APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo Capítulo 6: Semelhança, Diagonalização e Autovalores

Prévia do material em texto

APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 6: Semelhança, Diagonalização e Autovalores 
2. Para cada uma das matrizes a seguir, encontre os autovalores e os autovetores associados a cada 
autovalor. Determine se a matriz é diagonalizável, e em caso afirmativo, determine a matriz diagonal 
D e a matriz invertível P tal que PAPD 1−= . 
a. 










−
−
=
322
012
021
A b. 










−
−
=
011
101
110
A ; c. 









 −
=
300
030
202
A ; 
d. 










−
−
−−
=
313
043
241
A ; e. 










=
510
051
005
A ; f. 












−−
−
=
3000
0300
5520
0002
A ; 
g. 










=
000
011
011
A ; h. 










−−
−−
−−
=
211
121
112
A ; i. 












=
0000
0000
0031
0013
A . 
3. Utilize o processo de ortogonalização para obter uma base ortonormal a partir da base dada: 
a. 


















−
=
2
2
,
3
1
B ; b. 












−






=
5
3
,
0
1
B ; c. 






























−









=
1
4
0
,
2
7
3
,
0
0
1
B ; 
d. 








































−=
0
0
1
,
0
1
2
,
1
1
1
B ; e. 



















−









−










=
1
1
1
,
1
0
1
,
2
1
0
B ; f. 






































−
























=
1
3
0
1
,
2
1
1
0
,
0
2
1
1
,
0
1
2
1
B . 
6.6 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. 
a. 





=
23
11
A , 





−
=
23
01
B não são semelhantes porque tem determinantes diferentes; 
b. 




 −
=
42
14
A , 





=
42
14
B não são semelhantes porque tem determinantes diferentes; 
c. 










=
100
210
321
A , 










=
100
01
021
2
1B
 não são semelhantes porque tem determinantes diferentes; 
d. 










=
303
202
101
A , 










=
110
022
011
B
 não são semelhantes pois possuem polinômios característicos 
diferentes. 
2. 
APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 6: Semelhança, Diagonalização e Autovalores 
a. 










−
−
=
322
012
021
A , 935)( 233 −−+−= λλλλp , 11 −=λ simples com autovetor associado 










−
−
=
1
1
1
1v , 32 =λ duplo com autovetores associados 









−
=
0
1
1
2v e 










=
1
0
0
3v ; A é diagonalizável 
com 










=
3
3
1
D
00
00
00
 e 










−
−−
=
111
011
011
P ; 
b. 










−
−
=
011
101
110
A , 23)( 33 −+−= λλλp , 21 −=λ simples com autovetor associado 










−
−
=
1
1
1
1v , 
12 =λ duplo com autovetores associados 










=
1
0
1
2v e 









−
=
0
1
1
3v ; A é diagonalizável com 









−
=
1
1
2
D
00
00
00
 e 










−
−−
=
011
101
111
P ; 
c. 









 −
=
300
030
202
A , 18218)( 233 +−+−= λλλλp , 21 =λ simples com autovetor associado 










=
0
0
1
1v , 32 =λ duplo com autovetores associados 









−
=
1
0
2
2v e 










=
0
1
0
3v ; A é diagonalizável 
com 










=
3
3
2
D
00
00
00
 e 









 −
=
010
100
021
P ; 
 
d. 










−
−
−−
=
313
043
241
A , 6116)( 233 +−+−= λλλλp , 11 =λ simples com autovetor associado 










=
1
1
1
1v , 22 =λ simples com autovetor associado 










=
3
3
2
2v , 33 =λ simples com autovetor 
associado 










=
4
3
1
3v ; A é diagonalizável com 










=
3
2
1
D
00
00
00
 e 










=
431
331
121
P ; 
 
APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 6: Semelhança, Diagonalização e Autovalores 
e. 










=
510
051
005
A , 3233 )5(1257515)( λλλλλ −=+−+−=p , 51 =λ triplo com um autovetor 
associado 










=
1
0
0
1v , A não é diagonalizável; 
 
f. 












−−
−
=
3000
0300
5520
0002
A , 224 )3()2()( λλλ −+=p , 21 −=λ duplo com autovetores associados 












=
0
0
0
1
1v e 












=
0
0
1
0
2v , 32 =λ duplo com autovetores associados 












=
0
1
1
0
3v e 












−
=
1
0
1
0
4v ; A é 
diagonalizável com 












−
−
=
3
3
2
2
D
000
000
000
000
 e 












−
=
1000
0100
1110
0001
P ; 
g. 










=
000
011
011
A , 233 2)( λλλ +−=p , 21 =λ simples com autovetor associado 










=
0
1
1
1v , 02 =λ 
duplo com autovetores associados 









−
=
0
1
1
2v e 










=
1
0
0
3v ; A é diagonalizável com 










=
0
0
2
D
00
00
00
 
e 









 −
=
100
011
011
P ; 
h. 










−−
−−
−−
=
211
121
112
A , λλλλ 96)( 233 −+−=p , 01 =λ simples com autovetor associado 










=
1
1
1
1v , 
32 =λ duplo com autovetores associados 









−
=
1
0
1
2v e 









−
=
0
1
1
3v ; A é diagonalizável com 










=
3
3
0
D
00
00
00
 e 









 −−=
011
101
111
P ; 
APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 6: Semelhança, Diagonalização e Autovalores 
i. 












=
0000
0000
0031
0013
A , )4)(2()( 24 λλλλ −−=p , 01 =λ duplo com autovetores associados 












=
0
1
0
0
1v e 












=
1
0
0
0
2v , 22 =λ simples com autovetor associado 











−
=
0
0
1
1
3v e 43 =λ simples com autovetor 
associado 












=
0
0
1
1
4v ; A é diagonalizável com 












=
4
2
0
0
D
000
000
000
000
 e 











 −
=
0010
0001
1100
1100
P ; 
3. Utilize o processo de ortogonalização para obter uma base ortonormal a partir da base dada: 
 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 6: Semelhança, Diagonalização e Autovalores 
f. .