Modelagem de Sistemas Lineares

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Sala 1H102– Qui. 19:30 até 22:23 
Prof. Luciano Fonseca Chaves 
lfchaves@unisinos.br 
 
Engenharia Elétrica 
079014-Sistemas Lineares I 
 
Modelagem e Transformada de 
Laplace 
Aula 1 - Introdução 1 
Aula 3 - Modelagem 
 
– Exemplo 1: Sensores 
– Exemplo 2: Atuadores 
– Exemplo 3: Processos 
2 
• Modelagem 
 
– Conhecimento dinâmico do sistema 
• Conhecimento de cada uma das partes que o 
compõe 
– Motivação 
• Projeto de controladores de alto desempenho 
3 
No que consiste a modelagem? 
 
– Entendimento do comportamento 
– Com base em leis físicas 
– Descrição matemática 
– Combinação das equações de cada uma 
das partes do sistema 
 
4 
• Exemplo 1: Sensores 
 
– Sensor de temperatura do tipo PT100 
– Coeficiente de variação positivo (PTC) 
– Variação de Resistência 
– Variação de Temperatura 
5 
Resistência () Temperatura (oC) 
100.0 0 
100.1 1 
100.2 2 
100.3 3 
100.4 4 
100.5 5 
100.6 6 
100.7 7 
100.8 8 
100.9 9 
101.0 10 
: : 
: : 
109.9 99 
110.0 100 
Tabela ao lado: 
 
6 
01 RTKR(T) 
K1 em /
oC; 
R0 em . 
Representação em diagrama de blocos: 
7 
Temperatura 
0.1T + 100 
Resistência 
Elemento Primário 
Sensores em sistemas de controle: 
 
– Elemento primário 
– Circuito de instrumentação 
• Sinal de saída em corrente 
• Sinal de saída em tensão 
 
Porque? 
8 
9 
 Entenda e explique o princípio de 
funcionamento do circuito 
anterior. 
 
10 
Diagrama de blocos do sensor de 
temperatura 
11 
PT100 
Temperatura R(T) Circuito de 
Instrumentação 
Tensão(T) 
Tensão (V) Temperatura (oC)
 
0.0 0 
0.1 1 
0.2 2 
0.3 3 
0.4 4 
0.5 5 
0.6 6 
0.7 7 
0.8 8 
0.9 9 
1.0 10 
: : 
: : 
9.9 99 
10.0 100 
Tabela ao lado: 
12 
K2 em V/
oC. 
TKV(T) 2
• Exemplo 2: Atuadores 
 
– Dispositivo eletromecânico 
– Sistemas robotizados 
• Braços robóticos 
• Robôs de serviço 
13 
14 
15 
Sistemas 
Elétricos e 
Magnéticos 
Leis de Ohm, 
Kirchhoff, etc. 
Lei de Lens 
Sistema 
Mecânico 
Leis da Mecanica 
Newtoniana 
16 
 Reescrever as equações elétricas 
do motor Vra e VLa com base na 
corrente de armadura ia. 
17 
 Reescrever as equações 
mecânicas do motor TJ e TB com 
base na velocidade 
 angular do rotor. 
18 
 Representar o diagrama de blocos 
completo do motor DC, parte 
elétrica 
 e mecânica. 
19 
20 
 
– Exemplo 3: Processos 
 
– Diagramas em Bloco 
 
21 
• Exemplo 3: Processos 
22 
• Hipóteses: 
– Relação Linear 
• Vazões Q1(t) e Q2(t) 
• Alturas das colunas de líquido H1(t) e H2(t) 
– R1 e R2 resistências ao fluxo 
– A1 e A2 áreas uniformes 
23 
Equações fundamentais do processo: 
1
21
1
R
(t)H(t)H
(t)Q


2
2
2
R
(t)H
(t)Q 
24 
Equações dinâmicas do processo 
 
 







1
21
i
1
1
R
(t)H-(t)H
(t)Q
dt
(t)dH
A
2
2
1
212
2
R
(t)H
R
(t)H-(t)H
dt
(t)dH
A 






25 
Diagrama de simulação do processo 
26 
 Equações diferenciais lineares invariantes no tempo 
• Transformada de Laplace 
 )t(fLdte)t(f)s(F
0
st  


Equações algébricas em s 
Prever o comportamento graficamente 
27 
Equações Diferenciais
Lineares Invariantes
no Tempo
Transformada de
Laplace
Condições
Iniciais
Transformada
Inversa de
Laplace
Solução
Temporal
Esquema para solução de EDO (ODE) de processos LIT (LTI) 
28 
– Teorema da derivação real 
 
 
 
 
 
f(0) : condição inicial 
)0(f)s(sF)t(f
dt
d
L 





29 
– Generalização do teorema 
1n2n
2n1nn
n
)0(f)0(fs)0(fs)0(fs)s(Fs)t(f
dt
d
L

 









30 
– Para o processo dos tanques 
determinar: 
• H2(s)/H1(s) 
• H2(s)/Qi(s) 
• H1(s)/Qi(s) 
 
– Condições iniciais nulas 
31 
Operações de derivação no tempo 
dt
d
s 
Operações de integração no tempo 



t
0
dt
s
1
32 
– Função de Transferência: 
33 
Funções de variável complexa 
)}(Im{)}(Re{)(:
)(
)(
sFjsFsF
sU
sY

 js 
22 )}(Im{)}(Re{)( sFsFsF 






 
)}(Re{
)}(Im{
tan)( 1
sF
sF
sF
34 
Função complexa G(s) 
– Analítica em uma região do plano s 
• pontos ordinários 
• pontos singulares 
35 
– Obter o diagrama equivalente 
do sistema de tanques na 
página 3 do anexo da aula 5