Lista 2 Escolha Intertemporal

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Faculdade de Economia, Universidade Federal Fluminense 
Microeconomia III – 1° semestre de 2015 
 
Lista 2 – Capítulo 10: Escolha intertemporal 
 
 Respostas 
 
0. Ver final do livro. 
 
1. (Aristides). O que temos aqui nada mais é do que aquilo que vimos nos slides das aulas de escolha intertemporal (quando 
traçamos a linha orçamentária intertemporal), porém, com notação diferente – justamente para vocês se habituarem a não 
se assustarem diante de uma mera variação de notação! 
 
2. (Máquina / VPs, TIRs e VPLS). 
a. Sim, pois o Valor Presente Líquido seria positivo (R$4.800,62). 
 
62,800.4$)10,01(
000.12
)10,01(
000.14
)10,01(
000.8
)10,01(
000.6
)10,01(
000.2000.25 5432 RVPL =+
+
+
+
+
+
+
+
+
+−= 
 
b. A 5% e a 15%, compraria, pois o VPL nos dois casos seria positivo (respectivamente, R$10.177,79 e R$506,79). A 
uma taxa de desconto de 20%, já não valeria a pena, pois o VPL seria negativo em R$2.962,96. 
c. Seria indiferente entre comprar e não comprar a um taxa próxima a 15,5%, como se pode ver no gráfico abaixo. 
Algebricamente, devemos encontrar a taxa que iguale o desembolso inicial e o VP do fluxo de renda subsequente: 
 
Desembolso inicial = VP do fluxo de renda 
5432
*)1(
000.12
*)1(
000.14
*)1(
000.8
*)1(
000.6
*)1(
000.2000.25
rrrrr +
+
+
+
+
+
+
+
+
=
� r*=~0.1567 
 
Valor Presente Líquido para diferentes taxas de juros
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
Taxa de juros
Va
lo
r 
Pr
es
en
te
 
Lí
qu
id
o
 
 
d. Nas novas condições, o VPL seria negativo em mais de seiscentos reais. 
 
3. (Felisberto / restrição orçamentária / estática comparada). 
a. A reta orçamentária é: C1 + C2/4 = 600 + 1200/4. 
b. R$900,00 e R$3.600,00. 
c. O custo de oportunidade de uma unidade monetária de consumo no período 1 são R$4 de consumo no período 2. O 
custo de oportunidade de uma unidade monetária de consumo no período 2 são R$0,25 de consumo no período 1. 
d. A inclinação é – (1+r) = – (1+3) = – 4 (bastante inclinada!!!). 
e. Se, inicialmente, ele é tomador de empréstimos, ele fica pior com um aumento da taxa de juros. Contudo, se ele 
inicialmente é poupador, sua situação melhora com um aumento dos juros. Em termos gráficos, sua situação pioraria se, 
no momento inicial, sua escolha ótima se localizasse num ponto localizado à direita do ponto de dotação; e melhoraria 
se, no momento inicial, tal cesta se encontrasse à esquerda do ponto de dotação. 
 
4. (Estática comparada: aumento de taxa de juros): 
a. Álgebra: como a inclinação da restrição orçamentária intertemporal é dada por –(1+r), a inclinação é mais negativa 
conforme cresce r. Logo, a reta é mais inclinada quanto maior for r. 
b. Intuição: Conforme aumenta a taxa de juros, torna-se mais interessante consumir no segundo período. Torna-se 
(relativamente) mais caro consumir no primeiro período. 
c. Gráfico: na figura abaixo, trata-se do giro da linha orçamentária preta para a cinza. 
 
 2
 
 
5. (Estática comparada: análise gráfica e com decomposição de Slutsky). 
a. Por preferência revelada, podemos dizer que, se o consumidor continuar como poupador após uma redução da taxa de 
juros, ele estará em uma situação pior que a inicial. Nada impede, porém, que um consumidor inicialmente poupador 
(como no gráfico abaixo, em que o ponto de escolha ótima original encontra-se à esquerda do ponto de dotação), 
desloque seu ponto de escolha ótima para algum ponto à direita do ponto de dotação, passando a ser um tomador de 
empréstimos. 
 
 
 
b. Por preferência revelada podemos dizer que se o consumidor continuar como tomador de empréstimos após o 
aumento da taxa de juros, ele estará em uma situação pior que a inicial. No entanto, nada o impediria de se tornar 
poupador. Ele poderia se encontrar inicialmente num ponto como aquele representado no gráfico abaixo, à direita do 
ponto de dotação, e, após o aumento da taxa de juros, deslocar-se para algum ponto à esquerda do ponto de dotação. 
 
