Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
46 ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR CAPÍTULO 6 TRANSFORMAÇÃO LINEAR Definição: Sejam V e W espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K. Uma função WV:T → é uma transformação linear se: a) Vv,v,)v(T)v(T)vv(T 212121 ∈∀+=+ b) KeVv,)v(T)v(T ∈α∀∈∀α=α Exemplo (1): Seja 23:T ℜ→ℜ definida por )zy2,zx()z,y,x(T −+= . Mostre que T é uma transformação linear. Solução: a) Sejam 322221111 )z,y,x(ve)z,y,x(v ℜ∈== . Então: )zz,yy,xx(T)]z,y,x()z,y,x[(T)vv(T 21212122211121 +++=+=+ ⇒ ))zz()yy(2,zzxx()vv(T 2121212121 +−++++=+ ⇒ )zzy2y2,zzxx()vv(T 2121212121 −−++++=+ ⇒ )zy2,zx()zy2,zx()vv(T 2222111121 −++−+=+ ⇒ )v(T)v(T)z,y,x(T)z,y,x(T)vv(T 2122211121 +=+=+ b) Sejam ℜ∈α∀ℜ∈=∀ e)z,y,x(v 3 . Então: )zy2,zx()z,y,x(T)]z,y,x([T)v(T α−αα+α=ααα=α=α ⇒ )v(T)z,y,x(T)zy2,zx()v(T α=α=−+α=α OBS: 1) Sejam WV:0 → a aplicação nula definida por O(v)=0, ∀v∈V e WV:Id → a aplicação identidade definida por v)v(Id = , ∀v∈V. A aplicação nula e a aplicação identidade são transformações lineares. Deixamos a cargo do leitor a demonstração dessas afirmações. 2) Seja WV:T → uma transformação linear. Se V = W, ou seja, VV:T → , então T é chamada de um operador linear. 3) Seja WV:T → uma transformação linear. Então V é chamado de espaço de saída e W é chamado de espaço de chegada da transformação. 47 Exemplo (2): Seja 32:T ℜ→ℜ definida por )2,y,x()y,x(T = . Mostre que T não é uma transformação linear. Solução: Sejam 2222111 )y,x(ve)y,x(v ℜ∈== . Então: )yy,xx(T)]y,x()y,x[(T)vv(T 2121221121 ++=+=+ ⇒ )v(T)v(T)0,y,x()2,y,x()2,yy,xx()vv(T 212211212121 +≠+=++=+ Portanto T não é transformação linear. 1 PROPRIEDADES DAS TRANSFORMAÇÕES LINEARES Qualquer que seja a transformação linear WV:T → , são válidas as seguintes propriedades: P1) 0)0(T = P2) )v(T)v(T)vv(T 2121 −=− P3) ∑∑ == α= α n 1i ii n 1i ii )v(TvT OBS: É interessante notar que podemos definir uma transformação linear entre quaisquer dois espaços vetoriais, inclusive com dimensões diferentes. Assim, por exemplo, podemos transformar matrizes em vetores do 3ℜ , vetores do 4ℜ em polinômios, etc. (exemplo 3). Um fato muito importante é conseguirmos construir uma transformação linear a partir de algumas condições iniciais (exemplo 4). Exemplo (3): Seja − + =++ 211 21o2 21o aaa aaa)tataa(T . Mostre que a aplicação )(M)(P:T 2x22 ℜ→ℜ é uma transformação linear. Solução: a) Sejam )(Ptbtbb)t(petataa)t(p 2221o2221o1 ℜ∈++=++= . Então: ( ) )tbtbbtataa(T)t(p)t(pT 221o221o21 +++++=+ ⇒ ( ) )]t)ba(t)ba()ba[(T)t(p)t(pT 22211oo21 +++++=+ ⇒ ( ) −−++ ++++ =+ 221111 221o1o 21 bababa babbaa)t(p)t(pT ⇒ 48 ( ) − + + − + =+ 211 21o 211 21o 21 bbb bbb aaa aaa)t(p)t(pT ⇒ ( ) ( ) ( ))t(pT)t(pT)t(p)t(pT 2121 +=+ b) Sejam ℜ∈α∀ℜ∈++=∀ e)(Ptataa)t(p 2221o . Então: ( ) α−αα αα+α =α+α+α=α 211 21o2 21o aaa aaa)tataa(T)t(pT ⇒ ( ) ( ))t(pT aaa aaa)t(pT 211 21o α= − + α=α Exemplo (4): Seja uma transformação linear )(P:T 23 ℜ→ℜ tal que t32)1,1,1(T −= , 2tt1)0,1,1(T −+= e 2t2t)0,0,1(T += . Determine a expressão da T. Solução: Como )(P:T 23 ℜ→ℜ , então a T é aplicada em vetores do ℜ3 e transforma-os em polinômios de grau menor ou igual a 2. Para construirmos a expressão da )z,y,x(T temos que conhecê-la aplicada