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APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo Capítulo 5: Transformações Lineares CAPÍTULO 5: TRANSFORMAÇÕES LINEARES 5.1 DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES Definição 5.1: Sejam )K,,,(V1 ⋅+ e )K,,,(V2 ⋅+ dois espaços vetoriais. Uma função 21 VV →:T é uma transformação linear se, e somente se, satisfaz as seguintes propriedades: 1. )()()( vuvu TTT +=+ , para quaisquer Vvu, ∈ , (aditividade); e 2. )()( uu TT αα = , para qualquer Vu ∈ e qualquer K∈α (homogeneidade). O caso de interesse é quando os dois espaços têm dimensão finita: n=)dim( 1V e m=)dim( 2V . Para esta situação especial, basta considerar as transformações mn RR →:T . Então, uma função mn RR →:T é uma transformação linear se, e somente se, satisfaz as seguintes propriedades: 1. )()()( vuvu TTT +=+ , para quaisquer nRvu, ∈ , (aditividade); e 2. )()( uu TT αα = , para qualquer nRu ∈ e qualquer R∈α (homogeneidade). Exemplo 5.1: Considere a transformação 32 RR →:T definida por + = yx x y y x T 2 , para todo 2R∈ y x . Esta transformação é linear pois + = + + + = +++ + + = + + = + 2 2 1 1 22 2 2 11 1 1 2121 21 21 21 21 2 2 1 1 22 )(2 y x T y x T yx x y yx x y yyxx xx yy yy xx T y x y x T e = + = + = = 1 1 11 1 1 11 1 1 1 1 1 1 22 y x T yx x y yx x y y x T y x T αα αα α α α α α . Exemplo 5.2: Considere a transformação 22 RR →:T definida por + = y x y x T 1 , para todo 2R∈ y x .Esta transformação não é linear pois, por exemplo, ela não possui a propriedade da homogeneidade = + ≠ + = = y x T y x y x y x T y x T αα α α α α α 11 , se 0≠α . Também, pode ser verificado que esta transformação não possui a propriedade da aditividade. Propriedade 5.1: Uma transformação linear mn RR →:T satisfaz as seguintes propriedades: 1. )()()( vuvu TTT βαβα +=+ , para quaisquer nRvu, ∈ e quaisquer R∈βα , , (princípio de superposição); APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo Capítulo 5: Transformações Lineares 2. 00 =)(T ; 3. como casos particulares da primeira propriedade, tem-se que )()( uu TT −=− e )()()( vuvu TTT −=− , para quaisquer 1Vvu, ∈ . Propriedade 5.2: Seja mn RR →:T uma transformação linear. Então uAu =)(T , para todo nRx ∈ , onde A é a matriz de ordem nm × formada por [ ])()()( n21 eeeA TTT L= , sendo { } == 1 0 0 ,, 0 1 0 , 0 0 1 M L MM K n21 e,,e,eB a base canônica de nR . A matriz A é denominada a matriz canônica da transformação T . Prova: Se nRu ∈ = nu u u M 2 1 , então n21 eeeu nn n uuuuuu u u u +++= ++ + = = L M L MMM 2121 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 , e, pela linearidade da transformação T, tem-se que [ ] =+++= n n u u u TTTTuTuTuT M LL 2 1 21 )()()()()()()( n21n21 eeeeeeu . Observação importante: A prova anterior permite estabelecer que se uma transformação mn RR →:T é linear, então ela é da forma = +++ +++ +++ = nmnmm n n nnmmm nn nn n u u u aaa aaa aaa uauaua uauaua uauaua u u u T M L MOMM L L L M L L M 2 1 21 22221 11211 2211 2222121 1212111 2 1 , sendo = 1 21 11 )( ma a a T M 1e , = 2 22 12 )( ma a a T M 2e , K , = nm n n a a a T M 2 1 )( ne . Logo, toda transformação mn RR →:T linear tem sempre a forma uAu =)(T , para certa matriz nm×A . APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo Capítulo 5: Transformações Lineares Exemplo 5.3: Considere a transformação 32 RR →:T definida por + = yx x y y x T 2 . Foi visto que esta é uma transformação linear. Observe que + + = = 1 0 0 2 1 1 0 1 0 0 1 0 2 1 0 0 1 T e + + = = 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 T . Assim, a matriz canônica de T é = 1 0 1 2 1 0 A . Observação: a propriedade anterior permite afirmar que toda transformação linear mn RR →:T pode ser escrita na forma Para brevidade da construção da matriz canônica da transformação linear, pode-se observar que = + + + = + = y x yx yx yx yx x y y x T 12 01 10 12 01 10 2 , ou seja, para conseguir a matriz canônica de y x T , basta considerar os coeficientes de x e y em cada componente de y x T . Propriedade 5.3: O procedimento descrito na propriedade anterior pode ser estendido para outras bases em nR e mR , como segue: Seja mn RR →:T uma transformação linear. Considere a base { }n21 v,,v,v K=1B de nR e a base { }m21 w,,w,w K=2Bde mR . Suponha que m21n m212 m211 wwwv wwwv wwwv mnnn m m aaaT aaaT aaaT +++= +++= +++= L M L L 21 22212 12111 )( )( )( Então, verifica-se que [ ] 2BB (u)u 1 T aaa aaa aaa T mnmm n n = L MOMM L L 21 22221 11211 )]([ . A matriz [ ] = mnmm n n aaa aaa aaa L MOMM L L 21 22221 11211 , 21 BBA é denominada a matriz da transformação T em relação às bases 1B e 2B . Exemplo 5.4: APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo Capítulo 5: Transformações Lineares Considere a transformação 32 RR →:T definida por + = yx x y y x T 2 . Também considere as bases = 0 1 , 1 1 1B de 2R e = , 1 0 0 , 1 1 0 , 1 1 1 2B . Procede-se ao cálculo da matriz [ ] 21 BBA , . Primeiro, transformam-se os vetores da base = 0 1 , 1 1 1B e calculam-se, neste exemplo, por simples inspeção, as coordenadas destes na base = , 1 0 0 , 1 1 0 , 1 1 1 2B : + + = = 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 2 1 0 0 1 T e + −+ = = 1 0 0 1 1 1 0 )1( 1 1 1 1 1 0 1 1 0 T . Assim, arranjando as respectivas coordenadas em colunas, observa-se facilmente que [ ] −= 1 1 1 1 1 0 , 21 BBA . 5.2 NÚCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR Definição 5.2: Sejam )K,,,(V1 ⋅+ e )K,,,(V2 ⋅+ dois espaços vetoriais, e 21 VV →:T uma transformação linear. 1. O núcleo da transformação T está dado pelo conjunto { }0(u)Vu =∈=≡ TTTN :)(Ker)( 1 . 2. A imagem da transformação T está dado pelo conjunto { }1Vu:(u) ∈= TVT )( 1 . Propriedade 5.4: Sejam )K,,,(V1 ⋅+ e )K,,,(V2 ⋅+ dois espaços vetoriais, e 21 VV →:T uma transformação linear. 1. O núcleo { }0(x)x =∈= TVTN :)( 1 é um subespaço de 1V . 