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EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS VIGAS PRINCIPAIS (adaptado TAGUTI 2002) ROTEIRO DE CÁLCULO I - DADOS Ponte rodoviária. classe TB 450 (NBR-7188) Planta, corte e vista longitudinal (Anexo) Fôrma da superestrutura e da infra-estrutura Concreto : fck = 35 MPa Aço : CA-50 Pesos específicos : concreto simples : 24 kN/m3 concreto armado : 25 kN/m3 pavimentação : 24 kN/m3 recapeamento : 2 kN/m2 Viga principal - pré-dimensionamento: valores do índice de esbeltez l / h = vão / altura ( Martinelli - 1971) tipo de ponte concreto armado concreto protendido pedestres 15 a 20 20 a 25 rodoviária 10 a 15 15 a 20 ferroviária 8 a 10 10 a 15 II - CÁLCULO DAS VIGAS PRINCIPAIS 1 - Cálculo dos esforços devidos à carga permanente (g) 1.1 - Cálculo da carga permanente g 1.2 - Cálculo do momento fletor devido a g 1.3 - Cálculo do esforço cortante devido a g 1.4 - Cálculo das reações de apoio devidas a g 2 - Cálculo dos esforços devidos à carga móvel (q) 2.1 - Determinação do trem-tipo para a viga principal 2.2 - Momentos fletores máximo e mínimo devido a q 2.3 - Cálculo dos esforços cortantes máximo e mínimo devidos a q 2.4 - Reações de apoio máxima e mínima devidas a q 3- Esforços totais 3.1 - Momentos fletores extremos 3.2 - Esforços cortantes extremos 3.3 - Reações de apoio extremas 4- Dimensionamento das armaduras 4.1 - Verificação do pré-dimensionamento da seção 4.2 - Cálculo da armadura de flexão 4.3 - Cálculo da armadura de cisalhamento 4.4 - Verificação da fadiga da armadura de flexão 4.5 - Verificação da fadiga da armadura de cisalhamento Corte e Vista longitudinal da ponte Seção Transversal no apoio e no meio do vão Vista inferior e Locação da Fundação 6) CÁLCULO DAS VIGAS PRINCIPAIS 6.1) REPARTIÇÃO DAS CARGAS TRANSVERSALMENTE No caso de pontes sobre duas vigas principais, há basicamente, três esquemas estáticos de cálculo: Obs.: NBR-6118 - seções transversais com três ou mais vigas principais devem ser calculadas como grelha. 6.2 CÁLCULO DAS VIGAS PRINCIPAIS 6.2.1 CÁLCULO DOS ESFORÇOS DEVIDO À CARGA PERMANENTE A carga permanente pode ser considerada uniformemente distribuída, igualmente para cada viga, inclusive o peso próprio das transversinas. Somente o peso próprio da cortina será considerado como concentrado na extremidade da viga, porém, sem o momento fletor correspondente. 