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Aula 9: Aplicac¸o˜es.
Disciplina: Equac¸o˜es Diferenciais
To´pico: Equac¸o˜es diferenciais de 1a ordem
Professora: Luiza Vidigal Gonc¸alves
Exemplo 1: A altura (em metros) atingida por uma determinada ave apo´s
t horas de voo e´ dada pela soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial:
h′ + 2th = t.
A equac¸a˜o acima e´ va´lida a partir de t = 1 hora, e apenas ate´ a ave retornar
ao solo. Sabendo que inicialmente a ave esta´ a 1 metro do solo, determine a
altura da ave apo´s 1 hora de voˆo.
a) 2 metros
b) e
−1+1
2
metros
c) e−1 + 1 metros
d) e−2 metros
Soluc¸a˜o: 
h′ + 2th = t
h(0) = 1
h(1) = ?
Equac¸a˜o linear com fator integrante: I(t) = e
∫
2t dt = et
2
Assim:
et
2
(h′ + 2th) = tet
2
et
2
h′ + 2tet
2
h = tet
2
d(et
2
h)
dt
= tet
2
1
et
2
h =
∫
tet
2
dt
et
2
h =
et
2
2
+ c
h(t) =
1
2
+ ce−t
2
Como h(0) = 1⇒ c = 1
2
. Logo:
h(t) =
1 + e−t
2
2
Assim
h(1) =
1 + e−1
2
Exemplo 2: Um tanque conte´m 100 litros de a´gua pura. Uma soluc¸a˜o com
concentrac¸a˜o de entrada de 1 gramas por litro entra no tanque a uma taxa
constante de 12 litros por minuto, enquanto que a soluc¸a˜o bem misturada sai
do tanque a` taxa de 6 litros por minuto. Qual a quantidade de soluto apo´s
1 minuto?
a) 618
53
g
b) 600
51
g
c) 53
618
g
d) 1 g
Soluc¸a˜o:
Te = 12 L/min
Ts = 6 L/min
Ce = 1 g/L
V0 = 100L
Q(0) = 0
2

dQ
dt
= 12− 6Q
100 + 6t
Q(0) = 0
Q(1) = ?
dQ
dt
= 12− 3Q
50 + 3t
dQ
dt
+
3Q
50 + 3t
= 12
I(t) = e
∫
3
50+3t
dt = eln |50+3t|+c1 = ec1|50 + 3t| = ±ec1(50 + 3t) = A(50 + 3t)
Tomando A = 1
I(t) = 50 + 3t
Assim:
(50 + 3t)
dQ
dt
+ (50 + 3t)
3Q
50 + 3t
= (50 + 3t)12
(50 + 3t)
dQ
dt
+ 3Q = (50 + 3t)12
d[(50 + 3t)Q]
dt
= (50 + 3t)12
(50 + 3t)Q =
∫
(50 + 3t)12 dt
(50 + 3t)Q =
∫
(600 + 36t) dt
(50 + 3t)Q = 600t +
36t2
2
+ c
3
(50 + 3t)Q = 600t + 18t2 + c
Q(t) =
600t + 18t2 + c
50 + 3t
Como Q(0) = 0, temos: c = 0.
Logo
Q(t) =
600t + 18t2
50 + 3t
,
e
Q(1) =
618
53
g
4