APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo Capítulo 6: Semelhança, Diagonalização e Autovalores

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APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 6: Semelhança, Diagonalização e Autovalores 
CAPÍTULO 6: 
SEMELHANÇA, DIAGONALIZAÇÃO E AUTOVALORES 
 
6.1 SEMELHANÇA DE MATRIZES 
 
Definição 6.1: 
Se A e C são matrizes quadradas da mesma ordem, nn × , diz-se que C é semelhante a A se existe uma 
matriz invertível P tal que APPC 1−= . 
 
Pode-se verificar que se A e C são matrizes quadradas da mesma ordem e C é semelhante a A , então 
A é semelhante a C , pois ( ) AQQAPPPAPA 1111 −−−−− === 1 , sendo 1PQ −= . Logo, em qualquer caso, 
diz-se que A e C são semelhantes. 
 
Propriedade 6.1: 
Duas matrizes são semelhantes se, e somente se, existem bases em relação às quais as matrizes 
representam a mesma transformação linear. 
Prova: 
Suponha que as matrizes A e C , de ordem nn × , são semelhantes. A matriz A representa a 
transformação linear uA(u) =T na base canônica 1B . Por outro lado, existe uma matriz invertível P tal 
que APPC 1−= . Assim, se [ ]n21 vvvP L= , considerando que P é invertível, o conjunto 
{ }n21 v,,v,v K=2B é linearmente independente e forma uma base de nR . Pode-se verificar que se 
APPC 1−= , então C representa a transformação linear T referida anteriormente na base 'B . 
 Se a matriz C representa uma transformação linear T na base 2B e a matriz A representa a 
mesma transformação linear T na base 1B . Escolha-se 12 BB →= PP . Tal matriz é invertível e 21
1
BB →
−
= PP . 
Logo, verifica-se que as matrizes que representam T estão relacionadas por [ ] [ ] 1PP −=
21 BB
TT , ou seja, 
1PCPA −= . Equivalentemente, APPC 1−= . 
 
Propriedade 6.2: 
1. Matrizes semelhantes têm o mesmo determinante. 
2. Matrizes semelhantes têm o mesmo posto. 
3. Matrizes semelhantes têm a mesma nulidade. 
4. Matrizes semelhantes têm o mesmo traço. 
 
Exemplo 6.1: 
As matrizes 










=
200
020
011
A e 










=
100
020
002
C são semelhantes, pois definindo 










=
010
001
101
P , tem-se 
que P é invertível desde que 01)det( ≠=P , e 










=




















=
020
002
102
010
001
101
200
020
011
PA e 










=




















=
020
002
102
100
020
002
010
001
101
CP , 
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Capítulo 6: Semelhança, Diagonalização e Autovalores 
ou seja, PACP = , ou equivalentemente, APPC 1−= . 
 
Exemplo 6.2: 
As matrizes 










=
200
020
011
A e 










=
100
020
001
C não são semelhantes, pois o traço de A é igual a 5 e o 
traço de C é igual a 4 . 
 
No exemplo 6.1, a matriz 










=
100
020
002
C é diagonal. Este tipo de matrizes desempenha um papel 
importante nas aplicações práticas, pois representam o tipo mais simples de transformações lineares. 
Assim, é de interesse determinar condições nas quais uma transformação linear possa ser representada por 
uma matriz diagonal em alguma base. Isto motiva a noção de matriz diagonalizável a ser vista na próxima 
seção. 
 
6.2 DIAGONALIZAÇÃO 
Como foi dito na seção anterior, é requerido estudar em detalhe o problema a seguir: Dada uma matriz 
quadrada A , determinar, se possível, uma matriz quadrada P invertível e da mesma ordem tal que 
APPD 1−= , de maneira que D seja uma matriz diagonal. Se as matrizes D e P existirem, diz-se que P 
diagonaliza A , e que A é diagonalizável. 
 