 
 
c. Para o item (c), é preciso recorrer à decomposição de Slutsky. 
 
m
c
cm
p
c
p
c
mst
∆
∆
−+
∆
∆
=
∆
∆ 1
11
1
1
1
1 )(
 
 (-) (-) (-) (+) (Bem normal) 
 (?) (-) (-) (-) (Bem inferior) 
 
 Podemos analisar as variações da demanda resultantes da variação da taxa de juros, através da soma do efeito 
substituição e do efeito renda. O efeito substituição é sempre negativo, ou seja, uma queda na taxa de juros aumenta a 
quantidade consumida no período 1. Tratando-se de um bem normal, o sinal do último termo será positivo. Sendo o 
 3
consumidor um tomador de empréstimos, c1>m1, o penúltimo termo é negativo. O efeito total é a soma dos dois efeitos, ambos 
negativos. Logo, o efeito total é contrário à variação dos preços: temos certeza de que uma queda na taxa de juros aumenta o 
consumo no período 1. 
d. Se o bem for inferior, o efeito renda total será positivo. Não há como saber o que ocorrerá com o consumo presente 
(se aumentará ou diminuirá), a menos que sejam conhecidas as magnitudes de ambos os efeitos. O efeito total é 
indefinido na equação. 
 
6. (Conjuntos orçamentários / retas orçamentárias quebradas). 
a. No gráfico abaixo, ver linha azul (blue line). 
b. Veja-se linha vermelha (red line) no gráfico abaixo. Vale a pena aceitar a proposta, pois o novo conjunto 
orçamentário domina o conjunto orçamentário original, isto é, todas as cestas anteriormente acessíveis o são agora 
também. 
c. Veja-se linha preta (black line) no gráfico abaixo. Não é possível dizer de antemão se vale a pena ou não. A resposta 
dependerá das preferências do indivíduo. Isto porque algumas cestas acessíveis anteriormente não o são agora. 
 
7. (Restrição orçamentária e estática comparada) 
a. VP = 3000, VF = 3300. Ver gráfico abaixo. 
b. Restrição orçamentária: 
3000
1
2
1 =+
+
r
CC
 
c. TMS = -UM1/ UM 2 = -c2/c1, 
d. Sabemos que TMS = razão dos preços. A TMS é -c2/c1. A “razão dos preços” é -1/(1/1+r). Igualando as equações, 
obtemos c2=c1(1+r). Ou seja, c2=1,1c1. Agora, basta usar a restrição orçamentária como segunda equação deste sistema 
de equações a fim de se obter c1 = 1,5 mil; c2 = 1,65 mil. Ver gráfico abaixo. 
e. Poupará 500. 
f. A porção do novo conjunto orçamentário que ficar dentro do conjunto orçamentário original não poderá ser escolhida, 
pois estava à disposição antes, mas for a escolhida (argumento baseado na ideia de preferência revelada). 
g. C1=1.458,3; c2 = 1.750. 
h. Poupará 541,70. 
 
 
8. (“Despoupança”). 
 
a. Ver gráfico abaixo: 
 4
 
b. Sabemos que: 
2
1
2
1
P
P
UM
UM
====
⇒
r
c
c
r
c
c
++++
====⇒⇒⇒⇒
++++
====
1
1
1
2
1
1
1
2 
Como os ratos consomem parte do que é 
armazenado de um ano para outro, a deterioração é 
como uma taxa de juros negativa: 
600
1200)25,0(1
150000.12
11
1
1
2
1
2
1
=
=
−+
+=
+
+=
+
+
c
c
r
m
m
r
c
c
 
c. Chamando de R o total de alimentos comido 
pelos ratos, temos: 
100)6001000(25,0)( 11 ====−−−−====−−−−==== cmrR 
d. 45075,0600
1 2
2
1 ====××××====⇒⇒⇒⇒++++
==== c
r
c
c 
e. Ver linha azul no gráfico. 
f. Do item b, sabemos que: 2c1 = 1000 + (150/1,1) � c1 =~ 568 sacas. 
Do item b, também sabemos que: c2 = c1 (1 + r) = 568*1,1 =~625 sacas. 
 
9. (Escolha ótima com Cobb-Douglas genérica). 
a. Para escrever a restrição orçamentária de Milena no período 1 devemos primeiro garantir que sua equação de 
consumo está escrita em termos do mesmo período. Vejamos primeiro a noção mais intuitiva do consumo no período 2. 
Sabemos que o consumo de Milena no período 2 é dado porsua renda naquele período somada à diferença existente 
entre a renda e o consumo do período anterior e ao juro recebido (devido) por essa diferença: 
))(1(
)()(
1122
111122
cmrmc
cmrcmmc
−++=
−+−+=
 
