FUNDAMENTOS DE ANÁLISE

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Identifique os 5 primeiros termos da sequencia n2n+1 .
		
	
	1/3; 2/5; 3/7; 4/9; ...
	
	-1/3; 2/5; 3/7; -4/9; ...
	
	1/2; 2/4; 3/7; -4/9; ...
	
	1/4; 2/5; 3/7; 4/9; ...
	
	1/2; 2/4; 3/7; 4/9; ...
	
	
	
	2a Questão (Ref.:201410143826)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Considere o conjunto dos números naturais:  N = {1, 2, 3, 4, 5,...} Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos 4 axiomas de Peano.
O segundo dos axiomas de Peano é P2.
P2: s:N→N, é injetiva. Dados m,n∈N, temos que   s(m)=s(n)⟹m=n
Com relação aos axiomas de Peano, é somente correto afirmar que
(I) Dois números que têm o mesmo sucessor, são iguais.
(II) Números naturais diferentes possuem sucessores diferentes.
(II) Existe um número natural que não possui um sucessor.
		
	
	(I) e (III)
	
	(II) e (III)
	
	(III)
	
	(I) e (II)
	
	(II)
	
	
	
	3a Questão (Ref.:201410192204)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	O conjunto dos números racionais é:
		
	
	não enumerável e finito.
	
	enumerável e finito.
	
	enumerável e infinito.
	
	não enumerável e infinito.
	
	subconjunto dos naturais
	
	
	
	4a Questão (Ref.:201410143866)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Marque a alternativa que apresenta corretamente a demonstração do Teorema:
Se p é elemento mínimo de X, então esse elemento é único.
		
	
	Dado X contido em N, suponha existirem dois elementos mínimos para X: p ∈X  e q ∈X.  Como p ∈X   é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que q ∈X , temos que p ≤ q. Da mesma forma, q ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈X  , temos que q ≤ p. Portanto, como temos p ≤ q e q ≤ p, ficamos com p = q.
	
	Como p ∈X  por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X. q ∈X é elemento máximo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈X, temos que q ≤ p. Portanto, como temos p ≤ q e q ≤ p, ficamos com p = q.
	
	Dado X contido em N, suponha existirem dois elementos mínimos para X: p ∈X e q ∈X. Como p ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que q ∈X, temos que p > q. Da mesma forma, q ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈X, temos que q ≤ p. Portanto,  p = q.
	
	Dado X contido em N, suponha existirem dois elementos mínimos para X: p ∈X e q ∈X . Como p ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que  q ∈X temos que p = q. Da mesma forma, q ∈X  é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈X, temos então esse elemento é único.
	
	Dado X contido em N, suponhamos por absurdo que existirem dois elementos mínimos para X: p ∈X e q ∈X.  Como p ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é maior do que qualquer elemento de X, e já que q ∈X, temos que p ≤ q. Da mesma forma, q ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈X, temos que q ≤ p. Portanto, como temos p ≤ q  e  q ≤ p, ficamos com p = q.
	
	
	
	5a Questão (Ref.:201409972282)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Qual é a afirmação verdadeira?
		
	
	A diferença entre um número racional e um número irracional é um número irracional.
	
	A raiz quadrada de um número racional é um número irracional.
	
	O quadrado de um número irracional é um número racional.
	
	O produto de dois números irracionais distintos é um número irracional.
	
	A soma de dois números irracionais positivos é um número irracional.
	
	
	
	6a Questão (Ref.:201410144016)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Analise a convergência da série ∑n=1∞(13n+1).
		
	
	Pela Regra de L´Hospital podemos afirmar que diverge.
	
	Pelo teste da integral podemos afirmar que a série é divergente.
	
	Pelo teorema do confronto podemos afirmar que a série é divergente.
	
	Pelo teste da integral podemos afirmar que a série é convergente.
	
	Pelo teorema do confronto podemos afirmar que é convergente para 10.
	
	
	
	7a Questão (Ref.:201409972308)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Considere as seguintes séries:
(a) ∑1n (série harmônica de ordem 1)
(b) ∑1n2 (série harmônica de ordem 2)
(c) ∑1n (série harmônica de ordem 1/2)
(d) ∑(-1)n+1n (série harmônica alternada)
(e) ∑1n3 (série harmônica de ordem 3)
Identifique as séries convergentes.
		
	
	(b) , (c) ,(d)
	
	(b) ,(d), (e)
	
	(b) , (c) ,(e)
	
	(a), (b) , (c)
	
	(c) ,(d) ,(e)
	
	
	
	8a Questão (Ref.:201410143871)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Considere o resultado:
Sejam elementos arbitrários a, b ∈ R , então −(a + b) = (−a) + (−b).
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do resultado.
		
	
	teo (a) = (1) . a              1. -(a + b) = (-1) . (a + b),
1, distr                             2. -(a + b) = [((-1) . a) + ((-1) . b)]
2, teo (-a) = (-1) . a        3. -(a + b) = (-a) + (-b)
	
	teo (-a) = (-1) . a              1. -(a + b) =  (a + b),
1, distr                              2. -(a + b) = [((-1) . a) + ((-1) . b)]
2, teo (-a) = (-1) . a         3. -(a + b) = (a) + (-b)
	
	teo (-a) = (-1) . a              1. -(a + b) = (-1) . (a + b),
1, distr                              2. -(a + b) = [((-1) . a) + ((-1) . -b)]
2, teo (-a) = (-1) . a         3. (a + b) = (a) + (b)
	
	teo (-a) = (-1) . a              1. -(a + b) = (-1) . (a + b),
1, distr                              2. -(a + b) = [((-1) . a) + ((-1) . b)]
2, teo (-a) = (-1) . a         3. -(a + b) = (-a) + (-b)
	
	teo (-a) = (-1) . a              1. -(a + b) = (-1) . (a + b),
1, distr                              2. (a + b) = [((1) . a) + ((1) . b)]
2, teo (-a) = (-1) . a         3. -(a + b) = (-a) + (-b)
	
	
	
	9a Questão (Ref.:201410143983)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Analise a convergência da série ∑n=1∞2n7n.(n+1).
		
	
	A série divergente para 2/7, portanto a série é dita convergente.
	
	A série converge absolutamente para 2/7 portanto a série é dita convergente.
	
	A série divergente absolutamente para 5/7, portanto a série é dita convergente.
	
	A série converge absolutamente para 5/7, portanto a série é dita convergente.
	
	A série converge absolutamente para 2/7, portanto a série é dita divergente.
	
	
	
	10a Questão (Ref.:201409972393)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Analisando a série de termos positivos cujo o termo geral é n!/(2n+1)! conclui-se que a mesma :
		
	
	diverge pois o lim an+1/an vale 3/2
	
	converge pois o lim an+1/an vale 9/10
	
	converge pois o lim an+1/an vale 0
	
	converge pois o lim an+1/an vale 0,2
	
	converge pois o lim an+1/an vale 1/3
	
1a Questão (Ref.:201409972250)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Identificando cada propriedade formal da relação de ordem com seu nome, obtemos respectivamente,
(I) se m
(II) Dados m,n pertencentes a N, somente uma das três alternativas pode ocorrer: ou m=n ou mn
(III) se m<="" n+p
<="" m+p="" tem-se="" n*,="" a="" pertencente="" p="" todo="" para="" então,="">
<="" m+p="" tem-se="" a="" pertencente="" p="" todo="" para="" n*="">
		
	
	(I) Monotonicidade da Adição, (II) Tricotomia e (III) Transitividade.
	
	(I) Tricotomia, (II) Transitividade e (III) Associativa.
	
	(I) Transitividade, (II) Tricotomia e (III) Monotonicidade da Adição.
	