Para estudar as condições em que uma matriz quadrada A é diagonalizável são detalhados os 
elementos das matrizes D e P : 
Se uma matriz A de ordem nn × é diagonalizável, então existe uma matriz P invertível e uma matriz 
diagonal D tal que APPD 1−= é diagonal. Denotando a matriz P por colunas, [ ]n21 vvvP L= , a 
matriz diagonal 












=
nλ
λ
λ
L
MOMM
L
L
00
00
00
2
1
D , a igualdade APPD 1−= implica que APPD = . 
Mas, 
[ ] [ ]n21n21 vAvAvAvvvAAP LL == e 
[ ] [ ]n21n21 vvvvvvPD n
n
λλλ
λ
λ
λ
L
L
MOMM
L
L
L 21
2
1
00
00
00
=












= . 
Assim, deve-se ter que iii vλAv = , para ni ,,2,1 K= . Como P é invertível, os vetores { }n21 v,,v,v L 
são linearmente independentes (portanto, não nulos). 
 
Isto significa que, para que uma matriz A seja diagonalizável, deve-se achar escalares iλ , ni ,,2,1 K= , e 
vetores iv , ni ,,2,1 K= , não nulos tais que iii vλAv = , para cada ni ,,2,1 K= . 
As igualdades iii vλAv = originam o conceito de autovalor da matriz A que será estudado na próxima 
seção. 
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Capítulo 6: Semelhança, Diagonalização e Autovalores 
6.3 PROBLEMA DE AUTOVALOR 
 
Definição 6.2: 
Seja A uma matriz quadrada de ordem nn × . Um escalar λ tal que vvA λ= para um vetor não nulo 
nRv ∈ é denominado um autovalor de A e o vetor v é denominado autovetor de A associado a λ . 
 
Agora, observe que a igualdade vvA λ= é equivalente a igualdade ( ) 0vIA =− λ , que, considerando v 
como um vetor de incógnitas, é um sistema homogêneo de equações lineares. Desde que são requeridas 
soluções não nulas deste sistema, pois v deve ser um vetor não nulo, o determinante da matriz do sistema 
tem que ser nulo, ou seja, ( ) 0det =− IA λ . Agora, observe que 
( ) )(det
21
22221
11211
λ
λ
λ
λ
λ n
nnnn
n
n
p
aaa
aaa
aaa
=
−
−
−
=−
L
MOMM
L
L
IA , 
é um polinômio de grau n na incógnita escalar λ , denominado polinômio característico da matriz A . A 
equação polinomial ( ) 0det)( =−= IA λλnp é denominada equação característica da matriz A . 
Sabe-se que a uma equação polinomial com coeficientes reais possui n raízes (ou soluções) contando com 
a multiplicidade: nλλλ ,,, 21 K . Então, se resolvendo os sistemas homogêneos ( ) 0vIA =− iλ são 
conseguidos exatamente n autovetores associados, { }n21 v,,v,v L , a matriz A é diagonalizável, sendo a 
matriz diagonal 












=
nλ
λ
λ
L
MOMM
L
L
00
00
00
2
1
D e a matriz invertível [ ]n21 vvvP L= , que satisfazem a 
igualdade matricial APPD 1−= 
 
Metodologia Prática para o cálculo de autovalores e autovetores associados: 
1. Os autovalores de uma matriz A de ordem nn × são calculados resolvendo a equação 
característica 
( ) 0det)( =−= IA λλnp . 
A multiplicidade de cada solução λ de tal equação polinomial é denominada a multiplicidade 
algébrica do autovalor λ . 
2. Para cada autovalor iλ calculado no passo 1, é resolvido o sistema homogêneo 0vIA =− )( iλ . Os 
vetores linearmente independentes que geram o conjunto-solução deste sistema são os autovetores 
associados a iλ . O número destes vetores linearmente independentes é chamado de multiplicidade 
geométrica do autovalor iλ . 
Em geral, as multiplicidades algébricas e geométricas não coincidem. 
 
Exemplo 6.3: Considere a matriz 





=
11
11
A . A equação característica desta matriz é 
( ) 0
11
11
det)(2 =
−
−
=−= λ
λλλ IAp , 
ou seja, 01)1)(1( =−−− λλ , ou, 022 =− λλ , cujas raízes são 01 =λ e 22 =λ , ambas de multiplicidade 
algébrica igual a 1, ou, simples. 
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Capítulo 6: Semelhança, Diagonalização e Autovalores 
• Para 01 =λ , tem-seo sistema 0vIA =− )( 1λ , ou, 





=











−
−
0
0
011
101
y
x
, cuja matriz aumentada 
e subseqüente escalonamento resulta em 






 →





−
0
0
00
11
0
0
11
11
12 LL
, ou seja, 



=
=+
,00
,0yx
 
de onde, escolhendo y como parâmetro livre, tem-se que yx −= ; e o conjunto solução pode ser 
escrito como 




−
=




−
=





1
1
y
y
y
y
x
. Logo, para o autovalor 01 =λ pode ser associado o autovetor 





−
=
1
1
1v . A multiplicidade geométrica de 01 =λ é também igual a 1. 
• Para 22 =λ , tem-se o sistema 0vIA =− )( 2λ , ou, 





=











−
−
0
0
211
121
y
x
, cuja matriz aumentada 
e subseqüente escalonamento resulta em 





−
 →





−
− +
0
0
00
11
0
0
11
11
12 LL
, ou seja, 



=
=+−
,00
,0yx
 
de onde, escolhendo y como parâmetro livre, tem-se que yx = ; e o conjunto solução pode ser 
escrito como 





=





=





1
1
y
y
y
y
x
. Logo, para o autovalor 22 =λ pode ser associado o autovetor 






=
1
1
2v . A multiplicidade geométrica de 22 =λ é também igual a 1. 
Desde que foram conseguidos dois autovalores e dois autovetores associados, a matriz 





=
11
11
A é 
diagonalizável, sendo 





=





=
2
0
D
0
0
0
0
2
1
λ
λ
 e [ ] 




−
==
1
1
1
1| 21 vvP e PAPD 1−= . 
Exemplo 6.4: Seja a matriz 










−=
102
232
003
A . A equação característica de A é 
0
102
232
003
)det()(3 =
−
−−
−
=−=
λ
λ
λ
λλ IAp , que pode ser calculada, desenvolvendo pelos menores da 
primeira linha, como, 
[ ]
,0)1()3(
0)1)(3()3(
02
32
0
12
22
0
10
23)3()(
2
3
=−−=
−−−−=
−−
+
−
−
−
−
−
−=
λλ
λλλλλλ
λλλp
 
 e a equação 0)1()3( 2 =−− λλ produz os autovalores de A que são 31 =λ de multiplicidade algébrica 2 
e 12 =λ de multiplicidade algébrica 1. 
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Capítulo 6: Semelhança, Diagonalização e Autovalores 
• Para 31 =λ , tem-se o sistema 0vIA =− )( 1λ , ou, 










=




















−
−−
−
0
0
0
3102
2332
0033
z
y
x
, cuja matriz 
aumentada e subseqüente escalonamento resulta em 









−
 →










−
−
 →










−
−
+↔
0
0
0
000
000
202
0
0
0
202
000
202
0
0
0
202
202
000
1321 LLLL
, ou seja, 





=
=
=+−
,00
,00
,022 zx
 
de onde, escolhendo y e z como parâmetros livres, tem-se que zx = , e o conjunto solução pode 
ser escrito como 










+










=










=










1
0
1
0
1
0
zy
z
y
z
z
y
x
. Logo, para o autovalor 31 =λ podem ser associados o 
autovetores 










=
0
1
0
1v e 










=
1
0
1
2v . A multiplicidade geométrica de 31 =λ é igual a 2 (valor igual à 
multiplicidade algébrica). 
• Para 12 =λ , tem-se o sistema 0vIA =− )( 2λ , ou, 










