Lista 5 Respostas Trocas

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Faculdade de Economia, Universidade Federal Fluminense 
Microeconomia III – 1° semestre de 2015 
 
Lista 5 - Capítulo 31: Trocas 
 
 Respostas 
 
0. Ler resumo e fazer os exercícios de revisão do capítulo 31 do Varian, pp. 630. 
 
1. 
 
a. De Micro I, sabemos que a demanda de Francisco pelo bem 2 é: x2 = (b*m)/[(a+b)p2] � x2 = (1*m)/[(1+1)p2] 
� x2 = m/2p2. A dotação inicial de Francisco é m = ω1p1 + ω2p2 = 0*1 + 10p2 = 10p2. Portanto, a demanda de 
Francisco pelo bem 2 é: x2 = m/2p2 � x2 = 10p2/2p2 = 5. 
b. Para Maria, a escolha ocorre numa “quina”, isto é, num ponto em que x1 = x2. De Micro I, sabemos que a 
demanda em tais casos é dada por x1 = x2 = m/(p1 + p2), isto é, m/(1 + p2). Como a sua dotação é m = ω1p1 + ω2p2 
= 20*1 +
 
5p2 = 20 + 5p2, sua demanda pelo bem 2 é: x2 = m/(p1 + p2) � x2 = (20 + 5p2)/(1 + p2). 
c. A demanda agregada pelo bem 2 é: D = 5 + (20 +
 
5p2)/(1 + p2). 
A oferta agregada do bem 2 é: S = 10 + 5 = 15. 
Igualando-se oferta e demanda, obtemos: D = S � 5 + (20 +
 
5p2)/(1 + p2) = 15 � p2 = 2. 
d. p1 = 1 (pré-determinado); p2 = 2 (calculado no item anterior). 
e. Do bem 2, Francisco demandará 5 unidades, enquanto Maria demandará 10 unidades. Quanto ao bem 1, as 
demandas serão: 
Francisco: x1 = a*m/[(a+b)p1] � x1 = m/2p1 � (0*1 + 10*2) / 2 = 10 
Maria: x1 = m/(p1 + p2) � x1 = (20 + 5*2)/3 � x1 = 10. 
(Outra forma, mais direta, de se determinar a demanda de bem 2 por parte de Maria consiste em se valer do fato, 
já apontado no item b, que x1 = x2. Portanto, deve ser verdade o seguinte: x1 = x2 = 10.) 
 
2. 
a. Ver figura. 
 
 
(Wine=garrafas de vinho; Books=livros; Philip=Felipe; Morris=Marília) 
 
b. Taxa Marginal de substituição de Maria: TMS = - (∂U/∂lM)/(∂U/∂vM) = -1/1 = -1. 
c. Taxa Marginal de Substituição de Felipe: TMS = - (∂U/∂lF)/(∂U/∂vF) = -vF/lF. 
d. Portanto, quaisquer alocações ótimas de Pareto em que ambos consomem quantidades positivas de ambos os 
bens satisfazem a equação -1 = - vF/lF ���� vF = lF. Ver figura contendo a curva de contrato. 
e. O preço do livro com relação ao vinho deverá ser o negativo da razão dos preços e, portanto terá de ser igual à 
TMS, isto é, igual a – 1. Sendo pl = 1 (numerário), o preço do vinho terá de ser $1. 
f. Dotação inicial de Felipe: mF= 20*1 + 30*1 = 50. A estes preços, sabemos que ele consome vF = lF, portanto, 
Felipe consumirá 25 livros e 25 garrafas. 
g. Marília irá consumir: Livros: 80 – 25 = 55. Garrafas: 40 – 25 = 15. 
h. Renda de Marília aos preços de equilíbrio: mM= 60*1 + 10*1 = 70. A esses preços, Marília não consegue 
alcançar uma cesta maior que a cesta de equilíbrio (55,15.) 
 
 2
3. Como neste exercício as funções de utilidade são do tipo Cobb-Douglas, cuja função demanda é bem conhecida 
(ver páginas 616-617 Varian), pode-se substituir os valores das variáveis exógenas diretamente nas equações de 
demanda dos dois bens para os dois agentes. No caso do bem x, temos: 
.
 
Lembrando que no equilíbrio geral a renda m é dada pelo valor da dotação possuída pelo agente: mj = 10 + 2,5p 
mm =10 + 20p, sendo p o preço do bem y e 1 o preço do bem x, podemos calcular as demandas: 
 
 , 
 , 
 
 
Como o enunciado pede apenas o preço p do bem y, não é necessário calcular os quatro valores das demandas, 
mas apenas notar que a soma das demandas por um dos produtos, digamos x, tem que ser igual à soma das 
dotações do mesmo produto; no caso 20 unidades (xj + xm = 10 + 10). Vamos então substituir as expressões 
descritas acima de xj e xm, já simplificadas, nessa relação, obtendo então uma equação envolvendo apenas o preço 
p: 
xj + xm = 20/5+5p/5 + 1 + 20p/10 = 20. Simplificando, temos: 4+p+1+2p=20 -> 3p=20-5 -> 3p=15 -> p=5. 
 
