
Para	compreender	melhor,	vamos	discutir	o	processo	de	es-
calonamento	de	matrizes;	depois,	retornaremos	às	discussões	dos	
sistemas	lineares.
Escalonamento de matrizes
Uma	matriz		 ( )ij m nA a ×= 	está	na	forma	escalonada	quando	
os	elementos	 ija ,	com	 i j> ,	são	todos	nulos.	Observe	os	exem-
plos	de	matrizes	na	forma	escalonada:5 2 8
0 1 4
0 0 3
A
− 
 =  
 
 
;
9 2 3
0 3 1
0 0 5
0 0 0
B
− 
 
 =
 
 
 
;	
2 1 4 5 0
0 3 1 3 9
0 0 2 6 4
0 0 0 1 7
C
− 
 
 =
 
 
− 
Para	 ilustrar	 o	método	de	 escalonamento,	 que	 é	 feito	 por	
etapas,	 consideremos	 uma	matriz	 genérica,	 digamos,	 de	 ordem	
4 4x :	
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
 
 
 
 
 
 
1ª etapa 
Devem-se	“zerar”	os	elementos	da	primeira	coluna	da	matriz	
que	estão	abaixo	do	elemento	 11a ,	que	chamaremos	“pivô	da	1ª	
etapa”.
Então,	seguimos	este	procedimento:
© Matemática94
a)	 Escolhemos	um	número	 n 	que,	multiplicado	pelo	pivô	
11a 	e	somado	com	 21a ,	 21a ,	resulta	igual	a	zero.	Substitu-
ímos,	então,	a	segunda	linha	pela	soma	dela	mesma	com	
a	primeira,	multiplicada	por	 n .	
b)	 Observe,	nos	exemplos	que	resolveremos	a	seguir,	que,	
quando	o	pivô	for	igual	a	1,	a	escolha	desse	número	 n 	
ficará	bastante	facilitada.	
c)	 Escolhemos	 outro	 número	 m 	 que,	 multiplicado	 pelo	
pivô	 11a 	e	somado	com	 31a ,	resulta	igual	a	zero.	Substi-
tuímos,	 então,	 a	 terceira	 linha	 pela	 soma	 dela	mesma	
com	a	primeira,	multiplicada	por	m .	
d)	 Escolhemos	um	novo	número	 p 	que,	multiplicado	pelo	
pivô	 11a 	e	somado	com	 41a ,	resulta	igual	a	zero.	
Substituímos	a	quarta	linha	pela	soma	dela	mesma	com	
a	primeira,	multiplicada	por	 p .	
Finalizada	a	1ª	etapa,	obtemos	a	matriz:
11 12 13 14
22 23 24
32 33 34
42 43 44
0
0
0
a a a a
b b b
b b b
b b b
 
 
 
 
 
 
2ª etapa 
Devem-se	 “zerar”	 os	 elementos	 da	 segunda	 coluna	 dessa	
nova	matriz,	que	estão	abaixo	do	elemento	 22b ,	que	será	o	pivô	da	
2ª	etapa.
Observe	que	tudo	se	passa	como	na	primeira	etapa,	agora	
para	a	matriz	 ( )ijb ,	obtida	da	anterior,	ignorando	a	primeira	linha	e	
a	primeira	coluna.
Continuando	o	processo	com	3ª	e	4ª	etapas,	obtemos	a	ma-
triz	escalonada:
95
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© U2 - Matrizes e Sistemas Lineares
11 12 13 14
22 23 24
33 34
44
0
0 0
0 0 0
a a a a
b b b
c c
d
 
 
 
 
 
 
Para	melhor	entender	o	método,	vejamos	um	exemplo	nu-
mérico:
Escalonar	a	matriz:	
1 1 2
2 3 3 3
1 2 4 7
− 
 − 
 − 
1
	
