6ª Lista Integrais Duplas e Integrais Iteradas

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6ª Lista – Integrais Duplas e Integrais Iteradas 
Considere a integral dupla ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴, sobre a região R , onde dA é o elemento de 
área. 
1. Calcule a integral dupla ∬ 2𝑥 + 6𝑥2𝑦𝑑𝐴 , sobre o retângulo R dado por : 1 ≤
𝑥 ≤ 4 𝑒 − 1 ≤ 𝑦 ≤ 2. 
 
Use as integrais iteradas, nas duas ordens de integração. 
Resposta: 234 
2. Calcule a integral dupla ∬ 2𝑥2 − 3𝑦𝑑𝐴 , sobre o retângulo R dado por : −1 ≤
𝑥 ≤ 2 𝑒 1 ≤ 𝑦 ≤ 3. 
 
Use as integrais iteradas, nas duas ordens de integração. 
Resposta: -24 
3. Calcule a integral dupla ∬ 𝑥3 + 4𝑦 𝑑𝐴 , onde R é a região desenhada abaixo 
dado por : 
 
Use as integrais iteradas, nas duas ordens de integração. 
Resposta: 32/3 
4. Considere a integral iterada: ∫ ∫ 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑦
0
4
0
 
4.1 Faça um esboço da região sobre a qual se está fazendo a integral. 
4.2 Calcule a integral iterada dada. 
4.3 Inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada nessa outra ordem. 
4.4 Qual a área da região R? 
2 
 
5. Considere a integral iterada: ∫ ∫ 𝑥𝑦3𝑑𝑦𝑑𝑥
2𝑥
0
2
1
 
5.1 Faça um esboço da região sobre a qual se está fazendo a integral. 
5.2 Inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada nessa outra ordem de 
integração. 
6. Considere a integral iterada: ∫ ∫ 𝑑𝑦𝑑𝑥
4𝑥−𝑥2
𝑥2
2
0
 
6.1 Faça um esboço da região R sobre a qual se está fazendo a integral. 
6.2 Calcule a integral iterada dada. 
6.3 Dê a integral iterada na outra ordem de integração. 
6.4 Qual a área da região R? 
7. Determine o volume V do sólido, no primeiro octante, limitado pelos planos 
coordenados e os gráficos das equações: 
𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 + 1 (paraboloide) e 2𝑥 + 𝑦 = 2 (plano). 
Resposta: 
𝑉 = ∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦2 + 1) 𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦2 + 1) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 11/6
(2−𝑦)/2
0
2
0
2−2𝑥
0
1
0
. 
8. Inverta a ordem de integração e calcule a integral: 
8.1 ∫ ∫ 𝑒𝑦
2
𝑑𝑦𝑑𝑥
2
2𝑥
1
0
 
8.2 ∫ ∫ 𝑦 cos 𝑥2 𝑑𝑥𝑑𝑦
4
𝑦2
2
0
 
8.3 ∫ ∫ 𝑒(𝑥 𝑦)⁄ 𝑑𝑦𝑑𝑥
√𝑥
𝑥
1
0
 
3 
 
9. Ache o volume do sólido S situado abaixo do gráfico da função 𝑧 = 𝑒√𝑥
2+𝑦2 e acima 
da região R do plano xy, onde R é a região esboçada abaixo. 
 
 
10. Use coordenadas polares para calcular: 
∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦2)3 2⁄ 𝑑𝑦𝑑𝑥
√9−𝑥2
0
3
−3
 
Resposta: 
𝜋35
5