6.2.2 CÁLCULO DOS ESFORÇOS DEVIDO ÀS CARGAS MÓVEIS Os esforços serão obtidos através de cálculo como vigas independentes. Fig. 6.2 - Esquema de cálculo - como vigas independentes As cargas P e p' atuando sobre o tabuleiro, correspondem às cargas Pη + p'A sobre um determinado ponto da viga 1 . Considerando-se todas as seções transversais, ao longo da ponte, obtêm-se todas as cargas sobre a viga 1, correspondentes àquelas atuantes sobre o tabuleiro. Esse carregamento obtido sobre a viga 1 é denominado TREM-TIPO da viga principal. P P p' p' 1 2 η 1 A LI de R 1 ( reação da viga ) 1 1 R P = + p' η 1 R = P . + p' . A η ( parcelas das cargas P e p' suportadas pela viga 1 ) 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das vigas principais OBS. Para se obterem os máximos valores de Q1, q1 e q2 , observando a LI, deve-se colocar o veículo-tipo tão próximo quanto possível da viga 1 . 6.2.4 VALORES EXTREMOS DOS ESFORÇOS DEVIDO ÀS CARGAS MÓVEIS Determinado o TREM-TIPO da viga principal, pode-se obter, através das linhas de influências, os valores máximos e mínimos dos esforços solicitantes (M e V) Exemplo: Extremos de Mc Fig.6.4 - Linha de influência do momento fletor na seção C e as posições do trem- 6.3 ENVOLTÓRIA DE ESFORÇOS São os valores máximos e mínimos dos esforços em cada seção transversal da viga. Esses valores são determinados pela combinação das cargas permanentes e móveis. O número de seções adotadas em cada tramo varia com o vão do mesmo, podendo adotar- se: vão dividido em 10 partes Recomenda-se : 5 seções para vão L entre 5 e 10 m 10 seções para vão L entre 20 e 30 m Fig. 6.5 - Número de seções para cada tramo da viga 6.4 CÁLCULO DAS VIGAS PRINCIPAIS - RESOLUÇÃO DO PROJETO 6.4.1 CÁLCULO DOS ESFORÇOS DEVIDO À CARGA PERMANENTE 6.4.1.1 Cálculo das cargas permanentes L = 26 m - Peso próprio de meia seção transversal Fig. 6.6 - Seção transversal da ponte - Peso próprio das transversinas (considerando unif. distrib. ao longo da viga, l = 30m) 2 1 6 3 4 5 40 40 15 5 15 5 15 40 260 cm 40 80 230 cm cm 12 25 cm 200 10 cm cm 5 Fig. 6.8 - Desconto nos apoios - Peso próprio das cortinas 50 30 50 cm 200 10 25 cm cm laje já considerada Fig.6.7 - Seção transversal da transversina cm ,0 m 5 , 4 0 0 0 , 60 2 ,0 m transversina viga principal 25 , 0 , 10 0 ,0 m 2 , 25 2 25 , 0 0 25 , ,50 m 0 ,65 m 1 , 25 0 0 ,50 m 25 , 0 ,50 m 12 5 2 , 0 0 ,25 m laje já considerada Ala cortina Ala cortina Fig. 6.9 Dimensões das cortinas e alas - CARGA PERMANENTE TOTAL - Vigas principais Fig. 6.10 - Cargas permanentes da viga principal - Seções para cálculo dos esforços solicitantes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Fig. 6.11 - Fixação das seções ao longo da viga principal 6.4.1.2 - REAÇÕES DE APOIO Rg2 = Rg12 = 1.717,19 kN 6.4.1.3 - DIAGRAMA DE Mg (kN.m): (convenção: tração embaixo: positivo) Fig. 6.12 - Diagrama de M devido às cargas permanentes 2 ,5 m 2 ,5 m 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 ,5 m 2 ,5 m 6.4.1.4 - DIAGRAMA DE Vg (kN) (convenção: horário positivo) Fig. 6.13 - Diagrama de V devido às cargas permanentes 6.4.2 - CÁLCULO DOS ESFORÇOS DEVIDO ÀS CARGAS MÓVEIS 6.4.2.1 - Obtenção do TREM-TIPO das vigas principais (ver Fig. 6.15) Esforços devido a carga móvel Coeficiente de Impacto Vertical (CIV) CIV=1+1,06.