 2 z =
1 1 1 2
2 3 3 3
1 2 4 7
− 
 − 
 − 
a)	 	O	primeiro	passo	é	zerar	todos	os	elementos	da	primei-
ra	 coluna	 abaixo	 do	 elemento	 11 1a = 	 11a (em	 desta-
que),	pivô	do	primeiro	passo.	
1 1 2
2 3 3 3
1 2 4 7
− 
 − 
 − 
1 1 1 1 2
2 3 3 3
1 2 4 7
− 
 − 
 − 
Para	cumprir	esse	objetivo,	devemos	substituir	a	segun-
da	linha	pela	soma	dela	com	a	primeira	multiplicada	por	
2− ;	 e	 substituir	 a	 terceira	 linha	pela	 soma	dela	 com	a	
primeira.
Agindo	dessa	maneira,	obtemos:	
1 1 1 2 1ª 
0 1 1 1 (2ª ) 2 (1ª )
0 3 3 9 (3ª ) (1ª )
− → 
 − − → − ⋅ 
 → + 
mantém a linha
linha linha
linha linha
© Matemática96
b)	 O	segundo	passo	é	zerar	todos	os	elementos	da	segunda	
coluna	abaixo	do	elemento	 22 1a = 22a 	(em	destaque):	
1 1 2
0 1 1 1
0 3 3 9
− 
 − − 
 
 
1 1 1 1 2
0 1 1 1
0 3 3 9
− 
 − − 
 
 
Para	isso,	basta	repetir	o	procedimento	anterior	e	substi-
tuir	a	terceira	linha	e	somá-la	com	a	segunda	multiplica-
da	por	 3− .	
1 1 1 2 1ª 
0 1 1 1 2ª 
0 0 6 12 (3ª ) 3 (2ª )
mantém a linha
mantém a linha
linha linha
− → 
 − − → 
 → − ⋅ 
Perceba	que	a	matriz	 já	está	escalonada;	no	entanto,	é	
possível	simplificá-la	dividindo	a	terceira	linha	por	6 ,	ob-
tendo:
1 1 1 2
0 1 1 1
0 0 1 2
− 
 − − 
 
 
Veja	que	obtemos	uma	forma	escalonada	simplificada.
Resolução de matrizes e sistemas lineares
Para	resolver	um	sistema	de	equações	lineares,	utilizaremos	
o	método	de	escalonamento,	discutido	anteriormente.	Destacan-
do	a	matriz	completa	associada	ao	sistema,	efetuando	o	escalona-
mento	dessa	matriz	e	retornando	ao	sistema	na	forma	escalonada,	
obteremos	a	solução.
Vejamos	alguns	exemplos	a	seguir.
97
Claretiano - Centro Universitário
© U2 - Matrizes e Sistemas Lineares
Exemplo 1
Resolva	o	sistema:	
2
2 3 3 3
2 4 7
x y z
x y z
x y z
+ − =
 + − =
− + + =
Resolução:
A	matriz	completa	associada	a	esse	sistema	é:
1 1 1 2
2 3 3 3
1 2 4 7
− 
 − 
 − 
Essa	matriz	resultou	na	forma	escalonada:
1 1 1 2
0 1 1 1
0 0 1 2
− 
 − − 
 
 
Sendo	essa	matriz	completa	e	associada	ao	sistema	escalo-
nado,	temos:	
2
1
2
x y z
y z
z
+ − =
 − = −
 =
Se	substituirmos	 2z = 	na	equação	 1y z− = − ,	obteremos:	
1y z− = − (2) 1 1 2 1y y y− = − ⇒ = − + ⇒ = .	
Do	mesmo	modo,	se	substituirmos	 2z = 	e	 1y = 	na	equa-
ção	 2x y z+ − = ,	obteremos:	
(1) (2) 2 2 2 1 3x x x+ − = ⇒ = + − ⇒ =
Assim,	a	solução	para	a	matriz	é:	 3; 1; 2x y z= = = .	
Sugestão:	mostrar	como	foram	obtidos	 y 		e	 x .	
© Matemática98
Exemplo 2
Resolva	o	sistema:
2 3 3
2 6
2 2 2 4
x y z
x y z
x y z
+ − = −
 − + =
 + + =
Resolução:
A	matriz	completa	associada	a	esse	sistema	é:
2 3 1 3
1 1 2 6
2 2 2 4
− − 
 − 
 
 
Para	facilitar	o	processo	de	escalonamento,	podemos	trocar	
de	posição	a	primeira	com	a	segunda	linha	(isso	torna	o	pivô	igual	
a	1).	Observe,	também,	que	a	terceira	linha	pode	ser	simplificada,	
dividindo-a	por	2.	Logo,	obtemos	a	matriz:	
1 1 2 6
2 3 1 3
1 1 1 2
− 
 − − 
 
