APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo Capítulo 5: Transformações Lineares

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APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 5: Transformações Lineares 
CAPÍTULO 5: 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
 
5.1 DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES 
Definição 5.1: Sejam )K,,,(V1 ⋅+ e )K,,,(V2 ⋅+ dois espaços vetoriais. Uma função 21 VV →:T é uma 
transformação linear se, e somente se, satisfaz as seguintes propriedades: 
1. )()()( vuvu TTT +=+ , para quaisquer Vvu, ∈ , (aditividade); e 
2. )()( uu TT αα = , para qualquer Vu ∈ e qualquer K∈α (homogeneidade). 
 
O caso de interesse é quando os dois espaços têm dimensão finita: n=)dim( 1V e m=)dim( 2V . Para esta 
situação especial, basta considerar as transformações mn RR →:T . Então, uma função mn RR →:T é 
uma transformação linear se, e somente se, satisfaz as seguintes propriedades: 
1. )()()( vuvu TTT +=+ , para quaisquer nRvu, ∈ , (aditividade); e 
2. )()( uu TT αα = , para qualquer nRu ∈ e qualquer R∈α (homogeneidade). 
 
Exemplo 5.1: 
Considere a transformação 32 RR →:T definida por 










+
=













yx
x
y
y
x
T
2
, para todo 2R∈





y
x
. Esta 
transformação é linear pois 














+













=










+
+










+
=










+++
+
+
=













+
+
=













+





2
2
1
1
22
2
2
11
1
1
2121
21
21
21
21
2
2
1
1
22
)(2
y
x
T
y
x
T
yx
x
y
yx
x
y
yyxx
xx
yy
yy
xx
T
y
x
y
x
T
 e 














=










+
=










+
=













=













1
1
11
1
1
11
1
1
1
1
1
1
22
y
x
T
yx
x
y
yx
x
y
y
x
T
y
x
T αα
αα
α
α
α
α
α . 
 
Exemplo 5.2: 
Considere a transformação 22 RR →:T definida por 




 +
=













y
x
y
x
T
1
, para todo 2R∈





y
x
.Esta 
transformação não é linear pois, por exemplo, ela não possui a propriedade da homogeneidade 














=




 +
≠




 +
=













=













y
x
T
y
x
y
x
y
x
T
y
x
T αα
α
α
α
α
α
11
, se 0≠α . 
Também, pode ser verificado que esta transformação não possui a propriedade da aditividade. 
 
Propriedade 5.1: 
Uma transformação linear mn RR →:T satisfaz as seguintes propriedades: 
1. )()()( vuvu TTT βαβα +=+ , para quaisquer nRvu, ∈ e quaisquer R∈βα , , (princípio de 
superposição); 
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Capítulo 5: Transformações Lineares 
2. 00 =)(T ; 
3. como casos particulares da primeira propriedade, tem-se que )()( uu TT −=− e 
)()()( vuvu TTT −=− , para quaisquer 1Vvu, ∈ . 
 
Propriedade 5.2: 
Seja mn RR →:T uma transformação linear. Então 
uAu =)(T , para todo nRx ∈ , 
onde A é a matriz de ordem nm × formada por 
[ ])()()( n21 eeeA TTT L= , 
sendo { }


















































==
1
0
0
,,
0
1
0
,
0
0
1
M
L
MM
K n21 e,,e,eB a base canônica de nR . A matriz A é denominada a matriz 
canônica da transformação T . 
Prova: 
Se nRu ∈












=
nu
u
u
M
2
1
, então 
n21 eeeu nn
n
uuuuuu
u
u
u
+++=












++












+












=












= L
M
L
MMM
2121
2
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
, 
e, pela linearidade da transformação T, tem-se que 
[ ]












=+++=
n
n
u
u
u
TTTTuTuTuT
M
LL
2
1
21 )()()()()()()( n21n21 eeeeeeu . 
Observação importante: A prova anterior permite estabelecer que se uma transformação mn RR →:T é 
linear, então ela é da forma 
























=














+++
+++
+++
=


























nmnmm
n
n
nnmmm
nn
nn
n u
u
u
aaa
aaa
aaa
uauaua
uauaua
uauaua
u
u
u
T
M
L
MOMM
L
L
L
M
L
L
M
2
1
21
22221
11211
2211
2222121
1212111
2
1
, 
sendo 














=
1
21
11
)(
ma
a
a
T
M
1e , 














=
2
22
12
)(
ma
a
a
T
M
2e , K , 














=
nm
n
n
a
a
a
T
M
2
1
)( ne . Logo, toda transformação mn RR →:T linear 
tem sempre a forma uAu =)(T , para certa matriz nm×A . 
 
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Capítulo 5: Transformações Lineares 
Exemplo 5.3: 
Considere a transformação 32 RR →:T definida por 










+
=













yx
x
y
y
x
T
2
. Foi visto que esta é uma 
transformação linear. Observe que 










+










+










=










=













1
0
0
2
1
1
0
1
0
0
1
0
2
1
0
0
1
T e 










+










+










=










=













1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
T . 
Assim, a matriz canônica de T é 










=
1
0
1
2
1
0
A . 
Observação: a propriedade anterior permite afirmar que toda transformação linear mn RR →:T pode ser 
escrita na forma 
Para brevidade da construção da matriz canônica da transformação linear, pode-se observar que 
















=










+
+
+
=










+
=













y
x
yx
yx
yx
yx
x
y
y
x
T
12
01
10
12
01
10
2
, ou seja, para conseguir a matriz canônica de 












y
x
T , basta 
considerar os coeficientes de x e y em cada componente de 












y
x
T . 
Propriedade 5.3: 
O procedimento descrito na propriedade anterior pode ser estendido para outras bases em nR e mR , como 
segue: 
Seja mn RR →:T uma transformação linear. Considere a base { }n21 v,,v,v K=1B de nR e a base 
{ }m21 w,,w,w K=2Bde mR . Suponha que 
m21n
m212
m211
wwwv
wwwv
wwwv
mnnn
m
m
aaaT
aaaT
aaaT
+++=
+++=
+++=
L
M
L
L
21
22212
12111
)(
)(
)(
 
Então, verifica-se que [ ] 2BB (u)u 1 T
aaa
aaa
aaa
T
mnmm
n
n












=
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
)]([ . A matriz [ ]












=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
, 21 BBA 
é denominada a matriz da transformação T em relação às bases 1B e 2B . 
 
Exemplo 5.4: 
APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 5: Transformações Lineares 
Considere a transformação 32 RR →:T definida por 










+
=













yx
x
y
y
x
T
2
. Também considere as bases 


















=
0
1
,
1
1
1B de 2R e 








































= ,
1
0
0
,
1
1
0
,
1
1
1
2B . Procede-se ao cálculo da matriz [ ] 21 BBA , . Primeiro, 
transformam-se os vetores da base 


















=
0
1
,
1
1
1B e calculam-se, neste exemplo, por simples inspeção, as 
coordenadas destes na base 








































= ,
1
0
0
,
1
1
0
,
1
1
1
2B : 










+










+










=










=













1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
2
1
0
0
1
T e 










+










−+










=










=













1
0
0
1
1
1
0
)1(
1
1
1
1
1
0
1
1
0
T . 
Assim, arranjando as respectivas coordenadas em colunas, observa-se facilmente que [ ]










−=
1
1
1
1
1
0
, 21 BBA . 
 
5.2 NÚCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 
Definição 5.2: 
Sejam )K,,,(V1 ⋅+ e )K,,,(V2 ⋅+ dois espaços vetoriais, e 21 VV →:T uma transformação linear. 
1. O núcleo da transformação T está dado pelo conjunto 
{ }0(u)Vu =∈=≡ TTTN :)(Ker)( 1 . 
2. A imagem da transformação T está dado pelo conjunto 
{ }1Vu:(u) ∈= TVT )( 1 . 
Propriedade 5.4: 
Sejam )K,,,(V1 ⋅+ e )K,,,(V2 ⋅+ dois espaços vetoriais, e 21 VV →:T uma transformação linear. 
1. O núcleo { }0(x)x =∈= TVTN :)( 1 é um subespaço de 1V . 
2. A imagem { }1Vx:(x) ∈= TVT )( 1 é um subespaço de 2V . 
 
O núcleo e a imagem de uma transformação linear mn RR →:T podem ser caracterizados mediante a 
matriz canônica nm×A . 
Propriedade 5.5: 
Seja mn RR →:T uma transformação linear com matriz canônica A . O núcleo da transformação T , 
)(Ker T , é o espaço nulo da matriz A , ou seja, { }0AuRu n =∈= /)(Ker T . Então , para determinar o 
núcleo de transformação T , basta resolver o sistema homogêneo 0uA = e caracterizar seu conjunto 
solução. 
 