=




















−
−−
−
0
0
0
1102
2132
0013
z
y
x
, cuja matriz 
aumentada e subseqüente escalonamento resulta em 










 →










−
−
+
0
0
0
000
220
002
0
0
0
002
222
002
13
12
LL
LL
, ou 
seja, 





=
=+
=−
,00
,022
,02
zy
x
 de onde, escolhendo z como parâmetro livre, tem-se que zy −= e 0=x ; 
e o conjunto solução pode ser escrito como 










−=










−=










1
1
00
z
z
z
z
y
x
. Logo, para o autovalor 12 =λ 
pode ser associado o autovetor 










−=
1
1
0
2v . A multiplicidade geométrica de 12 =λ é igual a 1 
(coincidente com a multiplicidade algébrica). 
Neste exemplo, a matriz 










−=
102
232
003
A
 é diagonalizável, sendo 










=










=
1
3
3
D
00
00
00
00
00
00
2
2
1
λ
λ
λ
 e 
[ ]










−==
110
101
010
| 321 vvvP e PAPD 1−= . 
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Capítulo 6: Semelhança, Diagonalização e Autovalores 
Exemplo 6.5: Seja a matriz 










=
112
110
111
A . A equação característica de A , neste caso, é 
0
112
110
111
)det()(3 =
−
−
−
=−=
λ
λ
λ
λλ IAp , que pode ser calculada, desenvolvendo pelos menores da 
primeira coluna, como, 
[ ] [ ]
,03222)2)(1(
)1(121)1()1(
11
11
2
11
11
0
11
11)1()(
323222
2
3
=−=−++−=++−−=
−−+−−−=
−
+
−
−
−
−
−=
λλλλλλλλλλ
λλλλλλ
λλλp
 
 e a equação 03 32 =− λλ pode ser expressa como 0)3(2 =− λλ , de onde, facilmente, pode-se ver que os 
autovalores de A são 01 =λ de multiplicidade algébrica 2 e 32 =λ de multiplicidade algébrica 1. 
• Para 01 =λ , tem-se o sistema 0vIA =− )( 1λ , ou, 










=




















−
−
−
0
0
0
0112
1010
1101
z
y
x
, cuja matriz 
aumentada e subseqüente escalonamento resulta em 










 →










−−
 →










+−
0
0
0
000
110
111
0
0
0
110
110
111
0
0
0
112
110
111
2313 LL2LL
, ou seja, 





=
=+
=++
00
,0
,0
zy
zyx
 
de onde, escolhendo z como parâmetro livre, tem-se que zy −= e 0=−−= zyx ; e o conjunto 
solução pode ser escrito como 










−=










−=










1
1
00
y
z
z
z
y
x
. Logo, para o autovalor 01 =λ pode ser 
associado o autovetor 










−=
1
1
0
1v . A multiplicidade geométrica de 01 =λ é igual a 1 (valor 
diferente da multiplicidade algébrica). 
• Para 32 =λ , tem-se o sistema 0vIA =− )( 2λ , ou, 










=




















−
−
−
0
0
0
3112
1310
1131
z
y
x
, cuja matriz 
aumentada e subseqüente escalonamento resulta em 










−
−
 →










−
−
−
 →










−
−
−
++
0
0
0
000
120
112
0
0
0
120
120
112
0
0
0
212
120
112
2313 LLLL
, resultandono sistema 
APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 6: Semelhança, Diagonalização e Autovalores 





=
=+−
=++−
00
,02
,02
zy
zyx
 de onde, escolhendo z como parâmetro livre, tem-se que 2/zy = e 
4/32/)( zzyx =+= ; e o conjunto solução pode ser escrito como 










=










=










4
2
3
4
2/
4/3
z
z
z
z
z
y
x
. Logo, 
para o autovalor 32 =λ pode ser associado o autovetor 










=
4
2
3
2v . A multiplicidade geométrica de 
32 =λ é igual a 1 (coincidente com a multiplicidade algébrica). 
Neste exemplo, a matriz 










=
112
110
111
A
 não é diagonalizável, desde que existem, ao todo, apenas dois 
autovetores associados aos autovalores. 
 
