Analise Combinatoria

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ANÁLISE COMBINATÓRIA
sobre Matemática Por Paulo Marques 
Introdução 
Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). 
A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições. 
Fatoriais
Indicamos por 5! (leia: cinco fatorial) o produto dos cinco primeiros naturais positivos:
5! = 5.4.3.2.1 = 120
...(n + 3).(n + 2).(n + 1). n .(n -1).(n-2).(n-3)...
Por definição n > 1
Nos casos particulares n = 1 e n = 0, definimos: 1! = 1 e 0! = 1 
Exemplos: 
1- Simplificar e calcular:
a) = = 10 b) = = 
2- Simplificar:
a) = = 
b) = = (n+2).(n+1)
3- Resolver a equação:
(n – 1)! = → = 30 → → (n+1).n = 30 → n² + n = 30
Resolvendo a equação do 2º grau temos: n = -6 e n =5 como n >1, então n = 5
Exercícios:
Calcule:
4! + 3! = b) 7! – 5! = c) 5 + 4! = d) 30 + 0! – 3 . 1!
Efetue:
a) b) = c) = d) = e) =
Simplifique:
a) = b) = c) =
Resolva as seguintes equações:
a) (n + 1)! = 120 b) (x – 3)! = 1 
c) n! = 6 d) = 7n
Princípio fundamental da contagem 
	Se uma ação é composta de duas etapas sucessivas, sendo que a primeira pode ser feita de m modos e, para cada um destes, a segunda pode ser feita de n modos, então, o número de modos de realizar a ação é m x n. Este princípio pode ser generalizado para ações compostas de mais de duas etapas.
Exemplos:
 1- O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado?
Solução: 
Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-2357. Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no país existissem 175.760.001 veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, já que não existiriam números suficientes para codificar todos os veículos. 
2- Quantas placas de licença de automóveis podem ser formadas por 3 letras e 4 algarismos sendo as letras apenas vogais e sendo os algarismos distintos? Formar uma tal placa é uma ação composta de 7 etapas conforme indicamos no esquema a seguir:
Resposta: 630.000
observe que as letras devem ser vogais (a, e, i, o, ou u) podendo ser repetidas; assim, há 5 possibilidades para cada letra. Os algarismos (0, l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9) devem ser distintos; por isso há 10 possibilidades de escolha do primeiro deles, 9 possibilidades para o segundo, 8 para o terceiro e 7 para o último. O número de placas que podemos formar nestas condições é5 x 5 x 5 x10 x 9 x 8 x 7; logo 630 000 placas.
Exercícicos
1. Uma sorveteria oferece uma taça de sorvete que pode vir coberto com calda de chocolate ou de morango ou de caramelo. Se o sorvete pode ser escolhido entre 10 sabores diferentes, quantas são as opções para um cliente escolher a taça com cobertura?
2. No Colégio Gávea há três classes de 2º colegial: no 2ºA há 32 alunos, no 2ºB há 30 alunos e no 2ºC há 26 alunos. Serão escolhidos 3 representantes do 2ºcolegial para o organização de uma festa, sendo um de cada classe. De quantos modos diferentes poderão ser escolhidos estes representantes?
3. Numa empresa há 5 engenheiros, 2 economistas e 4 administradores. Deseja-se forma uma comissão para estudar um projeto, composta de l engenheiro, l economista e l administrador. De quantos modos a comissão poderá ser formada?
4. Num colégio será formada uma comissão de professores, composta de um professor de cada matéria, para estabelecer um critério de avaliação. Se no colégio existem 4 professores de Matemática, 3 de Português, 3 de Biologia, 4 de Inglês, 6 de Estudos Sociais, 3 de Física e 2 de Química, de quantos modos a comissão poderá ser formada?
5. Um artista tem 4 cartolas, 5 casacos e 6 bengalas, todos diferentes. Em cada apresentação ele deve usar uma cartola, um casaco e uma bengala. Quantas apresentações ele pode fazer sem usar as mesmas três peças?
6. Num estádio há 12 portas de entrada. Quantas possibilidades existem de uma pessoa entrar por uma porta e sair por outra diferente?
7. Determine quantos números naturais de três algarismos podem ser escritos empregando os algarismos l, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 em cada caso:
a) podendo haver repetição de algarismo no mesmo número;
b) sem haver repetição de algarismo no mesmo número.
