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Aula 11: Equac¸a˜o auxiliar (caracter´ıstica).
Disciplina: Equac¸o˜es Diferenciais
To´pico: Equac¸o˜es diferenciais de 2a ordem
Professora: Luiza Vidigal Gonc¸alves
Ja´ vimos que se y1 e y2 forem soluc¸o˜es linearmente independentes de
d2y
dx2
+ P (x)
dy
dx
+Q(x)y = 0,
enta˜o a soluc¸a˜o geral sera´ dada por y(x) = c1y1 + c2y2, onde c1 e c2 sa˜o
constantes arbitra´rias.
Essa informac¸a˜o e´ muito u´til, pois se conhecermos duas soluc¸o˜es particulares
linearmente independentes, enta˜o conheceremos todas as soluc¸o˜es.
Vamos trabalhar equac¸o˜es da seguinte forma:
ay′′ + by′ + cy = 0
onde a, b e c ∈ R e a 6= 0.
Na˜o e´ dif´ıcil pensar que candidatos prova´veis a serem soluc¸o˜es particulares
desta equac¸a˜o diferencial e´ a func¸a˜o exponencial. Isso porque estamos pro-
curando uma func¸a˜o y tal que uma constante vezes sua derivada segunda y′′
mais outra constante vezes y′ mais uma terceira constante vezes y e´ igual a
0. A func¸a˜o exponencial y = erx (onde r e´ uma constante) tem a propriedade
de que sua derivada e´ um mu´ltiplo por constante dela mesma: y′ = rerx. E
y′′ = r2erx. Substituindo essas equac¸o˜es em ay′′ + by′ + cy = 0, veremos que
y = erx e´ uma soluc¸a˜o se:
ar2erx + brerx + cerx = 0
ou
1
(ar2 + br + c)erx = 0
Como erx e´ diferente de zero, temos que y = erx e´ soluc¸a˜o se r e´ uma raiz da
equac¸a˜o ar2 + br + c = 0.
Esta u´ltima equac¸a˜o e´ denominada equac¸a˜o auxiliar ou equac¸a˜o carac-
ter´ıstica da equac¸a˜o diferencial ay′′ + by′ + cy = 0.
Vamos verificar treˆs casos para o ca´lculo das ra´ızes dessa equac¸a˜o: r1 e r2.
Caso 1: A equac¸a˜o caracter´ıstica tem duas ra´ızes reais.
Se ∆ = b2 − 4ac > 0 enta˜o a equac¸a˜o caracter´ıstica tem duas ra´ızes reais
distintas: r1 e r2.
Temos que mostrar que y1 = e
r1x e y2 = e
r2x sa˜o duas soluc¸o˜es linearmente
independentes de ay′′ + by′ + cy = 0.
Assim se as ra´ızes r1 e r2 da equac¸a˜o auxiliar ar
2 +br+c = 0 forem reais e
distintas, enta˜o a soluc¸a˜o geral de ay′′+ by′+ cy = 0 e´ y = c1er1x + c2er2x
Exemplo 1: Resolva a equac¸a˜o y′′ + y′ − 6y = 0
Caso 2: A equac¸a˜o caracter´ıstica tem somente uma raiz real.
Se ∆ = b2−4ac = 0 enta˜o a equac¸a˜o caracter´ıstica tem somente uma raiz real:
r, onde r = − b
2a
. Sabemos que y1 = e
rx e´ uma soluc¸a˜o de ay′′+ by′+ cy = 0.
Vamos verificar que xerx tambe´m e´ uma soluc¸a˜o:
ay′′2 + by
′
2 + cy2 = a(2re
rx + r2xerx) + b(erx + rxerx) + cxerx
= (2ar + b)erx + (ar2 + br + c)xerx
= 0(erx) + 0(xerx) = 0
Apo´s mostrar que y1 e y2 sa˜o soluc¸o˜es linearmente independentes, temos que:
2
Se a equac¸a˜o auxiliar ar2 + br + c = 0 tem pelo menos uma raiz real r,
enta˜o a soluc¸a˜o geral de ay′′ + by′ + cy = 0 e´ y = c1erx + c2xerx
Exemplo 2:
Resolva a equac¸a˜o diferencial:4y′′ + 12y′ + 9y = 0
Caso 3: A equac¸a˜o caracter´ıstica tem duas ra´ızes complexas
Se ∆ = b2 − 4ac < 0 enta˜o a equac¸a˜o caracter´ıstica tem duas ra´ızes reais
complexas: r1 = α + iβ e r2 = α − iβ onde α e β sa˜o nu´meros reais. Pela
equac¸a˜o de Euler: eiθ = cos θ + isenθ.
Escrevemos a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial como:
y = k1e
r1x + k2e
r2x = k1e
(α+iβ)x + k2e
(α−iβ)x
= k1e
αx(cos βx+ isenβx) + k2e
αx(cos βx− isenβx)
= eαx[(k1 + k2) cos βx+ i(k1 − k2)senβx]
= eαx(c1 cos βx+ c2senβx)
onde c1 = k1 + k2 e c2 = i(k1 −K2).
Assim: se as ra´ızes da equac¸a˜o auxiliar ar2 + br + c = 0 forem os
nu´meros complexos r1 = α + iβ e r2 = α − iβ enta˜o a soluc¸a˜o geral de
ay′′ + by′ + cy = 0 sera´ y = eαx(c1 cos βx+ c2senβx).
Exemplo 3:
Resolva a equac¸a˜o y′′ − 6y′ + 13y = 0
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