(20/(LIV+50)) 1. Balanço = 2.5 = 10 m CIV=1+1,06.(20/(10+50))=1,353 2. Vão Central = 20 m CIV=1+1,06.(20/(20+50))=1,303 Coeficiente de número de faixas CNF = 1 – 0,05.(n-2) = 1– 0,05.(2-2) = 1,00 Coeficiente de impacto adicional (somente para elementos < 5 m) Balanço = 1,353.1,00.1,00 = 1,353 (Versão Antiga da Norma = 1,33) Vão Central = 1,303.1,00.1,00 = 1,303 (Versão Antiga da Norma = 1,26) TREM-TIPO - VIGA PRINCIPAL Fig. 6.16 - TREM-TIPO da viga principal Balanço = 1,35 Vão Central = 1,30 Q1 = 75 . (1,35 + 1,05) . coef 243,00KN 234,00 KN q1 = 5 . (0,97 . 6,4)/2 . coef 20,95 KN/m 20,18 KN/m Q2 = 5 . (1,42 . 9,4)/2 . coef 45,05 KN/m 43,38 KN/m 6.4.2.2 REAÇÕES DE APOIOS Fig. 6.17 - Reações máxima e mínima da viga principal, causadas pelas cargas móveis Rq2,mín =−243,00.(0,10 + 0,175 +0,25) – 20,95.((0,025+0,25)/2).4,5-45,05.((0,025+0,5)/2)= - 152,36KN Rq2,máx = 243,00.(1,25 +1,175 +1,10) +20,95.((1,025+1,25)/2).4,5+45,05((1,025.20,5)/2)= 1.437,12KN 6.4.2.3 MOMENTOS FLETORES Ponto 0/14 Mq0,mín =0,00 Mq0,máx = 0,00 Os valores são zero devido ao ponto 0 ser a extremidade da estrutura. Ponto 1/13 Mq1,mín =−243,00.(2,5+1,00) – 20,95.(2,5.2,5)/2= - 915,97 KNm Mq1,máx = 0,00 Ponto 2/12 Mq2,mín =−243,00.(5,00 + 3,5 + 2,00) – 20,95.(5,0.5,0)/2= - 2.816,39 KNm Mq2,máx = 0,00 Ponto 3/11 Mq3,mín =−243,00.(4,50+3,15+1,80) – 20,95.[(4,50+0,45)/2.4,5] – 45,05.[(0,4.0,50)/2+0,50.5,00/2]= - 2.591,06 KNm Mq3,máx = 243,00.(1,8+1,65+1,5) + 20,95.[(1,8+0,45)/2.1,5 + (1,80+1,35)/2.4,5] + 45,05.[(1,35.13,50)/2 + (0,45.0,50)/2] = 1.802,27 kN.m Ponto 4/10 Mq4,mín =−243,00.(4,00+2,80+1,60) – 20,95.[(4,00+0,40)/2.4,5] – 45,05.[(0,4.0,50)/2+1,00.5,00/2]= - 2.365,74 KNm Mq4,máx = 243,00.(3,2+2,9+2,6) + 20,95.[(3,2+2,00)/2.1,5 + (3,2+2,3)/2.4,5] + 45,05.[(2,30.11,50)/2 + (2,50.2,00)/2] = 3.163,47 kN.m Ponto 5/9 Mq5,mín =−243,00.(3,50+2,45+1,40) – 20,95.[(3,50+0,35)/2.4,5] – 45,05.[(0,35.0,50)/2+1,50.5,00/2]= - 2.140,41 KNm Mq5,máx = 243,00.(4,20+3,75+3,30) + 20,95.[(4,2+3,15)/2.1,5 + (4,2+2,85)/2.4,5] + 45,05.[(2,85.9,50)/2 + (3,15.4,50)/2] = 4.110,71 kN.m Ponto 6/8 Mq6,mín =−243,00.(3,00 + 2,10 + 1,2) – 20,95.[(3,00 + 0,30)/2.4,5] – 45,05.[ (0,35.0,50)/2 +2,00.5,00/2] = - 1.915,08 KNm Mq6,máx = 243,00.(4,80+4,20+3,60) + 20,95.[(4,8+3,90)/2.1,5 + (4,8+3,00)/2.4,5] + 45,05.[(3,00.7,5)/2 + (3,90+6,5)/2] = 4.643,99 kN.m Ponto 7 Mq7,mín =−243,00.(2,50 + 1,75 + 1,00) – 20,95.[(2,5+0,25)/2.4,5] – 45,05.[ (0,25.0,50)/2 +2,50.5,00/2] = - 1.689,76 KNm Mq7,máx = 243,00.(5,00+4,25.2) + 20,95.[2.(5,00+4,25)/2.3,0] + 45,05.