 
Efetuamos	o	seguinte	processo:
•	 Substituímos	a	segunda	linha	pela	soma	dela	com	a	pri-
meira	multiplicada	por	 – 2 .	
•	 Substituímos	a	 terceira	 linha	pela	 soma	dela	com	a	pri-
meira	multiplicada	por	 – 1.	
Obtemos	a	matriz:
1 1 2 6
0 5 5 15
0 2 1 4
− 
 − − 
 − − 
99
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© U2 - Matrizes e Sistemas Lineares
Mas,	antes	de	prosseguirmos,	podemos	dividir	a	segunda	
linha	por	5,	obtendo:
1 1 2 6
0 1 1 3
0 2 1 4
− 
 − − 
 − − 
•	 Substituímos	a	terceira	linha	pela	soma	dela	com	a	segun-
da	multiplicada	por	 – 2 ,	obtendo	a	forma	escalonada:
1 1 2 6
0 1 1 3
0 0 1 2
− 
 − − 
 
 
Essa	é	a	matriz	completa	associada	ao	sistema	escalona-
do,	equivalente	ao	inicial:
2 6
3
2
x y z
y z
z
− + =
 − = −
 =
Assim,	a	solução	é	facilmente	obtida: 1; 1; 2x y z= = − = .	
Exemplo 3
Resolva	o	sistema:	
2 3 2
5 3 1
4 0 0
x y z
x y z
x y z
+ + =
 + + =
− + + =
Resolução:
A	matriz	completa	associada	a	esse	sistema	é:
2 1 3 2
1 5 3 1
1 4 0 0
 
 
 
 − 
© Matemática100
Inicialmente,	trocaremos	de	posição	a	primeira	com	a	segun-
da	linha:	
1 5 3 1
2 1 3 2
1 4 0 0
 
 
 
 − 
Então,	procedemos	da	seguinte	forma:
•	 Substituímos	a	segunda	linha	pela	soma	dela	com	a	pri-
meira	multiplicada	por	 – 2 .	
•	 Substituímos	a	 terceira	 linha	pela	 soma	dela	com	a	pri-
meira	(multiplicada	por	1).
1 5 3 1
0 9 3 0
0 9 3 1
 
 − − 
 
 
•	 Substituímos	a	terceira	linha	pela	soma	dela	com	a	segun-
da	(multiplicada	por	1).
	
1 5 3 1
0 9 3 0
0 0 0 1
 
 − − 
 
 
	ou	
1 5 3 1
0 3 1 0
0 0 0 1
 
 
 
 
 
	
Essa	é	a	matriz	completa	associada	ao	sistema	escalonado:	
5 3 1
3 0
0 1
x y z
y z
z
+ + =
 + =
 =
A	última	equação,	0 1z = ,	é	uma	equação	que	não tem solu-
ção,	isto	é,	não	existe	valor	nenhum	para	a	variável	 z 	que	satisfaça	
essa	equação.	O	sistema	é	classificado	como	sistema	impossível.
Se,	em	qualquer	estágio	do	escalonamento,	aparecer	uma	
linha	em	que	todos	os	elementos	correspondentes	aos	coeficien-101
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tes	do	sistema	são	nulos,	e	o	último	termo,	correspondente	ao	ter-
mo	independente,	for	não	nulo,	o	sistema	é	dito	impossível,	isto	é,	
não	tem	solução.	Isso	porque	uma	linha	desse	tipo	gera	uma	equa-
ção	da	forma	0 0 0x y z a+ + = ,	 0a ≠ ,	que	não	tem	solução.
Exemplo 4
Resolva	o	sistema:	
2 6
2 3 3
3 2 3
x y z
x y z
x y z
− + =
 + − = −
 + + =
Resolução:
A	matriz	completa	associada	a	esse	sistema	é:
1 1 2 6
2 3 1 3
3 2 1 3
− 
 − − 
 
 
Então,	procedemos	da	seguinte	forma:
•	 Substituímos	a	segunda	linha	pela	soma	dela	com	a	pri-
meira	multiplicada	por	 – 2 .	
•	 Substituímos	a	terceira	linha	pela	soma	dela	com	a	segun-
da	multiplicada	por	 – 3 .	
1 1 2 6
0 5 5 15
0 5 5 15
− 
 − − 
 − −  	
ou
	
1 1 2 6
0 1 1 3
0 1 1 3
− 
 − − 
 − − 
•	 Substituímos	a	terceira	linha	pela	soma	dela	com	a	segun-
da	multiplicada	por	 – 1.	
1 1 2 6
0 1 1 3
0 0 0 0
− 
 − − 
 
