Tabela básica de Fórmulas de Geometria Analítica

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Tabela de Fórmulas de Geometria Analítica 
Vetores no plano 
Forma algébrica de um vetor 
 
𝑣 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 
Forma analítica de um vetor 
 
𝑣 = (𝑥, 𝑦) 
Versor de um vetor 
𝑣 =
𝑣
|𝑣|
 
Operações com vetores 
𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥1; 𝑦1) e 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥2; 𝑦2) 
𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥1 + 𝑥2; 𝑦1 + 𝑦2) 
𝛼𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝛼𝑥1; 𝛼𝑦1) 
 
Vetor definido por dois pontos 
 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴 
Paralelismo de vetores 
 
Se �⃗⃗�//𝑣 ⇒ �⃗⃗� = 𝛼𝑣 ou 
�⃗⃗� × 𝑣 = 0⃗⃗ 
Ponto médio 
𝑀 = (
𝑥1 + 𝑥2
2
;
𝑦1 + 𝑦2
2
) 
 
Distância entre dois pontos 
 
𝑑(𝐴, 𝐵) = |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ | = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 
Módulo de um vetor 
|�⃗⃗�| = √𝑥2 + 𝑦2 
 
Vetores no Espaço 
Forma algébrica de um vetor 
 
𝑣 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧�⃗⃗� 
Forma analítica de um vetor 
 
𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) 
Versor de um vetor 
𝑣 =
𝑣
|𝑣|
 
Operações com vetores 
 
𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥1; 𝑦1; 𝑧1) e 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥2; 𝑦2; 𝑧2) 
𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥1 + 𝑥2; 𝑦1 + 𝑦2; 𝑧1 + 𝑧2) 
𝛼𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝛼𝑥1; 𝛼𝑦1; 𝛼𝑧1) 
 
Vetor definido por dois pontos 
 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴 
Paralelismo de vetores 
 
Se �⃗⃗�//𝑣 ⇒ �⃗⃗� = 𝛼𝑣 ou 
�⃗⃗� × 𝑣 = 0⃗⃗ 
 
2 
 
Ponto médio 
𝑀 = (
𝑥1 + 𝑥2
2
;
𝑦1 + 𝑦2
2
;
𝑧1 + 𝑧2
2
) 
 
Distância entre dois pontos 
 
𝑑(𝐴, 𝐵) = |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ | = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑧2 − 𝑧1)2 
Produto escalar 
 
�⃗⃗� ∙ 𝑣 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑦1 ⋅ 𝑦2 + 𝑧1 ⋅ 𝑧2 
Ângulo entre dois vetores 
 
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
�⃗⃗⃗�⋅�⃗⃗�
|�⃗⃗⃗�|⋅|�⃗⃗�|
 ou 
 
|�⃗⃗� × 𝑣| = |�⃗⃗�||𝑣|𝑠𝑒𝑛𝜃 
 
 
Cossenos diretores 
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝑥
|�⃗⃗�|
 c𝑜𝑠𝛽 =
𝑦
|�⃗⃗�|
 c𝑜𝑠𝛾 =
𝑧
|�⃗⃗�|
 
 
𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2𝛾 = 1 
Área do paralelogramo 
 
𝑨 = |�⃗⃗� × 𝑣| 
 
 
Produto Vetorial 
 
�⃗⃗� × 𝑣 = |
𝑖 𝑗 �⃗⃗�
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
| ou 
 
�⃗⃗� × 𝑣 = |
𝑦1 𝑧1
𝑦2 𝑧2
| 𝑖 − |
𝑥1 𝑧1
𝑥2 𝑧2
| 𝑗 + |
𝑥1 𝑦1
𝑥2 𝑦2
| �⃗⃗� 
 
Produto Misto 
 
�⃗⃗� ⋅ (𝑣 × �⃗⃗⃗�) = |
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
𝑥3 𝑦3 𝑧3
| 
 
Volume do paralelepípedo 
 
𝑉 = |�⃗⃗� ⋅ (𝑣 × �⃗⃗⃗�)| 
 
Volume do tetraedro 
 
𝑉 =
1
6
|�⃗⃗� ⋅ (𝑣 × �⃗⃗⃗�)| 
 
 
Módulo de um vetor 
 
|�⃗⃗�| = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 
 
 
 
 
 
3 
 
Reta 
Equação Vetorial da reta 
 
𝑃 = 𝐴 + 𝑡 ⋅ 𝑣 ou 
(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (𝑥1; 𝑦1; 𝑧1) + 𝑡 ⋅ (𝑎, 𝑏, 𝑐) 
 
Equações paramétricas da reta 
 
{
𝑥 = 𝑥1 + 𝑎𝑡
𝑦 = 𝑦1 + 𝑏𝑡
𝑧 = 𝑧1 + 𝑐𝑡
 
 
Equações simétricas da reta 
 
𝑥 − 𝑥1
𝑎
=
𝑦 − 𝑦1
𝑏
=
𝑧 − 𝑧1
𝑐
 
 
Equações reduzidas da reta 
 
{
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑧 = 𝑓(𝑥)
 
Ângulo entre duas retas 
 
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
|𝑣1 ⋅ 𝑣2|
|𝑣1| ⋅ |𝑣2|
 𝑐𝑜𝑚 0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
𝑟𝑎𝑑 
 