	(I) Associativa, (II) Lei do Corte e (III) Tricotomia.
	
	(I) Monotonicidade da Adição, (II) Comutativa e (III) Tricotomia.
	
	
	
	2a Questão (Ref.:201409972314)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Decida se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas:
(1) Se limn→∞an=∞ e bn=n2+3 então limn→∞anbn= ∞
(2) Se an→0 e bn→∞ então anbn→0
(3) Se an e bn são ambas seqüênciasnão convergentes, então a seqüência an+bn não converge.
(4) Se limn→∞an=-∞ e limn→∞bn=∞ então limn→∞anbn= -1.
(5) Se an converge então  ∑an  também converge.
		
	
	As proposições (2) e (3) são verdadeiras e as prosições (1), (4) e (5) são falsas.
	
	As proposições (1), (4) e (5) são verdadeiras e as prosições (2) e (3) são falsas.
	
	Todas são verdadeiras.
	
	As proposições (1), (2) e (3) são verdadeiras e as prosições (4) e (5) são falsas.
	
	Todas são falsas
	
	
	
	3a Questão (Ref.:201410143993)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Analise a convergência  da ∑n=1∞(1n3)
e informe se ela  é convergente ou divergente,  e  o método utilizado para demonstrar.
		
	
	É uma p-série como p = -3 < 1  então afirmamos que a série é divergente.
	
	É uma p-série como p = 3 > 1  então afirmamos que a série converge.
	
	É uma p-série como p = -2 < 1  então afirmamos que a série é divergente.
	
	É uma p-série como p = 2 > 1  então afirmamos que a série converge.
	
	É uma p-série como p = 1/2 < 1  então afirmamos que a série converge.
	
	
	
	4a Questão (Ref.:201410143864)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Marque a alternativa que prova corretamente por indução que ∀ a ∈N, a > 0, temos que Lnan = nLna.
		
	
	Seja P(n): Lnan = nLna . P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, vale P(1).
Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka).
Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna.  Mostramos que a propriedade foi verificada.
	
	Seja P(n): Lnan = nLna.  Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka).  Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna. Mostramos que a propriedade foi verificada.
	
	Seja P(n): Lnan = nLna. P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, vale P(1).
Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna. Mostramos que a propriedade     foi verificada.
	
	Seja P(n): Lnan = nLna.   Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna
Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka).
Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna
	
	Seja P(n): Lnan = nLna. P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, vale P(1).
Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna
Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka).
Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna.   Mostramos que a propriedade foi verificada.
	
	
	
	5a Questão (Ref.:201409972260)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Com relação a noção de conjunto enumerável e aos conjuntos dados, é somente correto afirmar que
(I) O conjunto N é enumerável, pois a função φ : N->N, definida por φ(n) = n é bijetiva.
(II) O conjunto {2, 4, 6, . . .} é enumerável, pois a função φ : N->N, definida por φ(n) = 2n é bijetiva.
(III) O conjunto −1,−2,−3,−4, . . . ,−n, . . . é enumerável, pois a função φ : N->N, definida por φ(n) = -n é bijetiva.
		
	
	(II) e (III)
	
	(I) e (III)
	
	(I) e (II)
	
	(I), (II) e (III)
	
	(I)
	
	
	
	6a Questão (Ref.:201409972294)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Se a e b são números reais positivos e a.a > b.b , então:
		
	
	a > b
	
	a é ímpar
	
	a < b
	
	a é par
	
	a = b
	
	
	
	7a Questão (Ref.:201409972308)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Considere as seguintes séries:
(a) ∑1n (série harmônica de ordem 1)
(b) ∑1n2 (série harmônica de ordem 2)
(c) ∑1n (série harmônica de ordem 1/2)
(d) ∑(-1)n+1n (série harmônica alternada)
(e) ∑1n3 (série harmônica de ordem 3)
Identifique as séries convergentes.
		
	
	(b) , (c) ,(e)
	
	(b) ,(d), (e)
	
	(a), (b) , (c)
	
	(b) , (c) ,(d)
	
	(c) ,(d) ,(e)
	
	
	
	8a Questão (Ref.:201410143871)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Considere o resultado:
Sejam elementos arbitrários a, b ∈ R , então −(a + b) = (−a) + (−b).
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do resultado.
		
	
	teo (-a) = (-1) . a              1. -(a + b) = (-1) . (a + b),
1, distr                              2. (a + b) = [((1) . a) + ((1) . b)]
2, teo (-a) = (-1) . a         3. -(a + b) = (-a) + (-b)
	
	teo (a) = (1) . a              1. -(a + b) = (-1) . (a + b),
1, distr                             2. -(a + b) = [((-1) . a) + ((-1) . b)]
2, teo (-a) = (-1) . a        3. -(a + b) = (-a) + (-b)
	
	teo (-a) = (-1) . a              1. -(a + b) = (-1) . (a + b),
1, distr                              2. -(a + b) = [((-1) . a) + ((-1) . b)]
2, teo (-a) = (-1) . a         3. -(a + b) = (-a) + (-b)
	
	teo (-a) = (-1) . a              1. -(a + b) = (-1) . (a + b),
1, distr                              2. -(a + b) = [((-1) . a) + ((-1) . -b)]
2, teo (-a) = (-1) . a         3. (a + b) = (a) + (b)
	
	teo (-a) = (-1) . a              1. -(a + b) =  (a + b),
1, distr                              2. -(a + b) = [((-1) . a) + ((-1) . b)]
2, teo (-a) = (-1) . a         3. -(a + b) = (a) + (-b)
	
	
	
	9a Questão (Ref.:201410143994)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Analise a convergência da série ∑n=1∞(2n+33n+2)n .
Determine o limite de an quando n tende ao infinito e se a série converge ou diverge.
		
	
	O limite de an quando n tende a infinito será 32, portanto a série diverge.
	
	O limite de an quando n tende a infinito será -2, portanto a série diverge.
	
	O limite de an quando n tende a infinito será 2, portanto a série converge.
	
	O limite de an quando n tende a infinito será 23, portanto a série converge.
	
	O limite de an quando n tende a infinito será òo, portanto a série diverge.
	
	
	
	10a Questão (Ref.:201410143840)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Sejam a e b números irracionais.
Das afirmações:
(I) a.b é um número irracional,
(II) a+b é um número irracional ,
(III) a-b pode ser um número racional,
Pode-se concluir que:
		
	
	As três são falsas.
	
	Somente I e II são falsas.
	
	As três são verdadeiras.
	
	Somente I e III são verdadeiras.
	
	Somente I é verdadeira.
	Seja a sequência {n.sen(π/n)}. Marque a alternativa que indica o limite da sequência quando n tende ao infinito.
		
	
	3π/2
	
	2π
	
	3π
	
	π
	
	π/2
	
	
	Ref.: 201409972249
		
	
	2a Questão
	
	
	
	
	Identificando cada propriedade formal da adição de números naturais com seu nome, obtemos respectivamente,
(I) m+(n+p)=(m+n)+p
(II) n+m=m+n
(III) Dados m,n∈N, somente uma das três alternativas pode ocorrer: 
       m=n    ou
        ∃p∈N  tal que m=n+p   ou
        ∃p∈N  tal que  n=m+p   .
(IV) m+n=m+p⇒n=p
		
	
	(I) Associativa, (II) Lei do Corte, (III) Tricotomia e (IV) Comutativa.
	
	(I) Lei do Corte, (II) Tricotomia, (III) Comutativa e (IV) Associativa.
	
	(I) Tricotomia, (II) Comutativa, (III) Associativa e (IV) Lei do Corte
	
	(I) Comutativa, (II) Associativa, (III) Tricotomia e (IV) Lei do Corte.
	
