Exercicios Derivadas Maximos Minimos Taxas de Variacao Ferramentas de Cálculo

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1) A	função	horária	do	movimento	de	uma	partícula	é	dada	por	! ! = !! − ! ln !.	Calcular	a	velocidade	escalar	nos	instantes:		a) ! = !! !		! = − !! m/!	b) ! = 1 !		! = 0 m/!		2) Calcule	a	velocidade	dada	a	função	horária:		a) ! ! = !!!! ! = !!!! ! m/! b) ! ! = ln! ! ! = ! !"! !! m/! 3) Na	figura	abaixo,	está	representado	o	gráfico	da	função	horaria	de	um	movimento	(a	reta	mostrada	é	tangente).	Determine:	
 a) Os instantes em que a velocidade é nula 3 s e 7 s b) A velocidade para ! = 1 s c) Os intervalos de tempo nos quais a velocidade é negativa. 0 < ! < 3 s e 7 < t < 8 s 4) A	inclinação	da	reta	tangente	ao	gráfico	da	função	horaria	de	um	movimento	no	ponto	 4,13 	é	12.	Determine:		a) ! 4 ! = 13 b) ! 4 ! = 12 
	5) Deseja-se	 construir	 uma	 piscina	 de	 base	 quadrangular	 com	 volume	! = 32 !!.	Determine	as	dimensões	para	que	se	tenha	o	menor	consumo	de	material	para	o	revestimento.			! = 4 ! ;! = 4 ! ; ! = 2 !		6) Quais	 as	 medidas	 que	 proporcionam	 a	 máxima	 economia	 de	 material	 para	construir-se	 um	 reservatório	 de	 água	 sem	 tampa,	 de	 base	 retangular	 com	comprimento	igual	ao	triplo	da	largura	e	volume	igual	a	36 !!?	!"#$%#" = 2,52 ! ; !"#$%&#'()" = 7,56 ! ;!"#$%! = 1,89 !		7) Uma	 indústria	 vende	 seus	 produtos	 em	 embalagens	 no	 formato	 cilíndrico	 com	volume	igual	a	800 c!!.	Determinar	as	medidas	do	raio	e	da	altura	para	que	se	tenha	o	menor	gasto	com	alumínio	no	processo	de	confecção	da	embalagem.	! = 5,03 !" ! ℎ = 10,06 !"		8) Um	 fazendeiro	 vai	 construir	 um	 galinheiro	 de	 forma	 retangular	 utilizando	 uma	tela	 de	 16m,	 aproveitando	 um	muro	 como	 fundo	 do	 galinheiro.	 Determinar	 as	dimensões	da	largura	e	comprimento	para	que	se	tenha	a	maior	área	possível.	! = 4 ! ! ! = 8 !		9) O	custo	de	produção	de	x	microondas	por	dia	é	dado	por	! ! = !!! + 70! + 50	e	o	preço	 de	 venda	 unitário	 é	 de	! ! = 100− x.	 Qual	 a	 quantidade	 da	 produção	diária	para	que	se	tenha	lucro	máximo?		! = 10 !"#$%$&'		10) O	custo	de	produção	de	!	unidades	de	baterias	é	dado	por	! ! = 30+ 20!		e	o	preço	de	venda	de	cada	bateria	é	! ! = 60− !!""",	para	! < 50.000.	Determine	o	número	 de	 baterias	 vendidas	 para	 que	 se	 tenha	 lucro	 máximo?		! = 20.000 !"#$%$&'		11) Uma	 carga	 elétrica	 em	 Coulombs,	 transmitida	 através	 de	 um	 circuito	 varia	 de	acordo	 com	 a	 função	 ! ! = 12!! − 48!! .	 Determinar	 o	 tempo	 ! 	quando	 a	corrente		! = !! ! 	atinge	o	valor	máximo.			! = 3 !	
