funçoes e sistemas

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EA
D
Funções
3
1. OBJETIVOS
•	 Entender	e	aplicar	os	sistemas	de	coordenadas	cartesia-
nas.
•	 Compreender	a	representação	gráfica	de	uma	função.
•	 Aplicar	o	conceito	de	função.
•	 Analisar	o	comportamento	das	funções.
2. CONTEÚDOS
•	 Sistemas	de	coordenadas	cartesianas.
•	 Conceito	de	função.
•	 Representação	gráfica	de	uma	função.
•	 Comportamento	das	funções.
•	 Funções	elementares.
•	 Algumas	aplicações	das	funções.
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3. ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE 
Antes	de	 iniciar	o	estudo	desta	unidade,	é	 importante	que	
você	leia	as	orientações	a	seguir:
1)	 Leia	 e	 analise	 com	 atenção	 os	 conteúdos	 e	 exemplos	
sobre	grandezas	diretas,	 inversas	e	funções	disponíveis	
nesta	unidade,	pois	 eles	 facilitam	o	entendimento	das	
teorias	e	dos	conceitos	relacionados.
2)	 Procure	 aprofundar	 seus	 conhecimentos	 referentes	 ao	
aplicativo	Excel,	a	fim	de	poder	utilizá-lo	na	resolução	de	
problemas	com	grandezas,	funções	e	construções	gráfi-
cas	nesta	unidade.	
3)	 Reflita	sobre	todos	os	exemplos	apresentados.	Caso	não	
consiga	compreendê-los,	peça	ajuda	aos	seus	colegas	e	
ao	tutor.	
4. INTRODUÇÃO À UNIDADE
Como	você	observou,	os	conteúdos	abordados	na	Unidade	
2	foram	conduzidos	em	tom	de	conversa,	buscando	a	interação	e	
a	participação	entre	professor	e	aluno.	Assim,	estudamos,	defini-
mos	e	operamos	matrizes	e	sistemas	lineares	de	acordo	com	suas	
propriedades.	
Vamos,	 nesta	 unidade,	 aprender	 os	 conceitos	 básicos	 de	
grandezas	 diretamente	 e	 inversamente	 proporcionais,	 de	 uma	
maneira	 mais	 dinâmica,	 utilizando-nos	 do	 aplicativo	 Excel para	
facilitar	e	embasar	os	nossos	estudos.	Em	seguida,	abordaremos	
os	conceitos	de	funções,	construções	gráficas	e	algumas	de	suas	
aplicações.	
Bom	estudo!
5. SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
Vimos,	na	Unidade	1,	que	o	conjunto	dos	números	reais	tem	
uma	representação	geométrica	na	reta,	de	modo	que,	a	cada	nú-
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mero	 real	 a ,	 podemos	 associar	 um	ponto	 da	 reta	 e,	 reciproca-
mente,	 a	 cada	ponto	da	reta	está	associado	um	número	real.
O	Sistema de Coordenadas Cartesianas	é	aquele	em	que	po-
demos	representar	pares	ordenados	de	números	reais	 ( ), a b .	Tal	
sistema	 consiste	 em	 duas	 retas	 numeradas	 que	 se	 interceptam	
perpendicularmente	 na	 origem:	 uma	 delas	 horizontal,	 ou	 seja,	
eixo x,	e	a	outra	vertical,	eixo y.	Essas	duas	retas	definem	o	Plano	
Cartesiano.	
Veja	a	ilustração	a	seguir:
Figura	1	Sistemas de coordenadas cartesianas. 
Num	par	ordenado	 a ( ), a b 	de	números	reais,	o	primeiro	
elemento	 a 	é	chamado	abscissa,	sendo	representado	no	eixo	 x ,	
enquanto	 o	segundo	elemento	b 	é	chamado	ordenada,	sen-
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do	representado	no	eixo	 y .	Traçando-se	por	a 	e	b 	retas	paralelas	
aos	eixos	coordenados,	essas	retas	interceptam-se	num	único	pon-
to	P .
Reciprocamente,	dado	um	ponto	P 	do	plano,	se	traçarmos	
por	P 	retas	paralelas	aos	eixos,	elas	interceptarão	cada	eixo	nos	
pontos	 a 	e	 ,b 	chamados	coordenadas	do	ponto	P .
No	estudo	das	funções,	um	sistema	de	coordenadas	desse	
tipo	será	bastante	útil	para	visualizarmos	os	gráficos	das	funções	
que	darão	importantes	informações	a	respeito	do	comportamento	
de	tais	funções.
6. CONCEITO DE FUNÇÃO
O	conceito	de	função	é	básico	e	refere-se	essencialmente	a	
estabelecer	uma	 relação	entre	elementos	de	dois	 conjuntos.	Tal	
conceito	nasceu	das	ideias	de	Galileu	Galilei	e	acompanha	o	pen-
samento	matemático	desde	o	século	18.	
Galileu	 Galilei,	 astrônomo,	 físico	 e	 escritor	 italiano	 (1564-
1642),	foi	defensor	do	sistema	heliocêntrico	de	Copérnico	e	teve	
influência	decisiva	no	tratamento	matemático	das	ciências	exatas.	
Sua	principal	obra	é	Teorias e provas matemáticas sobre duas no-
vas ciências	(1634).
As	relações	funcionais	ocorrem	em	todos	os	ramos	do	conhe-
cimento	humano.	A	maioria	dos	problemas	da	Física,	da	Economia,	
das	Ciências	Biológicas	etc.	envolve	quantidades	que	dependem	
dos	valores	de	outras	quantidades.	Por	exemplo:	a	posição	de	uma	
partícula	em	movimento	depende	do	tempo;	o	tamanho	de	uma	
população	varia	com	o	tempo;	o	preço	de	venda	de	uma	mercado-
ria	é	função	do	custo	da	produção	dessa	mercadoria	etc.	A	defini-
ção	formal	de	função	é	uma	reformulação	desses	conceitos	numa	
linguagem	mais	geral.
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Definição exemplificada de função 
Dados	dois	conjuntos	não	vazios	 A 	e	 ,B 	uma	função,	defini-
da	em	 A 	com	valores	em	 ,B 	é	uma	lei	que	associa	a cada elemen-
to x 	do	conjunto	 A 	um único	elemento	 y 	do	conjunto	 .B 	
O	diagrama	a	seguir	mostra	esse	conceito:
Figura	2	Relação de x em .y 	
O	conjunto	 A 	é	chamado	domínio	da	função;	o	conjunto	B 	
é	o	contradomínio	(ou	campo	de	valores)	da	função.	Se	denotar-
mos	a	lei	da	correspondência	de	uma	dada	função	por			“ f ”	e,	se	
x 	 for	 um	 elemento	 do	 domínio	 ,A 	 indicamos	 por	 ( )f x 	 o	
elemento	do	contradomínio,	correspondente	a	 x ,	e	escrevemos:	
( ) .y f x= 	
Devemos	 considerar	 que	 “ ( )f x ”	 (lê-se:	 “ f 	de x ”)	 é	 um	
símbolo	para	 indicar	 “o	 valor	da	 função	 ,f 	 no	ponto	 x ”,	 e	não	
deve	ser	confundido	com	a	multiplicação	 f 	vezes x ,	pois	tal	mul-
tiplicação	não	existe.
Uma	notação	simbólica	muito	comum	para	representar	fun-
ções	de	um	conjunto	 A 	num	conjunto	 B 	é:	 : →f A B .	
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Em	particular,	para	representar	a	correspondência	entre	um	
dado	 Ax∈ 	(lê-se:	 x 	pertencente a A )	e	o	valor	 ( ) ,f x B∈ 	utiliza-
mos	a	notação:	 ( )xfx → 	ou	 ( ).y f x=
Embora	o	conceito	de	função	estabeleça	uma	relação	entre	
elementos	de	dois	conjuntos	arbitrários,	as	funções	aqui	estuda-
das	são	as	“funções	reais	de	variável	real”,	cujo	domínio	é	um	sub-
conjunto	dos	números	reais,	e	o	contradomínio	é	o	conjunto	dos	
números	reais.
Em	geral,	essas	funções	serão	dadas	mediante	uma	expres-
são	algébrica	que	define	a	lei	de	associação.	Por	exemplo,	a	função	
que	associa	o	seu	dobro	a	cada	número	real	é	dada	pela	expres-
são:	 ( ) xxf 2= 	ou	 2 .y x= 	
Nessa	notação,	 ( ) ,y f x= 	destacamos	a	existência	de	duas	
variáveis.	Uma	delas,	 x ,	percorre	o	domínio.	Para	 x ,	temos	com-
pleta	 liberdade	de	escolha	 (desde	que	essa	variável	pertença	ao	
domínio),	sendo,	por	essa	razão,	chamada	de	variável	independen-
te.	Escolher	essa	variável	fora	do	domínio	não	faz	sentido.	
Há,	também,	outra	variável:	 y .	Para	 y ,	não	temos	liberdade	
de	escolha	(uma	vez	escolhido	certo	valor	para	a	variável	indepen-
dente	 x ,	o	valor	correspondente	para	a	variável	 y 	fica	determina-
do	pela	função	e	não	pode	ser	tomado	à	vontade),	sendo,	por	essa	
razão,	chamada	de	variável	dependente.	
Devemos	observar	que,	nas	funções	definidas	por	meio	de	
expressões	algébricas,	fica	subentendido	o	domínio	ser	constituí-
do	de	todos	os	valores	de	 x 	para	os	quais	é	possível	calcular	o	va-
lor	da	função	 ( ).y f x=
Em	 situações	 práticas,	 podemos	 ter	 de	 acrescentar	 restri-
ções	adicionais	ao	domínio,	considerando	apenas	os	valores	para	
os	quais	tenha	significado	o	cálculo	do	valor	da	função.	Por	exem-
plo,	a	função	que	exprime	a	área	de	um	quadrado,	cujo	lado	tem	
comprimento	 x ,	é	dada	por:	 ( ) 2.A x x=
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Como	expressão	algébrica,	faz	sentido	para	qualquer	núme-
ro	real	 x ;	no	entanto,	os	valores	de	 x 	não	podem	ser	negativos	
(não	existe	segmento	com	medida	negativa).
