GE Geometria Espacial

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Prof. Rajane G Weber
C.A. João XXIII - UFJF
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Introdução
A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliação da Geometria plana (euclidiana) e trata dos métodos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relação entre esses elementos. 
Os objetos primitivos do ponto de vista espacial, são: pontos, retas, segmentos de retas, planos, curvas, ângulos e superfícies. 
Tomaremos ponto, reta e plano como conceitos primitivos, os quais serão aceitos sem definição.
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Um pouco de História
O estudo da geometria espacial pelos povos da mesopotâmia (região situada no Oriente Médio, no vale dos rios Tigre e Eufrates) é datada desde, aproximadamente, dois mil anos antes de Cristo e todo o conhecimento que temos hoje se baseiam em documentos de denominamos papiros. 
Dentre os principais podemos citar o “papiro de Rhind” e o “papiro de Moscou”. 
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“PAPIRO DE MOSCOU”
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“PAPIRO DE RHIND 
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Fundamentos
O espaço É o marco físico que nos rodeia e em que vivemos. Uma casa, uma poltrona e uma maçã, por exemplo, não são corpos geométricos, mas estão no espaço. Os prismas, as pirâmides, o cilindro e a esfera são corpos geométricos  no espaço. 
Em Geometria, o espaço é um conjunto ilimitado de pontos. Nesse espaço consideram-se três dimensões: comprimento, altura e largura.
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Entes Primitivos –Aceitos sem definição
Pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto  
Retas: letras minúsculas do nosso alfabeto 
 
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Planos: letras minúsculas do alfabeto grego 
Plano α (alfa)
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Espaço: é o conjunto de todos os pontos
que estão no plano e fora dele. 
Por exemplo, da figura a seguir, podemos escrever 
A
B
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Figuras Coplanares e Colineares
PONTOS
COPLANARES
Os pontos A,B,C estão no mesmo plano
PONTOS
COLINEARES
Os pontos P e Q estão sobre a mesma reta
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Posições relativas de duas retas
Se as retas são Coplanares:
Concorrentes
Paralelas Distintas
Ou
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 Perpendiculares
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Posições relativas de duas retas
Se as retas não são coplanares
Reversas
Ortogonais
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Posições relativas de dois planos
Coincidentes
 Concorrentes
Ou
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Verificação 1
 A
B
C
D
 E
F
G
H
 I
J
1)Observando a figura,identifique que ente geométrico se refere :
 A,B,C,D,E,...J
AB, CD, EF,AI,BJ ...
ABCD, ABIJ
2) Verifique se as retas são paralelas,concorrentes ou reversas:
a)EF e CD c) BC e BJ
b)EF e AD d) AB e HG
 
 Pense Bem!!
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Verificação 2
Considere a figura e responda com V ou F:
A
B
C
D
 E
F
G
H
AB//DC b) DC//HG c) EF//FG d) CB e HE são reversas
e) CF e HE são reversas f) DB e AC são concorrentes
g)AB e EF são coplanares h) DB e HF são coplanares
i) A e C são colineares j) H e G são colineares e coplanares 
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Sólidos Geométricos
Duas caixas de madeira serão construídas com as formas e medidas indicadas nas figuras.
30cm
30cm
30cm
50cm
40cm
40cm
30cm
Em qual delas será usada mais madeira?
Qual delas terá o espaço interno maior?
Problemas como este serão resolvidos com o estudo dos sólidos geométricos
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1- POLIEDROS
 Para saber mais sobre este tipo de sólido geométrico, clique no sólido ao lado.
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VÍDEO SOBRE POLIEDRO 1
POLIEDROS DE PLATÃO
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VÍDEOS SOBRE POLIEDROS
QUADRADO ,CUBO & Cia
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PRISMAS
 Sejam α e β dois planos paralelos distintos, uma reta r secante a esses planos e uma região poligonal convexa A1A2A3...An contida em α. Consideremos todos os segmentos de reta, paralelos a r, de modo que cada um deles tenha um extremo pertencente à região poligonal e o outro extremo pertencente a β: 
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ELEMENTOS DO PRISMA
bases (polígonos); 
faces (paralelogramos); 
arestas das bases (lados das bases); 
arestas laterais (lados das faces que não pertencem às bases); 
vértices (pontos de encontro das arestas); 
altura (distância entre os planos das bases). 
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TIPOS DE PRISMA
.As arestas laterais têm o mesmo comprimento. .
As arestas laterais são perpendiculares ao plano da base. .
As faces laterais são retangulares. 
Prisma reto 
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TIPOS DE PRISMA
As arestas laterais têm o mesmo comprimento. 
As arestas laterais são oblíquas ao plano da base. 
As faces laterais não são retangulares. 
Prisma oblíquo 
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Nomenclatura
São nomeados de acordo com o polígono da sua base:
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Classificação
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Prisma Regular 
 É um prisma reto cujas bases são regiões poligonais regulares. 
 
 Exemplo: 
 Um prisma triangular regular é um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero. 
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Paralelepípedo Reto-Retângulo 
Todo prisma reto cujo polígono das bases são retângulos é chamado de paralelepípedo reto-retângulo.
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Medida de uma diagonal de um paralelepípedo reto-retângulo Consideramos um paralelepípedo reto-retângulo, que tem as dimensões, comprimento, largura e altura, sejam as medidas a, b e c. Sejam d e D as medidas de uma diagonal da base e de uma diagonal do 
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Continuação
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo A1A8A6 , temos:
 
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Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo A5A8A6, temos:
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Finalizado:
Substituindo (II) em (I), temos: