Aula 7 de Resistência dos Materiais Online - digitada

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS • AULA 7
(LEI DE HOOKE – CASOS ESPECIAIS)
INTRODUÇÃO
Introduziremos a nossa aula dizendo que as tensões não são vetores. Isso pode ser confuso, porque é comum representarmos as tensões por setas, da mesma forma que representamos os vetores de força. 
Em vez disso, as tensões são quantidades muito mais complexas do que os vetores e, na matemática são chamadas de tensores. Outras grandezas tensoriais, na mecânica, são as deformações e os momentos de inércia.
Nesta aula, iremos analisar a Lei de Hooke Generalizada para material isotrópico e homogêneo e verificaremos a Lei de Hooke para estados planos de tensão e deformação para material isotrópico.
LEI DE HOOKE GENERALIZADA
Após analisarmos os ensaios de tração e torção, verifica-se que foram introduzidas três constantes elásticas, que são características do material: E, G e v. Podemos demonstrar que apenas duas destas constantes elásticas são independentes, conforme mostra a equação abaixo.
Dessa forma, resumem-se as relações tensões deformações na equação matricial que segue, conhecida como Lei de Hooke Generalizada.
Esquematizando, temos:
LEI DE HOOKE PARA ESTADOS PLANOS DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO
Devemos limitar o nosso estudo a materiais que atendam a duas importantes condições: o material é uniforme ao longo do corpo e tem as mesmas propriedades em todas as direções (homogêneo e isotrópico), além disso, o material é elástico linear, portanto a lei de Hooke é aplicável.
Sob essas condições, podemos prontamente obter as relações entre as tensões e as deformações no corpo. Vamos considerar as deformações normais Єx ,Єy e Єz em tensão plana. As deformações podem ser expressas em termos das tensões, como mostrado na figura a seguir, sobrepondo os efeitos das tensões individuais.
Sabendo que a tensão de cisalhamento τxy não produz nenhuma deformação normal nas direções x, y e z. Dessa forma, a deformação resultante na direção x é dada por:
Analogamente, nas direções x e y, temos:
Estas equações podem ser usadas para encontrar as deformações normais (em tensão plana) quando as tensões são conhecidas.
As equações supracitadas podem ser resolvidas simultaneamente para as tensões em termos das deformações:
Complementando, temos a equação para tensão de cisalhamento em termos da deformação de cisalhamento:
As equações (I), (II) e (III) podem ser usadas para encontrar as tensões (em tensão plana) quando as deformações forem conhecidas. Logicamente, a tensão normal σz na direção z é igual a zero.
As equações que foram apresentadas anteriormente são conhecidas coletivamente como a Lei de Hooke para tensão plana.
ATIVIDADE PROPOSTA
Considere o diagrama tensão-deformação para o aço doce mostrado na figura abaixo. Sabendo que no diagrama, σ1p=240 MPα єlp=0,0012 mm/mm., determine o módulo de elasticidade deste elemento.
RESPOSTA: