Espaço de Estados - Exercícios

Prévia do material em texto

MEEC 
Mestrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores 
 
 
 
 
 
 
MCSDI 
Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos 
 
 
Exercícios de 
 
Análise de Sistemas no Espaço de Estados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conjunto de exercícios elaborados pelos docentes José Tenreiro Machado (JTM), Manuel Santos Silva (MSS), 
Vítor Rodrigues da Cunha (VRC) e Jorge Estrela da Silva (JES). 
 
 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados 
 
1 
1. Considere a matriz ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
02
46
A . 
a) Calcule os valores próprios e os vectores próprios de A. 
b) Considere os vectores ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
1
1
2
1
x
x
, ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
2
1
x
x
 e ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
1
2
2
1
x
x
. Calcule e represente graficamente ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
2
1
x
x
A
y
y
. 
Comente os resultados. 
 
 
2. Considere o sistema uuyyyy 424269 +=+++ &&&&&&& . A sua representação no espaço dos estados, com 
[ ] [ ]TT xxxxxx 321321 , &&&& == xx , vem: 
a) Na forma canónica controlável: 
A) 
[ ]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
=
x
xx
014
1
0
0
92624
100
010
y
u&
 B) 
[ ]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
x
xx
001
4
1
0
0024
1026
019
y
u&
 
C) 
[ ]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
x
xx
001
1
0
0
400
030
002
y
u&
 D) Outro resultado 
b) Na forma canónica observável: 
A) 
[ ]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
=
x
xx
014
1
0
0
92624
100
010
y
u&
 B) 
[ ]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
x
xx
001
4
1
0
0024
1026
019
y
u&
 
C) 
[ ]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
x
xx
001
1
0
0
400
030
002
y
u&
 D) Outro resultado 
 
 
3. Considere um sistema representado no espaço dos estados, tal que 
⎩⎨
⎧
+=
+=
uy
u
DCx
BAxx&
. Então, a correspondente 
função de transferência Y(s)/U(s) vem: 
A) ( )( ) ( )[ ] DBAIC +−= −1U
Y s
s
s B) ( )( ) ( ) DBAIC +−= −1U
Y s
s
s 
C) ( )( ) ( ) DBAIC +−= ss
s
U
Y D) ( )( ) ( ) DBAIC +−= −1UY sss 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados 
 
2 
4. Considere a representação de um sistema no espaço dos estados da figura. 
 
 
Então, vem: 
A) 
⎩⎨
⎧
−=
+=
uxy
uxx
34
25&
 B) 
⎩⎨
⎧
+=
−=
uxy
uxx
45
23& 
C) 
⎩⎨
⎧
+−=
+−=
uxy
uxx
54
32&
 D) Outro resultado 
 
 
5. Considere o sistema com o diagrama de blocos da figura. 
 
Então, a sua representação no espaço 
dos estados, com [ ]Txx 21=x 
[ ]Txx 21 &&& =x , vem: 
 
A) 
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
x
xx
62
5
3
04
12
y
u&
 
 
B) 
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=
x
xx
26
5
3
21
40
y
u&
 
 
C) 
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=
x
xx
53
6
2
01
42
y
u&
 
 
D) Outro resultado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
u 
∫ 3 2 + x1 
2 
+
y 
+ 
+ 
∫ 5 6 + x2 
4 
−1 
+ 
+ 
u ∫ 3 4 + x 
−2 
+ y 
+ 
− 
5 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados 
 
3 
 
6. Considere o sistema com o diagrama de blocos da figura. 
 
A sua representação no espaço dos 
estados, com [ ]Txx 21=x vem: 
 
A) 
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
x
xx
94
5
3
85
72
y
u&
 
 
B) 
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=
uy
u
1094
5
3
58
72
x
xx&
 
 
C) 
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
uy
u
1094
5
3
58
72
x
xx&
 
 
D) Outro resultado 
 
 
 
 
7. Considere o sistema com o diagrama de blocos da figura. 
 
Então, a função de transferência 
Y(s)/U(s), vem: 
 
A) Y(s)/U(s) = 1 / (s + 1)2 
 
B) Y(s)/U(s) = 2 / [(s + 1) (s + 2)] 
 
C) Y(s)/U(s) = 3 / [(s + 1) (s + 3)] 
 
D) Outro resultado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
u 
∫ 0 −1 + x1 
−3 
+
y 
+ 
+ 
∫ 2 0 + x2 
2 
−1 
+ 
+ 
y 
u 
∫ −3 4 + x1 
+
5 
+ 
+ 
∫ 5 −9 + x2 
8 
−7 
+ 
+ 
−2 
10 
+ 
+ 
+ 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados 
 
4 
8. Considere o sistema com o diagrama de blocos da figura com [ ]Txx 21=x [ ]Txx 21 &&& =x . 
 
a) A representação no espaço dos estados, vem: 
A) 
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
x
xx
57
3
2
91
13
y
u&
 B) 
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
x
xx
57
3
2
91
13
y
u&
 
C) 
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−−=
x
xx
75
3
2
91
13
y
u&
 D) Outro resultado 
b) A função de transferência do sistema Y(s)/U(s) vem: 
A) ( )( ) 82s
15s
U
Y
2 ++
+=
ss
s B) ( )( ) 812s
123s
U
Y
2 ++
+=
ss
s 
C) ( )( ) 2812s
15231s
U
Y
2 ++
+=
ss
s D) Outro resultado 
 
 
9. Considere o sistema com a representação: 
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
2
1;
01
1
0
02
46
x
x
y
u
x
x
xx&
 
 
a) Calcule a matriz exponencial pelo método de Cayley-Hamilton e através da Transformada de Laplace. 
 
b) Calcule a função de transferência Y(s)/UI(s). 
 
c) Faça a representação do sistema através de um diagrama de blocos e obtenha a função de transferência a partir 
deste. 
 
 
 
 
 
 
 
u 
∫ 2 5 + x1 
−3 
+ 
y 
+ 
+ 
∫ 3 7 + x2 
1 
−1 
+ 
+ 
−9 
+ 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados 
 
5 
10. Considere o circuito da figura. 
 
 
Uma representação no espaço dos estados, adoptando variáveis com “sentido físico”, onde x corresponde à 
corrente na indutância, vem: 
A) u
LR
x
LR
R
x
22
1 1+−=& B) ( ) ( ) uRRLxRRL
R
x
2121
1 1
+++−=& 
C) u
R
R
L
x
R
R
L
R
x
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
+
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
−=
1
1
1
2
1
2
1
1& D) Outro resultado 
 
 
11. Considere o circuito da figura. 
 
 
R 
C 
L 
+ 
 
y(t) 
 
− 
i(t) 
x2 
x1 
 
 
a) Uma representação no espaço dos estados, adoptando variáveis com “sentido físico” [ ]Txx 21=x e 
[ ]Txx 21 &&& =x , vem: 
A) 
( )
( ) [ ]⎪
⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
x
xx
Rty
tiL
R
L
C
L
0
0
1
1
10
&
 B) 
( )
( ) [ ]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−
=
x
xx
01
1
0
1
10
ty
ti
RR
C
R
&
 
C) 
( )
( ) [ ]⎪
⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
x
xx
Rty
tiC
L
R
L
C
0
0
1
1
10
&
 D) Outro resultado 
 
b) A função de transferência Y(s)/I(s) vem: 
A) ( )( ) 1I
Y
2 ++= sRCLCs
R
s
s B) ( )( ) RCsLCss
s
++= 2
1
I
Y 
C) ( )( ) RsCLs
sL
s
s
++= 2I
Y D) Outro resultado 
 
R1 + 
−u R2 L 
x 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados 
 
6 
12. Considere o circuito da figura seguinte. 
 
 
R2 
R1 
L 
C 
+ 
 u 
− 
+ 
y1=x1 
− 
+ 
y2 
− 
R3 
x2 
 
 
a) Uma representação no espaço dos estados, adoptando variáveis com “sentido físico” ( ) ( ) ( )[ ]Ttxtxt 21=x e 
[ ]Txx 21 &&& =x , ( ) ( ) ( )[ ]Ttytyt 21=y , vem: 
A) ( ) ( )
( )
( )
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++−
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++
+
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
++−−
=
tu
RRRRRR
R
tu
RRRC
R
RRRC
R
C
L
321321
1
321
1
321
1
1
0
0
01
0
1
10
xy
xx&
 
B)
( )
( ) ( )
( )
( )
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++−
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++
++
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
++
+−−
=
tu
RRR
R
RRR
RR
tu
RRRL
RR
RRRL
RRR
L
C
321
2
321
21
321
32
321
321
0
0
01
0
1
10
xy
x
x& 
C)
( )
( ) ( ) ( )
( )⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++
++⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++
+−−=
tu
RRR
tu
RRRL
RR
RRRL
RRR
L
C
221
321
32
321
321
0
0
01
0
1
0
xy
xx&
 
D) Outro resultado 
 
b) Se ( ) ( ) 3213213212 RRRCRRsRRRRLCs +++++++=Δ então a matriz de transferência 
( )
( )
( )
( ) ( )sUs
s
s
s ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
2
1
G
G
Y
Y
 vem: 
A) 
( )
( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++−Δ
+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
C
RRR
RRRR
s
s
321
2132
2
1
1
G
G
 B) 
( )
( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++
+−Δ=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
C
RRR
RRRR
s
s
321
2132
2
1
1
G
G
 
C) 
( )
( )
( ) ( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++
+−Δ
+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
C
RRR
RRRRRR
s
s
321
321321
2
1
1
G
G
 D) Outro resultado 
 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados 
 
7 
13. Considere o circuito representado na figura. Calcule a sua representação por variáveis de estado com sentido 
físico. 
u(t) C
R1
y(t)
+
-
L1 L2
R2
 
 
14. Considere o circuito representado na figura. Calcule a sua representação por variáveis de estado com sentido 
físico. Considere que para t=0, i1= i2= i3=0. 
L3
i3
i y
C2
L2
i2
v2
C1
v1
L1
i1
 
 
15. Considere o sistema com uma representação no espaço dos estados u⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−=
0
1
21
03
xx& onde 
[ ]Txx 21=x . Então, a matriz exponencial teA vem: 
A) 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+= −−−
−−
ttt
ttt
eee
eee 232
23 23A B) 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡= −
−
t
tt
e
ee 3
2
0
0A 
C) 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−+= −−−
−−
ttt
ttt
eee
eee 332
32 1A D) 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−= −−−
−
ttt
tt
eee
ee 232
3 0A 
 
 
 
16. Considere um sistema linear e a sua representação no espaço dos estados, com [ ]Txx 21=x [ ]Txx 21 &&& =x 
e [ ]xxx 56,
3
1
23
32 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−= yu& . Então: 
a) A matriz do sistema tem um par de valores próprios complexos conjugados λ12 dados por: 
A) λ12 = 2 ± j 3 B) λ12 = −2 ± j 3 C) λ12 = −3 ± j 2 D) λ12 = 3 ± j 2 
 
b) Pode afirmar-se que o sistema é: 
A) Sobreamortecido B) Subamortecido C) Instável D) Com amortecimento crítico 
 
 
 
 
 
 
 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados 
 
8 
17. Considere um sistema representado no espaço dos estados na forma u
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
=
1
0
0
51115
100
010
xx& , 
[ ]x001=y , com [ ] [ ]TT xxxxxx 321321 , &&&& == xx . 
a) A sua representação no espaço dos estados, na forma diagonal, vem: 
A) 
[ ]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡−
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
x
dd
111
1
1
1
300
010
001
y
u&
 B)
[ ]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡−
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=
x
dd
011
81
81
81
300
012
021
y
u&
 
C) 
[ ]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
x
dd
010
81
81
81
300
012
021
y
u&
 D) 
[ ]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡−
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
x
dd
818181
1
1
1
300
012
021
y
u&
 
 
b) A função de transferência Y(s)/U(s) do sistema vem: 
A) ( )( ) ( )( )523UY 2
2
+++
=
sss
s
s
s B) ( )( ) ( )( )523UY 2 +++= sss sss 
C) ( )( ) ( )( )523 1UY 2 +++= sssss D) Outro resultado 
 
18. Considere um sistema representado no espaço dos estados de acordo com o diagrama de blocos da figura. 
 
 
 
a) A) O sistema é controlável e é observável B) O sistema não é controlável e é observável 
 C) O sistema é controlável e não é observável D) O sistema não é controlável e não é observável 
 
b) A função de transferência Y(s)/U(s) do sistema vem: 
A) ( )( ) 2
7
U
Y
−= ss
s B) ( )( ) 4
2
U
Y
+= ss
s 
C) ( )( ) 3
12
U
Y
+= ss
s D) Outro resultado 
 
19. Considere um sistema descrito pela função de transferência: ( )( ) 23
3
2 ++
+=
ss
s
sU
sY . 
Faça a sua representação por variáveis de estado na: 
a) Forma canónica controlável. 
b) Forma canónica observável. 
 
 
 
 
 
 
u y 
−2 
∫ 3 4 + x1 
+ 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados 
 
9 
20. Considere os sistemas com os diagramas de blocos da figura. Seja [ ]Txx 21=x [ ]Txx 21 &&& =x . 
 
 
Sistema 1 Sistema 2 
a) A representação do sistema 1 no espaço dos estados, vem: 
A) 
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
λ−
λ−=
x
xx
11
1
1
1
1
y
u&
 B) 
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
λ−
λ−=
x
xx
01
1
0
0
1
y
u&
 
C) 
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
λ−
λ−=
x
xx
10
0
1
0
1
y
u&
 D) Outro resultado 
b) A representação do sistema 2 no espaço dos estados, vem: 
A) 
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
λ−
λ−=
x
xx
11
1
1
1
1
y
u&
 B) 
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
λ−
λ−=
x
xx
01
1
0
0
1
y
u&
 
C) 
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
λ−
λ−=
x
xx
10
0
1
0
1
y
u&
 D) Outro resultado 
c) Estudando a controlabilidade e a observabilidade do sistema 1 verifica-se que: 
A) O sistema 1 é controlável e é observável B) O sistema 1 não é controlável e é observável 
C) O sistema 1 é controlável e não é observável D) O sistema 1 não é controlável e não é observável 
d) Estudando a controlabilidade e a observabilidade do sistema 2 verifica-se que: 
A) O sistema 2 é controlável e é observável B) O sistema 2 não é controlável e é observável 
C) O sistema 2 é controlável e não é observável D) O sistema 2 não é controlável e não é observável 
 
21. Considere um sistema linear e a sua representação no espaço dos estados, com [ ]Txx 21=x e 
u⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−=
3
1
32
23
xx& . Então, 
a) A matriz do sistema tem um par de valores próprios complexos conjugados λ12 dados por: 
A) λ12 = 2 ± j 3 B) λ12 = −2 ± j 3 C) λ12 = −3 ± j 2 D) λ12 = 3 ± j 2 
 
b) A) O sistema é controlável B) O sistema não é controlável 
 
 
22. Considere um sistema linear e a sua representação no espaço dos estados, com [ ]Txx 21=x [ ]Txx 21 &&& =x 
e [ ]xxx 56,
3
1
40
02 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−= yu& . Então: 
a)A matriz do sistema tem valores próprios λ1 e λ2 dados por: 
A) λ1 = 1, λ2 = −3 B) λ1 = 6, λ2 = 5 C) λ1 = −2, λ2 = −4 D) Outro resultado 
 
b) Pode afirmar-se que o sistema é: 
A) Não-controlável B) Não-observável C) Controlável D) Instável 
 
u + 
− 
y 
− 
∫ x2 
λ 
+ ∫ x1 
λ 
− 
y 
− 
∫ x2 
λ 
+ ∫ 
x1 
λ 
+ 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados 
 
10 
23. Considere um sistema e uma representação no espaço dos estados [ ]xxx 12,
3
1
46
11 −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−= yu& , 
[ ]Txx 21=x . Então, vem: 
a) A) O sistema é controlável B) O sistema não é controlável 
b) A) O sistema é observável B) O sistema não é observável 
c) Analise a FT deste sistema. 
 
24. Considere um sistema representado no espaço dos estados u⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
0
3
50
04
xx& , [ ]x02=y com 
[ ]Txx 21=x . 
Estudando a estabilidade, a controlabilidade e a observabilidade do sistema verifica-se que: 
a) A) O sistema é controlável B) O sistema não é controlável 
b) A) O sistema é observável B) O sistema não é observável 
c) A) O sistema é estável B) O sistema não é estável 
d) A função de transferência Y(s)/U(s) do sistema vem: 
A) ( )( ) 4
6
U
Y
+= ss
s B) ( )( ) ( )( )54
5
U
Y
++= sss
s C) ( )( ) 5
6
U
Y
+= ss
s 
D) Outro resultado 
 
 
25. Considere um sistema representado no espaço dos estados na forma uBAxx +=& , Cx=y , com 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
=
0
0
1
521
031
002
BA , , [ ]001=C e [ ]Txxx 321=x . 
 
a) A função de transferência Y(s)/U(s) do sistema vem: 
A) ( )( ) 2
1
U
Y
−= ss
s B) ( )( ) ( )( )53
1
U
Y
+−= sss
s C) ( )( ) ( )( )52
1
U
Y
+−= sss
s D) ( )( ) ( )( )( )532
1
U
Y
+−−= ssss
s 
 
b) Pode dizer-se que o sistema: 
A) É observável e é controlável B) Não é observável e é controlável 
C) Não é observável e não é controlável D) É observável e não é controlável 
 
 
26. Considere o sistema: 
 
u⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−= 1
0
51
60
xx& 
 
a) Calcule tet A=Φ )( . 
b) Calcule x(t) para u(t)=1, t>0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados 
 
11 
27. Considere um sistema representado no espaço dos estados e o correspondente diagrama de blocos da figura. 
 