Exemplos:
1)	 Seja	 f 	 a	 função	 dada	 por	 2üy x= − 	 com	 domínio	
[ ]D 1, 5 .= − 	
O	domínio	de	 f 	é	o	intervalo	fechado	[ ]1,5 = − 	
{ }51| ≤≤−∈ xRx .	Portanto,	 x 	não	poderá	assumir	va-
lores	que	não	pertençam	a	esse	intervalo.	Por	exemplo,	
não	podemos	calcular	 ( )6fy = 	porque	 6 . x D= ∉
Para	todovalor	 [ ] 1,5 ,x∈ − 	o	correspondente	valor	 y 	é	
calculado:	“elevando	 x 	ao	quadrado,	multiplicando-se	o	
resultado	por	2	e	subtraindo-se	4	desse	último	resulta-
do”.	Logo:	
1 x = − ⇒ 	 ( ) ( )
21 2. 1 4 2.1 4 2y f= − = − − = − = −
0 x = ⇒ 	 ( ) ( )20 2. 0 4 2.0 4 4y f= = − = − = −
0,3 x = ⇒ 	 ( ) ( )
20,3 2. 0,3 4 2.0,09 4 3,82y f= = − = − = −
2 x = ⇒ 	 ( ) ( )22 2. 2 4 2.2 4 0y f= = − = − =
4 x = ⇒ 	 ( ) ( )24 2. 4 4 2.16 4 28y f= = − = − =
2)	 Seja	 g 	a	função	que	a	cada	número	real	r 	associa	a	área	
A 	do	círculo	de	raio	 .r
A	variável	 independente	 r ,	 nesse	 caso,	 é	 a	medida	do	
comprimento	do	raio	de	um	círculo;	portanto,	o	domínio	
dessa	função	é	o	conjunto	dos	números	reais	positivos,	
isto	é,	 ( )0,D .= ∞ 	A	lei	da	correspondência	é	dada	pela	
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fórmula	 do	 cálculo	 da	 área	 do	 círculo.	 Assim,	 temos:	
( ) 2;f r rπ= ⋅ 	 ( )0, . r∈ ∞
Para	 calcular	 a	 área	 de	 um	 círculo	 de	 raio,	 digamos,	
3,5 ,r cm= 	basta	substituir	 5,3=r 	na	expressão	anterior	
(assumindo	o	 valor	 de	 3,14) π = 	 e	 calcular	 o	 valor	 de	
( )3,5 :f
( ) ( )2 23,5 3,5 3,14 12,25 38,47f cmπ= × = × = .
3)	 Seja	 h 	a	função	dada	por	 ⋅
−
=
52
3
x
y
Essa	 expressão	não	 está	 definida	 para	 os	 valores	 de	 x 	
que	anulam	o	denominador,	ou	seja,	temos	de	impor	a	
restrição:
052 ≠−x ⇒ 52 ≠x ⇒
2
5
≠x ⇒ 5,2≠x .
Assim,	 o	 domínio	 da	 função	 não	 pode	 conter	 o	 ponto	
5,2=x .	Então,	temos:	
{ }5,2−= RD 	ou	 { }5,2| ≠∈= xRxD 	
4)	 Indique	o	domínio	da	função:	 ( )
2
12
−
−
=
x
xxf .
O	radicando	
2
12
−
−
x
x
	não	pode	ser	negativo.
Lembrando	que,	 para	 que	um	quociente	 de	 dois	 números	
reais	seja	positivo,	é	necessário	que	ambos,	o	numerador	e	o	de-
nominador,	 tenham	 o	 mesmo	 sinal	 (exemplos:	 2
4
8
+=
+
+
	 e	
2
4
8
+=
−
−
).	
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Logo,	para	resolver	o	problema	
2 1 0,
2
x
x
−
≥
−
	temos	de	analisar	
as	seguintes	alternativas:
a)	 	



>−
≥−
02
012
x
x
⇒



>
≥
2
12
x
x
⇒




>
≥
2
2
1
x
x
⇒ 2>x
ou
b)	 



<−
≤−
02
012
x
x
⇒



<
≤
2
12
x
x
⇒




<
≤
2
2
1
x
x
⇒
2
1
≤x
Portanto,	o	domínio	será	o	conjunto	dos	números	reais,	
tal	que	
2
1
≤x 	ou	 2.x > 	Na	reta,	haveria	a	seguinte	con-
figuração:
Figura	3	Reta real.	
7. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA FUNÇÃO
É	muito	conveniente	representar	funções	por	meio	de	gráfi-
cos.	Os	gráficos	permitem	visualizar	qualitativamente	o	comporta-
mento	das	funções.
Dada	uma	função	 ,f 	sabemos	que	para	cada	 Dx∈ 	pode-
mos	 calcular	 um	 único	 valor	 ( ).y f x= 	 Os	 pares	 ordenados	
( )( ), ,x f x 	 com	 x 	 percorrendo	o	domínio	de	 ,f 	 constituem	o	
gráfico	da	função	 .f
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Para	a	representação	gráfica	de	uma	função	 ( ) , ,y f x x D= ∈ 	
escolhemos	um	conjunto	de	valores	da	variável	independente	 x ,	
calculamos	os	correspondentes	valores	 ( ) xfy = 	e,	num	sistema	
de	coordenadas	cartesianas,	marcamos	os	pontos	 ( )( ), ,P x f x= 	
unindo	esses	pontos	por	uma	curva	contínua.	
Para	sua	melhor	compreensão,	observe	a	figura	a	seguir:	
Figura	4	Representação gráfica de uma função.	
Exemplos:
1)	 Esboce	o	gráfico	da	função	 2 20;y x= + 	 [ ]10, 40 .x∈
Solução:
Inicialmente,	devemos	escolher	alguns	valores	de	 x 	no	
domínio	10 40x≤ ≤ 	e,	para	cada	 x 	escolhido,	calcular	o	
correspondente	 ( ).y f x= 	 Em	 seguida,	 represen-
tamos	esses	pontos	num	sistema	de	coordenadas.	
Como	temos	liberdade	na	escolha	dos	valores	 x ,	esco-
lhemos,	por	exemplo,	os	valores	10,	20,	30	e	40	 do	
domínio	e	 construímos	a	 tabela	de	 valores	e	o	 gráfico,	
conforme	a	Figura	5.
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x ( ) xfy =
10 40
20 60
30 80
40 100
Figura	5	Tabela e gráfico da função ( ) 2 20.f x x= +
 
2)	 Uma	 empresa,	 com	base	 na	 pesquisa	 da	 demanda	 de	
um	de	seus	produtos,	estima	que,	se	o	preço	de	venda	
unitário	for	fixado	entre	R$ 6,00 	e	R$ 12,00, 	o	lucro	
obtido	pela	comercialização	de	1.000 unidades	desse	
produto	é	dado	por:	 ( ) 2240 12 ,L x x x= − 	onde	 x 	é	o	va-
lor	do	preço	unitário	de	venda.	
Esboce	o	gráfico	da	função	lucro	e	estime	o	preço	de	ven-
da	que	resulte	no	maior	lucro.
Solução:	
Inicialmente,	devemos	escolher	alguns	valores	de	 x 	no	
domínio		6 12x≤ ≤ 		e,	para	cada	 x 	escolhido,	temos	de	
calcular	o	correspondente	 ( ).y f x= 	Em	seguida,	repre-
sentamos	 esses	 pontos	 num	 sistema	 de	 coordenadas,	
como	na	Figura	6.
© Matemática122
x ( ) xfy =
6 1008
7 1092
8 1152
9 1188
10 1200
11 1188
12 1152
Figura	6	Tabela e gráfico da função ( ).f x 	
Pela	 análise	 desse	 gráfico,	 concluímos	 que	 o	 preço	 de	
venda	 que	 produz	 o	 maior	 lucro	 deverá	 ser	 igual	 a	
R$ 10,00 	por	unidade.	
Em	determinadas	situações,	não	conhecemos	a	expres-
são	algébrica	que	define	a	função;	conhecemos,	apenas,	
os	pares	de	valores	 ( )( ), ,x f x 	que	relacionam	as	variá-
veis	 dependente	 e	 independente.	 Isso	 ocorre	 frequen-
temente	em	pesquisas	de	opinião	 cujos	 resultados	 são	
compilados	em	forma	de	tabela.	
Podemos	visualizar	o	gráfico	da	correspondente	função	
representando	os	pares	de	valores	da	tabela	num	siste-
ma	de	 coordenadas	 cartesianas,	unindo-os	em	seguida	
por	uma	curva.
O	gráfico	da	Figura	7	mostra	o	resultado	da	pesquisa	do	
comportamento	da	demanda	de	mercado	de	um	deter-
minado	produto,	como	função	do	preço	de	venda.	Os	va-
lores	da	pesquisa	foram	compilados	na	tabela	a	seguir:
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Preço Quantidade
5 500
10 300
15 200
20 140
25 100
Figura	7	Tabela e gráfico da função demanda.	
8. COMPORTAMENTO DAS FUNÇÕES
Neste	tópico,	estudaremos	as	funções	crescentes	e	decres-
centes,	bem	como	os	pontos	de	máximo	e	de	mínimo.
Funções crescentes e decrescentes
Uma	função	real	será	crescente	num	intervalo	 bxa << 	se,	
à	 medida	 que	 o	 valor	 de	 x 	 aumentar,	 os	 correspondentes	
( ) xfy = 	também	aumentarem.	
Simbolicamente,	para	quaisquer	valores	 1x 	e	 2x 	do	intervalo	
( ), ,a b 	 ( ) ( )1 2 1 2 .x x f x f x< ⇒ < 	
Analogamente,	uma	função	real	será	decrescente	num	inter-
valo	 bxa << 	se,	à	medida	que	o	valor	de	 x 	aumentar,	os	corres-
pondentes	 ( ) xfy = 	diminuírem.	
Simbolicamente,	para	quaisquer	valores	 1x 	e	 2x 	do	intervalo	
( ), ,a b 	 ( ) ( )1 2 1 2 .x x f x f x< ⇒ > 	
A	Figura	8	mostra	esses	comportamentos:
© Matemática124
Figura	8	Função crescente e função decrescente.	
Pontos de máximo e de mínimo
Seja	 f 	uma	função	definida	num	intervalo	aberto	de	núme-
ros	reais	 bxa << 	e	seja	 0x 	um	ponto	desse	intervalo.
O	ponto	 0x 	será	um	ponto de máximo local	se,	para	os	valo-
res	de	 x 	“próximos”	de	 0x ,	tivermos:	 ( ) ( )0 ;f x f x≤ 	numa	lin-
guagem	mais	formal,	existe	um	intervalo	de	números	reais,	con-
tendo	 0x ,	tal	que,	para	todo	 x 	nesse	intervalo,	o	valor	de	 ( ) xf 	
não	ultrapassa	o	valor	 ( )0 .f x 	
Analogamente,	 0x 	será	um	ponto de mínimo local	se,	para	
os	valores	de	 x 	“próximos”	de	 0x ,	tivermos:	 ( ) ( )0 . f x f x≥ 	
A	Figura	9	apresenta	esses	comportamentos:
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Figura	9	Ponto de máximo e ponto de mínimo.	
A	 representação	gráfica	de	uma	função	permite	 identificar	
os	 intervalos	em	que	a	 função	é	crescente	ou	decrescente,	bem	
como	identificar	seus	pontos	de	máximo	e	de	mínimo.	No	entan-
to,	para	uma	análise	mais	precisa	 sobre	esses	comportamentos,	
precisamos	das	ferramentas	que	são	desenvolvidas	no	cálculo	di-
ferencial	e	integral.9. FUNÇÕES ELEMENTARES 
Uma	classe	de	funções	de	particular	interesse	nas	aplicações	
são	as	chamadas	funções polinomiais,	em	que	a	variável	indepen-
dente	 x 	aparece	na	expressão	tendo	como	expoente	um	número	
natural.	
Exemplos:
1)	 	 5232 24 ++−= xxxy
			(função	polinomial	do	4º	grau)
2)	 	 35 23 −−+= xxxy
							(função	do	3º	grau)
3)	 	 22 −−= xxy
									(função	do	2º	grau)
© Matemática126
4)	 	 12 += xy
								(função	do	1º	grau)
Nessa	classe	das	funções	polinomiais,	a	função	constante	e	
as	funções	do	1º	e	2º	graus	são	importantes	como	modelos	para	
descrever	problemas	de	aplicação	nas	áreas	da	Administração	e	
da	Economia,	como,	por	exemplo,	as	funções	oferta	e	demanda	de	
mercado,	função	custo	de	produção	etc.	
Faremos	um	estudo	detalhado	dessas	funções:
Função constante ky =
Seja	 k 	um	número	real	qualquer.	A	função	 ,f 	definida	no	
conjunto	dos	números	reais	e	dada	por	 ky = 	ou	 ( ) ,f x k= 	é	cha-
mada	função constante.	A	representação	gráfica	da	função	cons-
tante	é	uma	reta	paralela	ao	eixo	 x ,	passando	pelo	ponto	 .y k= 	
Exemplo: 
Figura	10	Gráfico da função constante 3.y = 	
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Função do 1º grau y ax b= + 	
A	função	do	1º	grau	na	variável	 x 	é	toda	definida	pela	ex-
pressão	 ,y ax b= + 	 onde	 a 	 e	 b 	 são	 números	 reais	 conhecidos,	
com	 0.a ≠
É	possível	demonstrar	que	o	gráfico	de	 toda	 função	do	1º	
grau	é	uma	reta	e,	como	sabemos,	para	desenhar	uma	reta,	preci-
samos	apenas	de	dois	de	seus	pontos,	isto	é,	uma	reta	fica	comple-
tamente	determinada	quando	conhecemos	dois	de	seus	pontos.	
Assim,	para	construir	o	gráfico	da	função	 ,y ax b= + 	esco-
lhemos	 dois	 valores	 1x 	 e	 2 ,x 	 calculamos	 os	 correspondentes	
( )11 xfy = 	e	 ( )2 2 ,y f x= 	obtendo	os	pontos	 ( )( )11 , xfxA = 	e	
( )( )22 , xfxB = ,	que,	representados	num	sistema	de	coordenadas	
cartesianas,	determinam	a	reta.
Exemplo:
Queremos	obter	o	gráfico	da	função	 2 1,y x= + 	 Rx∈ .
Solução:
Escolhendo	 dois	 pontos	 do	 domínio,	 digamos,	 01 =x 	 e	
2 1,x = 	e	calculamos:
1 0x = ⇒ ( )1 0 2 0 1 1y f= = × + = 	⇒ ( ) 0, 1 A =
2 1x = ⇒ ( )2 1 2 1 1 3 y f= = × + = 	⇒ ( ) 1, 3B =
Após	 o	 cálculo	 que	 acabamos	 de	 fazer,	 obtemos,	 então,	 a	
reta	da	figura	a	seguir:	
© Matemática128
Figura	11	Função do 1º grau: crescente.	
Uma	reta	 y ax b= + 	pode	estar	posicionada	no	sistema	de	
coordenadas	“mais	para	cima	ou	mais	para	baixo”;	“mais	para	a	
direita	ou	mais	para	a	esquerda”;	“mais	inclinada	ou	menos	incli-
nada”,	de	acordo	com	os	coeficientes	 a 	e	 :b 	
•	 O	coeficiente	b 	corresponde	ao	ponto	onde	a	reta	“corta”	
o	eixo	 .y 	
•	 O	 coeficiente	 a ,	 chamado	 coeficiente angular da reta,	
mede	a	inclinação	da	reta	em	relação	ao	eixo	 x .	Ele	de
termina	a	tangente	do	ângulo	que	a	reta	faz	com	o	eixo	 .x 	
Se	 a 	 for	positivo,	o	ângulo	que	a	 reta	 faz	com	o	eixo	 x 	é	
agudo	e	a	função	crescente.	
Se	 a 	 for	negativo,	o	ângulo	que	a	reta	faz	com	o	eixo	 x 	é	
obtuso	e	a	função	decrescente.	
Veja	a	ilustração	a	seguir:
129
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© U3 - Funções
Figura	12	Função do 1º grau: crescente e decrescente.	
Um	problema	importante	relacionado	às	funções	do	1º	grau	
é	encontrar	a	expressão	da	 função	 ,y ax b= + 	 ou	a	equação	da	
reta	 que	 passa	 por	 dois	 pontos	 conhecidos	 ( )11 , yxA = 	 e	
( )2 2, .B x y= 	
Exemplo:
Obter	a	expressão	da	função	do	1º	grau	(equação	da	reta)	
que	passa	pelos	pontos	 ( )2 ,1=A 	e	 ( )2, 3 .B = 	
Solução:
Sabemos	que	a	 função	do	1º	grau	procurada	 tem	a	 forma	
geral	 y ax b= + 	e	que	os	pontos	 ( )2 ,1=A 	e	 ( )3 ,2=B 	 satisfa-
zem	tal	equação.	
Assim,	como	 A 	é	ponto	do	gráfico,	substituindo	 2y ,1 ==x 	
na	equação,	obtemos:	 2 1 .a b= ⋅ +
Como	 B 	 também	 é	 ponto	 do	 gráfico,	 substituindo	
3y ,2 ==x 	 na	equação,	obtemos:	3 2 .a b= ⋅ + 	
Essas	duas	últimas	equações	geram	o	sistema:



=+
=+
32
2
ba
ba
© Matemática130
Esse	 sistema	 resolvido,	 por	 exemplo,	 por	 escalonamento,	
como	aprendemos	na	Unidade	2,	transforma-se	no	sistema	equi-
valente:
( ) ( )
2
 
2ª linha - 2. 1ª linha1
a b
b
+ =
 ↔− = − ⇒
		 1 b = ;	 1a =
Assim,	a	reta	procurada	é:	 1.y x= +
Vamos	analisar	alguns	problemas	que	envolvem	funções	do	
1º	grau.
Exemplo 1
Uma	pequena	fábrica	produz	camisetas,	tem	um	custo	fixo	
(CF )	mensal	de	R$ 500,00 	e	gasta	R$ 3,00 	em	cada	camiseta	
produzida	(o	custo	fixo	é	o	gasto	da	fábrica,	esteja	ela	produzindo	
ou	não,	como,	por	exemplo:	aluguel).	Expresse	o	custo	total	(CT)	
em	 função	da	quantidade	produzida	no	mês	por	meio	de	uma	
fórmula	matemática	(função)	e	construa	o	gráfico	dessa	função.
Para	resolver	esse	problema,	devemos	considerar	que,	se	a	
fábrica	produzir	no	mês	uma	quantidade	 x 	de	camisetas	( 0≥x ),	
o	custo	total	(CT )	será	dado	por:	 ,CT CF CV= + 	em	
que	CV 	é	o	custo	variável,	proporcional	ao	número	 x 	de	camise-
tas	produzidas,	o	que	corresponde	a	 3 ,CV x= 	e	 CF 	é	o	custo	
fixo	mensal.
