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5 Varia´veis aleato´rias discretas
5.1 Introduc¸a˜o
Definic¸a˜o 1 Uma varia´vel aleato´ria (v.a.) discreta X e´ uma func¸a˜o real cujo domı´nio e´ o
espac¸o amostral e sua imagem e´ um conjunto finito ou infinito enumera´vel de valores.
X : Ω→ <
Exemplos:
a) O nu´mero de caras em n lanc¸amentos de uma moeda.
b) O nu´mero de pec¸as defeituosas a cada hora de produc¸a˜o.
5.2 Func¸a˜o de distribuic¸a˜o de probabilidade
Definic¸a˜o 2 A func¸a˜o pX(x) que atribui a cada valor da varia´vel aleato´ria sua probabilidade
e´ denominada de func¸a˜o de probabilidade. Notac¸a˜o:
P (X = xi) = p(xi) = pi, i = 1, 2, 3, ...
Tambe´m e´ usual apresenta´-la em forma de tabela:
X x1 x2 ...
pi p1 p2 ...
Importante: Uma func¸a˜o de probabilidade satisfaz as seguintes condic¸o˜es:
(i) 0 ≤ p(xi) ≤ 1;
(ii)
∑
i p(xi) = 1.
Exemplo 1 Descreva o comportamento da varia´vel aleato´ria C que conta o nu´mero de caras
em dois lanc¸amentos de uma moeda.
Espac¸o amostral: Ω = {caca, caco, coca, coco}
Varia´vel aleato´ria discreta C:
C=c 0 1 2
pC(c)
1
4
1
2
1
4
5.3 Func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de probabilidade (fda)
Definic¸a˜o 3 A func¸a˜o de distibuic¸a˜o acumulada de probabilidade de uma v.a.d. X e´ definida
por
FX(x) = P (X ≤ x), para todo x ∈ <.
Exemplo 2 Represente a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de probabilidade do exemplo 1.
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5.3.1 Propriedades da func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada:
(i) limx→−∞ FX(x) = 0 e limx→∞ FX(x) = 1;
(ii) FX(x) e´ cont´ınua a direita, isto e´, limx→a+ FX(x) = FX(a+) ;
(iii) FX(x) e´ na˜o decrescente, isto e´, ∀x, y ∈ <, se x < y, enta˜o FX(x) ≤ FX(y);
(iv) Se a < b, enta˜o P (a < X ≤ b) = FX(b)− FX(a);
(v) A partir da fda, podemos achar sua func¸a˜o de probabilidade: pX(x) = FX(x)− FX(x−).
Definic¸a˜o 4 A me´dia, valor esperado ou esperanc¸a matema´tica de uma v.a. X e´ dada por
E(X) =
∑
xi∈RX
xip(xi), em que RX = {x1, x2, x3, ...}.
Definic¸a˜o 5 A variaˆncia de uma v.a.d. X e´ dada por
V ar(X) =
∑
xi∈RX
[xi − E(X)]2p(xi).
A variaˆncia (me´dia ponderada dos valores [xi − E(X)]2), tambe´m, pode ser calculada por
V ar(X) = E{[X − E(X)]2} = E(X2)− [E(X)]2.
Desvio padra˜o: DP (X) =
√
V ar(X)
Coeficiente de variac¸a˜o: CV (X) =
DP (X)
E(X)
Exemplo 3 Determine o valor esperado, a variaˆncia e o desvio padra˜o do exemplo 1.
Exemplo 4 O tempo T , em minutos, necessa´rio para um opera´rio processar certa pec¸a e´
uma v.a. com a seguinte distribuic¸a˜o de probabilidade.
t 2 3 4 5 6 7
P (T = t) 0, 1 p 3p 0, 2 0, 2 0, 1
a) Qual e´ o valor de p?
b) Determine o tempo me´dio de processamento.
c) Fac¸a o gra´fico da func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de probabilidade.
d) Qual e´ a probabilidade de processamento da pec¸a demorar pelo menos 4, 5 minutos?
e) A probabilidade de processamento da pec¸a demorar no ma´ximo 3 minutos?
Exemplo 5 Considere a v.a. X que indica o tempo em horas exigido para um psico´logo
ganhar a confianc¸a de um paciente. A seguinte func¸a˜o de distribuic¸a˜o de probabilidade foi
proposta por
f(t) =
t
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, para t = 1, 2 ou 3.
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a) A func¸a˜o de distribuic¸a˜o de probabilidade esta´ correta?
b) Qual e´ a probabilidade de que se leve pelo menos 2 horas para ganhar a confianc¸a de um
paciente?
c) Qual e´ o tempo me´dio para ganhar confianc¸a?
d) Determine o desvio padra˜o.
Definic¸a˜o 6 Se X e´ uma v.a.d. com func¸a˜o de probabilidade pX(x), a esperanc¸a matema´tica
da func¸a˜o h(x) e´ dada por
E(h(X)) =
∑
x
h(x)pX(x).
5.3.2 Propriedades da esperanc¸a matema´tica:
Seja X uma v.a.d. com func¸a˜o de probabilidade e a, b ∈ < (constantes reais quaisquer), enta˜o
(i) E(a) = a;
(ii) E(X + a) = E(X) + a;
(iii) E(bX) = bE(X);
(iv) E(a+ bX) = bE(X) + a.
5.3.3 Propriedades da variaˆncia:
Seja X uma v.a.d. com func¸a˜o de probabilidade e a, b ∈ < (constantes reais quaisquer), enta˜o
(i) V ar(a) = 0;
(ii) V ar(X + a) = V ar(X);
(iii) V ar(bX) = b2V ar(X);
(iv) V ar(a+ bX) = b2V ar(X).
Exemplo 6 Seja T uma v.a.d. com a func¸a˜o de probabilidade dada por
a) Encontre a func¸a˜o de probabilidade da v.a. Y = T + 2.
t 2 3 4 5 6 7
P (T = t) 0, 1 0, 1 0, 3 0, 2 0, 2 0, 1
b) Qual e´ o valor esperado da v.a. Y ?
Exemplo 7 Mostre que:
a) V ar(X) = E[X − E(X)]2 = E(X2)− [E(X)]2.
b) Se X e Y sa˜o v.a.d.’s independentes, enta˜o E(XY ) = E(X)E(Y ).
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5.4 Principais modelos discretos
5.4.1 Modelo Uniforme Discreto
Seja X uma v.a. com n poss´ıveis valores {x1, x2, ..., xn} que sa˜o igualmente espac¸ados e igual-
mente prova´veis. Enta˜o, X segue o modelo uniforme discreto e tem func¸a˜o de probabilidade
dada por
pX(xi) = P (X = xi) =