Então: 
 
a) Pela análise da estabilidade: 
A) Pode concluir-se que o sistema é 
estável 
B) Pode concluir-se que o sistema é 
instável 
C) Nada se pode concluir sobre a 
estabilidade do sistema 
 
b) Pela análise da controlabilidade: 
A) Pode concluir-se que o sistema é 
controlável 
B) Pode concluir-se que o sistema não é 
controlável 
C) Nada se pode concluir sobre a 
controlabilidade do sistema 
 
 
 
 
 
28. Considere um sistema representado no espaço dos estados de acordo com o diagrama de blocos da figura 
onde bi, ci, λi ∈ℜ, i=1,2,3. 
 
Seja b1 = −b2 , λ1 = λ2, c1 = c2, então: 
 
a) 
A) O sistema é controlável 
B) O sistema não é controlável 
 
b) Nas condições referidas antes a 
função de transferência Y(s)/U(s) do 
sistema vem: 
A) ( )( ) 3
33
U
Y
λ−= s
cb
s
s 
B) ( )( ) 3
3
U
Y
λ−= s
c
s
s 
C) ( )( ) 3
1
U
Y
λ+= ss
s 
D) Outro resultado 
 
 
 
 
 
 
 
 
u y 
λ2 
∫ b2 c2 + x2 
+ 
+ 
λ1 
∫ b1 c1 + x1 
+ 
+ 
λ3 
∫ b3 c3 + x3 
+ 
+ 
u 
−2 
+1 
−1 
y 
+ 
+ 
+ 
∫ 1 2 
+ 
+ x1 
∫ 3 
+ 
x2 
∫ 2 4 
+ 
+ x3 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados 
 
12 
29. Considere o sistema com o diagrama de blocos da figura. 
 
 
 
a) A sua representação no espaço dos estados, com [ ]Txx 21=x [ ]Txx 21 &&& =x , vem: 
A) 
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
x
xx
23
1
1
21
03
y
u&
 B) 
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
x
xx
11
3
2
01
23
y
u&
 
C) 
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=
x
xx
32
1
1
02
13
y
u&
 D) Outro resultado 
 
b) A sua representação matricial no espaço dos estados, na forma diagonal, vem: 
A) 
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
x
xx
32
1
1
20
01
y
u&
 B) 
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
x
xx
14
1
0
20
01
y
u&
 C) 
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
x
xx
21
2
1
20
01
y
u&
 D) Outro resultado 
 
c) A matriz exponencial Φ(t) = eAt vem: 
A) ( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−
−−= −−−−
−−−−
tttt
tttt
eeee
eeeet 22
22
2
222
Φ B) ( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−
−+= −−−−
−−−−
tttt
tttt
eeee
eeeet 22
22
22
Φ 
C) ( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−
−−= −−−−
−−−−
tttt
tttt
eeee
eeeet 22
22
222
2
Φ D) Outro resultado 
 
d) A função de transferência Y(s)/U(s) do sistema vem: 
A) ( )( ) 2
1
U
Y
+= ss
s B) ( )( ) ( )( )21
1
U
Y
++= sss
s C) ( )( ) 1
1
U
Y
+= ss
s D) Outro resultado 
 
e) Estudando a controlabilidade e a observabilidade do sistema verifica-se que: 
A) O sistema é controlável e é observável B) O sistema não é controlável e é observável 
C) O sistema é controlável e não é observável D) O sistema não é controlável e não é observável 
 
u 
∫ −1 2 + x1 
−3 
+ 
y 
+ 
+ 
∫ 1 3 + x2 
2 
−1 
+ 
+ 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados 
 
13 
30. Considere o sistema 
⎩⎨
⎧
=
+=
xy
uxx
C
BA& onde 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
=
51115
100
010
A ,
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
0
0
B , [ ]001=C 
 
a) Calcule os valores próprios e os vectores próprios. 
b) Represente o sistema na forma diagonal e esboce o correspondente diagrama de blocos. 
c) Considere a condição inicial: 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=
7
1
5
9
3
1
2
4
2
0
4
3
1
1
3)0(x . 
Calcule a resposta )(tx (para u(t)=0). 
 
 
31. Considere os sistemas: 
2,1=
⎪⎩
⎪⎨⎧ =
+=
i
xy
uxx
i
i
C
BA&
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
0024
1026
019
A ,
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
0
5
2
1B , 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
0
4
2
2B 
 [ ]1211 −=C , [ ]2242 −=C 
a) Calcule os valores próprios e vectores próprios e faça a representação diagonal. Esboce o diagrama de blocos. 
b) Calcule a função de transferência (para 2,1=i ). 
c) Estude a controlabilidade e a observabilidade. 
d) Determine a resposta do sistema ( 1=i ) para a condição inicial: 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
94
62
10
6
5
1
3
8
6
1
2
12
7
1
5)0(x . 
 
 
32. Considere um sistema representado no espaço dos estados e o correspondente diagrama de blocos da figura. 
a) Determine o modelo na forma 
BuAxx +=& , y = Cx, com [ ]Txxx 321=x . 
 
b) Determine a sua função de transferência 
Y(s)/U(s). 
 
c) Analise a estabilidade e a controlabilidade deste 
sistema. 
 
 
 
 
u 
−2 
+1 
−1 
y
+
+
+
∫ 1 2 
+ 
+ x1 
∫ 3
+ 
x2 
∫ 2 4
+ 
+ x3 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados 
 
14 
33. Considere um sistema representado no espaço dos estados e o correspondente diagrama deblocos da figura. 
 
a) Determine o modelo na forma ( ) ( ) ( )ttt BuAxx +=& , y(t) = Cx(t), com x(t) = [x1 x2 x3]T. 
b) Analise a estabilidade, a controlabilidade e a observabilidade deste sistema. 
c) Determine a sua função de transferência Y(s)/U(s). 
d) Determine a resposta y(t) para uma entrada em degrau unitário u(t), t ≥ 0. Considere as condições iniciais 
nulas. 
 
34. Considere o sistema descrito por u.y.y.y 256 =++ &&& 
a) Para este sistema estabeleça uma representação no espaço de estados na forma canónica controlável. 
b) Obtenha Φ(t) = eA.t, a matriz de transição de estados nos tempos. 
c) Determine a sua função de transferência ( )( )sU
sY . 
´ 
 
35. Considere o sistema descrito por ( )( )
( )
( )( )31
22
++
+=
ss
s.
sU
sY 
a) Estabeleça uma representação no espaço de estados na forma canónica observável, para este sistema. 
b) Recorrendo às matrizes Q e R indique se a representação do sistema é controlável e se é observável. 
c) Represente o sistema na forma diagonal. 
 
 
36. Considere o circuito representado na figura seguinte: 
 
C
R
vi
i
L
RC
+
-
v1 v2
 
 
a) Obtenha a sua representação no espaço de estados, considerando: 
232211 ,,, vyixvxvx ==== e ivu = . 
u 
−2 
−3 
−1 
y+
+
∫ 1 1 
+ 
+ x1 
∫ 2
+ 
x2 
∫ 2 
+ 
+ x3 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados 
 
15 
b) Obtenha a Função de Transferência V2(s)/ Vi(s) a partir da representação no espaço de estados, tomando 1/RC 
= 3, 1/C = 1 e 1/L = 2 (Ver Nota). 
c) Represente o sistema na forma diagonal e esboce o correspondente diagrama de blocos (Ver Nota). 
 
Nota: Caso não tenha resolvido a alínea 2.a) considere: 
⎩⎨
⎧
=
+=
xC
BxAx
y
u&
 onde [ ]020,
0
0
6
,
011
260
206
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
= CBA . 
 
37. Considere o circuito representado na figura. 
 
 
 
a) Determine uma representação no espaço de estados com sentido físico com R=10, L1 = 1 e L2 = 2. 
b) Calcule Ate . 
c) Determine a função de transferência do sistema. 
d) Analise a Controlabilidade e Observabilidade. 
 
 
38. Considere um sistema representado na figura. 
 
 
 
Determine o modelo na forma BuAxx +=& , y = Cx. 
 
39. Considere um sistema representado na figura. 
 
 
 
Determine o modelo na forma BuAxx +=& , y = Cx. 
L3 
v2 
+
−
y R2 
C2 
R3 
L1 R1 
u 
+ 
− 
i1 
i3 
L2 
v2 
+
−
y 
R2 
C2 
C1 L1 R1 
u 
+ 
− 
i1 
i2 
v1 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados 
 
16 
40. Considere o sistema de controlo de velocidade de motor DC através da armadura representado na figura 
(eb = kb dθ/dt e T = ki i) com função de transferência ( )( ) ( )( ) ib
i
kskBsJRsLs
k
sV
sΘ
+++= . Sabendo que R = 8 Ω, 
L = 0.8 H, J = 1 kgm2, B = 1 Nmrad−1s, ki = 0.5 NmA−1 e kb = 0.5 Vrad−1s determine: 
 
 
 
a) A representação do sistema no espaço dos estados, na forma canónica observável 
b) O diagrama de blocos da representação da alínea anterior 
c) A controlabilidade e a observabilidade recorrendo às matrizes Q e R. 
 