Assim,	podemos	dizer	que,	nesse	caso,	o	número	3 	é	o	coe-
ficiente	de	proporcionalidade.	Logo,	obtemos:	
( ) CT x CF CV= + ( ) 500 3 .CT x x⇒ = + 	
Observe	que	 ( ) 500 3CT x x= + 	é	uma	função	do	1º	grau.	Vi-
mos	anteriormente	que	função polinomial do 1º grau,	ou	função 
afim,	é	qualquer	função	 f de	 IR em	 IR ,	dada	por	uma	lei	da	for-
ma	 ( ) ,f x ax b= + 	onde	 a 	e	b 	são	números	reais	e	 0.a ≠
131
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© U3 - Funções
Na	função	 ( ) ,f x ax b= + 	o	número	a 	é	denominado	coe-
ficiente	de	 x 	,	e	o	número	b 	é	o	termo	constante.	Assim,	na	fun-
ção	 ( ) 500 3 ,CT x x= + 		 3=a 	e	 500.b = 	
O	 gráfico	 de	 uma	 função	 polinomial	 do	 1º	 grau,
( ) a ,y f x x b= = + 	 com	 0,a ≠ 	 é	 uma	 reta	 oblíqua	 (inclinada	
crescente	ou	decrescente)	aos	eixos	cartesianos	Ox 	e	Oy, 	como	
vimos	anteriormente.	
Para	 construir	 o	 gráfico,	 devemos	 atribuir	 alguns	 valores	
para	 x 	e	substituir	esse	valor	na	função	 ( ) 500 3 .CT x x= + 	Obser-
ve,	na	Tabela	1,	alguns	valores	atribuídos	para	esse	problema.	
Tabela 1	Quantidade	e	custo	total	de	camisetas.	
QUANTIDADE (X) 0 1 2 3 4 5
CUSTO TOTAL CT (X) 500 503 506 509 512 515
Em	 seguida,	 vamos	 transferir	 esses	 valores	 ordenados	
))(,( xfx 	para	um	plano	cartesiano	 ( , ( )),x CT x 	a	fim	de	obtermos	
o	gráfico	da	função.
Gráfico da Função 
y = 3x + 500
495
500
505
510
515
520
0 1 2 3 4 5 6
quantidade
cu
st
o 
to
ta
l
Figura	13	Gráfico da função ( ) 3 500.CT x x= + 	
© Matemática132
O	coeficiente	de	 ,x 	 ,a 	é	chamado	coeficiente angular da 
reta	e	determina	a	inclinação	da	reta	em	relação	ao	eixo	 O .x 	No	
caso	da	função,	 ( ) 3 500, 3.CT x x a= + = 	
O	termo	constante,	b ,	é	chamado	coeficiente linear da reta.	
Assim,	o	coeficiente	linear	é	a	ordenada	do	ponto	em	que	a	reta	
intercepta	 o	 eixo	 O .y 	 No	 caso	 da	 função,	 ( ) 3 500,CT x x= + 	
 500.b = 	
Suponha	que,	no	exemplo	anterior,	a	fábrica	venda	cada	ca-
miseta	por	R$ 10,00. 	Podemos	escrever	uma	fórmula	que	forneça	
a	receita	R 	em	função	do	número	de	camisetas	vendidas	(lembre-
-se	de	que	a	receita	é	o	quanto	a	fábrica	arrecada	na	venda	das	
camisetas).	
Assim,	 ( ) 10 ,R x x= 	para	 0,x ≥ 	em	que	 R 	é	a	receita;	 x ,	a	
quantidade	de	camisetas,	e	 R$ 10,00, 	o	preço	de	venda	de	cada	
camiseta.
É	possível,	também,	escrever	uma	fórmula	que	forneça	o	lu-
cro	L 	em	função	da	quantidade	de	camisetas	vendidas	(lembre-se	
de	que	o	lucro	 L 	será	o	que	a	fábrica	recebe	na	venda	de	camise-
tas	 menos	 o	 que	 ela	 gasta	 para	 produzi-las,	 ou	 seja:	
despesasreceitalucro −= ).	Logo:	 ( ) ( ),L R x CT x= − 	para	 0,x ≥ 	
onde	 L 	é	o	lucro;	 ,Ra	receita,	e	 ,CT 	o	custo	total.	
Na	função	lucro,	podem	ser	substituídas	a	função	receita	e	a	
função	custo	total,	obtendo-se	uma	função	que	relacione	o	lucro	
com	a	quantidade	vendida.	
Dessa	forma,	teremos:
10 (500 3 ) 10 500 3L x x L x x= − + ⇔ = − − ⇔ 	 7 500,L x= − 	
para	 0≥x
133
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Para	construir	o	gráfico	da	função	lucro,	devemos	atribuir	al-
guns	 valores	 para	 x 	 e	 substituir	 esses	 valores	 na	 função	
( ) 7 500.L x x= − 	Observe,	na	Tabela	2,	alguns	valores	atribuídos	
para	esse	problema.	
Tabela 2 Quantidade	de	camisetas	e	lucro	nas	vendas.
QUANTIDADE (X) 0 20 40 60 80 100
LUCRO (X) -500 -360 -220 -80 60 200
Gráfico da Função Lucro 
y = 7x - 500
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
0 20 40 60 80 100 120
quantidade
lu
cr
o
Figura	14	Gráfico da função ( ) 7 500L x x= − .	
Com	a	função	lucro,	é	possível	determinar,	por	exemplo,	quan-
tas	camisetas	deverão	ser	fabricadas	no	mês	para	tornar	o	lucro	po-
sitivo.	 Para	 obtermos	 essa	 informação,	 basta	 considerarmos	 que,	
para	o	lucro	ser	positivo,	devemos	ter	 0.L > 	Assim,	fazemos:	
5007 500 0 7 500 71,42
7
x x x x− > ⇔ > ⇔ > ⇔ >
	
A	 quantidade	 71,42,x = 	 que	 torna	 o	 lucro igual ao custo 
fixo,	é	denominada	quantidade de equilíbrio,	o	que	significa	que	a	em-
presa	conseguiu	cobrir	apenas	os	custos,	não	obtendo	nenhum	lucro.
© Matemática134
Exemplo 2
Numa	determinada	indústria,	o	custo	total	de	uma	mercado-
ria	é	composto	pelo	custo	fixo	de	R$ 230,00 	mais	o	custo	variável	
de	 R$ 0,25 	 por	 unidade	 fabricada.	 Se	 representarmos	 o	 custo	
dessa	mercadoria	por	 y ,	e	a	quantidade	de	unidades	fabricadas	
por	 x ,	poderemos	expressar,	por	meio	de	uma	fórmula	matemáti-
ca	(função),	esses	valores.
Sabemos	que	o	custo	total	é	igual	ao	custo	fixo	mais	o	custo	
variável.	 Assim,	 é	 possível	 expressar	 isso	matematicamente	 por		
230 0,25y x= + 		ou	 ( ) 230 0,25= +f x x ,	onde	 ( )f x 	é	o	custo	to-
tal,	e	 x 	é	a	quantidade	produzida.
Graficamente,	teríamos	uma	reta	crescente,	pois	trata-se	de	
uma	função	do	1º	grau.	Para	construir	o	gráfico	referente	a	essa	
função,	é	preciso	atribuir	alguns	valores	ao	 x 	e	determinar	o	custo	
total	 ( )f x 	para	essas	quantidades.	
Observe,	na	Tabela	3,	alguns	valores	atribuídos	à	quantidade	 x :	
Tabela 3 Quantidade	e	custo	total	de	mercadorias.	
QUANTIDADE (X) 0 20 40 60
CUSTO TOTAL F(X) 230 235 240 245
De	posse	dos	dados	da	tabela,	como	já	vimos	anteriormente,	
é	possível	construir	um	gráfico	dessa	situação-problema.
135
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© U3 - Funções
CUSTO X QUANTIDADE
y = 0,25x + 230
225
230
235
240
245
250
0 10 20 30 40 50 60 70
QUANTIDADE
C
U
ST
O
 T
O
TA
L
Figura	15	Gráfico da função ( ) = 0, 25 230f x x + . 
Exemplo 3
Para	consertar	aparelhos	eletrônicos	em	usinas	de	álcool	da	
região,	um	técnico	de	manutenção	precisa	se	deslocar	de	uma	lo-
calidade	à	outra.	Com	esse	intuito,	o	técnico	cobra	uma	taxa	fixa	
de	visita	de	R$ 110,00 	e	mais	R$ 0, 40 	por	quilômetro	percorri-
do	distante	de	sua	cidade	de	origem,	onde	se	localiza	sua	empresa.	
Nessas	condições,	é	possível	determinarmos	uma	expressão	mate-
mática	(função)	que	possibilite	ao	técnico	calcular	o	custo	de	visita	
para	cada	situação.
Assim,	se	considerarmos	que	o	custo	dos	serviços	 ( )y 	é	fun-
ção	da	quantidade	de	quilômetros	percorridos	( )x 	e	do	custo	fixo,
temos:	 110 0,4y x= + 		ou	 ( ) 110 0,4= +f x x .
De	posse	dessa	expressão,	é	possível,	por	exemplo,	calcular	o	
valor	a	ser	cobrado	de	um	cliente	que	está	distante	89km. 	Para	
isso,	basta	substituirmos	na	expressão	a	variável	 y 	por	89 ,	obtendo:
( ) 110 0,40.(89) ( ) 110 35,6 145,60= + ⇒ = + =f x f x .	O	custo	to-
tal	desta	visita	será,	então,	R$ 145,60 .	Podemos,	também,	esbo-
© Matemática136
çar	o	gráfico	dessa	situação.	Para	tanto,	é	preciso	atribuir	alguns	
valores	para	a	distância	 x 	e	determinar	o	custo	total	 ( )f x 	para	
essas	distâncias.	