8. Quantos números ímpares de 4 algarismos não repetidos podemos formar com os algarismos 2, 4, 6, 7, 8 e 9? 
9. Usando os algarismos l, 3, 4, 5, 7 e 8, sem repetir, 
a) quantos números pares de 3 algarismos podemos formar?
b) quantos números de 3 algarismos e divisíveis por 5 podemos formar?
10. Considerando todos os números de três algarismos distintos que podemos formar com os algarismos l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0, responda:
a) quantos números são? d) quantos são divisíveis por 5?
b) quantos são maiores que 500? e) quantos são ímpares?
c) quantos são menores que 300? 
 ,
11. Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos-1, 2, 3, 4, 5 e 6 incluindo sempre o algarismo 5?
Permutações
Denominamos permutação de n elementos dados a toda sucessão de n termos formada com os n elementos dados
Exemplos:
1- Formar os anagramas da palavra LIA. (anagramas são “palavras” formadas com as mesmas letras da palavra dada. Tais “palavras” podem não ter significado na linguagem comum.)
 
LIA = LIA, LAI, ALI, AIL, IAL, ILA = 6
2- Quantos anagramas tem a palavra MITO? 
4 .3. 2. 1 = 24
Exercícios
Calcule:
a) P4 = b) P6 = c) =
Considere os anagramas da palavra BRASIL.
Quantos são?
Quantos começam por B?
Quantos começam por vogal?
De quantas maneiras 5 pessoas podem ser dispostas em fila indiana?
Uma estudante tem 10 livros distintos, sendo cinco de álgebra, três de geometria e dois de trigonometria. De quantos modos podemos arrumar esses livros na estante, se desejamos que os livros de um mesmo assunto permaneçam juntos?
Arranjos Simples
Arranjo simples é o tipo de agrupamento sem repetição em que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes.
Fórmula: A n, p = 
Exemplos:
1- Calcular A 6,2 
A6, 2 = = = 30
2- Resolver a equação A x, 12
A x, 2 = 12 = 12 = 12 x² - x = 12 
 x² - x – 12 = 0
Resolvendo a equação do 2º grau temos: x = 4 e x = -3 (não satisfaz) 
3- Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, e 7, sem repeti-los?
A 6, 3 = 6 . 5 . 4 = 120
 4- Quantos números pares de 4 algarismos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, e 6, sem repeti-los.
4. A6,3 – 3. A5,2 (os que começam por zero) = 480 – 60 = 420
Exercícios 
Calcule o valor de:
A 6,5 b) A 9,3
Num concurso de beleza em que participaram10 candidatas, de quantos modos diferentes pode ser formado o grupo das 3 primeiras colocadas?
Com os algarismos 1 2 3 4 e 5 quantos números de 3 algarismos distintos podemos escrever?
De quantos modos podem ser escolhidos o presidente e o vice-presidente de uma empresa entre 8 sócios?
Quantas “palavras” de 5 letras distintas podem ser formadas com as letras da palavra JANEIRO?
Combinações Simples
Combinação simples é o tipo de agrupamento sem repetição em que um grupo é diferente de outro apenas pela natureza dos elementos componentes.
Formula: C n, p = 
Exemplos:
1- quantas comissões de 2 pessoas podem ser formadas com 5 alunos de uma classe? 
C5,2 = = = 10
2- Sobre uma reta, marcam-se 8 pontos e sobre outra reta, paralela a primeira, marcam-se 5 pontos. Quantos triângulos obteremos unindo 3 quaisquer desses pontos?
C 13,3 todos os pontos
Reta 1 - C8,3 os pontos não formam triângulos;
Reta 2 – C5,3 os pontos não formam triângulos;
Portanto: C13,3 – C8,3 – C 5,3 = 286 – 56 – 10 = 220 triângulos.
Exercícios
Calcule o valor da expressão:
P5 + 2 A6,4 – C 6,2
Resolva a equação Cx,2 = 15 
Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4 e 5} quantos subconjuntos de A com 3 elementos podemos escrever? 
Após uma reunião com 9 pessoas, elas se despedem com um aperto de mão. Quantos são os apertos de mão?
Quantas comissões com 6 membros podemos formar com 10 alunos?
6- Com 10 espécies de frutas, quantos tipos de salada, contendo 6 espécies diferentes podem ser feitos?
7- Qual é o número de diagonal de um hexágono?