 
© Matemática102
Se,	terminado	o	escalonamento	(eliminada	a	situação	0x a= ),	
a	matriz	contiver	uma	linha	inteiramente	nula,	essa	linha	pode	ser	eli-
minada,	e	o	número	de	equações	fica	menor	do	que	o	número	de	
incógnitas;	nesse	caso,	o	sistema	é	possível e indeterminado,	tendo	
uma	infinidade de soluções.
O	sistema	associado	a	essa	matriz	tem	a	forma:
2 6
3
0 0
x y z
y z
z
− + =
 − = −
 =
Observe	que	a	última	equação	 0 0z = 	 é	 sempre	 satisfeita,	
seja	qual	for	o	valor	da	variável	 z .	Em	outras	palavras,	para	cada	
valor	atribuído	à	variável	 z ,	podemos	calcular	os	correspondentes	
valores	de	 x 	e	de y , o	que	justifica	classificar	tal	sistema	como	
sistema indeterminado.	
Exemplo 5
No	sistema	 linear	a	 seguir,	aplique	o	método	de	escalona-
mento	para	resolvê-lo.
2 7
2 7 + 21
3 5 2 8
x y z
x y z
x y z
+ + =
 + =
− − + = −
Para	anular	os	coeficientes	de	 x 	na	segunda	e	na	 terceira	
equação,	 podemos	 multiplicar	 a	 primeira	 equação	 por	 ( )2− ,	
obtendo	 ( 2 4 2 14)x y z− − − = − 	e	somar	esse	resultado	com	
a	segunda	equação	 (2 7 21)x y z+ + = ,	obtendo	 (0 3 7)x y z+ − = .	
Em	seguida,	devemos	multiplicar	a	primeira	equação	por	 ( )3 ,	
obtendo	 (3 6 3 21)x y z+ + = ,	 e	 somar	 esse	 resultado	 com	 a	
terceira	equação	 ( 3 5 2 8)x y z− − + = − ,	obtendo	 (0 5 13)x y z+ + = .	
103
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© U2 - Matrizes e Sistemas Lineares
Logo,	temos	como	resultado	o	sistema:
2 7
0 3 7
0 5 13
x y z
x y z
x y z
+ + =
 + − =
 + + =
Com	esse	sistema,	podemos	trocar	de	posição	a	segunda	e	a	
terceira	equação,	para	que	o	coeficiente	de	 y 	seja	1	na	segunda	
equação.
2 7
0 5 13
0 3 7
x y z
x y z
x y z
+ + =
 + + =
 + − =
Para	 finalizar,	multiplicamos	 por	 ( )3− 	 a	 segunda	 equação	
(0 5 13)x y z+ + = ,	 obtendo	 (0 3 15 39)x y z− − = − ,	 e	 somamos	
esse	resultado	com	a	terceira	equação	 (0 3 7)x y z+ − = ,	obtendo	
(0 0 16 32)x y z+ − = − .	
O	sistema	fica	assim	definido:	
2 7
0 5 13
0 0 16 32
x y z
x y z
x y z
+ + =
 + + =
 + − = −
Portanto,	temos	na	terceira	equação:	 16 32 2z z− = − ⇒ = .	
Assim,	 substituindo	 2z = 	 na	 segunda	 equação,	 obtemos:	
5(2) 13 3y y+ = ⇒ = .	
Substituindo,	também,	 2z = 	e	 3y = 	na	primeira	equação,	
obtemos:	 2(3) 2 7 1x x+ + = ⇒ = − .	
Logo,	a	solução	do	sistema	é	possível	e	determinada,	sendo	
dada	pelo	conjunto	solução	 {( 1,3,2)}S = − .	
© Matemática104
Exemplo 6
Dê	o	conjunto	solução	para	o	sistema	a	seguir,	utilizando	o	
método	do	escalonamento.	
2 4 10 6
3 6 15 11
x y z
x y z
− + =
 − + =
Inicialmente,	podemos	dividir	por	 ( )2 	a	primeira	equação	
(2 4 10 6)x y z− + = ,	obtendo:	 ( 2 5 3)x y z− + = .
2 5 3
3 6 15 11
x y z
x y z
− + =
 − + =
Observe	que,	para	 zerarmos	o	 coeficiente	de	 x ,	podemos	
multiplicar	por	 ( )3− 	a	primeira	equação	 ( 2 5 3)x y z− + = ,	obten-
do	 ( 3 6 15 9)x y z− + − = − .	Em	seguida,	podemos	somar	esse	resul-
tado	 ( 3 6 15 9)x y z− + − = − 	 com	 a	 segunda	 equação	
(3 6 + 15 11)x y z− = ( 3 6 15 11)x y z− + − = ,	obtendo	
(0 0 0 2)x y z+ + = e,	por	consequência,	o	sistema:
2 5 3
0 0 0 2
x y z
x y z
− + =
 + + =
Assim,	a	solução	do	sistema	é	impossível,	ou	seja,	 S ϕ= .	
Podemos	também	resolver	e	 interpretar	um	sistema	linear	
utilizando	representações	gráficas.	Sabemos	que	os	pares	de	nú-
meros	reais,	que	são	soluções	de	uma	equação	 linear	com	duas	
incógnitas,	determinam,	num	gráfico,	uma	reta.	A	intersecção	das	
duas	retas	das	equações	do	sistema	determina	a	solução	do	siste-
ma,	caso	esta	exista.	
Veremos	um	exemplo	da	solução	de	um	sistema	linear	por	
meio	de	representação	gráfica.
105