Observe,	na	tabela	a	seguir,	alguns	valores	atribuídos	à	dis-
tância	 x :	
Tabela 4 Distância	percorrida	e	custo	total	dos	consertos.
DISTÂNCIA (X) 0 20 40 60
CUSTO TOTAL F(X) 110 118 126 134
Com	os	valores	obtidos	na	Tabela	4,	como	já	vimos	anterior-
mente,	é	possível	construir	um	gráfico	dessa	situação-problema.
CUSTO X DISTÂNCIA
y = 0,4x + 110
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 10 20 30 40 50 60 70
DISTÂNCIA
C
U
ST
O
 T
O
TA
L
Figura	16	Gráfico	da	função	 ( ) 0, 4 110f x x= + . 
Função do 2º grau: 2y ax bx c= + +
A	função do 2º grau	na	variável	 x 	é	definida	pela	expressão	
2 ,y ax bx c= + + 	em	que	 ,a 	b 	e	c 	são	 números	 reais	 conheci-
dos,	com	 0.a ≠
De	modo	geral,	para	construirmos	o	gráfico	de	uma	função	
do	2º	grau,	precisamos	fazer	 0=y 	para	obtermos	uma	equação	
do	2º	grau:	 2 0.ax bx c+ + = 	
137
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© U3 - Funções
O	gráfico	da	função	quadrática	cruza	o	eixo	do	 x 	em	um	
único	ponto	se	 0;∆ = 	cruza	o	eixo	do	 x 	em	dois	pontos	 distin-
tos	se	 0;∆ > 	e	não	cruza	o	eixo	 x 	se	 0.∆ < 	
Na	Figura	17,	estão	ilustradas	essas	propriedades:
Figura	17	Tipos de gráficos de funções do 2º grau. 
Toda	função	do	2º	grau	tem	como	gráfico	uma	figura	simétri-
ca	chamada	parábola,	cujo	eixo	de	simetria	é	paralelo	ao	eixo	 .y 	
Exemplo: 
Obter	 o	 gráfico	 da	 função	 do	 2º	 grau:	 2 2;y x x= − − 	
[ ]2 , 2 .x∈ − 	
Solução:
Devemos	lembrar	que,	para	obter	o	gráfico	de	uma	função	
f ,	em	geral,	devemos:	
•	 escolher	uma	sequência	de	valores	 1 2 , , ..., nx x x 		do	do-
mínio;	
•	 calcular	o	 correspondente	valor	da	 função	em	cada	um	
desses	pontos	 ( ) ( ) ( )1 1 2 2 n, y f , ... , y f= = = ny f x x x ;	
•	 representar	os	pares	ordenados	 ( )ii yx , 	no	 sistema	de	
coordenadas	cartesianas.
© Matemática138
Assim,	escolhendo	os	valores	 2, 1, 0, 1, 2− − 	no	domínio,	
2 2− ≤ ≤x ,	 calculamos	 os	 correspondentes	 valores	 de	 y 	 cons-
truindo	a	tabela	de	valores,	que	nos	permitirá	elaborar	o	gráfico	
seguinte	(Figura	18).	
x 22 −−= xxy
-2 4
-1 0
0 -2
1 -2
2 0
Figura	18	Gráfico da função ( ) ² 2f x x x= − − . 
A	parábola,	gráfico	da	função	do	2º	grau	 2 ,y ax bx c= + + 	
tem	a	concavidade	voltada	para	cima	ou	para	baixo,	conforme	o	
coeficiente	 a 	seja	positivo	ou	negativo.	
A	Figura	19	apresenta	duas	concavidades	de	parábolas.	
139
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© U3 - Funções
Figura	19	Concavidades das parábolas.
A	próxima	 figura	destaca	um	ponto	característico	e	 impor-
tante	da	parábola,	que	é	o	seu	vértice.	Observe	que,	para	determi-
narmos	o	vértice	da	parábola,	devemos	determinar	as	coordena-
das	 ( , )v vx y 	desse	ponto.	
Para	isso,	utilizamos	as	expressões:
;
2v
bx
a
−
=
	 a
yv 4
∆−
=
Figura	20	Vértice da parábola.	
© Matemática140
O	vértice	da	parábola	é	o	seu	ponto	de	máximo,	se	 0,a > 	ou	
mínimo,	se	 0.a <
Assim,	nas	funções	do	2º	grau,	podemos	conceituar	os	pon-
tos	de	máximo	e	mínimo	com	o	auxílio	de	cálculos.	
Veja	os	exemplos	a	seguir:
1)	 Na	função	 2( ) 6 8f x x x= − + − 	o	valor máximo	é	deter-
minado	por:
26 4.( 1).( 8) 36 32 4 1
4 4 4 4v
y
a
∆ − − − − −
= − = − = − = =
− − −
Máximo de uma função - se x = 3 temos f(x) = 1
f(x) = -x2 + 6x - 8
-3,5
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 1 2 3 4 5 6
Figura	21	Valor máximo da função ( ) 2 6 – 8f x x x= − + .
2)	 Na	função	 2( ) 2 3f x x x= − − ,	o	valor mínimo	de	 f 	é	
determinado	por:
2( 2) 4 (1) ( 3) 4 12 16 4
4 4 4 4v
y
a
∆ − − × × − +
= − = − = − = − = −
141
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© U3 - Funções
Mínimode uma função - se x = 1 temos f(x) = - 4 
y = x2 - 2x - 3
-6
-4
-2
0
2
4
6
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Figura	22	Valor mínimo da função ( ) 2 2 – 3f x x x= − .
Função modular
A	função	modular	é	definida	como	 ( ) =f x x .	Lembremos	
que	o	módulo	de	um	número	real	 x 	é	dado	por:
, 0
, 0
x se x
x
x se x
≥
= − <
Exemplo:
5 5,= 	pois	5	é	um	número	positivo.
( )8 8 8,− = − − = 	pois	8	é	um	número	negativo.
Na	função	modular,	qualquer	valor	assumido	por	 x 		resulta	
em	um	valor	não	negativo	 y 	.	O	domínio	da	função	é	o	conjunto	
dos	números	reais,	e	a	imagem	é	o	conjunto	dos	reais	não	negati-
vos.
O	gráfico	da	função	modular	é	semelhante	ao	gráfico	da	fun-
ção	do	1º	grau	 ( ) ,f x x= 	diferenciando-se	apenas	no	lado	negati-
vo	do	gráfico.
© Matemática142
Faça	uma	comparação:	o	gráfico	de	 ( )f x x= 	é:
Figura	23	Gráfico da função do 1° grau crescente.
E	o	gráfico	de	 ( )f x x= 	é:	
Figura	24	Gráfico da função modular.
A	parte	negativa	do	gráfico	(no	3º	quadrante)	“vira-se”	para	
a	parte	positiva	(4º	quadrante).
Veja	outro	exemplo:	
( ) 33
2
f x x= −
Para	 construir	 o	 gráfico	 dessa	 função,	 escolhemos	 alguns	
pontos	da	função,	como	 0=x 	e	 0=y ,	por	exemplo.
Se	 0x = :	
33 0
2
y = − × ⇒ 	 3y = ⇒
	 3y =
143
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© U3 - Funções
Se		 0y = :	
30 3
2
x= − ⇒ 	
33 0
2
x− = ⇒ 	 2x =
Por	enquanto,	sabemos	que	o	gráfico	tem	o	seguinte	aspec-
to:
Figura	25	Gráfico da função do 1° grau decrescente.
Para	 continuá-lo,	 escolhemos	 mais	 alguns	 pontos,	 como	
 4.x = 	
Se	 4x = :	 33 4
2
y = − × ⇒ 	 3y = − ⇒ 	 3y =
Agora	o	gráfico	está	pronto:
© Matemática144
Figura	26	Gráfico da	função modular.
Exemplo:
Para	construir	o	gráfico	da	função		 ( ) | 2 |,f x x= + 	escreve-
mos	 2 0 x + = 	para	determinarmos	a	 raiz	da	equação.	Assim,	
obtemos:	x 2= − .	Em	seguida,	construímos	uma	tabela	com	valo-
res	de	x	maiores	e	menores	ao	da	raiz.	Substituímos	esses	valores	
na	função	e	obtemos	os	resultados	na	seguinte	tabela:
Tabela 5 Resultados	obtidos	das	funções.	
(x) -4 -3 -2 -1 0
f(x) 2 1 0 1 2
145
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© U3 - Funções
Figura	27	Gráfico da função modular ( ) | 2 |,f x x= + .	
Exemplo:
Construa	o	gráfico	da	função	 ( ) x 2 1.f x = − − 	
Para	construir	o	gráfico	da	função,	é	necessário	determinar-
mos	as	raízes	da	equação.	Nesse	caso,	fazemos:
( 2) 1 1 2 3x x x− = ⇒ = + ⇒ =
( 2) 1 2 1 1 2 1 1x x x x x− − = ⇒ − + = ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ =
Em	 seguida,	 construímos	 uma	 tabela,	 com	 valores	 de	 x 	
maiores	e	menores	aos	das	raízes.	Substituímos	esses	valores	na	
função,	de	acordo	como	o	exposto	na	Tabela	6.	
Observação:	nesse	caso,	 2x = 		não	é	raiz	da	equação.	As	
raízes	seriam	 3 x = 	e	 1x = ,	conforme	mostra	o	gráfico.	
Tabela 6 Resultados	obtidos	da	funções. 
(x) 0 1 2 3 4
f(x) 1 0 -1 0 1
Depois,	com	os	valores	obtidos,	construímos	o	gráfico	a	se-
guir	para	essa	função:
© Matemática146
Figura	28	Gráfico da função modular	 ( ) 2 1f x x= − − 	.
Funções exponenciais
As	funções	exponenciais	são	importantes	nas	aplicações	da	
ciência	e	da	engenharia.	Seja	a	um	número	positivo	e	diferente	de	
1,	a	função	 ( ) xf x a= 	é	a	função	exponencial	com	base	a.