1
n
, se i = 1, 2, ..., n,
0, c.c.
Notac¸a˜o: X ∼ Unif{x1, x2, · · · , xn}.
Exemplo 8 Uma rifa tem 100 bilhetes numeradas de 1 a 100. Tenho 5 bilhetes consecutivos
e meu amigo tem outros 5 bilhetes quaisquer. Quem tem maior possibilidade de ser sorteado?
5.4.2 Modelo Bernoulli
Experimento de Bernoulli: e´ um experimento aleato´rio com apenas dois resultados poss´ıveis;
por convenc¸a˜o, um deles e´ chamado “sucesso”e o outro “fracasso”.
Exemplo 9 a) Lanc¸ar uma moeda e observar o resultado;
b) Pergunta-se a um eleitor se ele vai votar no candidato A ou B.
A distribuic¸a˜o de Bernoulli esta´ associada a um experimento de Bernoulli, onde se define:
X({sucesso}) = 1 e X({fracasso}) = 0, chamando de p a probabilidade de sucesso, com
0 ≤ p ≤ 1.
Assim, uma v.a.d. X segue o modelo de Bernoulli, se assume apenas os valores 0 e 1, e tem
func¸a˜o de probabilidade dada por
P (X = x) =

p, se x = 1,
(1− p), se x = 0,
0, c.c.
onde p e´ a probabilidade de sucesso (X = 1), com 0 ≤ p ≤ 1.
Exemplo 10 Um exemplo cla´ssico do modelo de Bernoulli e´ o lanc¸amento de uma moeda.
Varia´vel aleato´ria X: X =
 1, se cara;0, se coroa.
pX(1) = pX(0) = 1/2 (moeda equilibrada).
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Notac¸a˜o: X ∼ Ber(p).
A func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de X e´ dada por
FX(x) =

