7edo

Vista previa del material en texto

UNA
7a Lista de Exerc´ıcios de Equac¸o˜es Diferenciais
Professora: Luiza Vidigal Gonc¸alves
1. Resolva a equac¸a˜o diferencial:
a) y′′ − y′ − 6y = 0 Resposta: y = c1e3x + c2e−2x
b) 4y′′ + y = 0 Resposta: y = c1 cos(x/2) + c2sen(x/2)
c) 9y′′ − 12y′ + 4y = 0 Resposta: y = c1e2x/3 + c2xe2x/3
d) y′ = 2y′′ Resposta: y = c1 + c2ex/2
e)y′′ − 4y + 13y = 0 Resposta: y = e2x[c1 cos(3x) + c2sen(3x)]
f) 2
d2y
dt2
+ 2
dy
dt
− y = 0 Resposta: y = c1e(
√
3−1)t/2 + c2e(−
√
3−1)t/2
g) 100
d2z
dt2
+ 200
dz
dt
+ 101z = 0 Resposta: y = e−t[c1 cos( 110t) +
c2sen(
1
10
t)]
2. Resolva o PVI:
a) 2y′′ + 5y′ + 3y = 0, y(0) = 3 y′(0) = −4 Resposta: y =
2e−3x/2 + e−x
b) 4y′′ − 4y′ + y = 0, y(0) = 1 y′(0) = −1, 5 Resposta: y =
ex/2 − 2xex/2
c) y′′ + 16y = 0, y(pi/4) = −3 y′(pi/4) = 4 Resposta: y =
3 cos(4x)− sen(4x)
d) y′′+2y′+2y = 0, y(0) = 2 y′(0) = 1 Resposta: y = e−x(2 cosx+
3 senx)
3. Resolva o problema de contorno, se poss´ıvel:
1
a) 4y′′ + y = 0, y(0) = 3 y(pi) = −4 Resposta: y = 3 cos(x/2) −
4 sen(x/2)
b) y′′ − 3y′ + 2y = 0, y(0) = 1 y(3) = 0 Resposta: y = e
x+3
e3 − 1 +
e2x
1− e3
c) y′′ − 6y′ + 25y = 0, y(0) = 1 y(pi) = 2 Resposta: Nenhuma
soluc¸a˜o
d) y′′ + 4y′ + 13y = 0, y(0) = 2 y(pi/2) = 1 Resposta: y =
e−2x[2 cos(3x)− epi sen(3x)]
4. Resolva a equac¸a˜o diferencial usando o me´todo dos coeficientes inde-
terminados:
a) y′′ + 3y′ + 2y = x2 Resposta: y = c1e−2x + c2e−x + 12x
2 − 3
2
x+ 7
4
b) y′′− 2y = sen(4x) Resposta: y = c1 + c2e2x + 140 cos(4x)− 120sen(4x)
c) y′′ − 4y′ + 5y = e−x Resposta: y = e2x(c1 cosx+ c2 senx) + 110e−x
2