	(I) Associativa, (II) Comutativa, (III) Tricotomia e (IV) Lei do Corte.
	
	
	Ref.: 201410143811
		
	
	3a Questão
	
	
	
	
	Identificando cada propriedade formal da adição de números naturais com seu nome, obtemos respectivamente,
(I) m+(n+p)=(m+n)+p
(II) n+m=m+n
(III) Dados m,n∈N, somente uma das três alternativas pode ocorrer: 
       m=n    ou
        ∃p∈N  tal que m=n+p   ou
        ∃p∈N  tal que  n=m+p   .
(IV) m+n=m+p⇒n=p
		
	
	(I) Tricotomia, (II) Comutativa, (III) Associativa e (IV) Lei do Corte
	
	(I) Associativa, (II) Comutativa, (III) Tricotomia e (IV) Lei do Corte.
	
	(I) Lei do Corte, (II) Tricotomia, (III) Comutativa e (IV) Associativa.
	
	(I) Comutativa, (II) Associativa, (III) Tricotomia e (IV) Lei do Corte.
	
	(I) Associativa, (II) Lei do Corte, (III) Tricotomia e (IV) Comutativa.
	
	
	Ref.: 2014101438174a Questão
	
	
	
	
	Considere o conjunto dos números naturais:  N = {1, 2, 3, 4, 5,...}. Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos 4 axiomas de Peano. 
Considere o terceiro axioma de Peano abaixo.
P3: N-s(N)  consta de um só elemento.
É somente correto afirmar que 
(I) Existe um único numero natural que não é sucessor de nenhum outro. 
(II) Existe um único elemento 1 no conjunto N, tal que 1≠s(n)  para todo n∈N.
(III) Todo elemento pertencente a N possui um único sucessor em N.
		
	
	(II) e (III)
	
	(II)
	
	(III)
	
	(I) e (III)
	
	(I) e (II)
	
	
	Ref.: 201410143989
		
	
	5a Questão
	
	
	
	
	Identifique os 5 primeiros termos da sequencia n2n+1 .
		
	
	1/3; 2/5; 3/7; 4/9; ...
	
	1/2; 2/4; 3/7; 4/9; ...
	
	1/4; 2/5; 3/7; 4/9; ...
	
	1/2; 2/4; 3/7; -4/9; ...
	
	-1/3; 2/5; 3/7; -4/9; ...
	
	
	Ref.: 201409972257
		
	
	6a Questão
	
	
	
	
	Considerando o conjunto dos números naturais como  N = {1, 2, 3, 4, 5,...}., podemos deduzir a teoria dos números naturais dos quatro axiomas de Peano. Um dos axiomas de Peano P1 é enunciado da seguinte forma.
P1. Existe uma função s:N→N, que a cada numero n∈N associa a um numero s(n)∈N, dito sucessor de n.
Com relação aos axiomas de Peano, é somente correto afirmar que
		
	
	Todo número natural é sucessor de algum numero natural.
	
	Todo número natural possui um sucessor que não é natural.
	
	Todo número natural possui um único sucessor, que também é um número natural.
	
	Todo número natural possui um sucessor, que pode não ser único, porém é um número natural.
	
	Todo número natural possui um único sucessor, que pode não ser um número natural.
	
	
	Ref.: 201410143826
		
	
	7a Questão
	
	
	
	
	Considere o conjunto dos números naturais:  N = {1, 2, 3, 4, 5,...} Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos 4 axiomas de Peano.
O segundo dos axiomas de Peano é P2.
P2: s:N→N, é injetiva. Dados m,n∈N, temos que   s(m)=s(n)⟹m=n
Com relação aos axiomas de Peano, é somente correto afirmar que
(I) Dois números que têm o mesmo sucessor, são iguais.
(II) Números naturais diferentes possuem sucessores diferentes.
(II) Existe um número natural que não possui um sucessor.
		
	
	(II) e (III)
	
	(III)
	
	(I) e (III)
	
	(II)
	
	(I) e (II)
	
	
	Ref.: 201410143803
		
	
	8a Questão
	
	
	
	
	Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos axiomas de Peano. 
Esta teoria estabelece a existência de uma função s:N→N, que a cada numero n∈N associa a um numero s(n)∈N, dito sucessor de n.
 
(I) Dois números que têm o mesmo sucessor, são iguais, ou ainda, números naturais diferentes possuem sucessores diferentes. 
(II) Existe um único numero natural que não é sucessor de nenhum outro.
(III) Se um subconjunto de números naturais contém o número 1 e, além disso, contém o sucessor de cada um de seus elementos, então esse conjunto coincide com o conjunto dos Naturais N.
Sobre estes axiomas, sobre esta função e sobre estas afirmativas é correto
		
	
	I e II somente.
	
	I somente.
	
	I, II e III.
	
	II e III somente.
	
	I e III somente.
	
	
	
		1.
		Analise a convergência da ∑n=1∞(1n) .
Determine qual o limite superior e  se a série é convergente ou divergente.
	
	
	
	
	A integral terá resultado 1/2, portanto a série é convergente.
	
	
	A integral terá como resultado 2, portanto a série é divergente.
	
	 
	A integral terá como resultado infinito, portanto a série é divergente.
	
	 
	A integral terá resultado 3, portanto a série é convergente.
	
	
	A integral terá resultado 2, portanto a série é convergente.
	
	
	
		
	
		2.
		Seja a sequência an=1-nn2. Dentre as opções abaixo, assinale aquela que representa os quatro primeiros termos da sequência.
	
	
	
	 
	1, 2/3, 5/6, 3/16
	
	
	0, 1/4, 2/9, 3/16
	
	 
	0, -1/4, -2/9, -3/16
	
	
	0, -3/16, -2/9, -1/4
	
	
	-3/16, 0, -2/9, -1/4
	
	
	
		
	
		3.
		Dentre os conjuntos abaixo relacionados , assinale o único que é finito :
	
	
	
	
	{ x∈ R : x > 3}
	
	 
	{ x ∈ N : x > 7}
	
	 
	{ x ∈ Z : 2 < x < 7}
	
	
	{ x ∈ R : 3 < x < 5}
	
	
	{ x ∈ Z : x > -3 }
	
	
	
		
	
		4.
		Analise a convergência  da ∑n=1∞(1n3)
e informe se ela  é convergente ou divergente,  e  o método utilizado para demonstrar.
	
	
	
	
	É uma p-série como p = 2 > 1  então afirmamos que a série converge.
	
	 
	É uma p-série como p = -2 < 1  então afirmamos que a série é divergente.
	
	
	É uma p-série como p = -3 < 1  então afirmamos que a série é divergente.
	
	 
	É uma p-série como p = 3 > 1  então afirmamos que a série converge.
	
	
	É uma p-série como p = 1/2 < 1  então afirmamos que a série converge.
	
	
	
		
	
		5.
		Marque a alternativa onde o enunciado do Princípio da indução está correto.
	
	
	
	 
	Seja P(n) uma proposição associada a cada numero natural n que satisfaça as condições:  (1) P(1) é verdadeira.  (2) Para todo inteiro positivo k, se P(k) é verdadeira, então P(k+1) também é verdadeira.  Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo natural n.
	
	
	Seja P(n) uma proposição associada a cada numero natural n que satisfaça as condições:  (1) P(1) é verdadeira.  P(k+1) é verdadeira.  Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo natural n.
	
	
	Seja P(n) uma proposição associada a cada numero natural n que satisfaça as condições:  (1) P(1) é verdadeira.  Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo natural n.
	