[2.(4,25.7,0)/2] = 4.918,45 kN.m Seção Mk max Mk min 0 / 14 0 0 1 / 13 0 -915,97 2/12 0 -2816,39 3 / 11 1802,27 -2591,06 4 / 10 3163,37 -2365,74 5 / 9 4110,71 -2140,41 6/8 4711,47 -1915,08 7 4918,45 -1689,76 6.4.2.4 - ESFORÇOS CORTANTES (Vq) Ponto 0/-14 Vq0,mín =−243,00.(1,00) = - 243,00 KN Vq0 máx = 0,00 Ponto 1 /-13 Vq1,mín =−243,00.(1,00 + 1,00) – 20,95.(1,00.2,5) = - 538,50 KN Vq1 máx = 0,00 Ponto 2/-12 esq Vq2,mín =−243,00.(1,00 + 1,00 + 1,00) – 20,95.(1,00.4,5) – 45,05.(0,5.1,00) = -845,80 KN Vq2 máx = 0,00 Ponto 2/-12 dir Vq2,mín =−243,00.(0,25+0,175+0,10) – 20,95.[(0,25+0,025)/2.4,5] – 45,05.[(0,5.0,025)/2] = -140,82 KN Vq2 máx = 243,00.(1,00 + 0,925 + 0,85)+ 20,95[(1,00+0,775)/2.4,5] + 45,05.[(0,25.5,00)/2 + (0,775.15,50)/2] = 1.055,38 KN Ponto 3 /- 11 Vq3,mín =−243,00.(0,25+0,175+0,10) – 20,95.[(0,25+0,025)/2.4,5] – 45,05.[(0,5.0,025)/2 + (0,10.2,00)/2] = -145,32 KN Vq3 máx = 243,00.(0,90 + 0,825 + 0,75)+ 20,95[(0,90+0,675)/2.4,5] + 45,05.[(0,25.5,00)/2 + (0,675.13,50)/2] = 909,08 KN Ponto 4 / -10 Vq4,mín =−243,00.(0,25+0,175+0,10) – 20,95.[(0,25+0,025)/2.4,5] – 45,05.[(0,5.0,025)/2 + (0,20.4,00)/2] = -158,84 KN Vq4 máx = 243,00.(0,80 + 0,725 + 0,65)+ 20,95[(0,80+0,575)/2.4,5] + 45,05.[(0,25.5,00)/2 + (0,575.11,50)/2] = 770,44 KN Ponto 5 /- 9 Vq5,mín =−243,00.(0,30+0,225+0,15) – 20,95.[(0,30+1,50)/2.4,5] – 45,05.[(0,075.1,50)/2 + (0,25.5,00)/2] = -212,39 KN Vq5 máx = 243,00.(0,70 + 0,625 + 0,55)+ 20,95[(0,70+0,475)/2.4,5] + 45,05.[(0,25.5,00)/2 + (0,475.9,50)/2] = 770,44 KN Ponto 6/-8 Vq6,mín =−243,00.(0,40+0,325+0,25) – 20,95.[(0,40+0,175)/2.4,5] – 45,05.[(0,5.0,175)/2 + (0,25.5,00)/2] = -305,98 KN Vq6 máx = 243,00.(0,60 + 0,525 + 0,45)+ 20,95[(0,60+0,375)/2.4,5] + 45,05.[(0,25.5,00)/2 + (0,375.7,50)/2] = 520,19 KN Ponto 7 Vq7,mín =−243,00.(0,50 + 0,425 + 0,35) – 20,95.[(0,50+0,275)/2.4,5] – .[(0,25.5,00)/2 + (0,25.5,00)/2] = -408,58 KN Vq7 máx = 243,00.(0,50 + 0,425 + 0,35)+ 20,95[(0,50+0,275)/2.4,5] + 45,05.[(0,25.5,00)/2 + (0,275.5,50)/2] = 408,58 KN Seção Vk máx Vk min 0 /- 14 0 -243 1 /-13 0 -538,5 2/-12 esq 0 -845,8 2/-12 dir 1055,38 -140,82 3 /- 11 909,08 -145,32 4 / -10 770,44 -158,84 5 /- 9 640,81 -212,39 6/-8 520,19 -305,98 7 408,58 -408,58 6.4.3 - ESFORÇOS TOTAIS (ver combinações de ações) O peso próprio da estrutura > 75% do peso próprio total, então, γg = 1,3, para efeitos desfavoráveis γg = 1,0, para efeitos favoráveis γq = 1,5, para cargas variáveis 6.4.3.1 - MOMENTOS FLETORES de CÁLCULO (Md) Md,máx = γ gMg + γ qMq,máx Md,mín = γ gMg + γ qMq,mín Seção Mg Mq max Mq min Mdmax Mdmin 0 / 14 - - - - - 1 / 13 - 650,94 - - 915,97 - 846,22 - 2.220,18 Combinações Mdmáx Combinação 1 1,30 - 650,94 1,50 - - 846,22 Combinação 2 1,30 - 650,94 - - - 846,22 Combinação 