1ª V.E. Matemática Básica (Gabarito)

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UFF - IME - Departamento de Matema´tica Aplicada
Turma B1 - Prof. Leonardo Silvares
Nome:
1a VE de Matema´tica Ba´sica
01/11/16
Questa˜o Valor Nota
1 2,0
2 2,0
3 2,0
4 2,0
5 2,0
Total: 10,0
Atenc¸a˜o: Todas as afirmac¸o˜es feitas na soluc¸a˜o das questo˜es desta prova devem estar devida-
mente justificadas. Soluc¸o˜es sem justificativas na˜o sera˜o consideradas. Argumentos “geome´tricos”
ou “visuais” na˜o sera˜o aceitos, salvo quando forem expressamente solicitados.
1. Considere as proposic¸o˜es p:
2x− 4
x− 3 < 1 e q: x ∈ (1,+∞).
(a) Podemos dizer que p⇒ q?
Soluc¸a˜o: Verdadeiro. Resolvendo a desigualdade, temos
2x− 4
x− 3 < 1⇔
2x− 4
x− 3 −1 < 0
2x− 4
x− 3 −
x− 3
x− 3 < 0⇔
2x− 4− (x− 3)
x− 3 < 0⇔
2x− 4− x+ 3
x− 3 < 0⇔
⇔ x− 1
x− 3 < 0
Estudando os sinais, temos
(−∞, 1) 1 (1, 3) 3 (3,+∞)
x− 1 − 0 + + +
x− 3 − − − 0 +
x− 1
x− 3 + 0 − @ +
Com isso, se
2x− 4
x− 3 < 1, temos x ∈ (1, 3), logo x ∈ (1,+∞). Assim, p⇒ q.
(b) Podemos dizer que q⇒ p?
Soluc¸a˜o: Falso. Tomando x ∈ 4, temos x ∈ (1,+∞) e 2x− 4
x− 3 =
4
1
> 1. Assim, vale q mas na˜o
p.
(c) Com base nos itens anteriores, pode-se dizer que (1,+∞) e´ o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o
2x− 4
x− 3 < 1 ?
Soluc¸a˜o: Falso. Temos, por (a), que p ⇒ q, mas, por (b), e´ falso que q ⇒ p. Assim, na˜o
podemos dizer que p⇔ q.
2. Responda os itens abaixo.
(a) Dada uma implicac¸a˜o p⇒ q, qual e´ sua contrapositiva?
Soluc¸a˜o: A contrapositiva de p⇒ q e´ a implicac¸a˜o ∼ q⇒∼ p.
(b) Diga o que e´ a prova pela contrapositiva de uma implicac¸a˜o p⇒ q.
Soluc¸a˜o: A implicac¸a˜o p⇒ q e´ equivalente a` sua contrapositiva ∼ q⇒∼ p; assim, para provar
p⇒ q, basta provarmos ∼ q⇒∼ p. Esta e´ a prova pela contrapositiva.
(c) Prove que, se a2 < a, enta˜o 0 < a < 1.
Soluc¸a˜o: Vamos provar que a2 < a⇒ 0 < a < 1 pela contrapositiva.
Vamos assumir que seja falso que 0 < a < 1 e provar que e´ falso que a2 < a. Assim, temos a 6 0
ou a > 1. Se a 6 0, teremos a2 > 0 > a, assim, a 6 a2. Se, por outro lado, a > 1, multiplicando
por a, temos a2 > a (pois a > 0).
Assim, se ∼ (0 < a < 1), temos ∼ (a2 < a), logo, se a2 < a teremos 0 < a < 1.
3. Uma func¸a˜o f : R → R e´ dita uniformemente cont´ınua quando, para todo ε > 0, existir δ > 0
tal que, para todos x1, x2 ∈ R, se |x1 − x2| < δ, enta˜o |f(x1)− f(x2)| < ε. Quando uma func¸a˜o na˜o
e´ uniformemente cont´ınua? Escreva a negac¸a˜o da definic¸a˜o acima.
Soluc¸a˜o: A negac¸a˜o da definic¸a˜o acima e´ “existe ε > 0 tal que, para todo δ > 0, existem x1, x2 ∈ R
tais que |x1 − x2| < δ e |f(x1)− f(x2)| > ε”.
4. Sejam a, b ∈ R, com a < b.
(a) Represente, por meio de um intervalo, a soluc¸a˜o da inequac¸a˜o |x − a| < |a − b|. Atenc¸a˜o: As
justificativas da soluc¸a˜o da inequac¸a˜o devem ser feitas com base nas propriedades do mo´dulo.
Soluc¸a˜o: Primeiramente, veja que, como a < b, |a− b| = b− a. Assim,
|x− a| < |a− b| ⇔ |x− a| < b− a⇔ −(b− a) < x− a < b− a⇔
⇔ a− b < x− a < b− a⇔ 2a− b < x < b⇔ x ∈ [2a− b, b].
(b) Explique, geometricamente, por que na˜o e´ verdade que |x− a| < |a− b| ⇒ x ∈ [a, b].
Soluc¸a˜o:
A expressa˜o |x − a| representa a distaˆncia do ponto correspondente ao x na reta real ao ponto
correspondente ao a. A expressa˜o |a − b| e´ a distaˆncia entre a e b. Assim, |x − a| < |a − b| e´
satisfeito quando x esta´ mais pro´ximo de a do que de a de b, o que e´ verdade no caso exemplificado
acima, com x < a.
5. Sa˜o dadas cinco premissas sobre um conjunto A. Forme um argumento va´lido, acrescentando
como conclusa˜o (tese) tudo o que voceˆ puder concluir sobre o conjunto A a partir destas premissas.
i. A ⊂ Z ∩ [−5, 5).
ii. A possui pelo menos cinco elementos.
iii. Se x ∈ A, enta˜o −x /∈ A.
iv. Existe x ∈ A tal que x > 0.
v. Se x ∈ A e x > 1, enta˜o x+ 1 ∈ A.
Soluc¸a˜o: Por i, A ⊂ {−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4}. Por v, se 4 ∈ A, ter´ıamos 5 ∈ A, o que
contradiz o que conclu´ımos acima; logo 4 /∈ A. Da mesma forma, na˜o podemos ter 3 ∈ A, pois,
novamente por v, ter´ıamos 4 ∈ A. Pelo mesmo argumento, na˜o se pode ter 2 ∈ A. Assim,
temos A ∈ {−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1}, e como, por iv A possui algum elemento positivo, temos
1 ∈ A. Como 1 ∈ A, por iii, temos que −1 /∈ A. Ainda por iii, temos 0 /∈ A pois, se 0 ∈ A,
ter´ıamos 0 = −0 /∈ A, o que e´ uma contradic¸a˜o (na˜o se pode ter 0 ∈ A e 0 /∈ A). Ate´ aqui,
temos enta˜o A ⊂ {−5,−4,−3,−2, 1} e, como, por ii, A possui pelo menos cinco elementos, temos
A = {−5,−4,−3,−2, 1}.