Aula2_CKTIII_v2

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Sala 1H105 – Seg. 19:30 até 22:23 
Prof. Luciano Fonseca Chaves 
lfchaves@unisinos.br 
Engenharia Elétrica 
079008-Circuitos Elétricos III 
 
Funções Singulares 
Transformada de Laplace 
• Funções Singulares 
– Livro Texto (Sadiku) – Seção 7.4 
• Transformada de Laplace 
– Livro Texto (Sadiku) – Capítulo 15 
Resumo 
• Funções Singulares: 
– São funções matemáticas que servem para 
representar chaveamentos em circuitos elétricos, e 
por este motivo também são conhecidas por Funções 
de Chaveamento. 
– São especialmente úteis para descrever o 
comportamento transitório de circuitos elétricos, 
como por exemplo, a resposta ao degrau. 
Funções Singulares 
• Definição: 
 
Funções Singulares são funções 
descontínuas, ou que tem derivada 
descontínua. 
 
Funções Singulares 
• As três Funções Singulares mais 
utilizadas em Circuitos (e Sistemas 
Lineares) são: 
– Degrau Unitário: 
– Impulso Unitário: 
– Rampa Unitária; 
Funções Singulares 
• Degrau Unitário: vale zero para t<0 e 1 para t>0. A 
função degrau é indefinida para t=0. 
Funções Singulares 
• Função Degrau Deslocada: se a transição 
abrupta de ocorrem em t = t0, então u(t) está deslocada 
de t0 segundos. 
 
 
 
 
 
 
 Degrau Atrasado Degrau Adiantado 
Funções Singulares 
• Função degrau Exercícios: 
1) Determine a representação matemática 
da função degrau apresentada abaixo. 
Funções Singulares 
t0 
K 
t 
Resposta: Ku(to-t) 
Funções Singulares 
2π
y=sinx, x∊Ry
x
A
O
• Exercício (Exemplo 12.1 Nilsson): Utilize a função degrau para 
descrever a função apresentada abaixo. 
 
Funções Singulares 
1 2 3 4 t
2
-2
• Exercício (Problema 12.2 Nilsson): Determine a expressão da 
função abaixo utilizando a função degrau. 
Funções Singulares 
-9 -6 -3 0 3 6 9 t
15
-15
Funções Singulares 
Funções Singulares 
Funções Singulares 
• Função Impulso deslocada no tempo e 
escalonada: 
 
Funções Singulares 
• Propriedade Importante da Função 
Impulso: 
 
 
 
 Represente graficamente o 
significado da propriedade acima! 
Funções Singulares 
Funções Singulares 
• Função Rampa: 
– Apresenta uma taxa de variação constante no 
tempo (decliviade); 
– Quando a declividade é unitária, tem-se uma 
Função Rampa Unitária. 
 
Funções Singulares 
• Função Rampa Deslocada no Tempo 
Funções Singulares 
• Relações Entre as Funções Singulares 
Funções Singulares 
• Exercícios Propostos 
– Nilsson: 12.1, 12.2, 12.3, 12.4 
– Sadiku: Exemplos 7.6, 7.7, 7.8, 7.9 ; 
Problemas 7.7, 7.8, 7.9; Exercícios: 7.22, 
7.23, 7.24, 7.25, 7.26, 7.27, 7.28. 
 
 
Funções Singulares 
• Permite a análise de circuitos (Sistemas 
Lineares) considerando entradas 
senoidais (Circuitos II) e entradas não-
senoidais. 
• Filosoficamente equivalente a análise 
fasorial desenvolvida em CKTs II: 
Transformada de Laplace 
Tempo Frequência Tempo 
• Características Importantes da 
Transformada de Laplace 
– Pode ser empregada em uma ampla gama de sinais 
de entrada, diferentemente da Análise Fasorial; 
– Permite resolver equações diferenciais com 
condições iniciais não nulas de maneira mais 
simples, uma vez que utiliza somente equações 
algébrigas; 
– Consiste em uma ferramenta unificada para se obter 
a resposta completa de Circuitos (Sistemas 
Lineares). 
Transformada de Laplace 
• Definição: Consiste em uma transformação 
integral que leva uma função no domínio do 
tempo, f(t), para o domínio das Frequências 
Complexas, F(s). 
 
 
onde 
 
Transformada de Laplace 
• Transformação inversa de Laplace 
Transformada de Laplace 
• Exercícios de Revisão de Transformada 
de Laplace (Sadiku): 
– Exemplos 15.1 e 15.2; 
– Problemas Práticos : 15.1 e 15.2. 
Transformada de Laplace 
• Propriedades: 
– O entendimentos das propriedades permite 
obter-se a transformada de Laplace sem 
resolver-se explicitamente a integral de 
transformação. 
Transformada de Laplace 
Transformada de Laplace 
Transformada de Laplace 
Transformada de Laplace 
Transformada de Laplace 
Prove a propriedade acima! 
Dica: integração por partes. 
Transformada de Laplace 
Transformada de Laplace 
• Periodicidade no Tempo (cont.): 
Transformada de Laplace 
• Teorema do Valor Inicial: 
 
 
 
• Teorema do Valor Final: 
Transformada de Laplace 
1)Calcule a transformada de Laplace de 
𝑓 𝑡 = 5 − 5𝑒−2𝑡 1 + 2𝑡 
Resposta: 𝐹 𝑠 =
20
𝑠 𝑠2+4𝑠+4
 
2) Calcule a transformada de Laplace de 
𝑓 𝑡 = 10𝑒−4𝑡 20𝑡 + 36,9° 
Resposta: 𝐹 𝑠 =
8𝑠−88
𝑠2+8𝑠+416
 
3) Calcule a transformada de Laplace de 
𝑓 𝑡 = 2𝛿 𝑡 + 3 + 4𝑢(𝑡) 
Resposta: 𝐹 𝑠 =
2𝑠+7
𝑠
 
 
Exercícios 
ℒ 𝑓 𝑡 − 𝜏 𝑢(𝑡 − 𝜏) = 𝑓 𝑡 − 𝜏 𝑢(𝑡 − 𝜏)𝑒−𝑠𝑡
∞
0
𝑑𝑡 
Fazendo 𝑡 − 𝜏 = 𝑥 
ℒ 𝑓 𝑡 − 𝜏 𝑢(𝑡 − 𝜏) = 𝑓 𝑥 𝑢(𝑥)𝑒−𝑠(𝑥+𝜏) 
∞
0
𝑑𝑥 
 𝑓 𝑥 𝑢(𝑥)𝑒−𝑠(𝑥+𝜏) 
∞
0
𝑑𝑥 = 𝑒−𝑠𝑡 𝑓 𝑥 𝑒−𝑠𝑥 
∞
𝑡
𝑑𝑥 = 𝑒−𝑠𝑡𝐹(𝑠) 
 
 
 
 
Transformada de Laplace de Uma 
Função Deslocada no Tempo 
𝑓 𝑡 − 𝜏 𝑢(𝑡 − 𝜏) 𝑒−𝑠𝑡𝐹(𝑠) 
• Determine a Transformada de Laplace 
dos sinais h(t) e k(t) abaixo: 
 
 
 
Resp.:𝐻 𝑠 =
1,5 1−𝑒−10𝑠
𝑠2
−
15
𝑠
𝑒−10𝑠 Resp.:
1,5(1−𝑒−10𝑠−2𝑒−15𝑠+2𝑒−20𝑠)
𝑠2
 
 
Exercícios 
t 10 
15 
h(t) 
15 
10 15 20 t 
k(t)