	12) Para	 cercar	 um	 terreno	 retangular	 serão	 utilizados	 1500	m	 de	 arame	 farpado.	Determinar	as	dimensões	para	que	se	tenha	a	maior	área	possível.	! = ! = 375 ! 13) A	função	horária	de	um	movimento	é	dada	por	! ! = t !.	Em	que	instante	a	velocidade	vale	!! !/!	?	! = 1 s		14) Uma	 torneira	 lança	 água	 em	 um	 tanque.	 O	 volume	 de	 água	 nele	 no	 instante	!	é	dado	 por	! ! = 5!! + 3!	litros,	 sendo	!,	 dado	 em	 minutos.	 Calcule	 a	 vazão	 de	água	no	instante	! = 3	minutos.	!"#ã! = 138 !/!"#		15) Uma	torneira	lança	água	em	um	recipiente,	sendo	o	volume	da	água	no	instante	t	igual	a	V t = ln 1+ t .	! ! é	dado	em	!!	em	!	em	horas.		a) Calcule	a	vazão	em	um	instante	!.	! ! = !!!! !!/ℎ	b) Sabendo	 que	 em	 um	 certo	 instante	 a	 vazão	 é	 de	!! !!/ℎ ,	 determine	 este	instante.	! = 3ℎ		16) A	 massa	 do	 trecho	 OP	 do	 fio	 mostrado	 na	 figura	 abaixo	 é	m x = x!ln (x+ 1)	quilos,	para	x	dado	em	cm.	Calcule	a	densidade	linear	no	ponto	em	que	x	=1	cm.	! 1 = 2,57 !"/!" 	Use	ln 2 = 0,69	
		17) Deseja-se	 cercar	 um	 terreno	 no	 formato	 retangular	 utilizando	 20	 m	 de	 cerca.	Determine	 as	 medidas	 dos	 lados	 do	 terreno	 para	 que	 se	 tenha	 o	 melhor	aproveitamento	do	espaço.	! = 5 ! ! = 5	
	18) Numa	 reserva	 ambiental	 	 a	 população	 de	 animais	 é	 descrita	 por	! ! = 100 . !!!!!!!"!!!!" .	Após	Quanto	tempo	a	população	é	máxima?		5 anos		19) Uma	bola	de	basquete	 é	 lançada	verticalmente	para	 cima.,	 segundo	a	 expressão	s ! = 60t− 5!!,		!	em	metros	e	! em segundos.	Determine:		 a) Qual	o	tempo	gasto	para	atingir	a	altura	máxima?	6 segundos	b) Qual	a	altura	máxima	em	relação	ao	solo? 180 metros		20) Um	móvel	desloca-se	segundo	a	função	s ! = cos !.	Determine:		 a) A	velocidade	no	instante	!!	segundos.	! = − !! m/s	b) Sua	aceleração	no	instante	!!	segundos		! = − !! m/s2		21) Suponha	que	R x = 9!	e	C x = !! − 6!! + 15!,	 onde	x	 representa	milhares	de	unidades.	Qual	a	produção	que	maximiza	o	lucro?		22) Uma	área	retangular	em	uma	fazenda	será	cercada	por	um	rio	e	nos	outros	três	lados	por	uma	cerca	elétrica	com	800	m	de	cerca.	Qual	a	maior	área	que	pode	ser	cercada	e	quais	as	dimensões?	! = 80.000 !!	;	! = 200 ! ! ! = 400!		23) A	altura	de	um	objeto	que	desloca	verticalmente	é	dada	por	! ! = −16!! + 96! +112	com	!	em	pés	e	!	em	segundos.	Determine:		 a) A	velocidade	do	objeto	quando	! = 0.	! = 96 !é!/!	b) Sua	altura	máxima	e	quando	isto	ocorre.	! = 256 !é! ; ! = 3 !	c) Sua	velocidade	quando	! = 0. ! = −128 !é!/!			
 	
	24) O	custo	mensal	da	produção	de	x	unidades	é	dada	por	! ! = !!! 	−2!! + 10! + 20	e	 o	 preço	 de	 venda	 de	 cada	 unidade	 é	 descrito	 por	! ! = 31,00.	 Determine	quantas	unidades	devem	ser	produzidas	e	vendidas	para	que	se	obtenha	o	lucro	máximo.	7 !"#$%$&'		25) O	custo	mensal	da	produção	de	x	unidades	é	dada	por	! ! = 100+ 3x	e	o	preço	de	 venda	 de	 cada	 unidade	 é	 descrito	 por	! ! = 25− !! .	 Determine	 quantas	unidades	 devem	 ser	 produzidas	 e	 vendidas	 para	 que	 se	 obtenha	 o	 lucro	máximo. 33 !"#$%$&'		26) Uma	fábrica	produtora	de	TV	de	Plasma,	estima	que	o	custo	mensal	da	produção	de	 x	 unidades	 é	 dada	 por	! ! = !!! + 35x+ 25	e	 o	 preço	 de	 venda	 de	 cada	unidade	 é	 descrito	 por	! ! = 50− !! .	 Determine	 quantas	 unidades	 devem	 ser	produzidas	e	vendidas	para	que	se	obtenha	o	lucro	máximo. 10 !"#$%!"#