Retas ortogonais 
 
𝑟1 ⊥ 𝑟2 ⇒ �⃗�1 ⋅ �⃗�2 = 0 
 
 
Reta ortogonal a duas retas 
 
{
𝑣 ⋅ 𝑣1 = 0
𝑣 ⋅ 𝑣2 = 0
 ou 𝑣 = 𝑣1 × 𝑣2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
Plano 
Equação geral do plano 
 
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 + 𝒅 = 𝟎, 
com 𝑑 = −𝑎𝑥1 − 𝑏𝑦1 − 𝑐𝑧1 
 
Equação vetorial do plano 
 
𝑃 = 𝐴 + ℎ�⃗⃗� + 𝑡𝑣 𝑜𝑢 
(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (𝑥1; 𝑦1; 𝑧1) + ℎ(𝑎1; 𝑏1; 𝑐1) + 𝑡(𝑎2; 𝑏2; 𝑐2) 
Equações paramétricas do plano 
 
{
𝑥 = 𝑥1 + 𝑎1ℎ + 𝑎2𝑡
𝑦 = 𝑦1 + 𝑏1ℎ + 𝑏2𝑡
𝑧 = 𝑧1 + 𝑐1ℎ + 𝑐2𝑡
 
Ângulo entre dois planos 
 
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
|�⃗⃗�1 ⋅ �⃗⃗�2|
|�⃗⃗�1| ⋅ |�⃗⃗�2|
, 0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
 
 
Planos perpendiculares 
 
𝜋1 ⊥ 𝜋2 ⇔ �⃗⃗�1 ⊥ �⃗⃗�2 ⇔ �⃗⃗�1 ⋅ �⃗⃗�2 = 0 
 
Paralelismo e perpendicularismo entre 
reta e plano 
𝑟//𝜋 ⇔ 𝑣 ⊥ �⃗⃗� ⇔ �⃗⃗� ⋅ 𝑣 = 0 
𝑟 ⊥ 𝜋 ⇔ 𝑣//�⃗⃗� ⇔ 𝑣 = 𝛼�⃗⃗� 
 
 
Parábola 
Equações reduzidas 
 
𝑥2 = 2𝑝𝑦 
 
𝑦2 = 2𝑝𝑥 
 
Fórmulas de translação 
 
𝑥′ = 𝑥 − ℎ 
 
𝑦′ = 𝑦 − 𝑘 
Outras fórmulas da parábola 
𝑥′
2
= 2𝑝𝑦′ 
(𝑥 − ℎ)2 = 2𝑝(𝑦 − 𝑘) 
 
𝑦′
2
= 2𝑝𝑥′ 
(𝑦 − 𝑘)2 = 2𝑝(𝑥 − ℎ) 
 
Equações paramétricas da parábola 
 
{
𝑥 = 𝑡
𝑦 =
1
2𝑝
𝑡2 ou {
𝑥 =
1
2𝑝
𝑡2
𝑦 = 𝑡
 
 
 
 
5 
 
Elipse 
Equações reduzidas da elipse 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 
 
𝑥2
𝑏2
+
𝑦2
𝑎2
= 1 
 
 
Outras formas da Equação da Elipse 
𝑥′
2
𝑎2
+
𝑦′
2
𝑏2
= 1 ⇒ 
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
= 1 
 
𝑥′
2
𝑏2
+
𝑦′
2
𝑎2
= 1 ⇒ 
(𝑥 − ℎ)2
𝑏2
+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑎2
= 1 
Equações paramétricas da elipse 
{
𝑥 = 𝑎 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 = 𝑏 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝜃
 
 
{
𝑥 = 𝑏 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 = 𝑎 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝜃
 
 
{
𝑥 = ℎ + 𝑎 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 = 𝑘 + 𝑏 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝜃
 
 
{
𝑥 = ℎ + 𝑏 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 = 𝑘 + 𝑎 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝜃
 
 
Hipérbole 
Equações reduzidas 
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1 
 
𝑦2
𝑎2
−
𝑥2
𝑏2
= 1 
 
Outras Formas da equação da hipérbole 
𝑥′2
𝑎2
−
𝑦′2
𝑏2
= 1 ⇒ 
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
−
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
= 1 
 
𝑦′2
𝑎2
−
𝑥′2
𝑏2
= 1 ⇒ 
(𝑦−𝑘)2
𝑎2
−
(𝑥−ℎ)2
𝑏2
= 1 
 
Equações paramétricas 
{
𝑥 = 𝑎 ⋅ 𝑠𝑒𝑐𝜃
𝑦 = 𝑏 ⋅ 𝑡𝑔𝜃
 
 
{
𝑥 = 𝑏 ⋅ 𝑡𝑔𝜃
𝑦 = 𝑎 ⋅ 𝑠𝑒𝑐𝜃
 
 
{
𝑥 = ℎ + 𝑎 ⋅ 𝑠𝑒𝑐𝜃
𝑦 = 𝑘 + 𝑏 ⋅ 𝑡𝑔𝜃
 
{
𝑥 = ℎ + 𝑏 ⋅ 𝑡𝑔𝜃
𝑦 = 𝑘 + 𝑎 ⋅ 𝑠𝑒𝑐𝜃