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Transformação Linear e Núcleo e Imagem

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46 
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR 
 
CAPÍTULO 6 
TRANSFORMAÇÃO LINEAR 
 
Definição: Sejam V e W espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K. Uma função WV:T → é 
uma transformação linear se: 
a) Vv,v,)v(T)v(T)vv(T 212121 ∈∀+=+ 
b) KeVv,)v(T)v(T ∈α∀∈∀α=α 
 
Exemplo (1): Seja 23:T ℜ→ℜ definida por )zy2,zx()z,y,x(T −+= . Mostre que T é 
uma transformação linear. 
Solução: a) Sejam 322221111 )z,y,x(ve)z,y,x(v ℜ∈== . Então: 
)zz,yy,xx(T)]z,y,x()z,y,x[(T)vv(T 21212122211121 +++=+=+ ⇒ 
))zz()yy(2,zzxx()vv(T 2121212121 +−++++=+ ⇒ 
)zzy2y2,zzxx()vv(T 2121212121 −−++++=+ ⇒ 
)zy2,zx()zy2,zx()vv(T 2222111121 −++−+=+ ⇒ 
)v(T)v(T)z,y,x(T)z,y,x(T)vv(T 2122211121 +=+=+ 
b) Sejam ℜ∈α∀ℜ∈=∀ e)z,y,x(v 3 . Então: 
)zy2,zx()z,y,x(T)]z,y,x([T)v(T α−αα+α=ααα=α=α ⇒ 
)v(T)z,y,x(T)zy2,zx()v(T α=α=−+α=α 
 
OBS: 1) Sejam WV:0 → a aplicação nula definida por O(v)=0, ∀v∈V e WV:Id → a 
aplicação identidade definida por v)v(Id = , ∀v∈V. A aplicação nula e a aplicação 
identidade são transformações lineares. Deixamos a cargo do leitor a demonstração 
dessas afirmações. 
2) Seja WV:T → uma transformação linear. Se V = W, ou seja, VV:T → , então T é 
chamada de um operador linear. 
3) Seja WV:T → uma transformação linear. Então V é chamado de espaço de saída e W 
é chamado de espaço de chegada da transformação. 
 
 47 
Exemplo (2): Seja 32:T ℜ→ℜ definida por )2,y,x()y,x(T = . Mostre que T não é uma 
transformação linear. 
Solução: Sejam 2222111 )y,x(ve)y,x(v ℜ∈== . Então: 
)yy,xx(T)]y,x()y,x[(T)vv(T 2121221121 ++=+=+ ⇒ 
)v(T)v(T)0,y,x()2,y,x()2,yy,xx()vv(T 212211212121 +≠+=++=+ 
Portanto T não é transformação linear. 
 
1 PROPRIEDADES DAS TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
 
Qualquer que seja a transformação linear WV:T → , são válidas as seguintes propriedades: 
P1) 0)0(T = 
P2) )v(T)v(T)vv(T 2121 −=− 
P3) ∑∑
==
α=





α
n
1i
ii
n
1i
ii )v(TvT 
 
OBS: É interessante notar que podemos definir uma transformação linear entre quaisquer dois 
espaços vetoriais, inclusive com dimensões diferentes. Assim, por exemplo, podemos 
transformar matrizes em vetores do 3ℜ , vetores do 4ℜ em polinômios, etc. (exemplo 3). 
Um fato muito importante é conseguirmos construir uma transformação linear a partir de 
algumas condições iniciais (exemplo 4). 
 
Exemplo (3): Seja 





−
+
=++
211
21o2
21o
aaa
aaa)tataa(T . Mostre que a aplicação 
)(M)(P:T 2x22 ℜ→ℜ é uma transformação linear. 
Solução: a) Sejam )(Ptbtbb)t(petataa)t(p 2221o2221o1 ℜ∈++=++= . Então: 
( ) )tbtbbtataa(T)t(p)t(pT 221o221o21 +++++=+ ⇒ 
( ) )]t)ba(t)ba()ba[(T)t(p)t(pT 22211oo21 +++++=+ ⇒ 
( ) 





−−++
++++
=+
221111
221o1o
21 bababa
babbaa)t(p)t(pT ⇒ 
 48 
( ) 





−
+
+





−
+
=+
211
21o
211
21o
21 bbb
bbb
aaa
aaa)t(p)t(pT ⇒ 
( ) ( ) ( ))t(pT)t(pT)t(p)t(pT 2121 +=+ 
b) Sejam ℜ∈α∀ℜ∈++=∀ e)(Ptataa)t(p 2221o . Então: 
( ) 





α−αα
αα+α
=α+α+α=α
211
21o2
21o
aaa
aaa)tataa(T)t(pT ⇒ 
( ) ( ))t(pT
aaa
aaa)t(pT
211
21o α=





−
+
α=α 
 
 
Exemplo (4): Seja uma transformação linear )(P:T 23 ℜ→ℜ tal que t32)1,1,1(T −= , 
2tt1)0,1,1(T −+= e 2t2t)0,0,1(T += . Determine a expressão da T. 
 
Solução: Como )(P:T 23 ℜ→ℜ , então a T é aplicada em vetores do ℜ3 e transforma-os em 
polinômios de grau menor ou igual a 2. Para construirmos a expressão da )z,y,x(T 
temos que conhecê-la aplicada nos vetores de uma base do seu espaço de saída. Como o 
conjunto )}0,0,1(),0,1,1(),1,1,1{(B = é uma base do ℜ3 e, pelas informações do 
enunciado, T aplicada nos vetores da base B são valores conhecidos . Vamos escrever um 
vetor genérico do ℜ3 como combinação linear da base B: 





=
+=
++=
⇒++=
az
bay
cbax
)0,0,1(c)0,1,1(b)1,1,1(a)z,y,x( ⇒ 





−=
−=
=
yxc
zyb
za
 ⇒ 
)0,0,1)(yx()0,1,1)(zy()1,1,1(z)z,y,x( −+−+= . Vamos aplicar a transformação 
em ambos os lados da igualdade. Então: 
)0,0,1(T)yx()0,1,1(T)zy()1,1,1(zT)z,y,x(T −+−+= ⇒ 
)t2t)(yx()tt1)(zy()t32(z)z,y,x(T 22 +−+−+−+−= ⇒ 
2t)y2x2zy(t)yxzyz3()zyz2()z,y,x(T −++−+−+−+−+−+= ⇒ 
2t)zy3x2(t)z4x()zy()z,y,x(T +−+−++= . Esta é a transformação 
procurada. 
 49 
2 NÚCLEO E IMAGEM 
 
Definição: Seja WV:T → uma transformação linear. O Conjunto Imagem da T, denotado por 
Im(T), é definido como sendo }w)v(TcomVv/Ww{)TIm( =∈∃∈= . 
 
Definição: Seja WV:T → uma transformação linear. O Núcleo da T, denotado por Ker(T), é 
definido como sendo }0)v(T/Vv{)T(Ker =∈= . 
 
OBS: Do inglês: kernel = núcleo. Daí a notação Ker(T). 
 
Teorema (1): Seja WV:T → uma transformação linear. Então: 
a) )T(Ker é subespaço de V. 
b) )TIm( é subespaço de W. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo (5): Seja )db,ca,c3b5a2(
dc
ba
T ++−−=





. Determine )T(Kere)TIm( . 
Qual a dimensão da imagem e do núcleo? 
Solução: Temos uma transformação 32x2 )(M:T ℜ→ℜ . Isso significa que 3)TIm( ℜ⊂ e 
)(M)T(Ker 2x2 ℜ⊂ . Seja )T(Kerdc
ba
∈





