AVA2 Cálculo Numérico

Prévia do material em texto

P4 (3) = f(x0) . L0(x) + f(x1) . L1(x) + f(x2) . L2(x) + f(x3) . L3(x) + f(x4) . L4(x) 
 Felipe Martins Rosalba – 20161100854 
 
 
 
 
 
 
1. Para x = 3 utilizando o método de lagrange, temos: 
 
L0(x) = 
 
L1(x) = 
 
(𝑥 − 2) ∗ (𝑥 − 4) ∗ (𝑥 − 5) ∗ (𝑥 − 7) 
= 
(1 − 2) ∗ (1 − 4) ∗ (1 − 5) ∗ (1 − 7) 
 
(𝑥 − 1) ∗ (𝑥 − 4) ∗ (𝑥 − 5) ∗ (𝑥 − 7) (2 
− 1) ∗ (2 − 4) ∗ (2 − 5) ∗ (2 − 7) 
 
52) 
 
 
 
* ( 5 ) 
 
(𝑥 − 1) ∗ (𝑥 − 2) ∗ (𝑥 − 5) ∗ (𝑥 − 7) 𝑥4 − 15 𝑥3 + 73𝑥2 − 129𝑥 + 70 
L2(x) = 
(4 − 1) 
= 
∗ (4 − 2) ∗ (4 − 5) ∗ (4 − 7) 18 
* (−5) 
 
L3(x) = 
 
L4(x) = 
 
(𝑥 − 1) ∗ (𝑥 − 2) ∗ (𝑥 − 4) ∗ (𝑥 − 7) 
= 
(5 − 1) ∗ (5 − 2) ∗ (5 − 4) ∗ (5 − 7) 
 
 
(𝑥 − 1) ∗ (𝑥 − 2) ∗ (𝑥 − 4) ∗ (𝑥 − 5) 
= 
(7 − 1) ∗ (7 − 2) ∗ (7 − 4) ∗ (7 − 5) 
 
𝑥4 − 14 𝑥3 + 63𝑥2 − 106𝑥 + 56 
−24 
 
 
𝑥4 − 12 𝑥3 + 49𝑥2 − 78𝑥 + 40 
180 
 
* (−40) 
 
 
* (10)
TABULAÇÃO DE DADOS 
x 1 2 4 5 7 
f(x) 52 5 -5 -40 10 
𝑥4 − 18 𝑥3 + 115𝑥2 − 306𝑥 + 280 
72 
* ( 
= 
𝑥4 − 17 𝑥3 + 99𝑥2 − 223𝑥 + 140 
−30 
 
 
 
3 4 
 P4 (3) = 
−8 
∗ (52) + 
−16 
∗ (5) + 
16 
∗ (−5) + 
8 
( ) 
4
 
 
 
 
 
 
 
72 −30 18 
∗ 
−24 
−40 + ∗ (10) 
180 
 
 
 
 
 
 
 
2. Tabela de diferenças divididas 
x ORDEM 0 ORDEM 1 ORDEM 2 ORDEM 3 ORDEM 4 
x(0) f[x0] = 52 
 f[x0, x1] = -47 
x(1) f[x1] = 5 f[x0, x1, x2] = 14 
 f[x1, x2] = -5 f[x0 , x1, x2, x3] = -6 
x(2) f[x2] = -5 f[x1, x2, x3] = -10 f[x0 , x1, x2, x3, x4] = 2 
 f[x2, x3] = -35 f[x1 , x2, x3, x4] = 6 
x(3) f[x4] = -40 f[x2 , x2, x4] = 20 
 f[x3, x4] = 25 
x(4) f[x3] = 10 
 
 
 
 
Para ordem 1, temos: 
 
 
 
𝑓 [ 𝑥 , 𝑥 ] = 
𝑓 [𝑥1] − 𝑓 [𝑥0] 
 
 
 
= - 47 
1 
𝑥1 − 𝑥0 
 
 
 
𝑓 [ 𝑥 , 𝑥 ] = 
𝑓 [𝑥2] − 𝑓 [𝑥1] 
 
 
 