3 1,00 - 650,94 1,50 - - 650,94 Combinação 4 1,00 - 650,94 - - - 650,94 Mdmín Combinação 1 1,30 - 650,94 1,50 - 915,97 - 2.220,18 Combinação 2 1,30 - 650,94 - - 915,97 - 846,22 Combinação 3 1,00 - 650,94 1,50 - 915,97 - 2.024,90 Combinação 4 1,00 - 650,94 - - 915,97 - 650,94 2/12 - 1.964,08 - - 2.816,39 - 2.553,30 - 6.777,89 Combinações Mdmáx Combinação 1 1,30 - 1.964,08 1,50 - - 2.553,30 Combinação 2 1,30 - 1.964,08 - - - 2.553,30 Combinação 3 1,00 - 1.964,08 1,50 - - 1.964,08 Combinação 4 1,00 - 1.964,08 - - - 1.964,08 Mdmín Combinação 1 1,30 - 1.964,08 1,50 - 2.816,39 - 6.777,89 Combinação 2 1,30 - 1.964,08 - - 2.816,39 - 2.553,30 Combinação 3 1,00 - 1.964,08 1,50 - 2.816,39 - 6.188,67 Combinação 4 1,00 - 1.964,08 - - 2.816,39 - 1.964,08 3 / 11 - 56,98 1.802,27 - 2.591,06 2.646,43 - 3.960,66 Combinações Mdmáx Combinação 1 1,30 - 56,98 1,50 1.802,27 2.629,33 Combinação 2 1,30 - 56,98 - 1.802,27 - 74,07 Combinação 3 1,00 - 56,98 1,50 1.802,27 2.646,43Combinação 4 1,00 - 56,98 - 1.802,27 - 56,98 Mdmín Combinação 1 1,30 - 56,98 1,50 - 2.591,06 - 3.960,66 Combinação 2 1,30 - 56,98 - - 2.591,06 - 74,07 Combinação 3 1,00 - 56,98 1,50 - 2.591,06 - 3.943,57 Combinação 4 1,00 - 56,98 - - 2.591,06 - 56,98 4 / 10 1.426,38 3.163,37 - 2.365,74 6.599,35 - 2.122,23 Combinações Mdmáx Combinação 1 1,30 1.426,38 1,50 3.163,37 6.599,35 Combinação 2 1,30 1.426,38 - 3.163,37 1.854,29 Combinação 3 1,00 1.426,38 1,50 3.163,37 6.171,44 Combinação 4 1,00 1.426,38 - 3.163,37 1.426,38 Mdmín Combinação 1 1,30 1.426,38 1,50 - 2.365,74 - 1.694,32 Combinação 2 1,30 1.426,38 - - 2.365,74 1.854,29 Combinação 3 1,00 1.426,38 1,50 - 2.365,74 - 2.122,23 Combinação 4 1,00 1.426,38 - - 2.365,74 1.426,38 5 / 9 2.485,82 4.110,71 - 2.140,41 9.397,63 - 724,80 Combinações Mdmáx Combinação 1 1,30 2.485,82 1,50 4.110,71 9.397,63 Combinação 2 1,30 2.485,82 - 4.110,71 3.231,57 Combinação 3 1,00 2.485,82 1,50 4.110,71 8.651,89 Combinação 4 1,00 2.485,82 - 4.110,71 2.485,82 Mdmín Combinação 1 1,30 2.485,82 1,50 - 2.140,41 20,95 Combinação 2 1,30 2.485,82 - - 2.140,41 3.231,57 Combinação 3 1,00 2.485,82 1,50 - 2.140,41 - 724,80 Combinação 4 1,00 2.485,82 - - 2.140,41 2.485,82 6/8 3.121,52 4.711,47 - 1.915,08 11.125,18 248,90 Combinações Mdmáx Combinação 1 1,30 3.121,52 1,50 4.711,47 11.125,18 Combinação 2 1,30 3.121,52 - 4.711,47 4.057,98 Combinação 3 1,00 3.121,52 1,50 4.711,47 10.188,73 Combinação 4 1,00 3.121,52 - 4.711,47 3.121,52 Mdmín Combinação 1 1,30 3.121,52 1,50 - 1.915,08 1.185,36 Combinação 2 1,30 3.121,52 - - 1.915,08 4.057,98 Combinação 3 1,00 3.121,52 1,50 - 1.915,08 248,90 Combinação 4 1,00 3.121,52 - - 1.915,08 3.121,52 7,00 3.333,42 4.918,45 - 1.689,76 11.711,12 798,78 Combinações Mdmáx Combinação 1 1,30 3.333,42 