. Por definição, )0,0,0(
dc
ba
T =





 
⇒ 





=+
=+
=−−
⇒=++−−
0db
0ca
0c3b5a2
)0,0,0()db,ca,c3b5a2( ⇒ 





=
−=
−=
dc
db
da
. Assim: 
T 
V 
Ker(T) 
v 
v 
W 
Im(T) 
0 
T(v)=w 
 50 





 ℜ∈∀=−==ℜ∈





= d,dcedba/)(M
dc
ba)T(Ker 2x2 . Vamos achar uma 
base para o núcleo. 
Temos que )T(Ker
dd
dd
∈




 −−
⇒ 




 −−
⋅=




 −−
11
11
d
dd
dd
. Então 











 −−
=
11
11
B é base do Ker(T) ⇒ 1)T(Kerdim = . Seja )TIm()z,y,x( ∈ . 
Como T leva toda matriz de )(M 2x2 ℜ em um vetor da imagem, a própria definição da 
T já mostra como são os vetores da imagem. Então: 
 )TIm()db,ca,c3b5a2( ∈++−− . Vamos achar uma base para a imagem. Temos 
que: )1,0,0(d)0,1,3(c)1,0,5(b)0,1,2(a)db,ca,c3b5a2( +−+−+=++−− ⇒ 
)}1,0,0(),0,1,3(),1,0,5(),0,1,2{(S −−= é um sistema de geradores para Im(T). 
Escalonando: 












→












−
−
000
100
250
012
100
013
105
012
. Então )}1,0,0(),2,5,0(),0,1,2{('B = é 
base da Im(T) ⇒ 3)TIm(dim = 
 
3 OPERAÇÕES COM TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
 
1) Adição 
Sejam WV:GeWV:F →→ duas transformações lineares, com V e W espaços 
vetoriais sobre o mesmo corpo K. Definimos como soma da F mais a G a aplicação 
WV:GF →+ tal que Vv),v(G)v(F)v)(GF( ∈∀+=+ . 
 
Proposição (1): Sejam WV:GeWV:F →→ duas transformações lineares. Então GF + é 
uma transformação linear. 
 
Propriedades: 
Sejam WV:HeWV:G,WV:F →→→ transformações lineares. Então: 
P1) Comutativa: FGGF +=+ 
 51 
P2) Associativa: H)GF()HG(F ++=++ 
P3) Elemento Neutro: Existe a transformação nula WV:N → tal que Vv,0)v(N ∈∀= que é 
o elemento neutro da adição pois FFNNF =+=+ . 
P4) Elemento Oposto: Existe a transformação oposta WV:)F( →− que é o elemento oposto da 
adição tal que NF)F()F(F =+−=−+ . 
 
2) Subtração 
Sejam WV:GeWV:F →→ duas transformações lineares, com V e W espaços 
vetoriais sobre o mesmo corpo K. Definimos como subtração da F menos a G a aplicação 
WV:GF →− tal que Vv),v(G)v(F)v)(GF( ∈∀−=− . 
 
Proposição (2): Sejam WV:GeWV:F →→ duas transformações lineares. Então GF − é 
uma transformação linear. 
 
OBS: A operação de subtração não possui propriedade alguma. No entanto, a subtração é 
interpretada da seguinte forma: )G(FGF −+=− , ou seja, a subtração deF com a G é 
igual a adição de F com a oposta da G. 
 
3) Produto por Escalar 
Sejam WV:F → uma transformação linear, com V e W espaços vetoriais sobre o 
mesmo corpo K e K∈α∀ . Definimos com sendo o produto do escalar de α pela transformação F 
a aplicação WV:)F( →α tal que Vv),v(F)v)(F( ∈∀α=α . 
 
Proposição (3): Sejam WV:F → duas transformações lineares e K∈α∀ . Então )F(α é uma 
transformação linear. 
 