	
	Seja P(n) uma proposição associada a cada numero natural n que satisfaça as condições:   (1) Para todo inteiro positivo k, se P(k) é verdadeira, então P(k+1) também é verdadeira.  Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo natural n.
	
	
	Seja P(n) uma proposição associada a cada numero natural n que satisfaça as condições:  (1) P(1) é verdadeira.  (2) Para todo inteiro positivo k, P(k) é verdadeira.  Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo natural n.
	
	
	
		
	
		6.
		Assinale a opção onde o conjunto correspondente é infinito.
	
	
	
	 
	{x : x é par}
	
	
	As pessoas que habitam o planeta Terra.
	
	 
	Os meses do ano.
	
	
	{ 1,2,3,.........,1999}
	
	
	{ x : x ∈ R e x2 -7x=0}
	
	
	
		
	
		7.
		O conjunto dos números racionais é:
	
	
	
	 
	não enumerável e finito.
	
	
	subconjunto dos naturais
	
	
	enumerável e finito.
	
	
	não enumerável e infinito.
	
	 
	enumerável e infinito.
	
	
	
		
	
		8.
		Considere as seguintes afirmações sobre as séries infinitas:
(I) Cada Sn é a soma parcial de ordem n.
(II) Se não existe Limn→∞(Sn) = s,
o número real s é chamado de soma da série.
(III) Uma série ∑(an ) é convergente se a sua sequência de somas parciais {Sn } converge.
Podemos afirmar que:
	
	
	
	 
	Somente as afirmativas I  e III estão corretas.
	
	
	Somente as afirmativas II e III estão corretas.
	
	
	Somente a afirmativa II está correta.
	
	
	Somente a afirmativa I está correta.
	
	
	Somente as afirmativas I  e II  estão corretas.
	
		
	
		1.
		Analise a convergência da série ∑n=1∞(1en).
	
	
	
	 
	Pela Regra de L´Hospital podemos afirmar que diverge.
	
	
	Pelo teste da integral podemos afirmar que a série é divergente.
	
	 
	Pelo teste da integralpodemos afirmar que a série é convergente.
	
	
	Pelo teorema do confronto podemos afirmar que a série é divergente.
	
	
	Pelo teorema do confronto podemos afirmar que é convergente para 10.
	
	
	
		
	
		2.
		Considere as afirmativas a seguir.
(I) Dizemos que um conjunto A é enumerável quando é finito ou quando existe uma bijeção f:N->A.
(II) Quando existe uma bijeção f:N->A, dizemos que A é um conjunto infinito enumerável. 
(III) Todo conjunto finito A contém um subconjunto infinito enumerável.
Com relação a elas, é correto afirmar
	
	
	
	
	I somente.
	
	 
	II e III somente.
	
	
	I e III somente.
	
	
	I, II e III.
	
	 
	I e II somente.
	
	
	
		
	
		3.
		Analise a convergência da série ∑n=1∞(3nn2).
	
	
	
	
	Como o resultado do limite é 0, a série é convergente.
	
	 
	Como o resultado do limite é 3, a série é divergente.
	
	
	Como o resultado do limite é 1, a série é divergente.
	
	
	Como o resultado do limite é -2, a série é divergente.
	
	
	Como o resultado do limite é 3, a série é convergente.
	
	
	
		
	
		4.
		Considere a sequência infinita f : N*→Q onde f (n ) = 2n. Podemos afirmar que :
	
	
	
	 
	O conjunto imagem da função é enumerável
	
	
	O maior valor que a função assume é 1024.
	
	
	Existe uma imagem que é negativa.
	
	
	O conjunto imagem da função é não enumerável.
	
	
	O menor valor que a função assume é igual a 1.
	
	
	
		
	
		5.
		Um conjunto será infinito quando não for finito. Dessa forma, é somente correto definir conjunto infinito como:
	
	
	
	
	A é infinito quando não é vazio ou qualquer que seja n∈N, não existe uma bijeção φ:In→A.
	
	 
	A é infinito quando não é vazio e, qualquer que seja n∈N, não existe uma bijeção φ:In→A.
	
	 
	A é infinito quando não é vazio ou existir n∈N, tal que não existe uma bijeção φ:In→A.
	
	
	A é infinito somente quando qualquer que seja n∈N, não existe uma bijeção φ:In→A.
	
	
	A é infinito quando qualquer que seja n∈N, não existe uma bijeção φ:In→A.
	
	
	
		
	
		6.
		Considere as afirmativas a seguir.
(I) Se X é um conjunto finito então todo subconjunto Y de X é finito.
(II) Não pode existir uma bijeção f: X-> Y de um conjunto finito X em uma parte própria Y C X.
(III) Seja A C In. Se existir uma bijeção f: In-> A, então A=In .
Com relação a elas, é correto afirmar
	
	
	
	
	I e III somente.
	
	 
	I, II e III.
	
	
	II e III somente.
	
	 
	II somente.
	
	
	I e II somente.
	
	
	
		
	
		7.
		Utilizando o teste da integral, determine se a série infinita
∑n=1∞(lnnn)   é convergente ou divergente.
	
	
	
	 
	Pelo teste da integral encontramos como resultado ∞,  logo a série é divergente.
	
	 
	Pelo teste da integral encontramos como resultado 3,  logo a série é convergente.
	
	
	Pelo teste da integral encontramos como resultado 0,  logo a série é convergente.
	
	
	Pelo teste da integral encontramos como resultado 1,  logo a série é convergente.
	
	
	Pelo teste da integral encontramos como resultado -3,  logo a série é divergente.
	
	
	
		
	
		8.
		Considere a sequência infinita f:N*→ Q onde f (n) = 1/n . Podemos afirmar que:
	
	
	
	 
	O conjunto imagem da função é enumerável.
	
	 
	O menor valor que a função assume é igual a 0,001.
	
	
	f( n+1) ¿ f(n) pode ser positivo.
	
	
	O conjunto imagem da função é não enumerável.
	
	
	maior valor que a função assume é igual a 2.
	
	A soma dos valores reais de x que são raízes da equação |2x+2| = 6x-18 é:
	
	
	
	
	8
	
	
	9
	
	 
	5
	
	 
	7
	
	
	6
	
	
	
		
	
		2.
		Se |x| = |y| então é correto afirmar que
	
	
	
	
	x > 0
	
	
	x = y
	
	
	x = -y
	
	
	y < 0
	
	 
	x = y e x = -y
	
	
	
		
	
		3.
		Considere o resultado: Seja um elemento arbitrário a ∈ R , então a ∙ 0 = 0. Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do resultado.
	