nos vetores de uma base do seu espaço de saída. Como o conjunto )}0,0,1(),0,1,1(),1,1,1{(B = é uma base do ℜ3 e, pelas informações do enunciado, T aplicada nos vetores da base B são valores conhecidos . Vamos escrever um vetor genérico do ℜ3 como combinação linear da base B: = += ++= ⇒++= az bay cbax )0,0,1(c)0,1,1(b)1,1,1(a)z,y,x( ⇒ −= −= = yxc zyb za ⇒ )0,0,1)(yx()0,1,1)(zy()1,1,1(z)z,y,x( −+−+= . Vamos aplicar a transformação em ambos os lados da igualdade. Então: )0,0,1(T)yx()0,1,1(T)zy()1,1,1(zT)z,y,x(T −+−+= ⇒ )t2t)(yx()tt1)(zy()t32(z)z,y,x(T 22 +−+−+−+−= ⇒ 2t)y2x2zy(t)yxzyz3()zyz2()z,y,x(T −++−+−+−+−+−+= ⇒ 2t)zy3x2(t)z4x()zy()z,y,x(T +−+−++= . Esta é a transformação procurada. 49 2 NÚCLEO E IMAGEM Definição: Seja WV:T → uma transformação linear. O Conjunto Imagem da T, denotado por Im(T), é definido como sendo }w)v(TcomVv/Ww{)TIm( =∈∃∈= . Definição: Seja WV:T → uma transformação linear. O Núcleo da T, denotado por Ker(T), é definido como sendo }0)v(T/Vv{)T(Ker =∈= . OBS: Do inglês: kernel = núcleo. Daí a notação Ker(T). Teorema (1): Seja WV:T → uma transformação linear. Então: a) )T(Ker é subespaço de V. b) )TIm( é subespaço de W. Exemplo (5): Seja )db,ca,c3b5a2( dc ba T ++−−= . Determine )T(Kere)TIm( . Qual a dimensão da imagem e do núcleo? Solução: Temos uma transformação 32x2 )(M:T ℜ→ℜ . Isso significa que 3)TIm( ℜ⊂ e )(M)T(Ker 2x2 ℜ⊂ . Seja )T(Kerdc ba ∈ . Por definição, )0,0,0( dc ba T = ⇒ =+ =+ =−− ⇒=++−− 0db 0ca 0c3b5a2 )0,0,0()db,ca,c3b5a2( ⇒ = −= −= dc db da . Assim: T V Ker(T) v v W Im(T) 0 T(v)=w 50 ℜ∈∀=−==ℜ∈ = d,dcedba/)(M dc ba)T(Ker 2x2 . Vamos achar uma base para o núcleo. Temos que )T(Ker dd dd ∈ −− ⇒ −− ⋅= −− 11 11 d dd dd . Então −− = 11 11 B é base do Ker(T) ⇒ 1)T(Kerdim = . Seja )TIm()z,y,x( ∈ . Como T leva toda matriz de )(M 2x2 ℜ em um vetor da imagem, a própria definição da T já mostra como são os vetores da imagem. Então: )TIm()db,ca,c3b5a2( ∈++−− . Vamos achar uma base para a imagem. Temos que: )1,0,0(d)0,1,3(c)1,0,5(b)0,1,2(a)db,ca,c3b5a2( +−+−+=++−− ⇒ )}1,0,0(),0,1,3(),1,0,5(),0,1,2{(S −−= é um sistema de geradores para Im(T). Escalonando: → − − 000 100 250 012 100 013 105 012 . Então )}1,0,0(),2,5,0(),0,1,2{('B = é base da Im(T) ⇒ 3)TIm(dim = 3 OPERAÇÕES COM TRANSFORMAÇÕES LINEARES 1) Adição Sejam WV:GeWV:F →→ duas transformações lineares, com V e W espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K. Definimos como soma da F mais a G a aplicação WV:GF →+ tal que Vv),v(G)v(F)v)(GF( ∈∀+=+ . Proposição (1): Sejam WV:GeWV:F →→ duas transformações lineares. Então GF + é uma transformação linear. Propriedades: Sejam WV:HeWV:G,WV:F →→→ transformações lineares. Então: P1) Comutativa: FGGF +=+ 51 P2) Associativa: H)GF()HG(F ++=++ P3) Elemento Neutro: Existe a transformação nula WV:N → tal que Vv,0)v(N ∈∀= que é o elemento neutro da adição pois FFNNF =+=+ . P4) Elemento Oposto: Existe a transformação oposta WV:)F( →− que é o elemento oposto da adição tal que NF)F()F(F =+−=−+ . 