Velocidade Média e Escalar Média - Parte I

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Velocidade:
-Média e Escalar média;
- Instantânea e Escalar.
Prof.MSc. Emerson Amorim
Parte I
Problema 1-Velocidade média e Velocidade escalar Média
Um aluno do curso de Engenharia Civil ao termino da aula de Física, sai da faculdade
Estácio atual dirigindo um corola na Av. Carlos pereira de melo em uma reta por
3,5km a 60km/h, sentido centro, quando então ele para por falta de gasolina. Nos
trinta minutos seguintes, o aluno caminha por mais 1,5km ao longo da estrada até o
posto de gasolina mais próximo.
a) Qual o seu deslocamento total desde o inicio de sua saída da faculdade até sua
chegada ao posto de gasolina?
0 0x  3 3,5 1,5 5x km  
Falta de 
gasolina
2 3,5x km
O deslocamento é a diferença entre a posição final e a 
inicial. 
3 0 5 0 5x x x km km km     0x
Posição inicial: saída da faculdade 
3x
Posição final : posto de gasolina 
Problema 1 cont. - Velocidade média e Velocidade escalar Média
b) Qual o intervalo de tempo gasto desde a sua partida até sua chegada ao
posto?
t
Figura A. tempo que o aluno andou entre
a falta de gasolina e o posto é de 30min.
É preciso transformar esse tempo em
hora.
1 60min
30min
30
0,5
60
h
x
x h
   
   
 
Figura B. Não dispomos do intervalo de 
tempo gasto entre a faculdade e a falta 
de gasolina.
Figura A
Figura B
Sabemos que no percurso de carro o deslocamento foi de 3,5km a uma velocidade de 60km/h.
Podemos encontrar esse tempo usando a formula da velocidade média.
2 0
2 0
m
x x x
V
t t t
 
 
 
3,5
0,058
60 /m
x km
t h
V km h

   
Esta velocidade média é dada pela
razão entre o deslocamento do carro
e o intervalo de tempo
correspondente a esse deslocamento. Tempo entre a faculdade e a falta 
de gasolina.
0 0t h2 0,058t h3 0,5t h
0,56t h 
Problema 1 cont. b 0t
2 3 0,058 0,5t t t   
tempo inicial: saída da faculdade 
tempo final: chegada 
ao posto de gasolina 0,56t h 
c) Qual é sua velocidade média v da saída da faculdade Estácio até a chegada ao 
posto? 
A velocidade média: é a razão
entre a diferença do
deslocamento final e inicial ,
que é de 5km .
e a diferença entre o tempo final
e o inicial, que é de 0,56h .
m
x
v
t



5 0
8,93 /
0,56 0
km km
v km h
h h

 

0
0
m
x x
V
t t



0x x
2t
Tempo entre a saída da faculdade e a 
falta de gasolina3t
Tempo entre a falta de gasolina e a 
chegada no posto
escalar
distância total
v
t

A velocidade escalar média é igual à razão entre a
distância total percorrida e o intervalo de tempo total
que o aluno gastou para realizar esse percurso.
d) Suponha que para pegar a gasolina, efetuar o pagamento e voltar para o corola o aluno leva 45min. Qual é sua 
velocidade escalar média da saída da faculdade até seu retorno ao veículo com a gasolina? 
1 60min
45min
45
0,75
60
h
x
x h
   
   
 
6,5
4,97 /
1,308
escalar
km
v km h
h
 
Distância total é 3,5km + 1,5km + 1,5km = 6,5km
Tempo total é 0,058h + 0,5h + 0,75h = 1,308h
 Resumo
a) Qual o seu deslocamento total desde o inicio de sua saída da faculdade até sua 
chegada ao posto de gasolina?
3 0 5 0 5x x x km km km     
b) Qual o intervalo de tempo gasto desde a sua 
partida até sua chegada ao posto?
t
c) Qual é sua velocidade média v da saída da faculdade 
Estácio até a chegada ao posto? 
d) Suponha que para pegar a gasolina, efetuar o
pagamento e voltar para o corola o aluno leva 45min.
Qual é sua velocidade escalar média da saída da
faculdade até seu retorno ao veículo com a gasolina?
2 3 0,058 0,5t t t   0,56t h 
5 0
8,93 /
0,56 0
km km
v km h
h h

 

6,5
4,97 /
1,308
escalar
km
v km h
h
 
 Velocidade escalar média é a razão entre a distância total percorrida e o intervalo de tempo total que 
você gastou para realizar esse percurso. 
3 0
3 0
m
x x
V
t t


m
x
V
t



3 0t t t  3 0x x x   Velocidade média é a razão entre
o deslocamento e o intervalo de tempo durante o qual esse deslocamento ocorre: 
Enquanto a velocidade média envolve o deslocamento da partícula (diferença entre a posição final e inicial)
, a velocidade escalar média é definida em termos da distância total percorrida(por exemplo, o número de
metros percorridos), independente da direção e sentido. Algumas vezes, a velocidade escalar média é igual
a velocidade média (exceto pela ausência de sinal). (Halliday, 2006)
escalar
distância total
v
t