Observação: Cabe salientar que as soluções do polinômio característico de uma matriz podem ser 
também complexas. Neste caso, os autovetores tem também componentes complexas. 
 
6.4 PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAM-SCHMIDT 
 
Definição 6.3: Uma matriz quadrada Q de ordem nn × é dita ortogonal se é invertível e t1 QQ =− . 
 
Propriedade 6.3: Uma matriz quadrada Q de ordem nn × é ortogonal se as colunas da matriz 
[ ]n21 uuuQ L= satisfazem as seguintes condições 1=== n21 uuu K e 0=⋅ ji uu se ji ≠ , ou 
seja, os vetores n21 uuu ,,, K são unitários e ortogonais dois a dois. 
 
Propriedade 6.4: Se os vetores n21 uuu ,,, K são unitários e ortogonais dois a dois, e alem do mais, 
linearmente independentes, então eles constituem uma base para nR . A base { }n21 uuu ,,, K=B é 
denominada uma base ortonormal de nR . A base canônica 


















































1
0
0
,,
0
1
0
,
0
0
1
M
L
MM
 de nR é um exemplo de 
base ortonormal. 
 
Nomenclatura: Um conjunto { }m21 uuu ,,, K de vetores é denominado 
1. um conjunto ortogonal se 0=⋅ ji uu se ji ≠ ; e 
2. um conjunto ortonormal se 1=== m21 uuu K e 0=⋅ ji uu se ji ≠ . 
 
Existe um algoritmo computacional denominado o Processo de Gram-Schmidt que constrói um conjunto 
ortonormal { }m21 uuu ,,, K de vetores a partir de um conjunto { }m21 vvv ,,, K de vetores linearmente 
APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 6: Semelhança, Diagonalização e Autovalores 
independentes. No caso em que nm = , o processo constrói uma base ortonormal { }n21 uuu ,,, K=B a 
partir de uma base qualquer { }n21 vvv ,,, K de nR . 
 
Propriedade 7.2: (Processo de Gram-Schmidt) 
A partir de um conjunto de m vetores { }m21 v,,v,v L linearmente independentes de nR , então pode-se 
obter um conjunto ortonormal de m vetores { }m21 uuu ,,, K mediante o seguinte processo: 
1. Defina 11 vp = e 1
1
1 pp
1
u = . 
2. Defina 1
1
12
22 pp
pv
vp 2
⋅
−= e 2
2
2 pp
1
u = . 
3. Defina 22
2
23
1
1
13
33 pp
pvp
p
pv
vp ⋅−⋅−= 2 e 3
3
3 pp
1
u = , 
4. Defina 32
3
34
22
2
24
12
1
14
4 pp
pvp
p
pvp
p
pv
vp ⋅−⋅−⋅−=4 e 4
4
4 pp
1
u = , 
 e assim por diante, até 
m. Defina 1m2
1m
1mm
22
2
2m
12
1
1m
mm pp
pvp
p
pvp
p
pv
vp
−
−
−
⋅
−−
⋅
−
⋅
−= L e m
m
m pp
1
u = . 
 
Exemplo 6.6: 
Considere o conjunto { }








































=
0
1
1
,
1
1
1
,
0
0
1
321 v,v,v . Pode-se ver facilmente que tal conjunto é linearmente 
independente em 3R e portanto, constitui uma base. Mas esta base não é ortonormal. Utiliza-se o processo 
de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal para 3R baseado no conjunto { }321 v,v,v . 
Faz-se 










==
0
0
1
11 vp e 










=










==
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1 pp
1
u . 
Agora, 










=










−










=




















⋅










−










=
⋅
−=
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
22 1
1
12
22 pp
pv
vp
 e 










=










==
2
1
2
1
2
2
2 pp
1
u
0
1
1
0
2
1
. 