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© U2 - Matrizes e Sistemas Lineares
Exemplo 7
Dado	 o	 sistema	 a	 seguir,	 determine	 o	 conjunto	 solução	 e	
construa	a	resolução	gráfica.
3 10
2 5 1
x y
x y
− =
 + =
Para	 resolvê-lo,	multiplicamos	por	 ( )5 	 a	primeira	equação		
(3 10x y− = ),	obtendo	 (15 5 50)x y− = .	
Em	seguida,	somamos	essa	equação	 (15 5 50)x y− = 	com	a	
segunda	equação	 (2 5 1)x y+ = ,	obtendo	 (17 0 51)x y+ = .
Dessa	 última	 equação	 obtida	 (17 0 51)x y+ = ,	 determina-
mos:	17 51 3x x= ⇒ = .
Substituindo	 3x = 	 na	 primeira	 equação,	 temos:	
3(3) 10 1y y− = ⇒ = − .	
Portanto,	o	conjunto	solução	para	o	sistema	anterior	é	dado	
por	 {(3, 1)}S = − .	
Graficamente,	observamos	duas	 retas	concorrentes	que	se	
interceptam	no	ponto	 ( )3, 1− ,	que	é	a	solução	do	sistema,	confor-
me	demonstrado	na	Figura	1.
© Matemática106
Sistema Linear
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
y
Figura	1	Representação gráfica de um sistema linear possível e determinado.	
Exemplo 8
Dado	 o	 sistema	 a	 seguir,	 determine	 o	 conjunto	 solução	 e	
construa	a	resolução	gráfica.
2 5
2 4 2
x y
x y
− =
 − =
Para	resolvê-lo,	multiplicamos	por	 ( )2− 	a	primeira	equação	
( 2 5)x y− = , 2 5x y− = 	obtendo	 ( 2 4 10)x y− + = − .	
Em	seguida,	somamos	essa	equação	 ( 2 4 10)x y− + = − 	com	
a	segunda	equação	 (2 4 2)x y− = ,	obtendo	 (0 0 8)x y+ = − .
Observe	que,	para	qualquer	valor	de	 x 	ou	 y ,	o	resultado	
será	sempre	 8− ,	o	que	não	é	verdadeiro.	Portanto,	dizemos	que	o	
sistema	é	impossível	e	que	o	conjunto	solução	é	 S ϕ= .	
Graficamente,	 observamos,	 na	 Figura	 2,	 duas	 retas	 paralelas	
que	não	se	interceptam;	portanto,	não	existe	solução	para	o	sistema.
107
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© U2 - Matrizes e Sistemas Lineares
Sistema Linear
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-2 -1 0 1 2 3 4
x
y
Figura	2	Representação gráfica de um sistema linear impossível.	
Exemplo 9
Dado	 o	 sistema	 a	 seguir,	 determine	 o	 conjunto	 solução	 e	
construa	a	resolução	gráfica.
2 6 8
3 9 12
x y
x y
− =
 − =
Para	 resolvê-lo,	 dividimos	 por	 (2)	 a	 primeira	 equação	
(2 6 8),x y− = 	obtendo	 ( 3 4)x y− = .	Em	seguida,	dividimos	por	
( )3 	a	segunda	equação	 (3 9 12)x y− = ,	obtendo	 ( 3 4)x y− = .
Observe	que	as	equações	lineares	são	iguais	e,	portanto,	di-
zemos	que	o	sistema	é	possível,	porém	indeterminado,	pois	exis-
tem	infinitos	pares	que	são	soluções	do	sistema.
Graficamente,	 observamos,	 na	 Figura	 3,	 duas	 retas	 coinci-
dentes	que	possuem	infinitos	pontos	comuns,	caracterizando	um	
sistema	de	infinitas	soluções.
© Matemática108
Sistema Linear
x - 3y = 4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
x
y
Figura	3	Representação gráfica de um sistema linear possível e indeterminado.	
Depois	de	ter	estudado	as	matrizes	e	os	sistemas	lineares,	no	
próximo	tópico,	você	terá	a	oportunidadede	testar	seus	conheci-
mentos.	Caso	tenha	dúvidas,	esclareça-as	com	seu	tutor.	
8. QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS
Confira,	a	seguir,	as	questões	propostas	para	verificar	o	seu	
desempenho	no	estudo	desta	unidade:
1)	 	Escreva	a	matriz	 ( )ijX a= ,	com	1 3i≤ ≤ 	e	1 3j≤ ≤ ,	tal	que	
1 , para i j
0, para i j
ij
ij
a
a
= =
 = ≠
	 ,	 e	 determine	 os	 elementos	 da	 diagonal	 principal	 e		
secundária.
2)	 Sabe-se	que	
2 3 2
2 4 3
x x y
x z y w
+   
=   + +   
	.	Calcule	x,	y,	z	e	w.
109
Claretiano - Centro Universitário
© U2 - Matrizes e Sistemas Lineares
3)	 Determine	as	matrizes	 X 	e	Y ,	tais	que	
3
2 3 2
+ = +
 − = −
X Y A B
X Y A B
	,
onde	
3 0
1 2
A  =  − 
		e		
1 2
0 4
B
− 
=  
 