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Capítulo 5: Transformações Lineares 
Exemplo 5.5: Seja a transformação linear 43: RR →T cuja matriz canônica é 












−
−
−
=
3
4
1
1
4
7
1
2
3
1
2
1
A . Então 
resolvendo o sistema homogêneo 0uA = , temos que a matriz aumentada e o processo de eliminação vai 
como segue 














−
−
 →














−
−
 →














−
−
−
 →














−
−
−
↔−
+
−
−
−
0
0
0
0
0
6
3
1
0
0
5
2
0
0
0
1
0
0
0
0
6
0
3
1
0
0
5
2
0
0
0
1
0
0
0
0
0
3
3
1
10
5
5
2
0
0
0
1
0
0
0
0
3
4
1
1
4
7
1
2
3
1
2
1
43 LL2LL
LL
3LL
LL
2LL
24
23
14
13
12
 
que produz o sistema 







=
=
=−
=+−
,00
,06
,035
,02
z
zy
zyx
 cuja única solução é 0=== zyx . Assim, 




















=
0
0
0
)(Ker T . 
Exemplo 5.6: Seja a transformação linear 43: RR →T cuja matriz canônica é 












−
−
−
−
=
3
4
1
1
4
7
1
2
3
1
2
1
A . Então 
resolvendo o sistema homogêneo 0uA = , temos que a matriz aumentada e o processo de eliminação vai 
como segue 














−
−
 →














−
−
−
−
 →














−
−
−
−
−
+
−
−
−
0
0
0
0
0
0
3
1
0
0
5
2
0
0
0
1
0
0
0
0
6
3
3
1
10
5
5
2
0
0
0
1
0
0
0
0
3
4
1
1
4
7
1
2
3
1
2
1
24
23
14
13
12
2LL
LL
3LL
LL
2LL
 
que produz o sistema 







=
=
=−
=+−
,00
,00
,035
,02
zy
zyx
 cuja solução pode ser obtida considerando z como parâmetro 
livre, temos que zy 53= e zzyx 512 =−= . Então a solução pode ser escrita como 










=










=










1
5
3
5
1
5
3
5
1
z
z
z
z
z
y
x
. 
Assim, 










∈










= RzzT /
1
)(Ker 53
5
1
, que é um subespaço de dimensão 1 de 3R (uma reta que passa pela 
origem). 
APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 5: Transformações Lineares 
Exemplo 5.7: Seja a transformação linear 43: RR →T cuja matriz canônica é 












−
−
−
−
−
−
=
3
2
1
1
6
4
1
2
3
2
1
1
A . 
Então resolvendo o sistema homogêneo 0uA = , temos que a matriz aumentada e o processo de 
eliminação vai como segue 













 −
 →














−
−
−
−
−
− +
−
+
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
2
0
0
0
1
0
0
0
0
3
2
1
1
6
4
1
2
3
2
1
1
14
13
12
3LL
2LL
LL
 
que produz o sistema 







=
=
=
=+−
,00
,00
,00
,02 zyx
 cuja solução pode ser obtida considerando y e z como 
parâmetros livres, temos que zyx −= 2 . Então a solução pode ser escrita como 









−
+










=









 −
=










1
0
1
0
1
22
zy
z
y
zy
z
y
x
. Assim, 










∈









−
+










= RzyzyT ,/
1
0
1
0
1
2
)(Ker , que é um subespaço de 
dimensão 2 de 3R (um plano que passa pela origem). 
 
Propriedade 5.6: 
Seja mn RR →:T uma transformação linear commatriz canônica A . A imagem da transformação T , 
)(Im T , é o espaço coluna da matriz A . Então, para determinar a imagem de transformação T , temos que 
determinar uma base para os vetores do conjunto { }nRuuA ∈/ , mediante a imposição de condições de 
consistência para o sistema buA = , sendo b um vetor arbitrário de mR . 
Exemplo 5.8: Seja a transformação linear 43: RR →T cuja matriz canônica é 












−
−
−
=
3
4
1
1
4
7
1
2
3
1
2
1
A . 
Considere, então, o sistema buA = com 












=
d
c
b
a
b vetor arbitrário de 4R , temos que a matriz aumentada 
e o processo de eliminação vai como segue 
APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 5: Transformações Lineares 














−+
+−
−−
−
 →














+−
−+
−−
−
 →














−
−
−−
−
−
 →














−
−
−
↔
−
+
−
−
−
abc
abd
ab
a
abd
abc
ab
a
ad
ac
ab
a
d
c
b
a
3
2
2
0
6
3
1
0
0
5
2
0
0
0
1
2
3
2
6
0
3
1
0
0
5
2
0
0
0
1
3
2
0
3
3
1
10
5
5
2
0
0
0
1
3
4
1
1
4
7
1
2
3
1
2
1
43 LL
2LL
LL
3LL
LL
2LL
24
23
14
13
12
 