2) Subtração Sejam WV:GeWV:F →→ duas transformações lineares, com V e W espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K. Definimos como subtração da F menos a G a aplicação WV:GF →− tal que Vv),v(G)v(F)v)(GF( ∈∀−=− . Proposição (2): Sejam WV:GeWV:F →→ duas transformações lineares. Então GF − é uma transformação linear. OBS: A operação de subtração não possui propriedade alguma. No entanto, a subtração é interpretada da seguinte forma: )G(FGF −+=− , ou seja, a subtração deF com a G é igual a adição de F com a oposta da G. 3) Produto por Escalar Sejam WV:F → uma transformação linear, com V e W espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K e K∈α∀ . Definimos com sendo o produto do escalar de α pela transformação F a aplicação WV:)F( →α tal que Vv),v(F)v)(F( ∈∀α=α . Proposição (3): Sejam WV:F → duas transformações lineares e K∈α∀ . Então )F(α é uma transformação linear. Propriedades: Sejam WV:GeWV:F →→ transformações lineares e K, ∈βα∀ . Então: P1) F)()F()F( αβ=αβ=βα P2) GF)GF( α+α=+α P3) FFF)( β+α=β+α P4) FF1 =⋅ 52 4) Composição de Transformações Lineares Sejam WU:GeUV:F →→ duas transformações lineares onde V, U e W são espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K. Definimos com sendo a composição de G com F, denotado por FG � , a aplicação WV:FG →� tal que ))v(F(G)v)(FG( =� , Vv ∈∀ . Proposição (4): Sejam WU:GeUV:F →→ duas transformações lineares. Então FG � é uma transformação linear. Propriedades: P1) Não vale a comutativa: GFFG �� ≠ Sejam VV:HeVV:G,VV:F →→→ operadores lineares do mesmo espaço V. Então: P2) Associativa: H)GF()HG(F ���� = P3) Elemento Neutro: Existe o operador identidade VV:Id → tal que v)v(Id = que é o elemento neutro para a composição de operadores lineares com FFIdIdF == �� . P4) Distributiva: • a esquerda: HFGF)HG(F ��� +=+ • a direita: FHFGF)HG( ��� +=+ P5) Elemento Inverso: Caso o operador F seja inversível(*) , então existe o operador linear VV:F 1 →− tal que IdFFFF 11 == −− �� . (*) As transformações lineares inversíveis serão estudadas no capítulo (7). FG � G F U W V v F(v) G(F(v))=(G°F)(v) 53 Exemplo (6): Dadas as transformações lineares: )x,yx,yx()y,x(F −+= , )zx,yx()z,y,x(G +−= e )y2x,y,yx2()y,x(H +−= . Determine: a) H2F3R += b) FG � c) FFF2 �= Solução: a) )y2x,y,yx2(2)x,yx,yx(3)y,x(H2)y,x(F3)y,x(R +−+−+=+= ⇒ )y4x2,y2,y2x4()x3,y3x3,y3x3()y,x(R +−+−+= ⇒ )y4x2x3,y2y3x3,y2x4y3x3()y,x(R +++−−++= ⇒ )y4x5,yx3,yx7()y,x(R +−−= b) )xyx,yxyx()x,yx,yx(G))y,x(F(G)y,x)(FG( +++−+=−+==� ⇒ )yx2,y2()y,x)(FG( +=� c) Como 32:F ℜ→ℜ não é possível determinar FFF2 �= . Exercícios Propostos 1) Seja )(M nxn ℜ o espaço vetorial da matrizes quadradas de ordem nxn e B uma matriz fixa deste espaço. Mostre que a aplicação )(M)(M:F nxnnxn ℜ→ℜ tal que )(MX,BX)X(F nxn ℜ∈∀= é um operador linear. 2) Sabendo que T é um operador linear do ℜ2 e que )2,1()1,0(Te)1,3()2,1(T =−= , determine a expressão de T(x,y). Resp: )y2x5,yx()y,x(T +−+= 3) Seja a transformação linear )tzx3,tz2yx2,zyx()t,z,y,x(T −+−+−−+= . Determine uma base e a dimensão para Im(T) e Ker(T). Resp: Base da Im(T) é 2)TIm(dim)}1,1,0(),3,2,1{( =⇒ ; Base do Ker(T) é 2)T(Kerdim)}4,1,0,1(),3,0,1,1{( =⇒−− 4) Determine um operador do ℜ3 cujo núcleo é a reta = = 0z x2y e a imagem é o plano 0zy2x =++ . Resp: )z,yx2,zy2x4()z,y,x(T +−−−= 5) Sendo )zx2,zyx()z,y,x(Ge)yx,yx,y2x3()y,x(T −+−=−+−= duas transformações lineares, determine a dimensão do )TG(Ker � e da )TGIm( � . Resp: 2)TGIm(dime0)TG(Kerdim == ��
Compartilhar