 
 
41. Considere o circuito representado na figura seguinte: 
qi
h1 q1
A1 R1
h2
qoA2 R2 
a) Considerando que um circuito hidráulico, pode ser descrito pelas seguintes equações de estado (supondo o 
fluxo laminar): 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=⋅
=
saídaentrada
saída
qq
dt
dhA
R
hq
 
obtenha a sua representação no espaço de estados, considerando: 
io quqyhxhx ==== e,, 2211 . 
b) Obtenha a Função de Transferência Qo(s)/Qi(s) a partir da representação no espaço de estados, tomando R1 = 
1/2, R2 = 1, A1 = 1, A2 = 2 (Ver Nota). 
c) Recorrendo às matrizes Q e R indique se a representação do sistema é controlável e se é observável (ver 
Nota). 
d) Represente o sistema na forma diagonal (ver Nota). 
 
Nota: Caso não tenha resolvido a alínea a) considere: 
⎩⎨
⎧
=
+=
xC
BxAx
y
u&
 onde [ ]20,
0
2
,
12
04 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−= CBA 
 
 
 
 
 
 
 
+ 
eb 
− 
T, θ 
 
J 
 
B
L R 
 
+ 
v 
− 
 
i 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados 
 
17 
42. Considere o circuito da figura, com entrada u(t) e saída y(t). 
 
Apresente uma representação em espaço de estados deste sistema, adoptando as variáveis com “sentido físico” 
[ ]TLC iv=x e [ ]TLC iv &&& =x . Identifique claramente as matrizes da representação usando a convenção 
adoptada nesta disciplina. 
 
 
 
L 
vC 
+
−
y(t)R2 
C 
R3 
R1 
u(t) 
+
−
iL 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados (soluções) 
1 
Soluções 
1. 
1. a) 
)4)(2(86
2
46
0)(
2 ++=++=−+=−
=−⇔=
λλλλλ
λλ
λλ
AI
AIA vvv
 
 
Valores próprios 
⎩⎨
⎧
−=
−=
4
2
2
1
λ
λ
 
 
Vectores próprios: 
• Para 21 −=λ vem: 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⇒=⇔=−
1
1
044 12121 vxxxx 
• Para 42 −=λ vem: 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⇒=⇔=−
1
2
2042 22121 vxxxx 
1. b) 
111
1
2
2
2
1
1
02
46
vλ=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
 
(1,1)
(-2,-2)
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
2
2
2
1
02
46
 
(1,2)
(2,-2)
 
221
2
4
4
8
1
2
02
46
vλ=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
 
(2,1)
(-8,-4)
 
 
2. a) A 
2. b) B 
 
3. B 
 
4. C 
 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados (soluções) 
2 
5. A 
 
6. B 
 
7. B 
[ ]
[ ]0
01
2
0
02
13
=
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=
D
C
B
A
 
 
Solução 1 
[ ] [ ]
)2)(1(
2
23
2
0
1
23
2
0
32
1
01
)(
)(
32
1
23
1
2
13
)(
1
det
1
)(
)(
)(
22
2
1
1
12
12
122112
12
22
11
1
22
11
1
++=++
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=++
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
−−
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
−
++=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
+=−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−=
−
−
−
−
ssss
s
ss
s
s
sU
sY
s
s
sss
s
s
aa
bb
babaaa
bb
ba
baba
ba
s
sU
sY
AI
DBAIC
 
 
Solução 2 (sem cálculo da inversa) 
[ ]
)2)(1(
2
)2)(1(
0)2(10)3(
)(
)(
23
01
2
det0
01
22
det1
00
2
det)3(
2
13
det
001
22
013
det
det
det
)(
)(
2
++=++
⋅+−⋅−⋅+=
++
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−−−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
+
=−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−
=
ssss
ss
sU
sY
ss
ss
s
s
s
s
s
s
s
sU
sY
AI
DC
BAI
 
 
 
8. a) C 
8. b) C 
[ ]
2812
15231
2812
)525(215121)3(
)(
)(
2812
75
91
det2
05
31
det1
07
39
det)3(
91
13
det
075
391
213
det
det
det
)(
)(
22
2
++
+=++
−−⋅−⋅−⋅+=
++
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −++
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−+−
−+
=−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−
=
ss
s
ss
ss
sU
sY
ss
ss
s
s
s
s
s
s
s
sU
sY
AI
DC
BAI
 
 
 
 
 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados (soluções) 
3 
4
2
+
6
-
+
1x1x&
-
2x& 2x
y
u
9. 
9. a) 
Resolução através do Teorema de Cayley-Hamilton: 
 
Valores próprios 
⎩⎨
⎧
−=
−=
4
2
2
1
λ
λ
 
 
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
−=
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧−+=
−+=
−−
−−
−
−
tt
tt
t
t
ee
ee
e
e
42
1
42
0
10
4
10
2
2
1
2
)4(
)2(
α
α
αα
αα
 
logo ( ) ( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−+−
−+−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=+= −−−−
−−−−−−−−
tttt
tttt
ttttt
eeee
eeeeeeeee 4242
4242
4242
10 2
222
02
46
2
1
10
01
2AIA αα 
 
Resolução através da Transformada de Laplace: 
( )
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+−++++−
+−++++−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−++=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=−
−
−
4
1
2
2
4
1
2
1
4
2
2
2
4
2
2
1
62
4
)4)(2(
1
2
46 11
ssss
ssss
s
s
sss
s
s AI 
( ){ } ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ −+− −+−=−= −−−−
−−−−−−
tttt
tttt
t
eeee
eeeesLe 4242
4242
11
2
222AIA 
 
9. b) 
( ) [ ]
)4)(2(
4
4
2
2
2
1
0
4
1
2
2
4
1
2
1
4
2
2
2
4
2
2
1
01
)(
)( 1
++=+−+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+−++++−
+−++++−=−= −
ssss
ssss
sssss
sU
sY BAIC 
 
9. c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
211 46 XXsX +−=
12 2XUsX −=
[ ]
)4)(2(
4
48)6(
)2(4)6(
2
4)6(
1
1
11
1
21
21
++==⇔
=++⇔
−=+
↓
=
⎩⎨
⎧
=−
=+
ssU
Y
U
X
UXss
XU
s
Xs
YX
sXXU
XXs
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados (soluções) 
4 
10. C 
variáveis auxiliares: 
x
R
Lx
R
vxi
xLv
&
&
22
1
1
1
+=+=
=
 
Um elemento armazenador de energia (L). 
uxRxL
R
R
xLxL
R
R
xRuviRu +−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +⇔++=⇔+= 1
2
1
2
1
1111 1 &&& 
 
 
11.a) C 
Dois elementos armazenadores de energia (L e C). 
2
221
21
Rxy
RxxLx
xxCi
=
+=
+=
&
&
 
 
11.b) A 
[ ] ( )111
0
1
det1
1
1
det
00
01
11
det
det
det
)(
)(
22 ++
=
++
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +−−
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+−
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+−
−
=−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−
=
RCsLCs
LC
LC
R
LC
s
L
Rs
R
L
Rs
LC
L
Rs
L
C
s
R
L
Rs
L
CC
s
s
s
sU
sY
AI
DC
BAI
 
 
 
12.a) B 
32
21
32
1
2
211
RR
xLx
RR
v
i
xLxv
+
+=+=
+=
&
&
 
Dois elementos armazenadores de energia (L e C). 
ux
RR
RxL
RR
R
xLxxRxL
RR
Rx
RR
RuvxiRu
xCx
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
++−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
++⇔
++++++=⇔++=
=
1
1
2
1
21212
1
1
1
1221
12
32
1
32
1
3232
)(
&
&&
&
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados (soluções) 
5 
12.b) D 
( )
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
DD
D
D
AI
DBAIC
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++−Δ
+=+
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
++
+−
++
+
Δ
++=
=+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++
+
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
++−++
++
++
Δ
++=
=+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++
+
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
++
++
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++−Δ
++=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
++
++
+++++
++=
=
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
++
++
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
++
++
=
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
++
++
−
=−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
−
−
C
RRR
RRRR
LRRR
RRRR
LCRRR
RR
LCRRR
RRRL
RR
s
RRR
RR
LRRR
RR
CRRRL
RRR
s
LCRRR
RRRL
RR
s
L
CRRRL
RRR
s
RRR
RRLCRRR
sG
sG
s
L
CRRRL
RRR
s
RRRCsRRRLCs
LCRRR
s
L
CRRRL
RRR
s
LC
s
RRRL
RRR
sRRRL
RRR
s
L
C
s
s
aa
bb
babaaa
bb
ba
baba
ba
s
sG
sG
321
2132
2
321
2132
321
32
321
321
32
321
21
321
21
321
321
321
321
32321
321
321
21321
2
1
321
321
321321
2
321
321
321
321
3212
1
321
321
1
12
12
122112
12
22
11
1
22
11
1
2
1
1
)(
0
1
0
1
1
0
01
)(
)(
1
1
1
1
1
1
1
1
)(
1
det
1
)(
)(
)(
 
 
Obrigatoriamente outra solução. A primeira linha indica que só poderia ser A ou D. Para o caso da solução A, a 
segunda linha não se verifica, uma vez que D é diferente de zero nessa linha. 
 