Agora, observe que a condição de consistência (teorema do posto) impõe que 03 =−+ abc que 
caracteriza um sistema homogêneo de equações lineares (neste caso, apenas uma equação) com quatro 
incógnitas ( a , b , c e d ). Escolhendo como parâmetros livres as incógnitas b , c e d , temos que 
cbcba 31313
+=
+
= . Então temos que 












+












+












=











 +
=












=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
3
1
3
1
3
1
3
1
dcb
d
c
b
cb
d
c
b
a
b . Assim, a imagem da 
transformação T pode ser caracterizada como 


























+












+












= reais,,/
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1)Im(
3
1
3
1
dcbdcbT , ou seja, como 
um subespaço de dimensão 3 de 4R , com base 


















































1
0
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
3
1
3
1
. 
Exemplo 5.9: Seja a transformação linear 43: RR →T cuja matriz canônica é 












−
−
−
−
=
3
4
1
1
4
7
1
2
3
1
2
1
A . 
Considere, então, o sistema buA = com 












=
d
c
b
a
b vetor arbitrário de 4R , temos que a matriz aumentada 
e o processo de eliminação vai como segue 














+−
−+
−−
−
 →














−
−
−
−
−
−
−
 →














−
−
−
−
−
+
−
−
−
abd
abc
ab
a
ad
ac
ab
a
d
c
b
a
2
3
2
0
0
3
1
0
0
5
2
0
0
0
1
3
2
6
3
3
1
10
5
5
2
0
0
0
1
3
4
1
1
4
7
1
2
3
1
2
1
24
23
14
13
12
2LL
LL
3LL
LL
2LL
 
APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 5: Transformações Lineares 
Agora, observe que a condição de consistência (teorema do posto) impõe que 



=+−
=−+
,02
,03
abd
abc
ou 



=++−
=++−
,02
,03
dcba
cba
 que caracteriza um sistema homogêneo de equações lineares com quatro incógnitas 
( a , b , c e d ). A eliminação gaussiana com as equações permutadas produz 






−
−
 →





−
−
−
+
0
0
3
1
4
1
8
2
0
1
0
0
0
1
1
1
2
2
3
1
12 3LL
, 
 Escolhendo como parâmetros livres as incógnitas c e d , temos que dcdcb 83218
34
−−=
−−
= e 
dcdcba 4722 −−=−−= . Então temos que 












−
−
+












−
−
=












−−
−−
=












=
1
0
0
1
22
8
3
4
7
2
1
8
3
2
1
4
7
dc
d
c
dc
dc
d
c
b
a
b . Assim, a imagem 
da transformação T pode ser caracterizada como 


























−
−
+












−
−
= reais,/
1
0
0
1
2
)Im( 8
3
4
7
2
1
dcdcT , ou seja, como 
um subespaço de dimensão 2 de 4R , com base 


























−
−












−
−
1
0
,
0
1
2
8
3
4
7
2
1
. 
Exemplo 5.10: Seja a transformação linear 34: RR →T cuja matriz canônica é 









 −
−
−
−
−
=
14
5
4
5
1
7
2
3
8
3
2
1
A . 
Considere o vetor 










−
−=
28
10
8
b . Queremos saber se o vetor b pertence à imagem de T . Isto significa que 
desejamos saber se existe um vetor 












=
d
c
b
a
u tal que buA = . Consideramos a matriz aumentada de tal 
sistema e resolvemos por eliminação gaussiana: 










−
−−−
 →










−
−
−−−
 →










−
−
−−−
 →










−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
0
2
8
0
1
4
0
1
7
0
1
8
0
0
1
2
2
8
1
1
4
1
1
7
1
1
8
0
0
1
52
26
8
26
13
4
26
13
7
26
13
8
0
0
1
28
10
8
14
5
4
5
1
7
2
3
8
3
2
1
2LL
L
L
3LL
2LL
3
326
1
213
1
13
12
 
APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 5: Transformações Lineares 
e considerando c e d como parâmetros livres, temos que dcb −−−= 2 e 
dcdcba 484788 −−−=+++= ; 
de maneira que 












−
−
+












−
−
+












−
−
=












−−−
−−−
=












=
1
0
1
4
0
1
1
1
0
0
2
8
2
48
dc
d
c
dc
dc
d
c
b
a
u , com c e d reais. Isto significa que 
todos os pontos do conjunto 














∈












−
−
+












−
−
+












−
−
Rdcdc ,/
1
0
1
4
0
1
1
1
0
0
2
8
 tem como imagem o vetor 










−
−=
28
10
8
b . 
Assim, o vetor 









−
−=
28
10
8
b pertence à imagem de T . 
Propriedade 5.7: Seja mn RR →:T uma transformação linear. Então 
1. T é injetora se, e somente se, { }0=)Ker(T , ou seja, a única solução do sistema homogêneo 
0uA = é 0u = ; e 
2. T é sobrejetora se, e somente se, o sistema buA = é consistente para qualquer mRb ∈ . 
 