Exemplo 1
Considere	a	função	 ( ) 10 .xf x = 	Para	construirmos	o	gráfico	
da	função,	devemos	escolher	alguns	valores	aleatórios	para x	e	o	
substituirmos	na	função.	
Tabela 7 Resultados	obtidos	das	funções.
(x) -1 0 1 2
( ) 10f x 0,1 1 10 100
147
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Função exponencial
y = 10x
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
-2 -1 0 1 2 3
Figura	29	Gráfico da função exponencial ( ) 10 .xf x =
Exemplo 2
Considere	a	função	 ( ) 10 .xf x = 	Para	construirmos	o	gráfico	
da	 função,	devemos	escolher	alguns	valores	aletórios	para	x e	o	
substituirmos	na	função. 
Tabela 8 Resultados	obtidos	das	funções. 
(x) -2 -1 0 1
( ) 10 xf x −= 100 10 1 0,1
© Matemática148
Função exponencial
y = 10-x
0
20
40
60
80
100
120
-3 -2 -1 0 1 2
Figura	30	Gráfico da	função exponencial ( ) 10 xf x −= . 
Exemplo 3
Um	capital	 ( )C 	de	 R$ 1.000,00 	 	é	aplicado	a	uma	taxa	de	
juros	 ( )i 	de	8%	ao	ano.	Qual	o	montante	 ( )M 	após	20	anos	 ( ) , n 	
se	os	juros	forem	capitalizados	continuamente?
Para	 resolvermos	 esse	problema,	 utilizamos	o	 conceito	 de	
função	exponencial	e	escrevemos:	 (1 ) .nM C i= + 	
Podemos	 representar	 esse	 problema	 com	 a	 função	
1000 (1 8%)nM = × + 	 ou	 ( ) 1000 (1 0,08)nM n = × + ,	 deixando	 o	
tempo	 n 	 variável.	Para	determinarmos	os	valores	do	montante,	
substituímos	os	valores	de	 n 	(tempo	em	anos)	na	função	e	calcu-
lamos	os	valores	para	o	montante.
149
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© U3 - Funções
Tabela 9 Relação	montante	x	anos.
n(anos)
M(n)
 (montante)
1 1.080
2 1.166
3 1.259
4 1.360
5 1.469
10 2.158
20 4.660
Tempo x Montante - Função Exponencial
M = 1000(1+0,08)x
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
Figura	31	Gráfico da função exponencial	–	 ( ) ( )M n = 1000 1 0,08+ 20 .
Exemplo 4
Outra	aplicação	para	a	função	exponencial	consiste	em	de-
terminarmos	o	crescimento	populacional.	Por	exemplo:	em	certa	
cultura,	há	1000	bactérias	em	um	determinado	instante.	Após	10	
minutos,	existem	4.000.	Quantas	bactérias	existirão	em	uma	hora?	
© Matemática150
Considere	P 	a	população,	 t 	o	tempo	decorrido,	 k 	a	taxa	de	
crescimento,	e um	número	irracional	 (e 2,7182818284)= 	e		 Op 	a	
população	inicial.	A	população	P 	pode	ser	determinada,	em	fun-
ção	do	tempo	 t ,	pela	expressão	 ( ) k tP t P e ×= × ,	com	 k 0> .	
Substituindo	os	valores	do	problema	na	função	anterior,	ob-
teremos:
•	 Após	10	minutos:	
10(10) 1000 kP e ×= × 	e	 (10) 4000P = 	
Assim,	 104000 1000 ke ×= × ⇒ 10 4ke =
•	 Após	uma	hora:
60(60) 1000 kP e ×= × ⇒ ( 10) 6(60) 1000 kP e × ×= × ⇒
6(60) 1000 4 1000 4096P = × = × 4.096.000=
Após	 uma	 hora,	 o	 número	 de	 bactérias	 na	 cultura	 será	
4.096.000 .
Veja,	 a	 seguir,	 a	 representação	 gráfica	 da	 função	
( ) .k toP t P e
×= × 	
Tabela 10 Função	 ( ) .
k t
oP t P e
×= × 		
n
(anos)
M(n) (montante)
10 4.000
20 16.000
30 64.000
40 256.000
50 1.024.000
60 4.096.000
151
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Função Exponencial - crescimento populacional - bactérias
P = 1000ekt
0
1000000
2000000
3000000
4000000
5000000
0 10 20 30 40 50 60 70
tempo
po
pu
la
çã
o
Figura	32	Função exponencial do crescimento populacional 1000P e= × kt . 
Função logarítmica
A	função	logarítmica	de	base	 ,a 	 ( ) log ,ay f x x= = 	é	a	fun-
ção	inversa	da	função	exponencial	 ( ) xy f x a= = 	 ( 0, 1)a a> ≠ 	
de	base	 a .	Para	exemplificar,	vamos	construir	em	um	mesmo	sis
tema	 de	 eixos	 os	 gráficos	 de	 ( ) 2xf x = 	 e	 2( ) log .f x x= 	 Para	
tanto,	atribuímos	valores	numéricos	para	 x 	e	obtemos	os	corres-
pondentes	 ( ).f x 	
Observe	as	Tabelas	11	e	12	e	os	respectivos	gráficos	na	Figu-
ra	33.	
Tabela 11 Função	exponencial.
x -2 -1 0 1 2
 2xy = 0,25 0,5 1 2 4
Tabela 12 Função	logarítmica. 
x 0,25 0,5 1 2 4
2 log y x= -2 -1 0 1 2
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Função Exponencial
y = 2x
0
1
2
3
4
5
-3 -2 -1 0 1 2 3
Função Logarítmica
y = Log2(x)
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 1 2 3 4 5
Figura	33	Gráficos da função exponencial e da função logarítmica.
153
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Exemplo:
Quanto	 tempo	 será	 necessário	 para	 que	 a	 importânciade	
R$ 1.000,00 	atinja	um	montante	de	R$ 1.500,00, 	sabendo-se	
que	os	juros	de	8%	ao	ano	são	compostos	continuamente?
Vimos	 que	 o	 montante	 pode	 ser	 determinado	 por	
(1 ) .nM C i= + 	
Observação:	 (1 ) .nM C i= + 	
Ou,	então,	por	 .i nM C e ×= × 	
Assim:
0,081500 1000 ne ×= × ⇒ 0,081,5 ne ×= ⇔ ( ) ( )0,08ln 1,5 ln ne ×= ⇔
( ) ( )ln 1,5 0,08 lnn e= × × ⇔ ( )ln 1,5 0,08 n= × ⇔
ln1,5 log1,5 ln10 0,1761 2,3025 0,4055
0,08 0,08 0,08 0,08
n × ×= = = = ⇔
5,06875n =
Logo,	 será	 necessário	 aplicar	 R$ 1.000,00 durante	 aproxi-
madamente	cinco	anos	para	atingir	um	montante	de	 R$ 1.500,00. 
10. ALGUMAS APLICAÇÕES DAS FUNÇÕES
Abordaremos,	 agora,	 algumas	 aplicações	 do	 conceito	 de	
função	a	problemas	relacionados	às	situações	de	nosso	dia	a	dia.	
Em	particular,	a	microeconomia	preocupa-se	em	estudar	o	com-
portamento	das	unidades	econômicas	individuais,	o	que	nos	leva	
a	questões,	tais	como:	
•	 Quais	são	os	fatores	que	determinam	o	preço	de	certos	
bens	e	serviços?	
•	 Quanto	cada	mercadoria	será	produzida?
•	 De	que	maneira	os	indivíduos	gastam	sua	renda?	
© Matemática154
Estudaremos	alguns	modelos	simples	de	oferta	e	demanda	e	
dos	custos	de	produção	de	determinado	bem.	Nesse	estudo,	deve-
mos	enfatizar	a	necessidade	de	utilizarmos	o	ambiente	da	Sala	de	
Aula	Virtual	para,	de	forma	coletiva	e	colaborativa,	compreender	
cada	um	desses	modelos	e,	assim,	construir	nosso	conhecimento.	
Função demanda e função oferta de mercado
A	demanda	 é	 a	procura	por	um	bem	ou	 serviço,	demons-
trando	as	quantidades	que	os	compradores	estariam	dispostos	e	
seriam	capazes	de	adquirir	a	diferentes	preços	de	mercado.
Fica	 evidente	 que	 a	 demanda	 descreve	 o	 comportamento	
dos	compradores,	dependendo	de	vários	fatores,	principalmente	
do	preço.	
A	relação	de	dependência	entre	o	preço	e	a	quantidade	de-
mandada	obedece	à	Lei Geral da Demanda: toda vez que o preço 
diminui, a quantidade demandada aumenta, e, reciprocamente, 
toda vez que o preço aumenta, a quantidade demandada dimi-
nui.	
Segundo	essa	lei,	a	função	que	relaciona	essas	variáveis,	pre-
ço	unitário	 y 	do	produto	e	a	quantidade	demandada	 x ,	é	uma	
função	 ( )xfy = 	decrescente,	ou	seu	gráfico	é	uma	curva	decres-
cente.
O	gráfico	a	seguir	apresenta	este	comportamento:
155
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Figura	34	Gráfico da função demanda.
A	oferta,	 ao	 contrário	da	demanda,	descreve	o	 comporta-
mento	 dos	 vendedores,	 mostrando	 o	 quanto	 eles	 estariam	 dis-
postos	a	vender	a	um	preço	determinado.	A	quantidade	ofertada	
também	depende	de	vários	fatores,	como,	por	exemplo,	o	preço.
Assim	como	a	demanda	obedece	a	uma	lei,	a	relação	de	de-
pendência	entre	o	preço	e	a	quantidade	ofertada	também	obede-
ce	a	uma	lei	denominada:
Lei da Oferta:	toda vez que o preço aumenta, a quantidade 
ofertada aumenta, e, reciprocamente, toda vez que o preço dimi-
nui, a quantidade ofertada diminui. 