	
	
	
	Suponhamos     1. 0 + 0 = 0
1, fech.                2. a . (0 + 0) = a . 0
2, distrib.             3. (a . 0) + 0 = a
3, fech                  4. [(a . 0) + (a . 0)] +(a . 0) = (a . 0) + (a . 0)
4. assoc                5. (a . 0) + [(a . 0) +(a . 0)] = (a . 0) + (a . 0)
5, sim                    6. (a . 0) = 0
	
	
	Suponhamos     1. 0 + 0 = 0
1, fech.                2. a . (0 + 0) = a . 0
2, distrib.             3. (a . 0) + (a . 0) = a . 0
3, fech                  4. [(a . 0) + (a . 0)] - (a . 0) = (a . 0) - (a . 0)
4, sim                   5. (a . 0) = 0
	
	 
	Suponhamos     1. 0 + 0 = 0
1, fech.                2. a . (0 + 0) = a . 0
2, distrib.             3. (a . 0) + (a . 0) = a . 0
3, fech                  4. [(a . 0) + (a . 0)] - (a . 0) = (a . 0) - (a . 0)
4. assoc                5. (a . 0) + [(a . 0) - (a . 0)] = (a . 0) - (a . 0)
5, sim                    6. (a . 0) = 0
	
	
	
fech.                    1. a . (0 + 0) = a . 0
1, distrib.             2. (a . 0) + (a . 0) = a . 0
fech                      3. [(a . 0) + (a . 0)] - (a . 0) = (a . 0) - (a . 0)
4. assoc                4. (a . 0) + [(a . 0) - (a . 0)] = (a . 0)
5, sim                   5. (a . 0) = 0
	
	
	Suponhamos     1. 0 + 0 = 0
1, fech.                2. a . (0 + 0) = a . 0
2, fech                 3. [(a . 0) + (a . 0)] - (a . 0) = (a . 0) - (a . 0)
3. assoc               4. (a . 0) + [(a . 0) - (a . 0)] = (a . 0) - (a . 0)
4, sim                   5. (a . 0) = 0
	
	
	
		
	
		4.
		Considere as seguintes séries:
(a) ∑1n (série harmônica de ordem 1)
(b) ∑1n2 (série harmônica de ordem 2)
(c) ∑1n (série harmônica de ordem 1/2)
(d) ∑(-1)n+1n (série harmônica alternada)
(e) ∑1n3 (série harmônica de ordem 3)
Identifique as séries convergentes.
	
	
	
	
	(c) ,(d) ,(e)
	
	
	(a), (b) , (c)
	
	
	(b) , (c) ,(e)
	
	 
	(b) , (c) ,(d)
	
	 
	(b) ,(d), (e)
	
	
	
		
	
		5.
		Se |x-3| = 5 então podemos afirmar que o número real x é igual a :
	
	
	
	
	x = 3
	
	 
	x = 8 e x = - 2
	
	
	x = 8
	
	
	x = 2
	
	
	x = -2
	
	
	
		
	
		6.
		Achar o supremo , caso exista , do conjunto A ={ x∈ R : x2 -4x-12 <0}.
	
	
	
	
	4
	
	
	- 2
	
	
	3
	
	 
	6
	
	 
	- 5
	
	
	
		
	
		7.
		Analisando a série de termos positivos cujo termo geral é 1/n  , verifica-se que a série:
	
	
	
	 
	diverge
	
	
	converge para 1
	
	
	converge para 0
	
	
	converge para n
	
	
	converge para 1/3
	
	
	
		
	
		8.
		Para quaisquer x,y,z ∈ R, vale:
	
	
	
	 
	|x-z|≤|z-y|
	
	
	|x-z|≤|y-z|
	
	
	|x-z|≤|x-y|
	
	
	|x-z|≥|x-y|+|y-z|
	
	 
	|x-z|≤|x-y|+|y-z|
		.
		Analise a convergência da série ∑n=1∞(-1)n(ln(n+1))n .
Determine o limite de an quando n tende ao infinito e se a série converge ou diverge.
	
	
	
	 
	O limite de an quando n tende a infinito será zero,  portanto a série converge absolutamente  pelo teste da razão e consequentemente podemos dizer que a série converge.
	
	 
	O limite de an quando n tende a infinito será -3,  portanto a série diverge absolutamente  pelo teste da razão e consequentemente podemos dizer que a série diverge.
	
	
	O limite de an quando n tende a infinito será ∞,  portanto a sériediverge absolutamente  pelo teste da razão e consequentemente podemos dizer que a série diverge.
	
	
	O limite de an quando n tende a infinito será 1,  portanto a série converge absolutamente  pelo teste da razão e consequentemente podemos dizer que a série converge.
	
	
	O limite de an quando n tende a infinito será 3,  portanto a série converge absolutamente  pelo teste da razão e consequentemente podemos dizer que a série converge.
	
	
	
		
	
		2.
		Verificando a série de termos positivos cujo o termo geral é n/ln(n)n/2concluimos que a série:
	
	
	
	 
	converge pois o limite vale 1/10
	
	 
	converge pois o limite vale 0
	
	
	nada se pode declarar poiis o limite vale 1
	
	
	converge pois o limite vale 0,9
	
	
	diverge pois o limite vale 7/2
	
	
	
		
	
		3.
		Marque a alternativa que mostra corretamente a demonstração do seguinte resultado: Se a é um número inteiro tal que a2 é par, então a é par.
	
	
	
	 
	Vamos provar então que Se a é impar, então a2 é impar.
Supondo que a é impar, teremos que é da forma a=2n+1, n em Z.
Seja a2 = (2n + 1)2 = 2(2n2 + 2n) + 1. Como n é um elemento de Z, temos que w = 2n2 + 2n é um elemento de Z. Ficamos com a2 = 2w + 1, w em Z. Dessa forma, pela definição, a2 é um número ímpar.  Isso  equivale a dizer que: Se a é um número inteiro tal que a2 é par, então a é par.
	
	
	Vamos provar então que Se a é impar, então a2 é par.
Supondo que a é impar, teremos que é da forma a=2n+1, n em Z.
Seja a2 = (2n + 1)2 = 2(2n2 + 2n) + 1. Como n é um elemento de Z, temos que w = 2n2 + 2n é um elemento de Z. Ficamos com a2 = 2w + 1, w em Z. Dessa forma, pela definição, a2 é um número ímpar.  Isso  equivale a dizer que: Se a é um número inteiro tal que a2 é par, então a é par.
	
	
	Vamos provar então que Se a é impar, então a2 é impar.
Supondo que a é impar, teremos que é da forma a=2n+1, n em Z.
Dessa forma, pela definição, a2 é um número ímpar.  Isso  equivale a dizer que: Se a é um número inteiro tal que a2 é par, então a é par.
	
	
	Vamos provar então que Se a é impar, então a2 é impar.
Seja a=2n+1. Seja a2 = (2n + 1)2 = 2(2n2 + 2n) + 1. Como n é um elemento de Z, temos que w = 2n2 + 2n é um elemento de Z. Ficamos com a2 = 2w + 1, w em Z. Dessa forma, pela definição, a2 é um número ímpar.
	
	
	Vamos provar então que Se a é impar, então a2 é impar.
Supondo que a é impar, teremos que é da forma a=2n+1, n em Z.
Seja a2 = (2n + 1)2 = 4n2 + 1. Como n é um elemento de Z, temos que w = 4n2 + 1 é um elemento de Z. Ficamos com a2 = 4w2 + 1, w em Z. Dessa forma, pela definição, a2 é um número ímpar.  Isso  equivale a dizer que: Se a é um número inteiro tal que a2 é par, então a é par.
	
	
	
		
	
		4.
		Analise a convergência da série ∑n=1∞(2n+33n+2)n .
Determine o limite de an quando n tende ao infinito e se a série converge ou diverge.
	
	
	
	 
	O limite de an quando n tende a infinito será òo, portanto a série diverge.
	
	
	O limite de an quando n tende a infinito será 3/2, portanto a série diverge.
	
	
	O limite de an quando n tende a infinito será -2, portanto a série diverge.
	
	 
	O limite de an quando n tende a infinito será 2/3, portanto a série converge.
	
	
	O limite de an quando n tende a infinito será 2, portanto a série converge.
	
	
	
		
	
		5.
		Analise a convergência da série ∑n=1∞2n7n.(n+1).
	
	
	
	
	A série converge absolutamente para 5/7, portanto a série é dita convergente.
	
	
	A série converge absolutamente para 2/7, portanto a série é dita divergente.
	
	
	A série divergente para 2/7, portanto a série é dita convergente.
	
	 
	A série converge absolutamente para 2/7 portanto a série é dita convergente.
	
	 
	A série divergente absolutamente para 5/7, portanto a série é dita convergente.
	
	
	
		
	
		6.
		Dentre as opções abaixo a única que representa um número racional é:
	
	
	
	
	∛9
	
	
	log 3
	
	 
	log 256
	
	
	√7
	
	 
	√64
	
	
	
		
	
		7.
		Analise a convergência da série ∑n=1∞n22n .
Determine o limite de an quando n tende ao infinito e se a série converge ou diverge.
	
	
	
	 
	O limite de an quando n tende a infinito será 1/2,  portanto a série converge absolutamente  pelo teste da razão e consequentemente podemos dizer que a série converge.
	
	
	O limite de an quando n tende a infinito será 1/3,  portanto a série converge absolutamente  pelo teste da razão e consequentemente podemos dizer que a série converge.
	
	
	O limite de an quando n tende a infinito será 1/2,  portanto a série diverge absolutamente  pelo teste da razão e consequentemente podemos dizer que a série diverge.
	
	
	O limite de an quando n tende a infinito será 2,  portanto a série converge absolutamente  pelo teste da razão e consequentemente podemos dizer que a série converge.
	
	
	O limite de an quando n tende a infinito será 1,  portanto a série converge absolutamente  pelo teste da razão e consequentemente podemos dizer que a série converge.
	
	
	
		
	
		8.
		Sejam a e b números irracionais.
Das afirmações:
(I) a.b é um número irracional,
(II) a+b é um número irracional ,
(III) a-b pode ser um número racional,
Pode-se concluir que:
	
	
	
	
	Somente I é verdadeira.
	
	
	Somente I e III são verdadeiras.
	
	 
	Somente I e II são falsas.
	
	
	As três são verdadeiras.
	
	 
	As três são falsas.
		Analisando a série alternada (-1)n+1.(1n) conclui-se que :
	
	
	
	 
	A série é convergente com limite 1/n
	
	 
	A série é convergente com limite 0
	
	
	A série é convergente com limite 0,6
	
	
	A série é divergente com limite é igual a infinito
	
	
	A série é convergente com limite 0,8
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
		
	
		2.
		As séries 1-1/2+1/2-1/3+1/3 - 1/4 +1/4 - 1/5+1/5 -..... e 1/1.2 + 1/2.3 + 1/3.4 + 1/4.5 +.... convergem ?
	
	
	
	
	Sim , convergirão, tendo as séries como o limite 1 e limite 0 respectivamente.
	
	
	Sim , convergirão, tendo como o mesmo limite 1,5
	
	 
	Sim , convergirão, tendo como o mesmo limite 1
	
	 
	Não convergirá
	
	
	Sim , convergirão, tendo como o mesmo limite 0,4
	
	
	
		
	
		3.
		Se a e b são números inteiros , 1 ≤ a < b ≤ 9 , o menor valor que a+bab pode assumir é :
	
	
	
	
	2/ 9
	
	
	9 / 20
	
	
	1
	
	 
	17 / 72
	
	
	15/56
	
	
	
		
	
		4.
		A expressão (2n+3)/2n não é maior que 6. Sabendo que n é um número natural diferente de zero, podemos afirmar que a soma dos valores de n que atende as condições do problema é igual a :
	
	
	
	 
	6
	
	
	3
	
	 
	5
	
	
	4
	
	
	7
	
	
	
		
	
		5.
		A desigualdade 1/(x+1) ≥ 0 é satisfeita se :
	
	
	
	
	x > 0
	
	
	x = -1
	
	
	x < 0
	
	 
	x > -1
	
	 
	x< -1
	
	
	
		
	
		6.
		Se 0 < x < 1 , qual dos números abaixo é maior que x ?
	
	
	
	
	x . x . x
	
	
	0,9 x
	
	 
	√x
	
	 
	-x
	
	
	x . x
	
	
	
		
	
		7.
		A série 1/3-1/2+1/9-1/4+1/27-...-1/8+...+1/3 não satisfaz as condições do teste de Leibniz pelo seguinte motivo:
	
	
	
	 
	an+1>an para todo n
	
	
	limite do termo geral é diferente de zero
	
	 
	an>an+1 é falso pois 1/3<1/2
	
	
	an não são todos positivos
	
	
	a série não é alternada
	
	Gabarito Coment.8.
		Se a e b são números reais positivos e a.a > b.b , então:
	
	
	
	
	a = b
	
	 
	a < b
	
	 
	a > b
	
	
	a é par
	
	
	a é ímpar
		Se |x| = |y| então é correto afirmar que
	
	
	
	 
	x = -y
	
	
	x > 0
	
	
	y < 0
	
	
	x = y
	
	 
	x = y e x = -y
	
	
	
		
	
		2.
		Resolvendo a inequação |2x-5|<3 no conjunto dos números reais, encontramos para conjunto solução:
	
	
	
	
	[1 , 4 [
	
	
	{ 1 , 4 }
	
	 
	[ 1 , 4 ]
	
	 
	] 1 , 4 [ b) ] 1 , 4 ] c)[1,4] d) {1,4} e) [1,4[
	
	
	] 1 , 4 ]
	
	
	
		
	
		3.
		A soma dos valores reais de x que são raízes da equação |2x+2| = 6x-18 é:
	
	
	
	 
	7
	
	
	9
	
	 
	6
	
	
	8
	
	
	5
	
	
	
		
	
		4.
		Analise a convergência da série ∑n=1∞|cosn|(3nn!).
	
	
	
	
	é  divergente, pelo critério da razão, pelo que a série dada é absolutamente divergente.
	
	
	é  divergente, pelo critério da razão, pelo que a série dada é absolutamente convergente.
	
	 
	é  divergente, pelo critério da razão, pelo que a série dada é absolutamente convergente.
	
	
	não podemos afirmar nada.
	
	 
	é  convergente, pelo critério da razão, pelo que a série dada é absolutamente convergente.
	
	
	
		
	
		5.
		Analise a convergência da série ∑n=1∞(-1)nn2+1.
	
	
	
	 
	Usando o teste da comparação com a série p, segue que a série dada é absolutamente convergente.
	
	 
	Usando o teste da comparação com a série p concluímos que esta é convergente, segue então que a série dada é absolutamente convergente.
	
	
	Usando o teste da comparação com a série p, notamos que ela é convergente, segue então que a série dada é divergente.
	
	
	Usando o teste da comparação com a série p, concluímos que esta é convergente, segue então que a série dada é absolutamente convergente.
	
	
	Usando o teste da comparação com a série p, segue que a série dada é divergente.
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
		
	
		6.
		A equação |x-1| = |x| +1
	
	
	
	
	não tem solução
	
	
	tem somente duas soluções
	
	
	tem exatamente 4 soluções
	
	 
	tem uma infinidade de soluções
	
	 
	tem uma única solução
	
	
	
		
	
		7.
		Analisando a convergência da série (-1)n+1[n+2/n(n+1)] a forma mais correta possível de concluir a classificação dessa série,quanto a convergência, é :
	
	
	
	
	Absolutamente convergente
	
	 
	convergente
	
	 
	condicionalmente convergente
	
	
	divergente
	
	
	Análise inconcludente.
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
		
	
		8.
		Analise a convergência da série ∑n=1∞((-1)n+1)(n+1n+2)
	
	
	
	 
	Limn→∞ (-1)n+1(n+1n+2) não existe, portanto a série dada é divergente.
	
	
	Limn→∞ (-1)n+1(n+1n+2) = 0, portanto a série dada é divergente.
	
	 
	Limn→∞ (-1)n+1(n+1n+2) =1, portanto a série dada é convergente.
	
	
	Limn→∞ (-1)n+1(n+1n+2) =1, portanto a série dada é divergente.
	
	
	Limn→∞ (-1)n+1(n+1n+2) = 0, portanto a série dada é convergente.
	
	Achar o ínfimo, se existir , do conjunto A ={ x∈ R : x = 1n  , n ∈ N* }.
	
	
	
	 
	0
	
	
	-5
	
	
	3
	
	
	1
	
	
	4
	
	
	
		
	
		2.
		Seja a função f(x) = x3.
determine a aproximação por  um polinômio de Taylor de grau 3 em a = 8.
	
	
	
	
	a aproximação será T2x
	
	
	a aproximação será  T3x
	
	 
	a aproximação será x3 ≈ T3x
	
	 
	a aproximação será x3  ≈ T1x
	
	
	a aproximação será x3 ≈ T2x
	
	
	
		
	
		3.
		Achar o supremo , caso exista , do conjunto A ={ x∈ R : 3x2 - 10x + 3 < 0}.
	
	
	
	 
	3
	
	
	- 2
	
	 
	1/3
	
	
	4
	
	
	- 5
	
	
	
		
	
		4.
		Determinando o intervalo de convergencia da série somatório
(x+5)n ,encontramos :
	
	
	
	
	-5<x<4< td=""></x<4<>
	
	
	-5<x<5< td=""></x<5<>
	
	 
	-6<x<-4< td=""></x<-4<>
	
	
	-5<x<-1< td=""></x<-1<>
	
	 
	-1<x<3< td=""></x<3<>
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
		
	
		5.
		Qual da opções abaixo retrata uma característica que NÃO corresponde ao teorema da convergência para séries de potências:
	
	
	
	
	Se a série converge para um valor x=c então ela convergirá absolutamente para todo x,
	
	
	Se a série converge para um valor x=c então ela convergirá condicionalmente para todo x, com abs(x)<abs(c)< td=""></abs(c)<>
	
	 
	Se a série converge para um valor x=c então ela convergirá absolutamente para todo x, com abs(x)<abs(c)< td=""></abs(c)<>
	
	
	Se a série converge para um valor x=c então ela convergirá absolutamente para todo x, com abs(x)>abs(c)
	
	
	Se a série diverge para um valor x=d então ela divergirá para todo x, com abs(x)>abs(d)
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
		
	
		6.
		Seja a série ∑n=1∞(n!xn). Analise a convergência da série usando o teste da razão.
	
	
	
	
	Se x = 0, temos que a série diverge e  se x ¹ 0 a série converge.
	
	
	Não podemos concluir nada sobre a convergência da série.
	
	 
	Se x ¹ 0, temos que a série diverge e  se x = 0 a série converge.
	
	 
	Se x = 0, temos que a série diverge.
	
	
	Se x ¹ 0, temos que a série diverge.
	
	
	
		
	
		7.
		Encontre Dx (1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ...).
	
	
	
	 
	∑n=1∞n(n+1)xn-1  ,  |x|< 1
	
	 
	∑n=1∞(n+1)xn-1  ,  |x|< 1
	
	
	∑n=1∞nxn-1  ,  |x|< 1
	
	
	∑n=1∞xn-1  ,  |x|< 1
	
	
	∑n=1∞n(n+1)xn-1  ,  |x|> 1
	
	
	
		
	
		8.
		Analisando a série de termos positivos cujo o termo geral é n^3/e^n conclui-se que a mesma :
	
	
	
	
	converge pois o lim an+1/an vale 1/3
	
	
	diverge pois o lim an+1/an vale 5/3
	
	
	converge pois o lim an+1/an vale 1/2
	
	 
	converge pois o lim an+1/an vale 1/e
	
	
	diverge pois o lim an+1/an vale 2,5
		Com relação a celas, é somente correto afirmar que
	
	
	
	
	O conjunto{x ∈ R : x<3} é um raio aberto definido por +oo.
	
	 
	O conjunto { x ∈ R : 3<x<=7} é="" uma="" cela="" semi-aberta="" definida="" por="" 3="" e="" 7.<="" td=""></x<=7}>
	
	
	O conjunto { x ∈ R : -2<x<="" td=""></x
	
	
	No conjunto {x ∈ R : x>4}, não há uma extremidade definida.
	
	 
	O conjunto { x ∈ R : -5<x<="" td=""></x
	
	
	
		
	
		2.
		Indique, entre as opções abaixo, a série de Fourier de f(t) = t no intervalo [- 3,3]. Esboce o gráfico da função gerada pela série no conjunto dos números reais
	
	
	
	
	f(x)= 3/pi somatório de sen( n.t/3) [(-1)¿n+1]/n
	
	 
	f(x)= 7/pi somatório de sen( n.pi.t) [(-1)¿n+1]/n
	
	
	f(x)= 8/pi somatório de sen( n.pi.t/3) [(-1)¿n]/n
	
	 
	f(x)= 6/pi somatório de sen( n.pi.t/3) [(-1)¿n+1]/n
	
	
	f(x)= 4/pi somatório de sen( n.pi.t/3) [(-1)¿n+1]/n
	
	
	
		
	
		3.
		Indique, entre as opções abaixo, a série de Fourier de f(t) = t no intervalo [- 3,3]. Esboce o gráfico da função gerada pela série no conjunto dos números reais
	
	
	
	
	f(x)= 3/pi somatório de sen( n.t/3) [(-1)¿n+1]/n
	
	 
	f(x)= 6/pi somatório de sen( n.pi.t/3) [(-1)¿n+1]/n
	
	 
	f(x)= 4/pi somatório de sen( n.pi.t/3) [(-1)¿n+1]/n
	
	
	f(x)= 8/pi somatório de sen( n.pi.t/3) [(-1)¿n]/n
	
	
	f(x)= 7/pi somatório de sen( n.pi.t) [(-1)¿n+1]/n4.
		Analisando a série de termos positivos cujo termo geral é 1/raiz(n) , verifica-se que a série:
	
	
	
	 
	converge para n
	
	
	converge para 0
	
	 
	diverge
	
	
	converge para 1/3
	
	
	converge para 1
	
	
	
		
	
		5.
		Observe a sequencia de intervalos a seguir:
Com relação a estes intervalos é somente correto afirmar que
(I) Trata-se da sequencia de intervalos In=[0,1/n[, com n pertencente a N.
(II) Esta sequencia de intervalos é encaixante.
(III) a sequencia de intervalos não possui ponto em comum.
	
	
	
	
	(II)
	
	
	(II) e (III)
	
	 
	(I) e (III)
	
	 
	(I) e (II)
	
	
	(I), (II) e (III)
	
	
	
		
	
		6.
		Observe a sequencia de intervalos a seguir:
Com relação a estes intervalos é somente correto afirmar que
(I) Trata-se da sequencia de intervalos In=[n,+oo[, com n pertencente a N.
(II) Esta sequencia de intervalos é encaixante.
(III) a sequencia de intervalos não possui ponto em comum.
	
	
	
	
	(I) e (II)
	
	 
	(I), (II) e (III)
	
	
	(I) e (III)
	
	 
	(II) e (III)
	
	
	(I)
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
		
	
		7.
		Observe a sequencia de intervalos a seguir:
Com relação a estes intervalos é somente correto afirmar que
(I) Trata-se da sequencia de intervalos In=[n,+oo[, com n pertencente a N.
(II) Esta sequencia de intervalos é encaixante.
(III) a sequencia de intervalos não possui ponto em comum.
	
	
	
	 
	(I)
	
	
	(I) e (II)
	
	 
	(I), (II) e (III)
	
	
	(I) e (III)
	
	
	(II) e (III)
	
	
	
		
	
		8.
		Considere as afirmações sobre cortes:
(I) Todo corte em R é determinado por um numero real.
(II) Se (A,B) é um corte em R então existe um só numero c pertencente ao conjunto dos números reais tal que a< c, para qualquer a ∈A e c < b, para qualquer b ∈ B.   
(III) Considere um elemento fixo c pertencente ao conjunto dos reais. O par ordenado (A,B) , onde A={x ∈R: x<=c} e B={x∈ R : x>c} é um corte para R.
É somente correto afirmar que
	
	
	
	 
	(I) e (III)
	
	
	(I)
	
	 
	(I) e (II)
	
	
	(II) e (III)
	
	
	(III)
	
		
		
	FUNDAMENTOS DE ANÁLISE
CEL0688_A10_201409298493_V1 
	
		Lupa
	
	Calc.
	
	
	
	
	
	
Vídeo
	
PPT
	
MP3
	
	Aluno: MONICA ANDRADE MARTINS LOBO
	Matrícula: 201409298493
	Disciplina: CEL0688 - FUNDAMENTOS ANÁLISE
	Período Acad.: 2018.1 EAD (G) / EX
	
Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha (3).
Após a finalização do exercício, você terá acesso ao gabarito. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	
		
	
		1.
		Considere cada uma das afirmativas abaixo que dizem respeito à noção de vizinhança no espaço métrico R.
(I)  Uma vizinhança aberta de um ponto x=c em R é um intervalo aberto da forma Vc=(c-r1,c+r2) onde r1>0 e r2>0 são números reais pequenos.
(II) Uma boa forma para construir uma vizinhança aberta para um ponto x=c, é construir um intervalo simétrico centrado em x=c e com raio r, denotado por Vc=(c-r,c+r) onde r>0 é pequeno, dependendo da forma como as distâncias são medidas.
(III) A distância entre os números reais x e y pode ser notada por d(x,y)=|x-y|.
Com relação as afirmativas e a teoria de vizinhança no espaço metrico R, é CORRETO afirmar
	
	
	
	 
	I, II e III.
	
	 
	I e II somente.
	
	
	III somente.
	
	
	I e III somente.
	
	
	II e III somente.
	
	
	
		
	
		2.
		As afirmativas abaixo são relacionadas à noção de vizinhança no espaço métrico R.
(I) Um ponto x∈Rp é dito ponto interior de um conjunto A⊂Rp se existe uma vizinhança de x totalmente contida em A.
(II) Um ponto x∈Rp é dito ponto exterior de um conjunto A⊂Rp se existe uma vizinhança de x inteiramente contida em no complementar de A - C(A)
(III) Se toda vizinhança N(x,r) de centro x e raio r contém um ponto de G  e um ponto do complementar de G (Rp -G) diz-se que x é um ponto fronteira de G.
Com relação às afirmativas e a teoria de vizinhança no espaço metrico R, é CORRETO
	
	
	
	 
	I, II e III.
	
	
	II e III somente.
	
	 
	I, somente.
	
	
	I e III somente.
	
	
	I e II somente.
	
	
	
		
	
		3.
		Seja a função f(t) = cos t, determine se a função é de ordem exponencial em [0,OO).
	
	
	
	
	função f(t) = cos t2 não é de ordem exponencial em [0, OO) , pois para c = 0 e k = 0 temos |f(t)| =| cos t2| ≤ c e3t t= 1, para todo > 0.
	
	
	função f(t) = cos t não é de ordem exponencial em [0, OOt) , pois para c = 5 e k = 2 temos |f(t)| =| cos t| ≤ c =4, para todo > 0.
	
	 
	função f(t) = cos 2t é de ordem exponencial em [0, OOt) , pois para c = 3 e k = 10 temos |f(t)| =| cos 2t| ≤ c = 10, para todo > 0.
	
	 
	A função f(t) = cos t é de ordem exponencial em [0, OO) pois para c = 1 e k = 0 temos |f(t)| =| cos t| ≤ cekt t= 1, para todo > 0.
	
	
	função f(t) = sen t é de ordem exponencial em [0, OO)  pois para c = 1 e k = 0 temos |f(t)| =| sen t| ≤ cekt t= 1, para todo > 0.
	
	
	
		
	
		4.
		As afirmativas abaixo são relacionadas à noção de vizinhança no espaço métrico R.
(I) Um ponto x∈Rp é dito ponto interior de um conjunto A⊂Rp se existe uma vizinhança de x totalmente contida em A.
(II) Um ponto x∈Rp é dito ponto exterior de um conjunto A⊂Rp se existe uma vizinhança de x inteiramente contida em no complementar de A - C(A)
(III) Se toda vizinhança N(x,r) de centro x e raio r contém um ponto de G  e um ponto do complementar de G (Rp -G) diz-se que x é um ponto fronteira de G.
Com relação às afirmativas e a teoria de vizinhança no espaço metrico R, é CORRETO
	
	
	
	
	I, somente.
	
	 
	I, II e III.
	
	
	I e III somente.
	
	 
	I e II somente.
	
	
	II e III somente.
	
	
	
		
	
		5.
		No espaço métrico R, um ponto x=c é denominado ponto interior de um conjunto S, se existe uma vizinhança aberta do ponto x=c, inteiramente contida no conjunto S. Além disso, o interior de um conjunto S é a coleção de todos os pontos de S para os quais podemos construir vizinhanças abertas contidas inteiramente no conjunto S.
No espaço métrico R, considere as afirmativas.
(I) x=5 é um ponto interior dos conjuntos: A=[0,10) e B=(-6,8).
(II) x=5 não é ponto interior do conjunto C=[5,7) pois é uma extremidade de C.
(III) (a,b) é o interior dos conjuntos [a,b], [a,b), (a,b] e de (a,b).
Com relação a estas afirmativas e o espaço metrico R, é CORRETO
	
	
	
	
	I e II somente.
	
	
	III somente.
	
	 
	I, II e III.
	
	
	II e III somente.
	
	 
	I e III somente.
	
	
	
		
	
		6.
		Considere o conjunto S1=[2,4[U[5}⊆R e as afirmativas abaixo.
(I) Conjunto dos pontos interiores de S: int S1=]2,4[
(II) Conjunto dos pontos fronteiros de S: fr(S1)={2,4,5}
(III) Conjunto dos pontos de acumulação de S: S´1=[2,4]
Com relação ao conjunto em questão e as afirmativas, é correto
	
	
	
	
	I e III somente.
	
	
	I somente.
	
	
	I e II somente.
	
	 
	I, II e III.
	
	 
	II e III somente.
	
	
	
		
	
		7.
		Seja a Transformada de Laplace L(5+8t3) se t >= 0, onde podemos definir f(t) = 5 + 8t3. Determine a Transformada de Laplace . Lembre-se: L(1) = 1/s e L (t3 ) = 6/s4 .
	
	
	
	
	L(5+8t3) = 5/s2 - 8/s , se s> 0.
	
	 
	L(5+8t3) = 48/s4, se s> 0.
	
	 
	L(5+8t3) = 5/s - 48/s4 , se s> 0.
	
	
	L(5+8t3) = 5/s , se s> 0.
	
	
	L(5+8t3) = 5/s + 4/s4 , se s> 0.
	
	
	
		
	
		8.
		Seja a função L { e- t cos (2t)}.Determine a transformada de Laplace.
	
	
	
	
	f(t) = 1/(s2+s+2)
	
	
	f(t) = (s+5)/(s2+2s)
	
	 
	f(t) = (s+1)/(s2+2s+5)
	
	 
	f(t) = s/(s2+5)
	
	
	f(t) = (s+1)/(s2+ 5)