2. A imagem { }1Vx:(x) ∈= TVT )( 1 é um subespaço de 2V . O núcleo e a imagem de uma transformação linear mn RR →:T podem ser caracterizados mediante a matriz canônica nm×A . Propriedade 5.5: Seja mn RR →:T uma transformação linear com matriz canônica A . O núcleo da transformação T , )(Ker T , é o espaço nulo da matriz A , ou seja, { }0AuRu n =∈= /)(Ker T . Então , para determinar o núcleo de transformação T , basta resolver o sistema homogêneo 0uA = e caracterizar seu conjunto solução. APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo Capítulo 5: Transformações Lineares Exemplo 5.5: Seja a transformação linear 43: RR →T cuja matriz canônica é − − − = 3 4 1 1 4 7 1 2 3 1 2 1 A . Então resolvendo o sistema homogêneo 0uA = , temos que a matriz aumentada e o processo de eliminação vai como segue − − → − − → − − − → − − − ↔− + − − − 0 0 0 0 0 6 3 1 0 0 5 2 0 0 0 1 0 0 0 0 6 0 3 1 0 0 5 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 3 3 1 10 5 5 2 0 0 0 1 0 0 0 0 3 4 1 1 4 7 1 2 3 1 2 1 43 LL2LL LL 3LL LL 2LL 24 23 14 13 12 que produz o sistema = = =− =+− ,00 ,06 ,035 ,02 z zy zyx cuja única solução é 0=== zyx . Assim, = 0 0 0 )(Ker T . Exemplo 5.6: Seja a transformação linear 43: RR →T cuja matriz canônica é − − − − = 3 4 1 1 4 7 1 2 3 1 2 1 A . Então resolvendo o sistema homogêneo 0uA = , temos que a matriz aumentada e o processo de eliminação vai como segue − − → − − − − → − − − − − + − − − 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 5 2 0 0 0 1 0 0 0 0 6 3 3 1 10 5 5 2 0 0 0 1 0 0 0 0 3 4 1 1 4 7 1 2 3 1 2 1 24 23 14 13 12 2LL LL 3LL LL 2LL que produz o sistema = = =− =+− ,00 ,00 ,035 ,02 zy zyx cuja solução pode ser obtida considerando z como parâmetro livre, temos que zy 53= e zzyx 512 =−= . Então a solução pode ser escrita como = = 1 5 3 5 1 5 3 5 1 z z z z z y x . Assim, ∈ = RzzT / 1 )(Ker 53 5 1 , que é um subespaço de dimensão 1 de 3R (uma reta que passa pela origem). APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo Capítulo 5: Transformações Lineares Exemplo 5.7: Seja a transformação linear 43: RR →T cuja matriz canônica é − − − − − − = 3 2 1 1 6 4 1 2 3 2 1 1 A . Então resolvendo o sistema homogêneo 0uA = , temos que a matriz aumentada e o processo de eliminação vai como segue − → − − − − − − + − + 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 3 2 1 1 6 4 1 2 3 2 1 1 14 13 12 3LL 2LL LL que produz o sistema = = = =+− ,00 ,00 ,00 ,02 zyx cuja solução pode ser obtida considerando y e z como parâmetros livres, temos que zyx −= 2 . Então a solução pode ser escrita como − + = − = 1 0 1 0 1 22 zy z y zy z y x . Assim, ∈ − + = RzyzyT ,/ 1 0 1 0 1 2 )(Ker , que é um subespaço de dimensão 2 de 3R (um plano que passa pela origem). Propriedade 5.6: Seja mn RR →:T uma transformação linear commatriz canônica A . A imagem da transformação T , )(Im T , é o espaço coluna da matriz A . Então, para determinar a imagem de transformação T , temos que determinar uma base para os vetores do conjunto { }nRuuA ∈/ , mediante a imposição de condições de consistência para o sistema buA = , sendo b um vetor arbitrário de mR . Exemplo 5.8: Seja a transformação linear 43: RR →T cuja matriz canônica é − − − = 3 4 1 1 4 7 1 2 3 1 2 1 A . Considere, então, o sistema buA = com = d c b a b vetor arbitrário de 4R , temos que a matriz aumentada e o processo de eliminação vai como segue APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo Capítulo 5: Transformações Lineares −+ +− −− − → +− −+ −− − → − − −− − − → − − − ↔ − + − − − abc abd ab a abd abc ab a