Segundo	essa	lei,	a	função	que	relaciona	essas	variáveis,	pre-
ço	unitário	 y 	do	produto	e	a	quantidade	ofertada	 x ,	é	uma	fun-
ção	 ( )xgy = 	crescente,	ou	seja,	seu	gráfico	é	uma	curva	crescen-
te.	
Observe	o	gráfico	a	seguir:
© Matemática156
Figura	35	Gráfico da função oferta.
Combinando	as	curvas	de	oferta	e	demanda,	encontramos	
um	ponto	(intersecção	das	duas	curvas),	chamado	ponto de equi-
líbrio de mercado,	em	que	as	quantidades	demandada	e	ofertada	
se equilibram.	Esse	fato	fica	evidenciado	se	desenharmos	os	dois	
gráficos	num	mesmo	sistema	de	coordenadas	cartesianas,	como	
mostra	a	figura	a	seguir:
Figura	36	Gráfico da função oferta x função demanda.
157
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O	tipo	e	os	parâmetros	que	caracterizam	as	funções	de	ofer-
ta	e	demanda	são,	em	geral,	determinados	por	métodos	estatísti-
cos.	É	comum	adotar	um	modelo	 linear	para	descrever	 tais	 fun-
ções,	ou	seja,	uma	função	do	1º	grau	 y ax b= + :
•	 Função	demanda:	 y ax b= + ,	com	 0a < 	( x 	é	a	quanti-
dade,	e	 ,y 	o	preço).
•	 Função	oferta:	 y ax b= + ,	com	 0a > 	( x 	é	a	quantidade,	
e	 ,y 	o	preço).
Exemplo 1
Numa	pesquisa	de	mercado,	o	número	 x 	de	camisas	deman-
dadas	por	mês,	numa	determinada	confecção,	relaciona-se	com	o	
preço	unitário	 ,y 	de	acordo	com	a	função	 0,01 110y x= − + .	Funda-
mentado	nessas	informações,	esboce	o	gráfico	dessa	função.
Solução: 
A	função	 0,01 110y x= − + 	é	uma	função	do	1º	grau.	Seu	grá-
fico	é	uma	reta	e,	para	determiná-la,	precisamos	de	dois	pontos.	
Escolhendo	 dois	 valores	 de	 quantidade	 demandada,	 digamos,	
 1.000 x = 	e	 10.000x = ,	calculamos	os	correspondentes	preços,	
de	acordo	com	a	tabela	a	seguir	e,	logo	após,	desenhamos	o	grá-
fico:
0,01 110y x= − +
x (quant.) y (preço)
1.000 100
10.000 10
Figura	37	Gráfico da função demanda.
© Matemática158
Exemplo 2
Dizemos	que,	para	quantidades	que	não	excedam	sua	capa-
cidade	de	produção,	o	dono	da	confecção	de	camisas	do	exemplo	
anterior	tenha	estipulado	que	a	relação	entre	a	quantidade	 x 	de	
camisas,	as	quais	ele	oferecerá	a	cada	possível	preço	 ,y 	seja	dada	
pela	função	 0,01 10y x= − .	Com	base	nessas	informações,	esboce	
o	gráfico	dessa	função.
Solução: 
A	função	 0,01 10y x= − 	também	é	do	1º	grau.	Seu	gráfico	é	
uma	reta	e	para	desenhá-la,	precisamos	de	dois	pontos.	Escolhen-
do	 dois	 valores	 de	 quantidade	 ofertada,	 digamos,	 2.000 x = 	 e	
 10.000,x = 	 calculamos	 os	 correspondentes	 preços,	 obtendo	 a	
tabela	e	o	gráfico	a	seguir:
1001,0 −= xy
x (quant.) y (preço)
2.000 10
10.000 90
Figura	38	Gráfico da	função oferta.
Exemplo 3
Obtenha	o	ponto	de	equilíbrio	para	as	funções	de	demanda	
e	oferta	referentes	aos	exemplos	citados	anteriormente.
Solução gráfica:
Desenhando	os	dois	gráficos	anteriores,	num	mesmo	siste-
ma	de	coordenadas,	podemos,	pela	leitura	deles,	obter	a	quanti-
159
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© U3 - Funções
dade	de	equilíbrio	 igual	a	 6.000 	camisas	e	o	preço	de	equilíbrio	
igual	a	R$ 50,00 	por	unidade.
Figura	39	Gráfico da função oferta x função demanda.
Solução analítica:
Resolvendo	o	sistema	linear	no	qual	cada	uma	das	equações	
é	a	expressão	que	define	a	oferta	e	a	demanda,	temos:
0,01 110
0,01 10
y x
y x
= − +
 = − 	
Como	você	pôde	perceber,	obtemos	o	mesmo	resultado	an-
terior: 6.000 x = camisas;	 $ 50,00 y R= 	por	unidade.	
Exemplo 4 
Uma	empresa	estima	que	a	 função	demanda	de	mercado,	
para	um	de	seus	produtos,	é	dada	por	 0,02 80,y x= − + 	em	que	
x 	é	a	quantidade	demandada	e	 y 	é	o	preço.	Com	base	nessas	
afirmações,	responda:	
© Matemática160
a)	 Qual	é	o	nível	de	preço	para	uma	quantidade	demanda-
da	de	 1.500 	unidades?
b)	 Qual	a	expectativa	da	demanda	se	o	preço	for	fixado	em	
R$ 30,00?
Solução:
a)	 Basta	substituir	a	quantidade	demandada	 1.500 x = 	na	
equação	e	obter:
0,02 1.500 80 50y x= − + =
Assim,	para	uma	demanda	de	1.500 unidades,	o	preço	é	
R$ 50,00. 	
b)	 Substituindo	na	equação	o	preço	 y 	por	 R$ 30,00, 	cal-
culamos	a	expectativa	de	deman-
da:
30 0,02 80x= − ⋅ + ⇒ 	0,02 80 30x⋅ = − ⇒
0,02 50x⋅ = ⇒ 	
50 2500
0,02
x = =
	
Exemplo 5
Na	mesma	empresa	do	exercício	anterior	e	para	o	mesmo	pro-
duto,	estimou-se	que	a	função	oferta	seja	dada	por	 0,01 20,y x= + 	
em	que	 x 	é	a	quantidade	demandada	e	 y 	é	o	preço.
a)	 A	partir	de	que	preço	haverá	oferta?
b)	 Qual	o	preço	para	uma	oferta	de	1.500 	unidades?
c)	 Qual	 a	 expectativa	 da	oferta	 se	o	 preço	 for	 fixado	 em	
R$ 50,00 ?
Solução:
Sabemos	que,	nas	funções	oferta	e	demanda,	a	quanti-
dade	ofertada	deve	ser	positiva	e	que	o	preço	também	
deve	ser	um	valor	positivo.	
161
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© U3 - Funções
Assim,	impondo	 0 x > 	na	equação	 0,01 20= ⋅ +y x ,	aexpressão	0,01 20x⋅ + 	fica	maior	do	que	 20 20,y⇒ > 	
ou	seja,	haverá	oferta	para	o	preço	a	partir	de	R$ 50,00. 	
Substituindo	na	equação	 1.500x = ,	calculamos	o	valor	
de	 ,y 	obtendo:	 0,01 1500 20y = × + ⇒ 	 15 20 35.y = + = 	
Dessa	 forma,	para	oferta	de	1.500 	unidades,	o	preço	é	
R$ 35,00. 	
Basta	substituir	na	equação	o	valor	de	 50y = 	e	calcular	
o	valor	de	 :x 	
50 0,01 20x= ⋅ + ⇒ 	50 20 0,01 x− = ⋅ ⇒ 	0,01 30x⋅ = 	
30 3000
0,01
x⇒ = = .
Função custo, função receita e função lucro
Vamos	examinar,	agora,	os	seguintes	problemas:	custo	asso-
ciado	à	produção	de	uma	utilidade	qualquer,	receita	gerada	pela	
comercialização	dessa	utilidade	e	o	lucro	resultante	da	produção	e	
comercialização	do	produto.	
Sendo	x	a	quantidade	produzida	dessa	utilidade,	podem	ser	
definidos:
•	 O custo ( )C de	produção,	que,	em	geral,	é	dividido	em	
duas	parcelas:	uma	representa	os	custos	que	não	depen-
dem	da	quantidade	produzida,	tais	como	aluguel,	seguros	
etc.,	sendo	essa	parcela	chamada	de	custo	fixo	 ( );fC 	a	
outra	parcela	depende	da	produção	x, como,	por	
exemplo,	 matéria-prima,	 transporte,	 armazenamento	
etc.,	 sendo	 chamada	 de	 custo	 variável	 ( ).vC 	 Assim,	
( ) ( ) .f vC x C C x= + 	
•	 A	receita ( )R ,	que é	o	produto	da	quantidade	x	vendida	
pelo	preço	de	venda,	muitas	vezes	considerando	o	preço	
de	venda	constante	e	igual	a	p,	 ( ) . .R x p x= 	
© Matemática162
•	 O	lucro ( )L ,	que é	definido	como	a	diferença	entre	a	re-
ceita	e	o	custo.	
Assim,	se	cada	uma	dessas	quantidades	anteriores	for	rela-
cionada	com	a	quantidade	x	(produzida/vendida),	obteremos	a	se-
guinte	equação:	 ( ) ( ) ( )– .L x R x C x= 	
Em	muitas	situações,	as	funções,	mencionadas	anteriormen-
te,	são	do	1º	grau,	o	que	fica	evidenciado,	por	exemplo,	quando	
consideramos	que	o	custo	variável	é	obtido	pelo	produto	de	uma	
constante	K	(custo	unitário	médio	de	produção)	pela	quantidade	
produzida:	 ( ) .vC x K x= ⋅ 	
As	 figuras	 a	 seguir	mostram	 situações	 em	 que	 as	 funções	
custo	e	receita	são	do	1º	grau:
Figura	40	Gráfico da função custo e função receita.