−
=










−
=










−










−










=










−










−










=




















⋅










−




















⋅










−










=
⋅
−
⋅
−=
1
1
000
0
0
1
0
1
1
1
1
0
2
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
2
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
 Enfim
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
22
2
23
1
1
13
33 pp
pvp
p
pv
vp
 
APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 6: Semelhança, Diagonalização e Autovalores 
 e 










−
=










−
==
2
1
2
1p
p
u
0
1
1
0
2
11
3
3
3 
Assim, consegue-se a base ortonormal { }




















−




















=
2
1
2
1
2
1
2
1
321 u,u,u
0
,
0
,
0
0
1
. 
Observe que a matriz formada por estes últimos vetores 










−
=
2
1
2
1
2
1
2
1Q
0
0
001
 é ortogonal, ou seja, 
IQQ
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1t
=










=










−
⋅










−
=
100
010
001
0
0
001
0
0
001
, 
implicando que t1 QQ =− . 
 
Exemplo 6.7: Considere o conjunto { }








































=
1
1
1
,
0
1
1
,
0
0
1
321 v,v,v . Pode-se ver que tal conjunto é uma base 
de 3R mas não é ortonormal. Utiliza-se o processo de Gram-Schmidt para obter um conjunto ortogonal de 
vetores. 
Faz-se 










==
0
0
1
11 vp e 










=










==
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1 pp
1
u . 
Agora, 










=










−










=



















⋅










−










=
⋅
−=
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
22 1
1
12
22 pp
pv
vp e 










=










==
0
1
0
0
1
0
1
1
2
2
2 pp
1
u . 










=










−










−










=










−










−










=




















⋅










−




















⋅










−










=
⋅
−
⋅
−=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
 Enfim 2 22
2
23
1
1
13
33 pp
pvp
p
pv
vp
 
 e 










=










==
1
0
0
1
0
0
1
11
3
3
3 pp
u . 
APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 6: Semelhança, Diagonalização e Autovalores 
Assim, consegue-se a base ortonormal (canônica) { }








































=
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
321 u,u,u e a matriz 
IQ =










=
100
010
001
, ou seja, a matriz identidade, que é obviamente uma matriz ortogonal. 
 
Exemplo 6.8: O objetivo deste exemplo é construir uma base ortonormal a partir da base formada pelos 
autovetores de uma matriz. Por isso, não serão mostrados os cálculos para conseguir os autovalores e 
autovetores. Seja a matriz 










−−
−−=
102
212
405
A . Pode-se verificar que a matriz que diagonaliza a matriz A 
é 









 −−
=
101
011
102
P cujas colunas são os autovetores da matriz A . Porém, a base de 3R , 
{ }



















−



















−
=
1
0
1
,
0
1
0
,
1
1
2
321 v,v,v , que estes autovetores formam, não é uma base ortonormal. 
Mas, aplicando o processo de Gram-Schmidt, tem-se que 









−
==
1
1
2
11 vp e 










−
=









−
==
6
1
6
1
6
2
1
1
1 pp
1
u
1
1
2
6
1
; 










−
=










−
=









−
−










=









−









−
⋅










−










=
⋅
−=
1
5
2
1
1
2
6
1
0
1
0
1
1
2
6
1
1
2
0
1
0
0
1
0
6
1
2
6
1
6
5
3
1
1
1
12
22 pp
pv
vp
 e 










−
=










−
==
30
1
30
5
30
2
2
2
2 pp
1
u
1
5
2
30
1
; 










=










=










−
+









−
−









−
=










−
+









−
−









−
=










−










−
⋅









−
−









−









−
⋅









−
−









−
=
⋅
−
⋅
−=
2
0
1
0
1
1
0
1
1
5
2
10
1
1
1
2
2
1
1
0
1
1
5
2
30
1
5
2
1
0
1
1
1
2
6
1
1
2
1
0
1
1
0
1
 Enfim
5
1
2
5
2
5
1
10
1
2
1
5
1
2
1
2
1
22
2
23
1
1
13
33 pp
pvp
p
pv
vp
 
APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 6: Semelhança, Diagonalização e Autovalores 
 e 










=










==
5
2
2
1
p
p
u 0
2
0
1
5
11
3
3
3 . 
Assim, consegue-se o conjunto ortonormal { }






























−










−
=
5
2
5
1
30
1
30
5
30
2
6
1
6
1
6
2
321 u,u,u 0,, . Observe que a matriz 
formada por estes últimos vetores 










−
−
=
5
2
5
1
30
1
30
5
30
2
6
1
6
1
6
2
Q 0 é ortogonal, ou seja, IQQt = . 
Equivalentemente, 










−
−
==
−
5
2
30
1
6
1
30
5
6
1
5
1
30
2
6
2
t1 QQ
0
. Observe que a inversa de uma matriz ortogonal é 
calculada de maneira muito simples: apenas transpondo a matriz. 
 
Exemplo 6.9: Seja a matriz 










=
110
121
011
A . Pode-se verificar que a matriz 










−
−
=
111
120
111
P diagonaliza 
a matriz A , desde que APPD 1−=










=
000
030
001
. As colunas da matriz P , { }




















−



















−
=
1
1
1
,
1
2
1
,
1
0
1
321 v,v,v 
formam um conjunto ortogonal. Esta é uma propriedade que acontece com as matrizes simétricas. Para 
conseguir uma matriz ortogonal que diagonalize A , basta normalizar tal conjunto de vetores, ou seja 
dividir cada vetor pela norma respectiva. Assim, consegue-se o conjunto ortonormal 
{ }




















−




















−
=
3
1
3
1
3
1
6
1
6
2
6
1
2
1
2
1
321 u,u,u ,,0 . Observe que a matriz formada por estes últimos vetores 










−
−
=
3
1
3
1
3
1
6
1
6
2
6
1
2
1
2
1
0Q é ortogonal e satisfaz IQQt = . Além do mais, DAQQ t =










=
000
030
001
. 
 
6.5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Os pares de matrizes a seguir não são semlhantes. Justifique: 
a. 





=
23
11
A , 





−
=
23
01
B ; b. 




 −
=
42
14
A , 




 −
=
42
14
B ; 
c. 










=
100
210
321
A , 










=
100
01
021
2
1B ; d. 










=
303
202
101
A , 









=
110
022
011
B . 
APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 6: Semelhança, Diagonalização e Autovalores 
2. Para cada uma das matrizes a seguir, encontre os autovalores e os autovetores associados a cada 
autovalor. Determine se a matriz é diagonalizável, e em caso afirmativo, determine a matriz diagonal 
D e a matriz invertível P tal que PAPD 1−= . 
a. 










−
−
=
322
012
021
A b. 










−
−
=
011
101
110
A ; c. 









 −
=
300
030
202
A ; 
d. 










−
−
−−
=
313
043
241
A ; e. 










=
510
051
005
A ; f. 












−−
−
=
3000
0300
5520
0002
A ; 
g. 










=
000
011
011
A ; h. 










−−
−−
−−
=
211
121
112
A ; i. 












=
0000
0000
0031
0013
A . 
3. Utilize o processo de ortogonalização para obter uma base ortonormal a partir da base dada: 
a. 


















−
=
2
2
,
3
1
B ; b. 












−






=
5
3
,
0
1
B ; c. 






























−









=
1
4
0
,
2
7
3
,
0
0
1
B ; 
d. 








































−=
0
0
1
,
0
1
2
,
1
1
1
B ; e. 



















−









−










=
3
1
1
,
1
0
1
,
2
1
0
B ; f. 






































−
























=
1
3
0
1
,
2
1
1
0
,
0
2
1
1
,
0
1
2
1
B .