ad ac ab a d c b a 3 2 2 0 6 3 1 0 0 5 2 0 0 0 1 2 3 2 6 0 3 1 0 0 5 2 0 0 0 1 3 2 0 3 3 1 10 5 5 2 0 0 0 1 3 4 1 1 4 7 1 2 3 1 2 1 43 LL 2LL LL 3LL LL 2LL 24 23 14 13 12 Agora, observe que a condição de consistência (teorema do posto) impõe que 03 =−+ abc que caracteriza um sistema homogêneo de equações lineares (neste caso, apenas uma equação) com quatro incógnitas ( a , b , c e d ). Escolhendo como parâmetros livres as incógnitas b , c e d , temos que cbcba 31313 += + = . Então temos que + + = + = = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 3 1 3 1 3 1 3 1 dcb d c b cb d c b a b . Assim, a imagem da transformação T pode ser caracterizada como + + = reais,,/ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1)Im( 3 1 3 1 dcbdcbT , ou seja, como um subespaço de dimensão 3 de 4R , com base 1 0 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1 3 1 3 1 . Exemplo 5.9: Seja a transformação linear 43: RR →T cuja matriz canônica é − − − − = 3 4 1 1 4 7 1 2 3 1 2 1 A . Considere, então, o sistema buA = com = d c b a b vetor arbitrário de 4R , temos que a matriz aumentada e o processo de eliminação vai como segue +− −+ −− − → − − − − − − − → − − − − − + − − − abd abc ab a ad ac ab a d c b a 2 3 2 0 0 3 1 0 0 5 2 0 0 0 1 3 2 6 3 3 1 10 5 5 2 0 0 0 1 3 4 1 1 4 7 1 2 3 1 2 1 24 23 14 13 12 2LL LL 3LL LL 2LL APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo Capítulo 5: Transformações Lineares Agora, observe que a condição de consistência (teorema do posto) impõe que =+− =−+ ,02 ,03 abd abc ou =++− =++− ,02 ,03 dcba cba que caracteriza um sistema homogêneo de equações lineares com quatro incógnitas ( a , b , c e d ). A eliminação gaussiana com as equações permutadas produz − − → − − − + 0 0 3 1 4 1 8 2 0 1 0 0 0 1 1 1 2 2 3 1 12 3LL , Escolhendo como parâmetros livres as incógnitas c e d , temos que dcdcb 83218 34 −−= −− = e dcdcba 4722 −−=−−= . Então temos que − − + − − = −− −− = = 1 0 0 1 22 8 3 4 7 2 1 8 3 2 1 4 7 dc d c dc dc d c b a b . Assim, a imagem da transformação T pode ser caracterizada como − − + − − = reais,/ 1 0 0 1 2 )Im( 8 3 4 7 2 1 dcdcT , ou seja, como um subespaço de dimensão 2 de 4R , com base − − − − 1 0 , 0 1 2 8 3 4 7 2 1 . Exemplo 5.10: Seja a transformação linear 34: RR →T cuja matriz canônica é − − − − − = 14 5 4 5 1 7 2 3 8 3 2 1 A . Considere o vetor − −= 28 10 8 b . Queremos saber se o vetor b pertence à imagem de T . Isto significa que desejamos saber se existe um vetor = d c b a u tal que buA = . Consideramos a matriz aumentada de tal sistema e resolvemos por eliminação gaussiana: − −−− → − − −−− → − − −−− → − − − − − − − − − − 0 2 8 0 1 4 0 1 7 0 1 8 0 0 1 2 2 8 1 1 4 1 1 7 1 1 8 0 0 1 52 26 8 26 13 4 26 13 7 26 13 8 0 0 1 28 10 8 14 5 4 5 1 7 2 3 8 3 2 1 2LL L L 3LL 2LL 3 326 1 213 1 13 12 APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo Capítulo 5: Transformações Lineares e considerando c e d como parâmetros livres, temos que dcb −−−= 2 e dcdcba 484788 −−−=+++= ; de maneira que − − + − − + − − = −−− −−− = = 1 0 1 4 0 1 1 1 0 0 2 8 2 48 dc d c dc dc d c b a u , com c e d reais. Isto significa que todos