= - 5 
1 2 
2 − 𝑥1 
 
 
𝑓 [ 𝑥 
 
, 𝑥 ] = 𝑓 [𝑥3] − 𝑓 [𝑥2] 
 
 
 
= - 35 
2 3 
3 − 𝑥2 
 
 
 
𝑓 [ 𝑥 
 
, 𝑥 ] 
= 
𝑓 [𝑥4] − 𝑓 [𝑥3] 
 
 
= 25 
𝑥4 − 𝑥3 
9 3 9 3 9 
P4 (3) = 
−52 
+ 
8 
− 
40 
+ 
40 
+ 
2 
= 6 
0 
𝑥 
𝑥 
 
 
 
 
Para a ordem 2, temos: 
 
 
 
𝑓 [ 𝑥 
 
, 𝑥 , 𝑥 ] = 
𝑓 [𝑥1 , 𝑥2] − 𝑓 [𝑥0 , 𝑥1] 
 
 
 
= 14 
0 1 2 𝑥2 − 𝑥0 
 
 
𝑓 [ 𝑥 , 𝑥 , 𝑥 ] = 
𝑓 [𝑥2 , 𝑥3] − 𝑓 [𝑥1 , 𝑥2] 
 
 
 
= - 10 
1 2 3 𝑥3 − 𝑥1 
 
 
𝑓 [ 𝑥 
 
, 𝑥 , 𝑥 ] = 
𝑓 [𝑥3 , 𝑥4] − 𝑓 [𝑥2 , 𝑥3] 
 
 
 
= 20 
2 3 4 𝑥4 − 𝑥2 
 
 
 
Para a ordem 3, temos: 
 
 
𝑓 [ 𝑥 , 𝑥 , 𝑥 , 𝑥 
] = 
𝑓 [𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3] − 𝑓 [𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2] 
 
 
 
= - 6 
0 1 2 3 
𝑥3 − 𝑥0 
 
𝑓 [𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4] − 𝑓 [𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3] 
𝑓 [ 𝑥1, 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 ] 
= 𝑥4 − 
= 6 
𝑥1 
 
 
Para a ordem 4, temos: 
 
𝑓 [ 𝑥 , 𝑥 , 𝑥 , 𝑥 , 𝑥 ] = 
𝑓 [𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4] − 𝑓 [𝑥0, 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3] 
= 2
 
 
 0 1 2 3 4 
𝑥4 − 𝑥0 
 
 
 
3. Para x = 3 utilizando o método de newton, temos: 
 Obs: Os valores utilizados em dn estão em negrito na tabela. 
 
𝑃4 (𝑥) = {[ 52 ] + [ (−47) ∗ (𝑥 − 1) ] + [14 ∗ (𝑥 − 1) ∗ (𝑥 − 2)] + [ (−6) * (𝑥 − 1) * (𝑥 − 2) * (𝑥 − 4) ] + [ (2) * (𝑥 − 1) * (𝑥 − 2) * (𝑥 − 4) * (𝑥 − 5) ]} = 
 
 
𝑃4 (𝑥) = {[52] + [−47𝑥 + 47] + [14𝑥
2 − 42𝑥 + 28] + [ − 6𝑥3 + 42𝑥2 − 84𝑥 + 48 ] + [ 2𝑥4 − 24𝑥3 + 98𝑥2 − 156x + 80]} = 
 
𝑃4 (𝑥) = 2𝑥
4 − 30𝑥3 + 154𝑥2 − 329x +255 = 
 
 
 
𝑃4 (𝑥) = 𝑑0 + 𝑑1 (𝑥 − 𝑥0) + 𝑑2 (𝑥 − 𝑥0 ) ∗ (𝑥 − 𝑥1) + 𝑑3 (𝑥 − 𝑥0) ∗ (𝑥 − 𝑥1) ∗ (𝑥 − 𝑥2) + 𝑑4 (𝑥 − 𝑥0) ∗ (𝑥 − 𝑥1) ∗ (𝑥 − 𝑥2) ∗ (𝑥 − 𝑥3) = 
𝑃4 (3) = 6