Equações Lineares Não Homogêneas

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Aula 13: Equac¸o˜es lineares na˜o homogeˆneas.
Disciplina: Equac¸o˜es Diferenciais
To´pico: Equac¸o˜es lineares na˜o homogeˆneas
Professora: Luiza Vidigal Gonc¸alves
Vamos aprender a resolver equac¸o˜es diferenciais lineares na˜o homogeˆneas com
coeficientes constantes, isto e´, equac¸o˜es da forma:
ay′′ + by′ + cy = G(t),
onde a, b e c sa˜o constantes e G e´ uma func¸a˜o cont´ınua. A equac¸a˜o homogeˆnea
correspondente
ay′′ + by′ + cy = 0
e´ chamada equac¸a˜o complementar e desempenha papel importante na soluc¸a˜o
da equac¸a˜o na˜o homogeˆnea.
Teorema: Seja yp uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o ay
′′ + by′ + cy = G(t).
Sejam y1(t) e y2(t) soluc¸o˜es fundamentais da equac¸a˜o homogeˆnea correspon-
dente. Enta˜o a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o na˜o homogeˆnea ay′′ +by′ +cy = G(t)
e´
y(t) = c1y1(t) + c2y2(t) + yp(t)
.
Ou seja, a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial linear de 2a ordem na˜o ho-
mogeˆnea e´ a soma da soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o homogeˆnea correspondente
c1y1(t) + c2y2(t) com uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o diferencial na˜o
homogeˆnea yp(t). A soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o homogeˆnea correspondente
c1y1(t) + c2y2(t) pode ser denotado por yc. Dessa forma
y(t) = yc(t) + yp(t)
Demonstrac¸a˜o:
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O que temos de verificar e´ que se y for qualquer soluc¸a˜o da equac¸a˜o ay′′ +
by′ + cy = G(t), enta˜o y − yp sera´ uma soluc¸a˜o de ay′′ + by′ + cy = 0.
De fato,
a(y − yp)′′ + b(y − yp)′ + c(y − yp) = ay′′ − ay′′p + by′ − by′p + cy − cyp
= ay′′ + by′ + cy − (ay′′p + by′p + cyp)
= G(t)−G(t) = 0
Ja´ sabemos resolver a equac¸a˜o complementar. E este teorema nos garante
que se conhecermos uma soluc¸a˜o particular yp, conheceremos a soluc¸a˜o geral
da equac¸a˜o na˜o homogeˆnea.
Ha´ dois me´todos para determinar uma soluc¸a˜o particular: o me´todo dos coe-
ficientes indeterminados e o me´todo de variac¸a˜o dos paraˆmetros. O primeiro
e´ mais simples, mas na˜o funciona sempre. Ja´ o segundo funciona para todo
func¸a˜o G.
O me´todo dos coeficientes indeterminados.
Este me´todo requer uma hipo´tese inicial sobre a forma da soluc¸a˜o particular
yp(t) mas com os coeficientes na˜o especificados. Substitu´ımos a expressa˜o
hipote´tica na equac¸a˜o ay′′ + by′ + cy = G(t)
e tentamos determinar os coeficientes de modo que a equac¸a˜o seja satisfeita.
Se tivermos sucesso, teremos encontrado uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
ay′′ + by′ + cy = G(t) e podemos usa´-la como soluc¸a˜o particular yp(t). Se na˜o
conseguirmos determinar os coeficientes, isso significa que na˜o existe soluc¸a˜o
da forma que supusemos. Nesse caso, temos de modificar a hipo´tese inicial e
tentar de novo.
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A maior vantagem deste me´todo e´ que ele e´ fa´cil de executar, uma vez feita
a hipo´tese de yp(t). Mas ele e´ bem restrito, se limita a problemas nos quais a
equac¸a˜o homogeˆnea tenha coeficientes constantes e o termo na˜o-homogeˆneo
pertenc¸a a uma classe relativamente pequena de func¸o˜es. No caso seriam as
func¸o˜es exponenciais, senos, cossenos e polinoˆmios.
Vamos primeiro pensar no caso em que G(t) e´ um polinoˆmio. E´ razoa´vel
pensar que exista uma soluc¸a˜o particular yp que seja um polinoˆmio de mesmo
grau de G(t), pois se y for um polinoˆmio, enta˜o ay′′ + by′ + cy tambe´m sera´
um polinoˆmio. Portanto substitu´ımos yp(t) por um polinoˆmio (de mesmo
grau de G) na equac¸a˜o diferencial e determinamos os coeficientes.
Exemplo: Resolva a equac¸a˜o diferencial y′′ + y′ − 2y = t2
Se G(t) e´ da forma Cekt, onde C e k sa˜o constantes, enta˜o tomamos como
uma tentativa de soluc¸a˜o uma func¸a˜o de mesma ordem Aekt, pois as derivadas
de ekt sa˜o mu´ltiplas por constantes de ekt
Exemplo: Resolva a equac¸a˜o diferencial: y′′ + 4y = e3t
Se G(t) e´ C cos (kt) ou C sen(kt) enta˜o suponha que a soluc¸a˜o particular
e´ uma combinac¸a˜o linear de cos (kt) e sen(kt), isto e´: yp(t) = A cos (kt) +
Bsen(kt)
Exemplo: Resolva a equac¸a˜o diferencial: y′′ + y′ − 2y = sent
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