( ) ( )( )
( )
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
++
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+
+++++Δ
+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
++
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
+++++Δ
+=
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++
+++++Δ=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++
=
321
1
32
321
1
2
32
232
2
1
321
32
321
1
2
32
232
321
321321
2
2
321
2
1
)(
)(
0
0
10
RRR
CR
RR
RRRCsRs
RR
LCRRR
sG
sG
RRR
RR
RRRCsRs
RR
LCRRR
RRR
RRRCsRRRLCsR
RRR
RD
 
 
 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados (soluções) 
6 
13. 
22
213
3
2
2
2
2
2
1
3
1
1
1
1
1
231
22223
31111
11
1
11
xRy
x
C
x
C
x
x
L
x
L
Rx
u
L
x
L
x
L
Rx
xxCx
xRxLx
xxLxRu
=
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
−=
+−=
+−−=
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
+=
++=
&
&
&
&
&
&
 
 
[ ]
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
3
2
1
2
1
3
2
1
22
2
11
1
3
2
1
00
0
0
1
011
10
10
x
x
x
Ry
u
L
x
x
x
CC
LL
R
LL
R
x
x
x
&
&
&
 
 
14. 
1
1
1
2
2
23
1
1
12
3
32
1
2
22
1
11
)5.14(
)4.14(
)3.14(
)2.14(
)1.14(
v
dt
diLy
i
dt
dvCii
i
dt
dvCi
dt
diLv
v
dt
diLv
dt
diLv
==
++=
+=
=
+=
=
 
 
Das equações 14.1, 14.2 e 14.3 resulta: 
kiLiLiL
dt
di
L
dt
di
L
dt
di
L ++=⇔+= 112233112233 , onde k depende das condições iniciais. 
 
Se 0)0()0()0( 321 === iii , i.e. K=0, vem: 
→+= 1
3
1
2
3
2
3)6.14( iL
Li
L
Li i3 é linearmente dependente de i1 e i2. 
 
 
Logo: 
3114
1422
311
)4.14(
)2.14(
)1.14(
xxCx
xxLx
xLx
+=
+=
=
&
&
&
 
 
 
 
 
u(t) C
R1
y(t)
+
-
L1 L2
R2
x1
x3
x2
L3
i3
i
C2
L2v2=x2
C1
L1
v1=x1
i2=x4 i1=x3
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados (soluções) 
7 
Das equações 14.5 e 14.6 vem: 
u
C
x
L
LLx
CL
Lx
iii
L
Li
L
LxC
2
4
3
32
3
23
1
2
22
3
2
1
3
1
22
1)7.14( ++−−=
+−−−=
&
&
 
 
Resultando a representação por variáveis de estado: 
[ ]
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
+−−
−
=
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
4
3
2
1
2
4
3
2
1
22
1
23
32
23
1
11
4
3
2
1
0001
0
0
1
0
0011
0001
00
1100
)2.14(
)1.14(
)7.14(
)4.14(
x
x
x
x
y
uC
x
x
x
x
LL
L
CL
LL
CL
L
CC
x
x
x
x
&
&
&
&
 
 
15. D 
( ){ }
( )
{ }
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−=⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
+⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
+−+
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
+=
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
++−+
+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−
+
++=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
+=−
−=
−−−
−
−−
−−
−
−
−−
ttt
t
t
t
eee
e
s
L
ss
L
L
s
L
e
sss
s
s
s
sss
s
s
sLe
223
3
11
11
1
1
11
0
2
1
2
1
3
1
0
3
1
2
1
2
1
3
1
0
3
1
31
02
)2)(3(
1
21
03
A
A
AI
AI
 
 
 
16. a) B 
16. b) B 
 
17. B 
Pela análise das equações do sistema (forma canónica controlável) conclui-se que o seu polinómio característico 
é 15115 23 +++ sss , com raízes (valores próprios de A) λ = −1 + j2, λ = −1 − j2 e λ = −3. Uma representação 
diagonal deste sistema terá que ter uma matriz de sistema com uma diagonal consistindo do valor -3 e do 
bloco ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−
12
21
 
 
Para uma resolução por extenso seria necessário calcular os vectores próprios para definir a matriz de mudança 
de base. Um possível conjunto de vectores próprios seria [ ]Tjj 432111 −−+−=v , 
[ ]Tjj 432112 +−−−=v e [ ]T9313 −=v . 
 
 
 
 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados (soluções) 
8 
 
18. a) A 
18. b) D 
2
124
2
13
)(
)(
+=+= sssU
sY 
 
19. 
uuuyyy
ssUsssY
31023
)3)(()23)(( 2
++=++
+=++
&&&&&&
 
 
 
 a1 a2 b0 b1 b2 
 
19. a) F.C.C. 
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
ub
x
x
bab
bab
y
u
x
x
aax
x
T
0
2
1
011
022
2
1
122
1
1
010
&
&
 
[ ]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⇒
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
13
1
0
32
10
.0
0.31
0.23
1
0
32
10
x
x
y
u
x
x
x
x
u
x
x
y
u
x
x
x
x
T
&
&
&
&
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19. b) F.C.O. 
 
[ ]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
ub
x
x
y
u
bab
bab
x
x
a
a
x
x
0
2
1
022
011
2
1
2
1
2
1
01
0
1
&
&
 
[ ] [ ]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⇒
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
01
3
1
02
13
.001
0.23
0.31
02
13
x
x
y
u
x
x
x
x
u
x
x
y
u
x
x
x
x
&
&
&
&
 
 
 
 
 
 
 
 
b0=0
-
+ 1x1x&2x& 2x
y
u
b1=1 b2=3
+
+
+
+
a1=3 a2=2
+
+
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados (soluções) 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20. 
20. a) B 
20. b) C 
20. c) A 
20. d) D 
A entrada não afecta x2 (controlabilidade). A saída não é afectada por x1 (observabilidade). 
 
21. 
21. a) A (representação diagonal) 
21. b) A 
Representação diagonal, sem elementos da diagonal ou blocos de Jordan repetidos. Como u afecta todas as 
últimas linhas de cada bloco, o sistema é controlável. Pelo método geral: 
 [ ]
0)3)(9(7)det(
7
9
3
1
7
9
3
1
32
23
≠−−−−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−=
=
Q
Q
AB
ABBQ
 
 
22. 
22. a) C 
22. b) C 
(ver justificação da 16.b) 
 [ ]
0)3)(2(12)det(
12
2
3
1
12
2
3
1
40
02
≠−−−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
=
Q
Q
AB
ABBQ
 
 
 
 
 
 
-
1x1x&2x& 2x y
u
b2=3 b1=1 b0=0
+
a2=2 a1=3
-
+
+
+
+
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados (soluções) 
10 
23. 
23. a) A [ ]
0)3)(4(18)det(
18
4
3
1
18
4
3
1
46
11
≠−−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
=
Q
Q
AB
ABBQ
 
 
23. b) B 
[ ] [ ]
0)det(
2
1
4
2
24
46
11
12
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
R
R
CA
CA
C
R
 
 
 
23. c) 
[ ]
1
1
)2)(1(
1
)2)(1(
63)1(2)4(6
)(
)(
23
36
11
det1
34
11
det2
46
11
det
012
346
111
det
det
det
)(
)(
2
+=++
+=++
+⋅−+⋅+−=
++
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−−−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−+
−−
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−
−
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−+−
−−
=−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−
=
sss
s
ss
ss
sU
sY
ss
s
s
s
s
s
s
s
s
sU
sY
AI
DC
BAI
 
 
Cancelamento de pólos! 
 
 
24. 
24. a) B 
Representação diagonal, de um sistema com n pólos diferentes, onde a entrada u não afecta directamente todas as variáveis de 
estado. 
 
24. b) B 
Representação diagonal, de um sistema com n pólos diferentes, onde a saída y não é influenciada por todas as variáveis de 
estado. 
 
24. c) A 
Uma vez que estamos perante uma representação diagonal, vê-se imediatamente pela matriz do sistema que todos os pólos são 
negativos. 
 
24. d) A 
U
s
Y
U
s
XUXsX
XY
4
6
4
334
2
111
1
+=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=⇔+−=
=
 
 
 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados (soluções) 
11 
25. 
25. a) A 
U
s
Y
U
s
XUXsX
XY
2
1
2
12 111
1
−=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=⇔+=
=
 
Cancelamento de pólos! 
 
