Assintotas 01

Prévia do material em texto

1 
 
Lista de Exercícios 4 – Cálculo I 
 
Exercício 5 página 132: Determine as assíntotas verticais e horizontais (se existirem) e 
interprete os resultados encontrados relacionando-os com o comportamento da função: 
 
a) 
x
x
xf
−
+
=
2
3
)( 
Antes de começar a calcular os limites de uma função com a finalidade de encontrar as 
assíntotas verticais e horizontais, é importante calcular o domínio D da função, pois isto 
nos dará informações importantes sobre as assíntotas verticais. 
 
Encontrando o domínio D da função )(xf : 
 
O denominador da fração 
x
x
−
+
2
3
 deve ser diferente de zero, logo temos: 
 
02 ≠− x ⇒ 2−≠− x ⇒ 2≠x 
 
Não existem mais restrições aos valores que x pode assumir condicionados a existência de 
)(xf , logo o domínio D da função )(xf será: 
 
{ }: 2D x x= ∈ ≠ℝ . 
 
Sabendo que 2=x não pertence ao domínio da função, podemos calcular o limite da 
função )(xf quando x se aproxima de 2 com a finalidade de verificar se existe uma 
assíntota vertical neste ponto. 
 
Calculando o limite obtemos 
2
lim ( )
x
f x
→
= ∞ , porém não sabemos se é positivo ou negativo. 
Para isso precisamos calcular os limites laterais: 
 
2
3
lim
2x
x
x+→
+
= −∞
−
, pois 2 – x < 0 quando x → 2 pela direita e 
 
2
3
lim
2x
x
x−→
+
= +∞
−
, pois 2 – x > 0 quando x → 2 pela esquerda. 
 
Como conseqüência, temos que a reta 2=x é uma assíntota vertical da função )(xf . 
 
Agora para tentar encontrar assíntotas horizontas devemos calcular o limite da 
função )(xf quando x tende a ± ∞ 
Utilizando a regra para o cálculo de limites de divisão de polinômios quando x tende a 
± ∝ temos: 
 
2 
 
3 3
1 1
3
lim lim lim 1
2 22
1 1
x x x
x
x x x
x
x
x x
→±∞ →±∞ →±∞
   + +   +    = = = −
−    − −   
   
 
 
Logo existe uma assíntota horizontal de equação 1−=y . 
 
Portanto as assíntotas são 2=x e 1−=y . 
 
b) 
2
2
( )
4
x
f x
x
=
+
 
 
Determinando o domínio D da função )(xf : 
 
Sabemos que o denominador da fração deve ser diferente de 0, porém x
2
 + 4 > 0 para todo 
x. Logo, D = ℝ . 
 
Como não há restrições para os valores de x para a função )(xf , não temos assíntotas 
verticais. 
 
Para encontrar assíntotas horizontais (se existirem) basta calcular o limite da função )(xf 
quando x tende a ± ∞ : 
2
2
lim
4x
x
x→±∞ +
 
 
Usando a regra para os cálculos de limites de polinômios quando x tende à ± ∞ temos: 
 
2
2
lim
x
x
x→±∞
 ⇒ lim 1
x→±∞
 ⇒ lim ( ) 1
x
f x
→±∞
= 
 
Portanto existe uma assíntota horizontal de equação 1=y 
 
c) 
2
3
( )
4
g x
x
=
−
 
 
Encontrando o domínio da função )(xg : 
 
Sabemos que o denominador da fração tem que ser diferente de 0, logo temos: 
 
2 4 0x − ≠ ⇒ 2 4x ≠ ⇒ 4x ≠ ± ⇒ 2x ≠ ± 
 
Portanto o domínioD da função )(xf : { }| 2D x x= ∈ ≠ ±ℝ 
 
Agora vamos procurar as assíntotas verticais e horizontais: 
 
3 
 
Calculando o limite de )(xg quando x tende a ( – 2) temos: 
 
2
2 2
3
lim ( ) lim
4x x
g x
x± ±→ − →−
= = ∞
−
∓ 
 
Logo existe uma assíntota vertical de equação 2−=x . 
 
Calculando o limite de )(xg quando x tende a 2 temos: 
 
2
2
3
lim
4x x±→
= ±∞
−
. 
 
Logo existe uma assíntota vertical de equação 2x = . 
 
Encontrando as assíntotas horizontais de )(xg : 
 
2
3
lim 0
4x x→ ±∞
=
−
 
 
Logo existe uma assíntota horizontal de equação 0=y . 
 
Esta assíntota horizontal nos diz que para valores muito grandes de x , a função g( x ) se 
aproxima do valor 1. 
 
As assíntotas verticais nos dizem que a função cresce ou decresce muito rapidamente 
quando x se aproxima de 2 ou quando x se aproxima de -2. 
 
d) 
2
1
y
x x
=
−
 
 
Para não confundirmos a função 
2
1
y
x x
=
−
 com uma equação, utilizaremos a notação 
)(xyy = para a função. 
 
Primeiramente, encontraremos o domínio D da função )(xy : 
 
Sabemos que o denominador da fração 
2
1
x x−
 deve ser diferente de 0, logo temos: 
 
2 0x x− ≠ ⇒ ( 1) 0x x − ≠ ⇒ 0x ≠ ou 1x ≠ 
 
Portanto o domínio D da função )(xy é: { }: 0 ou 1D x x x= ∈ ≠ ≠ℝ . 
 
Como 0x = e 1x = não podem ser utilizados pela função )(xy , tentaremos descobrir o 
que acontece com a função )(xy quando x se aproxima de 0 e quando x se aproxima de 
1. 
4 
 
Calculando o limite de )(xy quando x tende a 0: 
 
20
1
lim
x x x→
= ∞
−
 ⇒ 
0
lim ( )
x
y x
→
= ∞ . 
 
Logo, existe uma assíntota vertical de equação 0x = . 
 
Calculando o limite de )(xy quando x tende a 1 pela direita: 
 
2
1 1
1 1
lim lim
( 1)x xx x x x± ±→ →
= = ±∞
− −
 ⇒ 
1
lim ( )
x
y x
→
= ±∞ 
 
Logo existe assíntota vertical de equação 1=x . 
 
Para encontrar assíntotas horizontais, basta calcular o limite de )(xy quando x tende a 
± ∞ . Calculando o limite de )(xy quando x tende a +∞ : 
2
1
lim 0
x x x→∞
=
−
 ⇒ lim ( ) 0
x
y x
→∞
= 
 
Logo existe uma assíntota horizontal de equação 0y = . 
 
A assíntota horizontal nos diz que quando x aumenta ou diminui muito a função )(xy se 
aproxima de 0. 
 
As assíntotas verticais nos dizem que quando x se aproxima de 0 e de 1, a função )(xy 
cresce ou diminui muito, dependendo do lado pelo qual ocorre a aproximação de 1=x e 
de 0=x . 
 
e) 
2
( )
2
x x
f x
x
−
=
−
 
 
Novamente, encontraremos o domínio da função )(xf : 
Sabemos que o denominador da fração 
2
2
x x
x
−
−
 deve ser diferente de 0, logo temos: 
 
2 0x − ≠ ⇒ 2x ≠ 
 
Logo o domínioD da função )(xf é: { }| 2D x x= ∈ ≠ℝ 
 
Iremos calcular o limite de )(xf quando x tende a 2. Se esse limite for igual a ± ∞ 
teremos uma assíntota vertical: 
 
2
2 2
2
lim lim
2 0x x
x x
x± ±→ →
−
= = ±∞
−
 ⇒ 
2
lim ( )
x
f x
±→
= ±∞ . 
 
5 
 
Logo temos uma assíntota vertical de equação 2=x . 
 
Para encontrar assíntotas horizontais, basta calcular o limite de )(xf quando x tende a 
± ∞ : 
 
2
lim
2x
x x
x→∞
−
−
 
Para calcular este limite, podemos utilizar a regra para cálculos de limites com divisão de 
polinômios e x tendendo a ± ∞ : 
2
lim
x
x
x→∞
 ⇒ lim
x
x
→∞
 ⇒ lim ( )
x
f x
→∞
= ∞ 
 
Logo não existe assíntota horizontal para esta função. 
 
Com relação a assíntota vertical de )(xf , podemos dizer que quando x se aproxima de 2, 
a função )(xf aumenta muito ou diminui muito, dependendo se nos aproximarmos de x 
pela esquerda ou pela direita. 
 
f) 
2
2
3
( 1)
x
y
x
−
=
−
 
Para não confundir a função 
2
2
3
( 1)
x
y
x
−
=
−
 com uma equação, escreverei ( )y x . 
 
Encontrando o domínio da função )(xy : 
 
Sabemos que o denominador da fração 
2
2
3
( 1)
x
x
−
−
 deve ser diferente de 0, logo temos: 
 
2( 1) 0x − ≠ ⇒ 1x ≠ . 
 
Logo 1=x não faz parte do domínio da função )(xy , então iremos calcular o limite da 
função )(xy quando x se aproxima de 1 para ver o que ocorre com a função. Caso a 
função se aproxime de ± ∞ , 1=x será assíntota vertical. 
 