 
4. 
a. Ver figura. 
 
(Herring=robalos; Cheese=queijos; Birger=Brigitte) 
 
b. Ver figura. As alocações eficientes de Pareto localizam-se onde RB = QB, isto é, numa linha de inclinação +1, 
que tem como origem o canto superior direito da Caixa de Edegeworth, isto é, a origem de Brigitte. 
c. De Micro I, sabemos que a demanda ótima, quando a função de utilidade for min{∙}, será dada por: x1 = x2 = 
m/(p1 + p2) � RB = 7 / (p + 1). 
d. A dotação inicial de Astrid será dada por: mA = 4p + 1. 
De Micro I, sabemos que a demanda ótima, quando a função de utilidade for Cobb-Douglas, será dada por: x1 = 
a*m/[(a+b)p1] � RA = 1*m/[(1+1)p] � RA = 1*(4p + 1)/2p � RA = 2 + 0,5p. 
 
5. 
 
Preferências quase-lineares representadas na figura a seguir: 
 3
 
 
a. TMSIgor = -(∂UI/∂TI)/(∂UI/∂BI) = -TI-1/2 e TMSNatália = -(∂UN/∂TN)/(∂UN/∂BN) = -2TN-1/2. 
b. -TI-1/2 = -2TN-1/2 � √TI = (√TN)/2. 
c. Da equação do item anterior, nota-se que (elevando ambos os lados ao quadrado) TI/TN = 1/4 em todos os 
pontos da curva de contrato. 
d. Porém, uma vez que o total de tratores demandados deve ser igual ao total de tratores ofertados, também 
sabemos que TI + TN = 16. 
e. Os valores de TI e TN são: TI = 3,2; TN = 12,8. 
f. Na primeira linha de cada tabela, apresentamos as dotações iniciais de cada bem para cada consumidor, bem 
como a utilidade que cada um obtém. Nas outras linhas, apresentamos outras combinações de quantidades que 
proporcionem a mesma utilidade para cada um deles. Com estes valores, podemos construir as curvas de 
indiferença indicadas na figura. 
 
Igor 
Barcos Tratores Utilidade 
8.00 12.00 14.93 
7.00 15.71 14.93 
6.00 19.93 14.93 
9.00 8.79 14.93 
10.00 6.07 14.93 
16.00 0.29 14.93 
 
Natália 
Barcos Tratores Utilidade 
8.00 4.00 16.00 
7.00 5.06 16.00 
6.00 6.25 16.00 
9.00 3.06 16.00 
10.00 2.25 16.00 
16.00 0.00 16.00 
Com tinta azul, traçamos a curva de contrato, que é uma linha horizontal, afinal, determinou-se no item e que TI = 3,2; 
TN = 12,8. 
Tratores Natália 
 
Igor Barcos 
 
g. Sabemos que TI = 3,2, e que TN = 12,8. No equilíbrio, a razão dos preços de trator e de barco deve ser igual à 
TMS, - pT/pB = -TI-1/2 � pT/pB = 1/√(3,2). No início, o valor da dotação inicial de cada indivíduo era: 
Igor: mI = pTTI + pBBI = [1/√(3,2)]*12 + 1*8 = 8 + 12/√(3,2) 
Natália: mN = pTTN + pBBN = [1/√(3,2)]*4 + 1*8 = 8 + 4/√(3,2) 
 4
O valor monetário da alocação final de cada um é: 
Igor: mI = pTTI + pBBI = [1/√(3,2)]*3,2+ 1*BI = 3,2/√(3,2) + BI 
Natália: mN = pTTN + pBBN = [1/√(3,2)]*12,8 + 1*BI = 12,8/√(3,2) + BN 
O valor monetário da alocação final tem de ser igual ao valor monetário da alocação inicial, certo? Logo: 
Igor: 8 + 12/√(3,2) = 3,2/√(3,2) + BI � BI = 12,92. 
Natália: 8 + 4/√(3,2) = 12,8/√(3,2) + BN� BN = 3,08. 
 
6. 
a. Ver figura. 
b. Ver figura. 
 
 
Ângelo (ou Bianca) 
Tortas Vinho U 
4.00 1.50 6.00 
3.00 2.00 6.00 
2.00 3.00 6.00 
1.00 6.00 6.00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vinho Bianca 
 
Ângelo Torta 
c. – VB/TB = – VA/TA � VB/TB = VA/TA. (Linha preta no gráfico). 
d. Ver figura. Cestas ótimas: 2TA = VA. e 2TB = VB. 
e. Neste exemplo, em qualquer ótimo de Pareto em que ambos os consumidores consomem uma quantidade 
positiva de cada um dos bens, a declividade da curva de indiferença de Ângelo será –2. Portanto, como sabemos 
que o equilíbrio competitivo deve ser também um ótimo de Pareto, então sabemos que num equilíbrio 
competitivo, a razão dos preços (pT/pV) terá de ser: 2, afinal, TMS = – (pT/pV) � –2 = – (pT/pV) � (pT/pV) = 2. 
f. Num equilíbrio competitivo, a cesta de consumo de Ângelo deve ser composta por 2 tortas e 4 garrafas de 
vinho. E a de Bianca? Idem. 
g. Ver figura. 
 