1,50 4.918,45 11.711,12 Combinação 2 1,30 3.333,42 - 4.918,45 4.333,45 Combinação 3 1,00 3.333,42 1,50 4.918,45 10.711,10 Combinação 4 1,00 3.333,42 - 4.918,45 3.333,42 Mdmín Combinação 1 1,30 3.333,42 1,50 - 1.689,76 1.798,81 Combinação 2 1,30 3.333,42 - - 1.689,76 4.333,45 Combinação 3 1,00 3.333,42 1,50 - 1.689,76 798,78 Combinação 4 1,00 3.333,42 - - 1.689,76 3.333,42 Resumo Seção Mg Mq max Mq min Mdmax Mdmin 0 / 14 - - - - - 1 / 13 - 650,94 - - 915,97 - 846,22 - 2.220,18 2/12 - 1.964,08 - - 2.816,39 - 2.553,30 - 6.777,89 3 / 11 - 56,98 1.802,27 - 2.591,06 2.646,43 - 3.960,66 4 / 10 1.426,38 3.163,37 - 2.365,74 6.599,35 - 2.122,23 5 / 9 2.485,82 4.110,71 - 2.140,41 9.397,63 - 724,80 6/8 3.121,52 4.711,47 - 1.915,08 11.125,18 248,90 7 3.333,42 4.918,45 - 1.689,76 11.711,12 798,78 6.4.3.2 - ESFORÇOS CORTANTES (Vd) Vd,máx = γ gVg + γ qVq,máx Vd,mín = γ gVg + γ qVq,mín Seção Vg Vk máx Vk min Vdmax Vdmin 0 /- 14 - 127,94 - - 243,00 - 166,32 - 530,82 Combinações Mdmáx Combinação 1 1,30 - 127,94 1,50 - - 166,32 Combinação 2 1,30 - 127,94 - - - 166,32 Combinação 3 1,00 - 127,94 1,50 - - 127,94 Combinação 4 1,00 - 127,94 - - - 127,94 Mdmín Combinação 1 1,30 - 127,94 1,50 - 243,00 - 530,82 Combinação 2 1,30 - 127,94 - - 243,00 - 166,32 Combinação 3 1,00 - 127,94 1,50 - 243,00 - 492,44 Combinação 4 1,00 - 127,94 - - 243,00 - 127,94 1 /-13 - 392,82 - - 538,50 - 510,67 - 1.318,42 Combinações Mdmáx Combinação 1 1,30 - 392,82 1,50 - - 510,67 Combinação 2 1,30 - 392,82 - - - 510,67 Combinação 3 1,00 - 392,82 1,50 - - 392,82 Combinação 4 1,00 - 392,82 - - - 392,82 Mdmín Combinação 1 1,30 - 392,82 1,50 - 538,50 - 1.318,42 Combinação 2 1,30 - 392,82 - - 538,50 - 510,67 Combinação 3 1,00 - 392,82 1,50 - 538,50 - 1.200,57 Combinação 4 1,00 - 392,82 - - 538,50 - 392,82 2/-12 - 657,69 - - 845,80 - 855,00 - 2.123,70 Combinações Mdmáx Combinação 1 1,30 - 657,69 1,50 - - 855,00 Combinação 2 1,30 - 657,69 - - - 855,00 Combinação 3 1,00 - 657,69 1,50 - - 657,69 Combinação 4 1,00 - 657,69 - - - 657,69 Mdmín Combinação 1 1,30 - 657,69 1,50 - 845,80 - 2.123,70 Combinação 2 1,30 - 657,69 - - 845,80 - 855,00 Combinação 3 1,00 - 657,69 1,50 - 845,80 - 1.926,39 Combinação 4 1,00 - 657,69 - - 845,80 - 657,69 2/-12 1.059,50 1.055,38 - 140,82 2.960,42 1.377,35 Combinações Mdmáx Combinação 1 1,30 1.059,50 1,50 1.055,38 2.960,42 Combinação 2 1,30 1.059,50 - 1.055,38 1.377,35 Combinação 3 1,00 1.059,50 1,50 1.055,38 2.642,57 Combinação 4 1,00 1.059,50 - 1.055,38 1.059,50 Mdmín Combinação 1 1,30 1.059,50 1,50 - 140,82 1.166,12 Combinação 2 1,30 1.059,50 - - 140,82 1.377,35 Combinação 3 1,00 1.059,50 1,50 - 140,82 848,27 Combinação 4 1,00 1.059,50 - - 140,82 1.059,50 3 /- 11 847,60 909,08 - 145,32 2.465,50 1.101,88 