.	
4)	 Seja	a	matriz	
1
2
3
A
− 
 =  
 
 
e	a	matriz	
4
3
7
B
 
 = − 
 
 
,		determine	a	matriz	 X ,	tal	
que		 2X B A+ = .	
5)	 Dada	a	matriz	
1 3 2
0 5 1
A  =  − 
	e	a	matriz	
3 0
4 2
1 6
B
 
 = − 
 
 
.	Determine	 AB 	.	
6)	 Seja	a	matriz	
2 3
1 4
A  =  
 
	,	determine		
2A .
7)	 Determine	o	produto	 AB 	,	quando	
4 1
8 2
A  =  
 
		e	
3 5
12 20
B
− 
=  − 
	.	
8)	 Determine	o	conjunto	solução	para	o	sistema	linear:	
0 9
0 8
0 5
x y z
x y z
x y z
+ + =
 + + =
 + + =
Gabarito 
Confira,	a	seguir,	as	respostas	corretas	para	as	questões	au-
toavaliativas	propostas:
1)	 A	matriz	deve	ter	três	linhas	e	três	colunas,	tal	que:	 11 22 33 1a a a= = = e	
12 13 21 23 31 32 0a a a a a a= = = = = = 	.	
2)	 	 3x = ;	 4y = − 	;	 1z = 	;	 11w = .	
3)	 		
13 2
3 3
4 43
X
 −
 =
 −
 
	e	
5 16
3 3
1 103
Y
− 
 =
 
 
	
© Matemática110
4)	 		
9
8
11
x
− 
 =  
 − 
5)	 	
17 6
 
19 16
AB  =  −  	
17 6
19 16
 
 − 
6)	 		 2
7 18
6 19
A  =  
 
7)	 	
0 0
0 0
AB  =  
 
8)	 	 6x = ;	 3y = 	;	 2 z = 		
9. CONSIDERAÇÕES
Nesta	unidade,	você	pôde	relembrar	e	aprender	um	pouco	
mais	sobre	as	matrizes	e	os	sistemas	lineares.	Na	próxima	unidade,	
você	terá	a	oportunidade	de	estudar	as	funções.	
10. E-REFERÊNCIA
DOMINGUES,	 H.	 H.	 Origem dos sistemas lineares e determinantes.	 Disponível	 em:	
<http://www.somatematica.com.br/historia/sistemas.php>.	Acesso	em:	11	maio	2011.
11. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
DANTE,	L.	R.	Matemática:	contexto	e	aplicações.	São	Paulo:	Ática,	2002.
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