25. b) B 
Pode concluir-se, mesmo sem a análise da matriz de observabilidade, que o sistema não é observável pois a saída 
só depende directamente da variável x1, que por sua vez não é afectada por nenhuma das outras variáveis. Logo 
não seria possível estimar o valor das outras variáveis a partir da saída. 
 
Controlabilidade: [ ]
( ) 0)1(551.1)det(
510
510
421
5
5
4
1
1
2
521
031
002
1
1
2
0
0
1
521
031
002
2
2
≠−⋅−⋅=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
==
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
=
=
Q
Q
AABBA
AB
BAABBQ
 
 
 
26. 
26. a) 
( ){ }
( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−+−
−−=Φ
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+++
−
+++
− +
−++−+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
+
++=−=Φ
++=++=−→⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
−=−
−==Φ
−−−−
−−−−
−
−−
tttt
tttt
t
eeee
eeeet
ssss
ssss
s
s
ss
ss
sssss
s
s
s
sLet
3232
3232
1
2
11
32
6623)(
3
3
2
2
3
1
2
1
3
6
2
6
3
2
2
3
1
65
)3)(2(
1)(
)3)(2(65
51
6
)(
AI
AIAI
AIA
 
 
26. b) 
s
sU
sUsxssX
1)(
)()()0()()( 11
=
−+−= −− BAIAI
 
 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados (soluções) 
12 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+−+
+++−=
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
++
++=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
+
++=−
−
3
1
2
1
3
2
2
31
)3)(2(
1
)3)(2(
6
1.
1
0
1
65
)3)(2(
1)()( 1
ss
sss
ss
sss
ss
s
ss
sUs BAI 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
+−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−+−
−−= −−
−−
−−−−
−−−−
tt
tt
tttt
tttt
ee
ee
x
x
eeee
eeee
tx 32
32
2
1
3232
3232 231
)0(
)0(
32
6623
)( 
27. 
27. a) B 
27. b) B28. 
28. a) B 
Temos um pólo (λ1) com multiplicidade algébrica superior a 1 (2) que não está representado por um bloco de 
Jordan, logo é conveniente fazer a análise da matriz Q. 
 [ ]
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
λλ
λ−λ−−
λλ
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
λ
λ−
λ
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
λ
λ−
λ
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
λ
λ
λ
==
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
λ
λ−
λ
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
λ
λ
λ
=
=
2
33333
2
11111
2
11111
2
33
2
11
2
11
33
11
11
3
1
1
2
33
11
11
3
1
1
3
1
1
2
00
00
00
00
00
00
bbb
bbb
bbb
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Q
AABBA
AB
BAABBQ
 
As duas primeiras linhas da matriz Q são linearmente dependentes logo R(Q)<3. O sistema não é controlável. 
 
28. b) A 
 
29. 
29. a) C 
29. b) B 
( ) )2)(1(
2
13
detdet ++=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
+=− ss
s
s
s AI 
Hipóteses A e C excluídas. Calcular base de vectores próprios T tal que: 
[ ]
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−=
−=⇔⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
+−⇔=−⋅−
−=⇔⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
+−⇔=−⋅−
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−==−
12
11
22
132
)2(
2
12
131
)1(
20
01ˆ
2122
22
21
1
1112
12
11
1
21
1
T
0vAI
0vAI
vvT
AATT
vv
v
v
vv
v
v
 
Uma vez que CTC =ˆ e BTB 1−= , verifiquemos primeiro a matriz C antes de calcular a inversa de T. 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados (soluções) 
13 
[ ] [ ] CCT ˆ14
12
11
32 =−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−= 
Finalmente, uma vez que a hipótese B ainda é possível, verifiquemos a matriz B: 
Bˆ
1
0
1
1
12
11
12
11
121)det(
1
1
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=
=+−=
−
−
BT
T
T
 
 
29. c) C ( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−
+−+−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
=
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ −=
−−−−
−−−−
−−
−−
−
−
−
−
−
−−
tttt
tttt
tt
tt
t
t
t
t
t
t
tt
t
eeee
eeee
ee
ee
e
ee
e
ee
ee
sLe
22
22
2
2
2
2
ˆ
1ˆ
11ˆ
222
2
12
11
212
11
0
0
12
11
0
0
ˆ
A
A
AA
A
TT
AI
 
 
29. d) A 
 
29. e) 
Pela análise da representação diagonal (valores próprios distintos, matriz B com elementos nulos), conclui-se que 
o sistema não é controlável. O sistema é observável (valores próprios distintos, matriz C sem elementos nulos). 
 
 
30. 
30. a) 
[ ] 0)3(2)1(0)3)(52(0
15115
51115
10
01
222
23
=+++⇔=+++⇔=−
+++=
+
−
−
=−
λλλλλλ
λλλ
λ
λ
λ
λ
AI
AI
 
 
Valores próprios 
⎩⎨
⎧
−=
+−=
3
21
2
1
λ
λ j
 
 
Vectores próprios: 
 
• Para 211 j+−=λ vem: 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
+−=⇒
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
−+−
−+−
43
21
1
0
0
0
241115
1210
0121
1
3
2
1
j
je
x
x
x
j
j
j
 
vv
jejee
′′′
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=+=
4
2
0
3
1
1
)Im()Re( 111 
 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados (soluções) 
14 
• Para 32 −=λ vem: 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−=⇒
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
9
3
1
0
0
0
21115
130
013
3
3
2
1
e
x
x
x
 
 
30. b) Como o sistema tem valores próprios complexos não se adopta uma representação totalmente diagonal de 
forma a conseguir um diagrama de blocos somente envolvendo números reais. 
 
3
125
169
123
8
1
9
3
1
4
2
0
3
1
1
evv
dx
′′′
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ −−
=→
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−=→= 1-WWW
 
[ ] [ ]101
943
321
101
001
8/1
8/1
8/1
1
0
0
125
169
123
8
1
300
012
021
~
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡−
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ −−
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
==Λ
CW
BW
AWW
1-
1-
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1x1x&
2x& 2x
y
u
3x& 3x
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados (soluções) 
15 
30. c) 
3
7
1
5
9
3
1
2
4
2
0
4
3
1
1
3)0(
evv
x
′′′
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=
 
Alternativa 1: 
 
64,0
5
4arccosarccos
543
22
2222
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
=+=+
IMRE
IM
IMRE
αα
αϕ
αα
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−+
−+−
++
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
++
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−+=
−−
−−
−−
−−
))2cos(25(18
))2sin(10)2cos(5(6
))2sin(4)2cos(3(2
)(
9
3
1
2
4
2
0
)64,02cos(
3
1
1
)64,02sin(5)(
3
3
3
3
tee
ttee
ttee
tx
ettetx
tt
tt
tt
tt
 
 
Alternativa 2: 
 
( )
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
+−
+++
+++=−
−
2
2
2
1
151115
)5(15
15115
)52)(3(
1
sss
sss
sss
sss
s AI 
 
Sabendo que: 
 
)cos(
)(
)sin(1
)(
1
22
1
22
1
bte
bas
asL
bte
bbas
L
at
at
−−
−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++
+
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++
 
 
( )
( )
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
++
+−+++
+−+++
+−+
++
+++
−
++
+++
−
++
−++
− ++
+−++++
+−++++
+++
=−
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
++++++
−−
+++
−
++++++
+
+++
−
++++++
+
+++
++
=−
−
−
52
8/)15(
3
8/9
52
4/)359(
3
4/9
52
8/)7545(
3
8/45
52
8/)53(
3
8/3
52
4/)57(
3
4/3
52
)1(8/15
3
8/15
52
8/)1(
3
8/1
52
4/)5(
3
4/1
52
8/)213(
3
8/5
)52)(3()52)(3(
1511
)52)(3(
15
)52)(3()52)(3(
)5(
)52)(3(
15
)52)(3(
1
)52)(3(
5
)52)(3(
115
222
222
222
1
2
2
22
222
222
2
1
ss
s
sss
s
sss
s
s
ss
s
sss
s
sss
s
s
ss
s
sss
s
sss
s
s
s
sss
s
sss
s
sss
s
sss
s
sss
ss
sss
ssssss
s
sss
ss
s
AI
AI
 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados (soluções) 
16 
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
( )[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
( )[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
( ) ⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
++
++−+++
++−+++
++−+
++
++++
−
++
−+++
−
++
−+++
−
++
++−++++
++−++++
++++
=− −
222222
222222
222222
1
21
14)1(8/1
3
8/9
21
26)1(94/1
3
4/9
21
30)1(458/1
3
8/45
21
2)1(38/1
3
8/3
21
2)1(74/1
3
4/3
21
30)1(158/1
3
8/15
21
2)1(8/1
3
8/1
21
6)1(4/1
3
4/1
21
18)1(38/1
3
8/5
s
s
ss
s
ss
s
s
s
s
ss
s
ss
s
s
s
s
ss
s
ss
s
s
s AI 
 
( ){ }
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+−+−+−
++−−+−−+−
+−++−+++
=−==Φ
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−
)2sin72(cos
8
1
8
9)2sin132cos9(
4
1
4
9)2sin152cos45(
81
8
45
)2sin2cos3(
8
1
8
3)2sin2cos7(
4
1
4
3)2sin152cos15(
8
1
8
15
)2sin2cos(
8
1
8
1)2sin32cos(
4
1
4
1)2sin92cos3(
8
1
8
5
)(
333
333
333
11
tteetteettee
tteetteettee
tteetteettee
sLet
tttttt
tttttt
tttttt
t AIA
 
 
Logo 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−+
−+−
++
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−==
−−
−−
−−
)2cos25(18
)2sin102cos5(6
)2sin42cos3(2
7
1
5
)0()(
3
3
3
tee
ttee
ttee
exetx
tt
tt
tt
tt AA . 
Idêntico ao resultado obtido pelo método anterior. 
 