Dois trens, cada um com velocidade de 30 km/h, trafegam em sentidos opostos sobre uma mesma linha férrea
retilínea. Um pássaro que consegue voar a 60km/h voa a partir da frente de um dos trens, quando eles estão
separados por 60km, diretamente em direção ao outro trem. Alcançando o outro trem, o pássaro imediatamente
voa de volta ao primeiro trem e assim por diante.(Não temos a menor ideia por que o pássaro comporta-se dessa
maneira.) Qual é a distância total que o pássaro percorre até os trens colidirem?
Solução:
Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker – 7ª. edição
60km
A B
0km
Vamos adotar que o pássaro parte 
primeiro de A para B.
30km0km15km0,5t h 60km0,5t h45km
 Podemos observar para o tempo de 0,5 h:
1- O trem A percorreu 15km e o pássaro
30km;
2- O pássaro matem uma diferença de 15 km
em relação ao trem A;
A A B
 Podemos observar para o tempo de 0,5 h:
3- O trem B movimenta-se para a posição de
45km no sentido negativo do eixo x, sentido
contrario ao movimento do trem A. Ou seja,
Também 15km.
4- Pode-se observar que enquanto o trem B
movimenta-se 15km o pássaro se aproxima 45km.
5- Enquanto o pássaro se afasta 15km do trem A,
ele se aproxima 15 do trem B.
B
1-Um automóvel viaja em uma estrada retilínea por 40km a 30km/h. Em seguida,
continuando no mesmo sentido, percorre outros 40km a 60km/h.
a) Qual é a velocidade média do carro durante este percurso de 80km? (suponha que o
carro se move no sentido positivo de x)
b) Qual é a velocidade escalar média?
c) Trace o gráfico de x em função de t e mostre como calcular a velocidade média a
partir do gráfico.
Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker – 7ª. Edição
Exercícios 
2- Durante um forte espirro, seus olhos podem fechar por 0,50s. Se você estiver dirigindo
um carro a 90km/h e espirrar tão fortemente, de quanto se desloca a carro durante o
espirro?
3- Você tem que dirigir em uma via expressa para participar de uma entrevista em outra
cidade, distante 300km. A entrevista é às 11:15h da manhã. Você planeja dirigir a
100km/h, e assim parte às 8:00h da manhã de modo a ter algum tempo extra. Você
dirige com a velocidade planejada os primeiros 100km, mas então trabalhos de reparo
na rodovia obrigam você a reduzir para 40km/h por 40km.Qual deve ser a velocidade
mínima que você deve desenvolver no restante da viagem para chegar a tempo para a
entrevista?
4- Você está nos Estados Unidos e dirige na rodovia interestadual 10, de San
Antonio a Houston, metade do tempo a 55km/h e a outra metade a 90km/h. Na
volta, você viaja metade da distância a 55km/h e a outra metade a 90km/h. Qual
é a sua velocidade escalar média a) de San Antonio a Houston, b) de Houston
voltando a San Antonio, e c) para a viagem inteira? d) Qual é sua velocidade
média para a viagem inteira ? e) Esboce x versus t para o item a), supondo que o
movimento se dá inteiramente no sentido positivo de x. Mostre como a
velocidade média pode ser determinada no gráfico.
Gabarito
1- a) 40km/h; b) 40km/h
2- 13m
3- 128km/h
4- a) 73km/h; b) 68km/h; c) 70km/h; d) 0
Velocidade instantânea e Velocidade Escalar
Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker – 7ª edição
Problema 2
A figura 2.6a representa o gráfico x(t) para um elevador que, estando inicialmente em repouso, passa a se mover para 
cima (que tomamos como sendo o sentido positivo de x) e depois para. Esboce o gráfico de v(t).
1-De 0 a 1 a velocidade é igual a zero;
2- PONTO b: x = 4m, t = 3s;
3- PONTO c: x=24m, t= 8s
4-Durante o intervalo bc, a inclinação é constante 
e diferente de zero, de modo que o elevador se 
move com velocidade constante.
24 4 20
4 /
8 3 5
c b
c b
x xx m m
v m s
t t t s s
 
     
  
Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker – 7ª edição
24 4
4 /
8 3
( )
4 / .(8 3 )
20
c b
c b
c b c b
x xx m m
v m s
t t t s s
x x v t t
x m s s s
x m
 
    
  
  
  
 Durante o intervalo de 3s a 8s, no qual o elevador tem uma velocidade constante 4m/s, a variação é:
Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker – 7ª edição
Problema 2.2
A posição de uma partícula que se move sobre um eixo x é dado por
Com x em metros e t em segundos. Qual é sua velocidade em t = 3,5s? A velocidade é constante ou está variando 
continuamente.
7,8 9,2 2,1 ³x t t  
3(7,8 9,2 2,1 )dx d t t
v
dt dt
 
 
3
2
2
(7,8 9,2 2,1 )
0 9,2 3.(2,1)
9,2 6,3 .2.6
dx d t t
v
dt dt
v t
v t eq
 
 
  
 
29,2 6,3(3,5)v  
68 /v m s 
a) Calcule a velocidade durante o intervalo de tempo de t 
=2s a 3s;
• Para t0 = 2s temos a posição x = 9,75 + 1,5t³
3
0
9,75 1,5(2)
21,75
x
x cm
 

• Para t = 3s temos a posição x=9,75+1,5t³
39,75 1,5(3)
50,25
x
x cm
 

0
0
50,25 21,75
3 2
28,5 /
x xx cm cm
v
t t t s s
v cm s
 
  
  

b) A velocidade instantânea em t = 2s;
Para calcular essa velocidade temos que calcular a derivada 
de 
dx
v
dt

3
2 2(9,75 1,5 ) 3.1,5 4,5(2)
18 /
dx d t
v v t v
dt dt
v cm s

     

c) A velocidade instantânea em t = 3s de 
2 24,5 4,5(3) 40,5 /v t v v cm s    
d) A velocidade instantânea em t = 2,5s de 
2 24,5 4,5(2,5) 28,13 /v t v v cm s    
e) A velocidade instantânea quando a partícula está na metade da 
distância entre suas posições em t = 2s e t = 3s. 
Problema 6
Problema 5
Problema 7