Propriedades: 
Sejam WV:GeWV:F →→ transformações lineares e K, ∈βα∀ . Então: 
P1) F)()F()F( αβ=αβ=βα 
P2) GF)GF( α+α=+α 
P3) FFF)( β+α=β+α 
P4) FF1 =⋅ 
 52 
4) Composição de Transformações Lineares 
Sejam WU:GeUV:F →→ duas transformações lineares onde V, U e W são 
espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K. Definimos com sendo a composição de G com F, 
denotado por FG � , a aplicação WV:FG →� tal que ))v(F(G)v)(FG( =� , Vv ∈∀ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Proposição (4): Sejam WU:GeUV:F →→ duas transformações lineares. Então FG � é 
uma transformação linear. 
 
Propriedades: 
P1) Não vale a comutativa: GFFG �� ≠ 
 
Sejam VV:HeVV:G,VV:F →→→ operadores lineares do mesmo espaço V. Então: 
P2) Associativa: H)GF()HG(F ���� = 
P3) Elemento Neutro: Existe o operador identidade VV:Id → tal que v)v(Id = que é o 
elemento neutro para a composição de operadores lineares com FFIdIdF == �� . 
P4) Distributiva: 
• a esquerda: HFGF)HG(F ��� +=+ 
• a direita: FHFGF)HG( ��� +=+ 
P5) Elemento Inverso: Caso o operador F seja inversível(*) , então existe o operador linear 
VV:F 1 →− tal que IdFFFF 11 == −− �� . 
(*) As transformações lineares inversíveis serão estudadas no capítulo (7). 
 
 
FG � 
G F U W V 
v F(v) G(F(v))=(G°F)(v) 
 53 
Exemplo (6): Dadas as transformações lineares: )x,yx,yx()y,x(F −+= , 
)zx,yx()z,y,x(G +−= e )y2x,y,yx2()y,x(H +−= . Determine: 
a) H2F3R += b) FG � c) FFF2 �= 
Solução: 
a) )y2x,y,yx2(2)x,yx,yx(3)y,x(H2)y,x(F3)y,x(R +−+−+=+= ⇒ 
)y4x2,y2,y2x4()x3,y3x3,y3x3()y,x(R +−+−+= ⇒ 
)y4x2x3,y2y3x3,y2x4y3x3()y,x(R +++−−++= ⇒ 
)y4x5,yx3,yx7()y,x(R +−−= 
b) )xyx,yxyx()x,yx,yx(G))y,x(F(G)y,x)(FG( +++−+=−+==� ⇒ 
)yx2,y2()y,x)(FG( +=� 
c) Como 32:F ℜ→ℜ não é possível determinar FFF2 �= . 
 
Exercícios Propostos 
1) Seja )(M nxn ℜ o espaço vetorial da matrizes quadradas de ordem nxn e B uma matriz fixa deste 
espaço. Mostre que a aplicação )(M)(M:F nxnnxn ℜ→ℜ tal que )(MX,BX)X(F nxn ℜ∈∀= é 
um operador linear. 
2) Sabendo que T é um operador linear do ℜ2 e que )2,1()1,0(Te)1,3()2,1(T =−= , determine a 
expressão de T(x,y). Resp: )y2x5,yx()y,x(T +−+= 
3) Seja a transformação linear )tzx3,tz2yx2,zyx()t,z,y,x(T −+−+−−+= . Determine uma 
base e a dimensão para Im(T) e Ker(T). 
Resp: Base da Im(T) é 2)TIm(dim)}1,1,0(),3,2,1{( =⇒ ; 
 Base do Ker(T) é 2)T(Kerdim)}4,1,0,1(),3,0,1,1{( =⇒−− 
4) Determine um operador do ℜ3 cujo núcleo é a reta 



=
=
0z
x2y
 e a imagem é o plano 0zy2x =++ . 
Resp: )z,yx2,zy2x4()z,y,x(T +−−−= 
5) Sendo )zx2,zyx()z,y,x(Ge)yx,yx,y2x3()y,x(T −+−=−+−= duas transformações 
lineares, determine a dimensão do )TG(Ker � e da )TGIm( � . 
Resp: 2)TGIm(dime0)TG(Kerdim == ��

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