 
31. 
31. a) 
0)4)(3)(2(0
24269
024
126
019
23
=+++⇔=−
+++=−
−+
=−
λλλλ
λλλ
λ
λ
λ
λ
AI
AI
 Valores próprios: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
−=
−=
4
3
2
3
2
1
λ
λ
λ
 
 
Vectores próprios: 
 
• Para 21 −=λ vem: 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=⇒
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
12
7
1
0
0
0
2024
1226
017
1
3
2
1
e
x
x
x
 
• Para 32 −=λ vem: 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=⇒
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
8
6
1
0
0
0
3024
1326
016
2
3
2
1
e
x
x
x
 
• Para 43 −=λ vem: 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=⇒
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
6
5
1
0
0
0
4024
1426
015
2
3
2
1
e
x
x
x
 
 
 
 
 
 
 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados (soluções) 
17 
1x1x&
2x& 2x
y
u
3x& 3x
Representação diagonal: 
 
321
1416
2618
124
2
1
6
5
1
8
6
1
12
7
1
eee
dx
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
−=→
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=→= 1-WWW
 
 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
+=⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
+=→
⎩⎨
⎧
+=
+=
udy
udd
udy
udd
uxy
uxx
DCW
BWAWW
DCW
BAWW
DC
BA 1-1-&&& 
 
[ ] [ ] [ ] [ ]206
6812
567
111
224553
6812
567
111
121
8
6
0
0
4
2
1416
2618
124
2
1
6
3
1
0
5
2
1416
2618
124
2
1
400
030
002
−=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−==
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
−=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
−=
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=Λ
WCWC
BWBW
AWW
21
2
1-
1
1-
1-
 
 
 
Sistema 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Λ
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados (soluções) 
18 
Sistema 2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31. b) 
Sistema 1: 
 
[ ]
[ ]
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
++−−
++−−−+++=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−+
−=
−=
−
−
0
5
2
2692424
992426
1
121
)4)(3)(2(
1
0
5
2
024
126
019
121
)(
)(
)(
)(
)(
2
2
2
1
1
1
1
sss
ssss
ss
sss
s
s
s
sU
sY
s
sU
sY BAIC
 
)4)(3)(2(
243912
)(
)( 2
+++
++=
sss
ss
sU
sY 
 
Sistema 2: 
 
[ ]
[ ]
4
16
)4)(3)(2(
)65(16
)(
)(
0
4
2
2692424
992426
1
224
)4)(3)(2(
1
0
4
2
024
126
019
224
)(
)(
)(
)(
)(
2
2
2
2
1
2
1
2
+=+++
++=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
++−−
++−−−+++=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−+
−=
−=
−
−
ssss
ss
sU
sY
sss
ssss
ss
sss
s
s
s
sU
sY
s
sU
sY BAIC
 
 
 
 
1x1x&
2x& 2x
y
u
3x& 3x
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados (soluções) 
19 
31. c) 
 
Sistema 1: 
Controlabilidade: [ ]12111 BAABBQ = 
 
Observabilidade: [ ]TR 21111 ACACC= 
lcontroláveésistemao
Qr
→
=⇒≠=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
==
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
3)(072)det(
312480
290525
65132
312
290
65
0
5
2
024216
026210
1955
48
52
13
0
5
2
0024
1026
019
1
1
11
2
1
Q
Q
AABBA
AB
 
[ ] [ ]
[ ] [ ]
observávelésistemao
Qr
→
=⇒≠=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
−=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−=
−=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−=
3)(075)det(
137259
2137
121
137259
024216
026210
1955
121
2137
0024
1026
019
121
1
1
2
1
1
R
R
AC
AC
 
 
Sistema 2: 
Controlabilidade: [ ]222122 BAABBQ = 
 
Observabilidade: [ ]TR 22222 ACACC= 
lcontroláventecompletameénãosistemao
Qr
→
<=⇒=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
32)(0)det(
336480
316524
74142
336
316
74
0
4
2
024216
026210
1955
48
52
14
0
4
2
0024
1026
019
2
2
2
2
2
Q
Q
BA
AB
 
[ ] [ ]
[ ] [ ]
observávelntecompletameénãosistemao
Qr
→
<=⇒=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
−=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−=
−=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−=
32)(0)det(
440208
2440
224
440208
024216
026210
1955
224
2440
0024
1026
019
224
2
2
2
2
2
R
R
AC
AC
 
 
31. d) 
 
321
94
62
10
6
5
1
3
8
6
1
2
12
7
1
5)0(
eee
x
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
 
 
Alternativa 1: 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
++
++
++
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
−−−
−−−
−−−
−−−
ttt
ttt
ttt
ttt
eee
eee
eee
eeetx
432
432
432
432
181660
151235
325
6
5
1
3
8
6
1
2
12
7
1
5)( 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados (soluções) 
20 
Alternativa 2: 
 
( )
( )
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
++−−
++−−+++=−
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−+
=−
−
2692424
9)9(2426
1
)4)(3)(2(
1
024
126
019
2
2
1
sss
ssss
ss
sss
s
s
s
s
s
AI
AI
 
( )
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+++−++−+++−+++−+
+++−++−+++−+++−+
+++−++−+++−+++−+
=−=Φ −
2
6
3
8
4
3
2
12
3
24
4
12
2
24
3
72
4
48
2
2/7
3
6
4
2/5
2
7
3
18
4
10
2
14
3
54
4
40
2
2/1
3
1
4
2/1
2
1
3
3
4
2
2
2
3
9
4
8
)( 1
sssssssss
sssssssss
sssssssss
ss AI 
( ){ }
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+−−+−+−
+−−+−+−
+−−+−+−
=−==Φ
−−−−−−−−−
−−−−−−−−−
−−−−−−−−−
−−
ttttttttt
ttttttttt
ttttttttt
t
eeeeeeeeeeeeeeeeee
eeeeeeeee
sLet
432432432
432432432
432432432
11
386122412487224
2
56
2
710187405414
2
1
2
123892
)( AIA 
Logo 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
++
++
++
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
==
−−−
−−−
−−−
ttt
ttt
ttt
tt
eee
eee
eee
exetx
432
432
432
181660
151235
325
94
62
10
)0()( AA 
 
32. 
32. a) 
[ ] [ ]432,201,
100
020
001
==
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
= CBA T 
 
32. b) 
)1)(1(
)6.0(10
1
8
1
2
)(
)(
−+
+=−++= ss
s
sssU
sY 
32. c) 
O sistema é instável (devido ao pólo em 1) e não é controlável (o modo correspondente ao pólo em -2 não é 
excitado pela entrada u). 
 
 
33. 
33. a) 
[ ] [ ]432,201,
100
020
001
==
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
= CBA T 
 
33. b) 
O sistema é estável, não é controlável e não é observável. 
 