Se	colocarmos	os	gráficos	da	função	custo	e	da	função	recei-
ta	num	mesmo	 sistema	de	 coordenadas	 cartesianas,	 os	 gráficos	
interceptam-se	num	ponto	N,	chamado	ponto de nivelamento.	
Para	sua	melhor	compreensão,	veja	a	ilustração	na	figura	a	
seguir:	
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© U3 - Funções
Figura	41	Gráfico da função custo x função receita – ponto de nivelamento.	
O	ponto	de	nivelamento	 0 0( , )N x y= 		é	um	ponto	em	que	a	
receita	e	o	custo	são	iguais	e,	consequentemente,	o	lucro	é	zero.
Se	 0 ,x x> 	a	receita	será	maior	do	que	o	custo,	e,	portanto,	o	
lucro	é	positivo,	sendo	chamado	somente	de	lucro.
Se	 0 ,x x< 	a	receita	será	menor	do	que	o	custo	e,	portanto,	o	
lucro	é	negativo;	nesse	caso,	chamado	de	prejuízo.	
Em	determinadas	situações,	pode-se	considerar	o	preço	de	
venda	variável,	oscilando	de	acordo	com	a	função	de	demanda.	
Exemplo:
Numa	empresa,	estima-se	que,	para	a	produção	e	comercia-
lização	de	x	unidades	de	determinada	utilidade,	a	função	demanda	
e	a	função	custo	de	produção	sejam	dadas,	respectivamente,	por:
•	 Demanda:	 20 2p x= − ,	em	que	p	é	o	preço	(em	R$)	asso-
ciado	à	quantidade	demandada	x.
•	 Custo:	 ( ) 5 ,C x x= + 	em	que	o	valor	“5”	é	o	custo	fixo	(em	
© Matemática164
R$),	e	o	custo	unitário	de	produção	é	igual	a	R$ 1,00. 	
Nessas	condições,	a	função	receita	resultará	em	uma	função	
do	2º	grau:
( )R x p x= ⋅ ⇒ 	 ( ) ( )20 2R x x x= − ⋅ ⇒ 	 ( )
220 2R x x x= −
Portanto,	a	função	lucro,	nesse	caso,	será	também	uma	fun-
ção	do	2º	grau:
( ) ( ) ( )L x R x C x= − ⇔ 	 ( ) ( ) ( )
220 2 5L x x x x= − − + ⇔
	
( ) 220 2 5L x x x x= − − − 	ou	 ( ) 22 19 5L x x x= − + − 	
Depreciação
Depreciação	é	outro	exemplo	de	aplicação	das	funções	do	1º	
grau	na	economia,	sendo	relacionado	com	a	descrição	do	fenôme-
no	da	perda	do	valor	de	um	equipamento,	em	razão	do	desgaste	e	
de	outros	fatores	decorrentes	do	uso.	
É	comum	admitir	que	a	curva	que	descreve	esse	fenômeno	
ao	longo	do	tempo	seja	uma	reta;	nesse	caso,	chamamos	isso	de	
depreciação linear.	
Por	exemplo,	suponhamos	que	o	valor	de	uma	máquina	hoje	
seja	 R$ 5.000,00 	e	estima-se	que	daqui	a	cinco	anos	seu	valor	
(depreciado)	 seja	 R$ 1.000,00. 	 Admitindo-se	 um	 processo	 de	
depreciação	 linear,	essa	situação	pode	ser	descrita	graficamente	
pela	figura	a	seguir:
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Figura	42	Gráfico da função depreciação.
11. QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS 
Confira,	a	seguir,	as	questões	propostas	para	verificar	o	seu	
desempenho	no	estudo	desta	unidade:
1)	 Expresse	por	meio	de	uma	fórmula	matemática	a	função	 ,f 	cujo	domínio	e	
o	contradomínio	sejam	o	conjunto	dos	números	reais,	sabendo	que,	para	
cada	número	real	 x ,	se	associa	o	seu	triplo	somado	a	5.
2)	 Uma	empresa	presta	serviços	de	manutenção	elétrica	e	cobra	uma	taxa	fixa	
de	visita	de	 R$ 25,00 	acrescida		de	 R$ 18,50 	por	hora	de	mão	de	obra.	
Determine	uma	expressão	matemática	que	abranja	a	lei	para	essa	função.	
3)	 A	Organização	Mundial	da	Saúde	(OMS)	recomenda	que	cada	cidade	tenha	
no	mínimo	
214 m 	de	área	verde	por	habitante.	A	área	verde	mínima	y	de	
uma	cidade	é	dada	em	função	do	número	x	de	habitantes.	Escreva	a	fórmula	
matemática	que	expresse	a	lei	dessa	função.
4)	 Um	comerciante	vende	um	produto	por	 R$ 1,20 	a	unidade.	O	custo	total	
do	produto	é	composto	de	uma	taxa	fixa	de	R$ 15,00 	mais	o	custo	de	pro-
dução	de	 R$ 0,15 	por	unidade.	Pede-se:
a)	 Qual	o	número	de	unidades	que	o	comerciante	deve	vender	para	não	ter	
lucro	nem	prejuízo?
b)	 Se	vender	150	unidades	desse	produto,	o	comerciante	terá	lucro	ou	pre-
juízo?
5)	 Na	tabela	a	seguir,	observa-se	que	o	preço p	de	um	produto	varia	de	acordo	
com	a	quantidade	q	(consumida/produzida).
© Matemática166
Quantidade	
(q)
3 7 11 14
Preço (p) 24 16 8 2
a)	 Determine	a	expressão	que	relaciona	preço	e	quantidade.	
b)	 Determine	o	preço	para	uma	quantidade	de	9.
6)	 Uma	empresa	produz	um	único	produto	com	um	custo	fixo	de	 R$ 600,00 	
e	com	um	custo	variável	médio	de	 R$ 10,00 	por	unidade.	O	produto	é	
vendido	a	 R$ 25,00 	por	unidade.
a)	 Expresse	o	custo	total	 ( ) CT 	em	função	da	quantidade	 ( )q 	produzida.	
b)	 Expresse	a	receita	 ( )R 	em	função	da	quantidade	 ( )q 	vendida.	
c)	 Expresse	o	lucro	 ( )L 	em	função	da	quantidade	 ( )q 	vendida.
d)	 Qual	a	quantidade	 ( )q de	equilíbrio?	
e)	 Qual	o	ponto	de	equilíbrio?
f)	 Para	quais	valores	de	quantidade	a	empresa	terá	lucro?	Para	quais	valo-
res	de	quantidade	a	empresa	terá	prejuízo?	
Gabarito 
Confira,	a	seguir,	as	respostas	corretas	para	as	questões	au-
toavaliativas	propostas:
1)	 		 3 5x +
2)	 	 ( ) 18,50 25f h h= +
3)	 	 14y x=
4)	
a)	 	14,28
b)	 	lucro
5)	 	
a)	 	 2 30p q= − +
b)	 	 12p =
6)	
a)	 	 600 10CT q= +
b)	 	 25R q=
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© U3 - Funções
c)	 	 15 600L q= −
d)	 	 40
e)	 (40, 1000)
f)	 Produção	menor	do	que	40	unidades	 causará	prejuizo.	Para	produção	
igual	a	40	unidades, não haverá	lucro,	nem	prejuízo;	já	a	produção	maior	
do	que	40	unidades	dará	lucro.
12. CONSIDERAÇÕES
	Estudamos,	nesta	unidade,	importantes	conceitos	e	aplica-
ções	do	 custo	 associado	 à	 produção,	 da	 receita	 gerada	pela	 co-
mercialização	de	um	produto,	do	lucro	resultante	da	produção	e	
comercialização	dos	produtos	por	meio	do	estudo	de	 funções	e	
de	seus	gráficos.	Na	Unidade	4,	estudaremos	alguns	conceitos	de	
taxas	de	variação,	limites,	derivada	de	uma	função	e	algumas	apli-
cações.	
13. E-REFERÊNCIAS
INSTITUTO	 DE	 MATEMÁTICA,	 ESTATÍSTICA	 E	 COMPUTAÇÃO	 CIENTÍFICA.	 Proporções	
inversas.	 Disponível	 em:	 <http://www.ime.unicamp.br/~mfirer/inversas/proporcoes_
inversas.html>.Acesso	em:	17	maio	2011a.	
______.	 Proporções	 diretas.	 Disponível	 em:	 <http://www.ime.unicamp.br/~mfirer/
diretas/proporcoes_diretas.html>.	Acesso	em:	17	maio	2011b.	
14. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
DANTE,	Luiz	Roberto.	Matemática:	contexto	&	aplicações.	2.	ed.	São	Paulo:	Ática,	2000.
GIOVANNI,	J.	R.	Matemática 2º grau:	conjuntos,	funções,	trigonometria.	São	Paulo:	FTD,	
1994.
IMENES,	M.	C.	Proporções.	3.	ed.	São	Paulo:	Atual,	1992.
MORETTIN,	P.	A.;	et	al.	Cálculo:	 funções	de	uma	e	várias	variáveis.	São	Paulo:	Saraiva,	
2003.
TINOCO,	 L.	 A.	 A.	 (Coord.).	 Construindo o conceito de função.	 4.	 ed.	 Rio	 de	 Janeiro:	
Instituto	de	Matemática,	2002.
SILVA,	 S.	M.	 et	 al.	Matemática para os cursos de economia, administração e ciências	
contábeis.	São	Paulo:	Atlas,	1999.
 Claretiano - REDE DE EDUCAÇÃO