7. 
a. Ver abaixo. A tabela a seguir serve de ajuda para podermos desenhar as curvas de indiferença dos dois 
indivíduos. 
 
Lucas Linear 
Alface Beterrabas Utilidade 
0 12 24 
12 6 24 
0 6 12 
12 0 12 
0 3 6 
6 0 6 
Yumi Kina 
Alface Beterrabas U 
12 0 0 
12 3 6 
9 36 
6 3 6 
6 6 6 
6 9 6 
 
 5
 
(Bananas=beterrabas; Apples=pés de alface; Lucy: Yumi Kina; Linus: Lucas Linear) 
 
A curva de contrato (traçada em cor preta na figura acima) terá que passar pelas quinas da Sra. Kina, de modo 
que a quantidade de pés de alface consumida seja o dobro da quantidade de beterraba (2b=a). 
b. Igualando a razão dos preços à TMS de Lucas, obtemos uma razão de ½. 
c. Sabemos que a dotação de Kina é de 12 pés de alface (enunciado), e que um pé de alface custa metade de uma 
beterraba (item b). Fixando o preço do pé de alface em 1; sua dotação inicial vale: 12*R$1 + 0* R$2 = R$12. O 
valor da sua dotação final deve ser repartido entre o consumo dos dois bens. Portanto: a*1 + b*2 = 12. Porém, 
como sabemos que a = 2b (item a), podemos substituir: a + a = 12 � a = 6. Logo: b = a/2 = 3. 
 
Lucas consumirá o restante, ou seja: 
Total de pés de alface disponíveis: 12 
Demanda de pés de alface de Kina: 6 
Demanda de pés de alface de Lucas: 12 – 6 = 6. 
 
Total de beterrabas: 12 
Demanda de beterrabas de Kina: 3 
Demanda de pés de alface de Lucas: 12 – 3 = 9. 
 
8. 
 
a. Ver figura abaixo. 
 
Carmem 
Ameixas Bananas U 
0.00 8.00 -16.00 
-3.75 7.00 -16.00 
4.25 9.00 -16.00 
9.00 10.00 -16.00 
14.25 11.00 -16.00 
20.00 12.00 -16.00 
 
Vanderlei 
Ameixas Bananas U 
16.00 8.00 21.66 
16.37 7.00 21.66 
15.66 9.00 21.66 
15.33 10.00 21.66 
15.02 11.00 21.66 
14.73 12.00 21.66 
14.45 13.00 21.66 
13.66 16.00 21.66 
 
 
(Apples=ameixas; Charlotte=Carmem; 
Wilbur=Vanderlei) 
b. Zero. Não há nenhuma razão para ela manter bananas: desejará trocar todas por ameixas. 
c. Trata-se de uma linha sobre o eixo vertical, composto por alocações em que Carmem não consome nenhuma 
banana. 
d. No equilíbrio competitivo Vanderlei deve consumir 16 bananas. 
 6
e. A sua utilidade marginal por bananas será: UM = (∂U/∂b) = 2*½*b-½ = 1/√b. Se b = 16, então UM = 1/√16 = 
¼. A UM do consumo de ameixas será (∂U/∂a) = 1. 
f. TMS = – UMb/UMa = – (¼)/1 = – ¼. Em equilíbrio, TMS = – pb/pa. Sendo pa = 1, TMS = – pb. Assim: – pb 
= – ¼ � pb = ¼. 
g. Já sabemos que Vanderlei consumirá 16 bananas e que Carmem não consumirá nenhuma. A dotação inicial de 
Carmem equivalia, em termos monetários, a mCarmem
 
= paACarmem + pbBCarmem = 1*0 + ¼*8 = 2. Sendo $1 o preço 
da ameixa, então Carmem pode consumir 2 ameixas. As outras 14 são consumidas por Vanderlei. (Notem que, 
neste exercício, temos uma solução de canto). 
 
9. 
a. Ver figura. 
b. Ver figura. 
 
(Juice=suco; Milk=leite; Mutt=Milton; Jeff:Josué) 
 
10. V ou F: 
a. (F): Pela Lei de Walras sempre que existem n mercados e n-1 mercados que estão em equilíbrio, o enésimo 
mercado também está, independentemente do equilíbrio ser de curto ou longo prazo. 
b. (F): O Primeiro Teorema do Bem Estar diz que toda alocação de equilíbrio competitivo é uma alocação Pareto 
ótimo, mas não apresenta condições para a existência de equilíbrio. 
c. (V): O Segundo Teorema do Bem Estar diz que, dadas certas condições, qualquer alocação ótima de Pareto 
pode ser obtida através do mercado, bastando para isso alterar as dotações iniciais. 
d. (F): Uma alocação é factível se a soma do consumo dos indivíduos é igual à dotação da economia para todos 
os bens. 
e. (V): Com esta estrutura de preferências, o aumento da quantidade do bem 1 não altera a utilidade dos 
consumidores, de modo que as alocações Pareto ótimas estão nos eixos verticais. Rever exercício 5.