os pontos do conjunto ∈ − − + − − + − − Rdcdc ,/ 1 0 1 4 0 1 1 1 0 0 2 8 tem como imagem o vetor − −= 28 10 8 b . Assim, o vetor − −= 28 10 8 b pertence à imagem de T . Propriedade 5.7: Seja mn RR →:T uma transformação linear. Então 1. T é injetora se, e somente se, { }0=)Ker(T , ou seja, a única solução do sistema homogêneo 0uA = é 0u = ; e 2. T é sobrejetora se, e somente se, o sistema buA = é consistente para qualquer mRb ∈ . Propriedade 5.8: Seja nn RR →:T uma transformação linear com matriz canônica nn×A . Então as seguintes afirmações são equivalentes: 1. T é injetora; 2. { }0=)Ker(T ; 3. T é sobrejetora; 4. buA = é consistente para qualquer nRb ∈ ; 5. 0)det( ≠A ; 6. os vetores coluna de A são linearmente independentes (formam uma base de nR ); 7. A possui inversa. 5.3 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Determine se as seguintes transformações são lineares ou não. Justifique sua resposta e em caso afirmativo determine a matriz que representa a transformação linear: a. 22 RR →:T definida por − = 0 x y x T ; b. 22 RR →:T definida por = 0 1 y x T ; c. 22 RR →:T definida por = 0 y y x T ; d. 32 RR →:T definida por = x y y y x T ; APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo Capítulo 5: Transformações Lineares e. 3RR →:T definida por [ ]( ) = 1 x x xT ; f. RR →3:T definida por [ ]zyx z y x T ++= . 2. Encontre a matriz canônica de cada transformação linear a seguir: a. [ ]( ) − = x x xT 0 ; b. [ ]z z y x T = ; c. − ++− ++ = zy zyx zyx z y x T 32 ; d. − += yx yx x y x T . 3. Encontre a matriz de cada transformação linear em relação às bases 1B e 2B a seguir: a. [ ]( ) − = x x xT 0 ¸ { }]1[1 =B , = 1 0 0 , 1 1 0 , 1 1 1 2B ; b. [ ]z z y x T = , = 0 0 1 , 0 1 1 , 1 1 1 1B , { }]1[2 −=B ; c. − ++− ++ = zy zyx zyx z y x T 32 , = 1 0 0 , 1 1 0 , 1 1 1 1B , = 0 0 1 , 0 1 1 , 1 1 1 2B ; d. − += yx yx x y x T , − = 1 1 , 1 1 1B = 1 0 0 , 1 1 0 , 1 1 1 2B . 4. Determine, se possível, todos os vetores u tais que bu =)(T , sendo T a transformação linear cuja matriz canônica é a. − −= 352 310 021 A e −= 3 1 1 b ; b. − −= 352 310 021 A e = 1 1 2 b ; c. −− − = 0 7 5 5 4 0 1 2 2 2 3 1 A e = 7 0 4 b ; d. −− − = 0 7 5 5 4 0 1 2 2 2 3 1 A e − = 1 2 3 b . 5. Determine a matriz canônica da transformação linear T tal que a. = 0 2 1 0 1 T e − = 1 1 0 1 0 T ; b. = 0 2 1 1 1 T e − = 1 1 0 1 0 T ; APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo Capítulo 5: Transformações Lineares c. = 0 2 1 0 0 1 T , −= 0 1 1 0 1 0 T e = 1 0 1 1 0 0 T ; d. = 0 2 1 1 1 1 T , −= 0 1 1 1 1 0 T e = 1 0 1 1 0 0 T . 5. Determine o núcleo e a imagem das transformações lineares cujas matrizes canônicas são dadas a seguir a. = 22 11 A ; b. − −= 711 112 201 A ; c. − −− − = 444 321 321 A ; d. −− − = 0 7 5 5 4 0 1 2 2 2 3 1 A ; e. − − − = 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 A ; f. − = 1 1 1 2 1 1 A . 6. Diga, justificando, se a transformação linear representada pela matriz é injetora e/ou bijetora a. − = 15 32 A ; b. = 14 28 A ; c. − = 631 402 231 A ; d. = 801 352 321 A ; e. − − = 214 315 121 A .
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