Rearranjando, obtemos: 
2121 )1()1( mmrccr ++=++
 
O lado direito da equação mostra a restrição orçamentária intertemporal de Milena em valores futuros. Para, ao 
contrário, escrevê-la em termos de valor presente, bastam operações simples, dividindo ambos os lados por (1+r). 
Assim, sua restrição intertemporal em termos de valor presente será igual a sua renda naquele período, m1, somada a 
renda que receberá no período 2 descontada pela taxa de juros, paga para transportar aquela renda através do tempo: 
)1()1(
2
1
2
1
r
m
m
r
c
c
+
+=
+
+
 
 
b. p1≈1, p2≈1/(1+r), m≈m1 + m2/(1+r) 
c. c1 = a.m/p1 no caso padrão. No caso intertemporal deste exercício, teremos: 
 c1 = 0,2.(m1 + m2/(1+r)) / 1 
 c1 = 0,2.(m1 + m2/(1+r)) 
 c1 = 0,2m1 + 0,2m2/(1+r) 
 Já para c2, temos: c2 = [(1-a)(m)]/p2 no caso padrão, e 
 c2 = 0,8.[m1 + m2/(1+r)][1/(1+r)] 
 c2 = 0,8.m1.(1+r)+ 0,8.m2. 
d. aumento de r � redução de c1 (portanto, aumento da poupança s1) e aumento de c2. 
e. Aqui temos: m1= 500; m2 = 880; a = 0,6; r = 0,1. 
 Portanto, seu consumo original é: c~1 = 0,6.500 + 0,8.880/(1+0,1) 
 Caso sua renda do período dobrasse, teríamos: c^1 = 0,6.1000 + 0,8.880/(1+0,1) 
 A diferença entre os dois é: c^1 – c~1 = 0,6 (1000– 500) = 300. 
 
Portanto, seu consumo no período 1 aumentaria em R$300. (O interessante aqui é que o aumento do consumo é dado 
pelo aumento da renda ponderado pelo parâmetro 0,6. Afinal, com Cobb-Douglas, gasta-se proporção fixa da renda com 
cada um dos bens.) 
 
10. Primeiro, calculamos a TMS: 
 TMS = – (UM1)/ (UM2) = – (0,5. d1-1/2)/(0,8.0,5.d2-1/2) = – (0,5. d1-1/2)/(0,4.d2-1/2) 
 
Depois, igualamos a TMS à razão dos preços (como sempre!). Isto é: 
 
 5
(0,5. d1-1/2)/(0,4.d2-1/2) =
r++++1
1
1
 
 
Esta expressão sempre terá de ser válida para a função de utilidade dada, e para qualquer taxa de juros. Assim, o 
enunciado nos pergunta qual seria a taxa de juros em caso de igualdade de consumo nos dois períodos, vamos impor a 
condição d1 = d2 na equação anterior. Teremos: 
 
(0,5. d1-1/2)/(0,4.d1-1/2) = 
r++++1
1
1
� 1,25 = 1 + r � r = 0,25 
(Resposta c) 
 
(É importante notar que há uma informação dada no enunciado – a saber: que a renda no período 1 é três vezes mais alta que a 
renda no período 2 – que, embora seja irrelevante para a resolução do exercício, é interessante de ser discutida. A irrelevância 
para fins de resolução do exercício se deve ao fato de estarmos lidando com uma função homotética (toda Cobb-Douglas o é), 
para a qual, indepentemente da dotação total de renda, a proporção da renda total gasta com cada bem permanece fixa. 
(Aproximadamente 55,56% (1,0/1,8) da dotação de renda serão gastos com d1 e aproximadamente 44,44% (0,8/1,8) da 
dotação de renda serão gastos com d2, independentemente da magnitude do conjunto orçamentário intertemporal e da razão 
entre m1 e m2). Num caso assim, a cesta ótima estará necessariamente localizada sobre um ponto de uma reta que parte da 
origem. No caso específico deste exercício, o enunciado determina que d1 = d2, portanto, que esta reta que parte da origem 
tenha ângulo de 45° (inclinação = +1) com cada um dos eixos. O que se pede no exercício, portanto, é encontrar a declividade 
da reta orçamentária que garanta que a cesta ótima seja tangente a uma curva de indiferença (TMS=razão dos preços), mas 
que, além disso, esteja situada sobre esta reta que parte da origem com inclinação de + 1. A informação dada no enunciado 
sobre a renda em cada período serve apenas para determinar o ponto inicial (de dotação) e a magnitude do conjunto 
orçamentário, mas é irrevelante para a determinação do que se pede no exercício: a taxa de juros à qual o indivíduo escolherá 
consumir d1=d2, o que equivale à determinação da declividade da reta orçamentária.) 
 
Exercício 10
d1
d2
m2
m10
0
Declividade = +1 
(determinada pelo enunciado, 
quando se afirma que d1=d2)
Declividade = - (1+r)
(r é o que queremos encontrar!!!)
Sabemos que a curva de indiferença
deve ser tangente à reta orçamentária:
TMS = -(p1/p2) em Micro I
TMS = -(1+r) no quadro intertemporal
m^1
m^2
m1 e m2: rendas conforme enunciado
m^1 e m^2: outras possíveis rendas