Combinações Mdmáx Combinação 1 1,30 847,60 1,50 909,08 2.465,50 Combinação 2 1,30 847,60 - 909,08 1.101,88 Combinação 3 1,00 847,60 1,50 909,08 2.211,22 Combinação 4 1,00 847,60 - 909,08 847,60 Mdmín Combinação 1 1,30 847,60 1,50 - 145,32 883,90 Combinação 2 1,30 847,60 - - 145,32 1.101,88 Combinação 3 1,00 847,60 1,50 - 145,32 629,62 Combinação 4 1,00 847,60 - - 145,32 847,60 4 / -10 635,70 770,44 - 158,84 1.982,07 826,41 Combinações Mdmáx Combinação 1 1,30 635,70 1,50 770,44 1.982,07 Combinação 2 1,30 635,70 - 770,44 826,41 Combinação 3 1,00 635,70 1,50 770,44 1.791,36 Combinação 4 1,00 635,70 - 770,44 635,70 Mdmín Combinação 1 1,30 635,70 1,50 - 158,84 588,15 Combinação 2 1,30 635,70 - - 158,84 826,41 Combinação 3 1,00 635,70 1,50 - 158,84 397,44 Combinação 4 1,00 635,70 - - 158,84 635,705 /- 9 423,80 640,81 - 212,39 1.512,16 550,94 Combinações Mdmáx Combinação 1 1,30 423,80 1,50 640,81 1.512,16 Combinação 2 1,30 423,80 - 640,81 550,94 Combinação 3 1,00 423,80 1,50 640,81 1.385,02 Combinação 4 1,00 423,80 - 640,81 423,80 Mdmín Combinação 1 1,30 423,80 1,50 - 212,39 232,36 Combinação 2 1,30 423,80 - - 212,39 550,94 Combinação 3 1,00 423,80 1,50 - 212,39 105,22 Combinação 4 1,00 423,80 - - 212,39 423,80 6/-8 211,90 520,19 - 305,98 1.055,76 275,47 Combinações Mdmáx Combinação 1 1,30 211,90 1,50 520,19 1.055,76 Combinação 2 1,30 211,90 - 520,19 275,47 Combinação 3 1,00 211,90 1,50 520,19 992,19 Combinação 4 1,00 211,90 - 520,19 211,90 Mdmín Combinação 1 1,30 211,90 1,50 - 305,98 - 183,50 Combinação 2 1,30 211,90 - - 305,98 275,47 Combinação 3 1,00 211,90 1,50 - 305,98 - 247,07 Combinação 4 1,00 211,90 - - 305,98 211,90 7,00 - 408,58 - 408,58 612,87 - 612,87 Combinações Mdmáx Combinação 1 1,30 - 1,50 408,58 612,87 Combinação 2 1,30 - - 408,58 - Combinação 3 1,00 - 1,50 408,58 612,87 Combinação 4 1,00 - - 408,58 - Mdmín Combinação 1 1,30 - 1,50 - 408,58 - 612,87 Combinação 2 1,30 - - - 408,58 - Combinação 3 1,00 - 1,50 - 408,58 - 612,87 Combinação 4 1,00 - - - 408,58 - Resumo Seção Vg Vk máx Vk min Vdmax Vdmin 0 /- 14 - 127,94 - - 243,00 - 166,32 - 530,82 1 /-13 - 392,82 - - 538,50 - 510,67 - 1.318,42 2/-12 - esq - 657,69 - - 845,80 - 855,00 - 2.123,70 2/-12 - dir 1.059,50 1.055,38 - 140,82 2.960,42 1.377,35 3 /- 11 847,60 909,08 - 145,32 2.465,50 1.101,88 4 / -10 635,70 770,44 - 158,84 1.982,07 826,41 5 /- 9 423,80 640,81 - 212,39 1.512,16 550,94 6/-8 211,90 520,19 - 305,98 1.055,76 275,47 7 - 408,58 - 408,58 612,87 - 612,87 6.4.3.3 - REAÇÕES DE APOIO (Rd) Rd2,máx = Rd12,máx =1,3x1.717,19 +1,4x1.437,12= 4.357,33kN Rd2,mín = Rd12,mín =1,0x1.717,19 +1,4(−152,36) = 1.494,12kN 6.4.4 - DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS Fig. 6.21 - Largura colaborante das lajes 6.4.4.1 - VERIFICAÇÃO DO PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO Verificam-se as seções onde ocorrem os máximos esforços solicitantes. No projeto, essas seções são as seguintes: momento máximo positivo: seção 7 ; Md,máx = 11.711,12 kN.m momento máximo negativo: seção 2 ou 12; Md,máx = -6.777,89 kNm cortante máxima : seção 2d ou 12e: Vd,máx = 2960,42kN a) Seção 7 Md,máx = 11.711,12 kN.m; tração embaixo → T h = 225 cm h f = 25 cm 10 40 cm 10 cm 10 cm cm 120 120 cm 60 cm b 2 620 - 20 = 600 cm = h f 25 cm = 10 cm 10 cm 10 cm 40 cm cm 120 60 cm 120 cm Fig. 6.22 - Cálculo da largura coraborante viga V 1 viga V 2 Supondo-se d = 0,9h = 202,5 cm, tem-se: 𝑘𝑐 = 𝑏𝑓. 𝑑² 𝑀𝑑 = 300. (202,5)² 1.171.112,00 = 10,50 Fck = 35 MPa → βc = 0,06 → x = 0,06.202,5 = 12,15 < hf = 25 cm ∴ L.N.na laje b) Seção 2: Md,máx = -6.777,89 kNm tração em cima ∴seção retangular verificação inicial : bw = 40 cm (sem alargamento no apoio) 𝑀𝑑𝑙𝑖𝑚 = 𝑏. 𝑑² 𝑘𝑐 = 40. (202,5)² 1,3 = 1261730,77 𝐾𝑁𝑐𝑚 = 12.617,31 𝐾𝑁𝑚 Ou seja, não é necessário alargar a base em virtude do momento fletor c) cortante máxima: Vd,máx = 2960,42kN 𝛼𝑣2 = (1 − 35 250 ) = 0,86 𝑉𝑅𝑑2 = 0,27.0,86. ( 3,5 1,4 ) . 40.202,5 = 4.702,05𝐾𝑁 A dimensão resiste! 6.4.4.2 - CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO Para cada seção preestabelecida, calcular-se-ão as armaduras. Note-se que, caso os momentos Md,máx e Md,mín forem de sinais contrários, determinar-se-ão duas áreas de armaduras. Seção Mdmax Mdmin Kc máx Kc mín Ks máx Ks mín As máx (cm²) As mín (cm²) 0 / 14 0 0 0 0 0 0 0 0 1 / 13 -846,222 -2220,18 19,38321 7,387924 0,023 0,024 9,61141 26,31321 2/12 -2553,3 -6777,89 6,424029 2,420001 0,024 0,025 30,26138 83,67764 3 / 11 2646,425 -3960,66 46,48488 4,141351 0,024 0,024 31,36504 46,9412 4 / 10 6599,349 -3548,61 18,64104 4,622232 0,024 0,024 78,21451 42,0576 5 / 9 9397,631 -724,795 13,0904 22,63054 0,023 0,023 106,7385 8,23224 6/8 11125,18 3121,52 11,05769 39,40989 0,024 0,023 131,854 35,4543 7 11711,12 3333,42 10,50444 36,90467 0,024 0,023 138,7985 37,86107 6.4.4.3 - CÁLCULO DA ARMADURA DE CISALHAMENTO Seção Vdmax Vdmin VRD2 Vsd, mín Asw (cm²/m) Vdmax Vdmin Vdmax Vdmin 0 /- 14 -166,322 -530,822 4698 OK! Arm. Mín Arm. Mín 4,99 4,99 1 /-13 -510,666 -1318,42 4698 OK! Arm. Mín -1318,42 4,99 6,60 2/-12 -854,997 -2123,7 4698 OK! Arm. Mín -2123,7 4,99 16,74 2/-12 2960,42 1377,35 4698 OK! 2960,42 1377,35 27,28 7,34 3 /- 11 2465,5 1101,88 4698 OK! 2465,5 Arm. Mín 21,05 4,99 4 / -10 1982,07 826,41 4698 OK! 1982,07 Arm. Mín 14,96 4,99 5 /- 9 1512,155 550,94 4698 OK! 1512,155 Arm. Mín 9,04 4,99 6/-8 1055,755 -247,07 4698 OK! Arm. Mín Arm. Mín 4,99 4,99 7 612,87 -612,87 4698 OK! Arm. Mín Arm. Mín 4,99 4,99
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