Propriedade 5.8: Seja nn RR →:T uma transformação linear com matriz canônica nn×A . Então as 
seguintes afirmações são equivalentes: 
1. T é injetora; 
2. { }0=)Ker(T ; 
3. T é sobrejetora; 
4. buA = é consistente para qualquer nRb ∈ ; 
5. 0)det( ≠A ; 
6. os vetores coluna de A são linearmente independentes (formam uma base de nR ); 
7. A possui inversa. 
 
5.3 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Determine se as seguintes transformações são lineares ou não. Justifique sua resposta e em caso 
afirmativo determine a matriz que representa a transformação linear: 
a. 22 RR →:T definida por 




−
=













0
x
y
x
T ; 
b. 22 RR →:T definida por 





=













0
1
y
x
T ; 
c. 22 RR →:T definida por 





=













0
y
y
x
T ; 
d. 32 RR →:T definida por 










=













x
y
y
y
x
T ; 
APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 5: Transformações Lineares 
e. 3RR →:T definida por [ ]( )










=
1
x
x
xT ; 
f. RR →3:T definida por [ ]zyx
z
y
x
T ++=




















. 
2. Encontre a matriz canônica de cada transformação linear a seguir: 
a. [ ]( )










−
=
x
x
xT 0 ; b. [ ]z
z
y
x
T =




















; c. 










−
++−
++
=




















zy
zyx
zyx
z
y
x
T 32 ; d. 










−
+=













yx
yx
x
y
x
T . 
3. Encontre a matriz de cada transformação linear em relação às bases 1B e 2B a seguir: 
a. [ ]( )










−
=
x
x
xT 0 ¸ { }]1[1 =B , 








































=
1
0
0
,
1
1
0
,
1
1
1
2B ; 
b. [ ]z
z
y
x
T =




















, 








































=
0
0
1
,
0
1
1
,
1
1
1
1B , { }]1[2 −=B ; 
c. 










−
++−
++
=




















zy
zyx
zyx
z
y
x
T 32 , 








































=
1
0
0
,
1
1
0
,
1
1
1
1B , 








































=
0
0
1
,
0
1
1
,
1
1
1
2B ; 
d. 










−
+=













yx
yx
x
y
x
T , 












−






=
1
1
,
1
1
1B








































=
1
0
0
,
1
1
0
,
1
1
1
2B . 
4. Determine, se possível, todos os vetores u tais que bu =)(T , sendo T a transformação linear cuja 
matriz canônica é 
a. 










−
−=
352
310
021
A
 e 










−=
3
1
1
b ; b. 










−
−=
352
310
021
A
 e 










=
1
1
2
b ; 
c. 










−−
−
=
0
7
5
5
4
0
1
2
2
2
3
1
A
 e 










=
7
0
4
b ; d. 










−−
−
=
0
7
5
5
4
0
1
2
2
2
3
1
A
 e 










−
=
1
2
3
b . 
5. Determine a matriz canônica da transformação linear T tal que 
a. 










=













0
2
1
0
1
T
 e 










−
=













1
1
0
1
0
T ; b. 










=













0
2
1
1
1
T
 e 










−
=













1
1
0
1
0
T ; 
APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 5: Transformações Lineares 
c. 










=




















0
2
1
0
0
1
T , 










−=




















0
1
1
0
1
0
T e 










=




















1
0
1
1
0
0
T ; d. 










=




















0
2
1
1
1
1
T , 










−=




















0
1
1
1
1
0
T e 










=




















1
0
1
1
0
0
T . 
5. Determine o núcleo e a imagem das transformações lineares cujas matrizes canônicas são dadas a 
seguir 
a. 





=
22
11
A ; b. 










−
−=
711
112
201
A ; c. 










−
−−
−
=
444
321
321
A ; 
d. 










−−
−
=
0
7
5
5
4
0
1
2
2
2
3
1
A ; e. 












−
−
−
=
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
A ; f. 





−
=
1
1
1
2
1
1
A . 
6. Diga, justificando, se a transformação linear representada pela matriz é injetora e/ou bijetora 
a. 




 −
=
15
32
A ; b. 





=
14
28
A ; c. 









−
=
631
402
231
A ; 
d. 










=
801
352
321
A ; e. 










−
−
=
214
315
121
A .