33. c) 
1
1
)(
)(
+= ssU
sY 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados (soluções) 
21 
33. d) 
y(t) 
 
 
34. 
34. a) 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
ub
x
x
bab
bab
y
u
x
x
aax
x
T
0
2
1
011
022
2
1
122
1
1
010
&
&
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⇒
2
1
2
1
2
1
0
2
1
0
65
10
x
x
y
u
x
x
x
x
T
&
&
 
 
34. b) 
( ){ }
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
+−+−
=−==Φ
−−−−
−−−−
−−
tttt
tttt
t
eeee
eeee
sLet
4
1
4
5
4
5
4
5
4
1
4
1
4
5
4
1
)(
55
55
11 AIA 
34. c) 
( )
)1)(5(
2
)(
)( 1
++=+−=
−
ss
s
sU
sY DBAIC 
 
 
35. 
35 a) 
[ ]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
ub
x
x
y
u
bab
bab
x
x
a
a
x
x
0
2
1
022
011
2
1
2
1
2
1
01
0
1
&
&
 
[ ]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⇒
2
1
2
1
2
1
01
4
2
03
14
x
x
y
u
x
x
x
x
&
&
 
 
35. b) 
Controlabilidade: [ ]ABBQ = 
 
Observabilidade: [ ]TACCR = 
[ ]
lcontroláventecompletameésistemao
Qr
T
→
=⇒≠=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
−−=
2)(04)det(
64
42
64
Q
Q
AB
 
[ ]
observávelntecompletameésistemao
Qr
→
=⇒≠=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=
−=
2)(01)det(
14
01
14
R
R
AC
 
 
 
 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados (soluções) 
22 
35. c) 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
03
14
A tem valores próprios: 
⎩⎨
⎧
−=
−=
1
3
2
1
λ
λ
 e vectores próprios: ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1
1
,
3
1
21 vv 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
+=
udy
udd
DCW
BWAWW 1-1-& 
 
[ ]11
1
1
30
01
13
11
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡==Λ→⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
CW
BW
AWWW
1-
1-
-
-
 
 
 
36. 
36. a) 
[ ]
[ ]⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−−
=
=
x
xx
x
010
0
0
1
011
110
101
21
y
u
RC
LL
CRC
CRC
ivv T
& 
 
36. b) Fazendo: 1/RC = 3, 1/C = 1 e 1/L = 2 
[ ]
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
i
v
v
y
u
i
v
v
i
v
v
2
1
2
1
2
1
010
0
0
3
022
130
103
&
&
&
 
( ) [ ]
9136
6
0
0
3
966262
3232
3223
010
9136
1
)(
)(
23
2
2
2
23
12
+++=⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
++−−+
+++
+++
+++=−=
−
sssssss
sss
sss
sss
s
sV
sV
i
BAIC
 
 
37. 
37. a) 
( )
( )
( ) ⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⇒
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
++=
=
+++=
+++=
u
x
x
y
y
u
x
x
x
x
u
x
x
RR
R
y
y
u
L
L
x
x
L
R
L
R
L
R
L
R
x
x
yxxRu
Rxy
xLRxxxRu
xLRxxxRu
1
0
1010
100
2
1
1
105
1020
1
00
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
22
11
2
1
221
21
22221
11121
&
&
&
&
&
&
 
 
 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados (soluções) 
23 
37. b) 
 
( )
⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩
⎪⎨⎧ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−
−+
−+==Φ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−
−+
−+=−=Φ
−+=++=−→⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
+=−
−
−
205
1010
)34,6)(67,23(
1)(
205
1010
)34,6)(67,23(
1)(
)34,6)(67,23(15030
105
1020
1
1
2
s
s
ss
Let
s
s
ss
ss
sssss
s
s
s
tA
AI
AIAI
 
 
 
37. c) 
( )
)(
)34,6)(67,23(
5015
)34,6)(67,23(
505
)(
)(
1
0
2
1
1
205
1010
1010
100
)34,6)(67,23(
1
)(
)(
2
2
1
1
2
1
sU
ss
ss
ss
s
sY
sY
s
s
ss
s
sG
sG
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−+
++
−+
+
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−
−+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−−+=+−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ − DBAIC
 
 
37. d) É controlável e observável. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38. 
( )
( )
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=+−
+=+−
=−
⇒
=
+=
+=+
=
+++=
332312
33332312
2231
33
321
3333222
222
2221111
iRyviiR
iRiLviiR
vCii
iLy
iii
iRiLviR
vCi
viRiLiRu
&
&
&
&
&
&
 
 
1x1x&
2x& 2x 1y
u
2y
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados (soluções) 
24 
[ ]
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+−=
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+−
−
−−−
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
3
2
1
322
1
3
2
1
3
32
33
2
22
2
2
11
1
3
2
1
)(1
0
0
1
)(1
101
1
i
v
i
RRRy
u
L
i
v
i
L
RR
LL
R
CC
L
R
LL
R
i
v
i
&
&
&
 
 
39. 
( )
( )⎩⎨
⎧
+−+++=
+−=⇒
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
⎩⎨
⎧
−=
+−=⇒
=
=
+=
+=
=
+++=
221211111
222122
2122
2212
22
111
22
21
22
11111
)(
viiRviLiRu
vRiiiL
iivC
viiRy
vCi
vCi
viRy
iii
iLy
yviLiRu
&
&
&
&
&
&
&
 
 
[ ]
[ ]⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
−=
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−+−
=
=
x
xx
x
10
0
0
0
1
0011
0001
10
11)(
22
1
22
1
22
2
2
2
111
2
1
21
2121
RRy
u
L
CC
C
LL
R
L
R
LLL
R
L
RR
vvii T
& 
 
 
40. 
40. a) 
( )( ) sssssssssssV
s
3125,1011
625,0
25,88,88,0
5,0
25,0188,0
5,0
)(
)(
2323 ++=++=+++=
Θ 
 
Forma canónica observável: 
 
[ ]
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
+
⎥⎥
⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
ub
x
x
x
y
bab
bab
bab
x
x
x
a
a
a
x
x
x
0
3
2
1
033
022
011
3
2
1
3
2
1
3
2
1
001
00
10
01
&
&
&
 com
[ ]
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⇒
=
===
=
=
=
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
210
3
2
1
001
625,0
0
0
000
103125,10
0111
625,0
0
0
3125,10
11
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
b
bbb
a
a
a
&
&
&
 
 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados (soluções) 
25 
40. b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40. c) 
Controlabilidade: [ ]BAABBQ 2= 
 
Observabilidade: [ ]T2ACACCR = 
lcontroláventecompletameésistemao
Qr
→
=⇒≠−=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
3)(0625,0)det(
00625,0
0625,00
625,000
0
0
625,0
625,0
0
0
000
03125,10437,113
111687,110
0
625,0
0
3
2
Q
Q
BA
AB
 
[ ]
[ ]
observávelntecompletameésistemao
Qr
→
=⇒≠=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=
−=
−=
3)(01)det(
1116875,110
0111
001
1116875,110
0111
2
R
R
AC
AC
 
 
41. 
41 a) 
2
2
0
2
22
1
12
2
1
1
11
1
0122
1
1
1
111
11
11
R
hq
h
RA
h
RA
h
q
A
h
RA
h
qqhA
R
hq
qqhA
ii
=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
+−=
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
=
−=
&
&
&
&
 
 
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
2
1
2
1
2212
11
2
1
010
0
1
11
01
x
x
R
y
uAx
x
RARA
RA
x
x
&
&
 
 
 
1x1x&2x& 2x y
u
3x& 3x
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados (soluções) 
26 
41 b) Para R1 = 1/2, R2 = 1, A1 = 1, A2 = 2 
 
[ ]10,
0
1
,
5,01
02 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−= CBA 
( ) [ ]
( )( ) ( ) )5,0)(2(
1
0
1
5,0
1
5,02
1
0
2
1
10
)(
)( 1
++=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+++
+=−= −
ss
sss
ss
sU
sY BAIC 
41 c) 
 
Controlabilidade: [ ]ABBQ = 
 
Observabilidade: [ ]TACCR = 
lcontroláveésistemao
Qr
→
=⇒≠=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
2)(01)det(
10
21
1
2
0
1
5,01
02
Q
Q
AB
 
[ ] [ ]
observávelésistemao
Qr
→
=⇒≠−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
2)(01)det(
5,01
10
5,0110
5,01
02
R
R
AC
 
 
41 d) 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
5,01
02
A tem valores próprios: 
⎩⎨
⎧
−=
−=
5,0
2
2
1
λ
λ
 e vectores próprios: ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
1
0
,
1
5,1
21 vv 
 
[ ]
[ ] [ ]11
11
05,1
10
5,1
1
5,1
1
0
1
1
5,1
1
0
5,1
1
5,00
02
11
05,1
21
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡−
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−==Λ→⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−==
CW
BW
AWWW
1-
1-vv
 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
+Λ=
dy
udd
CW
BW 1-& 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Análise de Sistemas no Espaço de Estados (soluções) 
27 
42. entrada i(t) e saída y(t) 
 [ ]TLC iv=x e [ ]TLC iv &&& =x 
( )
( )
)(
,
)()(
,
)(
1
)(
1
,
)(
1
)(
1
)()(
1
)()()(
)(
1
)(
1
)(
1
)(
)(
1)(
21
2
21
21
21
1
21
2
21
3
21
21
21
1
21
1
21
21
1
21
21
21
2
3
21
1
3
21
21
21
2
31
21
2
32
1
21
21
RR
R
RR
RR
RR
R
RR
R
L
CRR
R
RR
RR
LRR
R
L
CRR
R
CRR
v
RR
R
i
RR
RR
u
RR
R
iRiLy
v
RR
R
L
iR
RR
RR
L
u
RR
R
L
i
iRvviRu
CRR
CR
iLiRiLvvCR
viRu
CRR
vvvCRivCRu
CLLL
CLL
LCCLLLLCC
CLCCCLC
+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−+=⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
+=
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
+−+−=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
++⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+=+=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
++⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+=⇔
⇔−+−−+=⇔+=+
−−+=⇔+++=
DCBA
&
&
&&&
&&&
 
L 
vC 
+
−
y R2 
C 
R3 
R1 
u 
+
−
iL