Calculando o limite de )(xy quando x se aproxima de 1 pela direita: 
 
2
2
1 1
3 2
lim lim
( 1) 0x x
x
x± ±→ →
− −
= = −∞
−
 ⇒ 
1
lim ( )
x
yx
→
= −∞ 
 
Portanto temos uma assíntota vertical de equação 1x = . 
 
Para encontrar assíntotas horizontais, basta calcular o limite de )(xy quando x tende a 
± ∞ : 
 
6 
 
2
2
3
lim
( 1)x
x
x→∞
−
−
 ⇒ 
2
2
3
lim
2 1x
x
x x→∞
−
− +
 
 
Para calcular este limite, basta usar a regra de cálculos de limites com polinômios quando 
x tende à ± ∞ : 
2
2
lim
x
x
x→∞
 ⇒ lim ( ) 1
x
y x
→∞
= 
 
Portanto a equação 1=y representa uma assíntota horizontal. 
 
Exercício 6 página 132: O estudo da dissociação do tetróxido de dinitrogênio em dióxido 
de nitrogênio 
 
N204 (g)� 2 N02 (g) 
 
Conduz à seguinte constante de equilíbrio Kp: 
 
onde eα e é o grau de dissociação do tetróxido no equilíbrio e P é a pressão total do 
sistema. Calcule os limites do grau de dissociação quando a pressão tende a zero e ao 
infinito e interprete os resultados obtidos. 
Dica: lim ( ) lim ( )
x a x a
f x f x
→ →
= 
Primeiramente, devemos saber de qual função vamos calcular os limites pedidos no 
exercício. Segundo o enunciado, eα é a nossa função e a pressão P é a variável 
independente, logo devemos encontrar a função eα (P). 
Para encontrar a função eα (P), devemos rearranjar a expressão dada: 
2
2
4
1
e
e
P
Kp
α
α
=
−
 ⇒ 2 2(1 ) 4e eKp Pα α− = ⇒ 
2 24e eKp Kp Pα α− = ⇒ 
2 24e eKp Kp Pα α= + 
⇒ 2 ( )eKp Kp Pα= + ⇒ 
2
( )
e
Kp
Kp P
α=
+
 ⇒ ( )
( )
e
Kp
P
Kp P
α=
+
 
Agora calculando o limite da função eα (P) quando P tende a 0: 
0
lim
( )P
Kp
Kp P→ +
 ⇒ 
0
lim
( 0)P
Kp
Kp→ +
 ⇒ 
0
lim
( 0)P
Kp
Kp→ +
 ⇒ 
0
lim ( ) 1e
P
Pα
→
= 
Isto significa que a baixas pressões, o grau de dissociação se aproxima de 1, ou seja, à 
baixas pressões, o dióxido de nitrogênio é predominante no equilíbrio. 
2
2
4
1
e
e
P
Kp
α
α
=
−
7 
 
Agora, vamos calcular o limite da função eα (P) quando a pressão tende ao infinito. 
lim
( )P
Kp
Kp P→∞ +
 ⇒ lim
( )P
Kp
Kp P→∞ +
 ⇒ lim
( )P
Kp
Kp→∞ +∞
 ⇒ lim ( ) 0e
P
Pα
→∞
= 
Quando a pressão tende ao infinito, a função α ε(P) tende a 0 e como consequência 
imediata, temos que praticamente não ocorre dissociação e o tetróxido de dinitrogênio 
predomina. 
 
Exercício 7 página 132: A partir da Mecânica Estatística, mostra-se que a energia de 1 mol 
de osciladores harmônicos em equilíbrio térmico à temperatura T é dada por 
o( )
1
h
kT
N h
E T
e
=
−
ν
ν
 
onde oN é o número de Avogadro, K é a constante de Boltzmann, h é a constante de 
Planck e υ é a frequência vibracional. Determine o limite de E quando T 0→ e interprete 
o resultado obtido. 
Calculando o limite da função )(TE quando T 0→ : 
o
0
lim
1
h
T
kT
N h
e
ν
ν
→
−
 ⇒ o
0
0
lim
1
h
T
k
N h
e
ν
ν
→
−
 ⇒ o
0
lim
1T
N h
e
ν
∞→ −
 ⇒ 
0
lim ( ) 0
T
E T
→
= 
Quando a temperatura se aproxima de 0, temos que a energia dos osciladores harmônicos 
se aproxima de 0. 
Dica para quem tem curiosidade: 
Procurem saber o que é um oscilador anarmônico e, caso o façam, pensem se o resultado 
obtido no cálculo do limite faria sentido para 1 mol de osciladores anârmonicos.