0, se x < 0,
(1− p), se 0 ≤ x < 1,
1, se x ≥ 1.
Fac¸a o gra´fico desta fda.
A esperanc¸a de X e´ dada por E[X] = 0× (1− p) + 1× p = p.
A variaˆncia de X e´ dada por V ar(X) = E[X2]−E[X]2, com E[X2] = 02× (1−p)+12×p =
p e E[X]2 = p2, logo V ar(X) = p− p2 = p(1− p).
5.4.3 Modelo Binomial
Seja X o nu´mero de sucessos em n repetic¸o˜es independentes de um experimento de Bernoulli
com probabilidade p de sucesso. Enta˜o, X tem distribuic¸a˜o binomial com paraˆmetros n e p.
Notac¸a˜o: X ∼ Bin(n, p).
Se X ∼ Bin(n, p), enta˜o sua func¸a˜o de probabilidade e´ dada por
P (X = x) =

 n
x
 px(1− p)n−x, para x = 0, 1, · · · , n
0, c.c.,
onde
 n
x
 = n!
x! (n− x)! .
Se X ∼ Bin(n, p), enta˜o
E[X] =
∑n
x=0 xpX(x) =
∑n
x=0 x
 n
x
 px(1− p)n−x = np e V ar(X) = np(1− p).
Exemplo 11 A taxa de imunizac¸a˜o de uma vacina e´ de 80%. Um grupo com 20 pessoas
foi selecionado, desejamos saber o comportamento probabil´ıstico do nu´mero de pessoas imu-
nizadas deste grupo. Determine a probabilidade:
a) de 18 pessoas estarem imunizadas;
b) de pelo menos 2 estarem imunizadas;
c) de no ma´ximo 3 estarem imunizadas.
Podemos ver a distribuic¸a˜o Binomial como a soma de Bernoulli’s. Sejam X1, X2, · · · , Xn ∼
Ber(p) v.a.’s independentes, logo X =
∑n
i=1 ∼ Bin(n, p). De fato, para cada i = 1, · · · , n,
Xi =
 1, se ocorre sucesso,0, se ocorre fracasso.
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Da´ı,
∑n
i=1 e´ o nu´mero de sucessos em n Bernoulli’s independentes.
5.4.4 Modelo Geome´trico
Seja X o nu´mero de repetic¸o˜es necesa´rias para a obtenc¸a˜o do primeiro sucesso de um exper-
imento deBernoulli com probabilidade p de sucesso. Enta˜o, dizemos que X segue o modelo
geome´trico com paraˆmetro p, 0 < p < 1, e tem func¸a˜o de probabilidade dada por
pX(x) = P (X = x) =
 p(1− p)x, se x = 1, 2, ...,0, c.c..
Notac¸a˜o: X ∼ Geo(p).
Se X ∼ Geo(p), enta˜o E[X] = 1
p
e V ar(X) =
(1− p)
p2
.
Exemplo 12 Uma linha de fabricac¸a˜o de um equipamento de precisa˜o e´ interrompida na
primeira ocorreˆncia de um defeito. Se 0, 02 e´ a probabilidade do equipamento ter defeito,
enta˜o defina o modelo probabil´ıstico para a fabricac¸a˜o de n equipamentos? E, se fosse para a
fabricac¸a˜o de n equipamentos sem defeito?
5.4.5 Modelo Binomial Negativo (Pascal)
Seja X o nu´mero de repetic¸o˜es necesa´rias para a obtenc¸a˜o de r sucessos de um experimento
de Bernoulli com probabilidade p de sucesso. Enta˜o, dizemos que X segue o modelo Binomial
Negativo com paraˆmetros r e p, 0 < p < 1, e tem func¸a˜o de probabilidade dada por
pX(x) = P (X = x) =

 x− 1
r − 1
 pr(1− p)x−r, se x ≥ r,
0, c.c..
Notac¸a˜o: X ∼ BinNeg(r, p).
Se X ∼ BinNeg(r, p), enta˜o E[X] = r
p
e V ar(X) =
r(1− p)
p2
.
5.4.6 Modelo Hipergeome´trico
Seja uma populac¸a˜o de tamanho N dividida em 2 classes, uma composta de r “sucessos”e
a outra composta de N − r “fracassos”. Desta populac¸a˜o, vamos extrair uma amostra de
tamanho n, sem reposic¸a˜o. Seja X o nu´mero de sucessos obtidos, enta˜o X segue o modelo
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Hipergeome´trico com paraˆmetros N, n, e r, e tem func¸a˜o de probabilidade dada por
pX(x) = P (X = x) =

(
r
x
)(
N − r
n− x
)
(
N
n
) , se x = 0, 1, · · · , n,
0, c.c.,
onde N e´ o total de elementos do conjunto, n e´ o tamanho da amostra (n < N), r e´ o nu´mero
de “sucessos”. Notac¸a˜o: X ∼ Hiper(N, n, r).
Exemplo 13 Considere um conjunto com 20 pessoas, das quais 7 sa˜o mulheres. Selecionando-
se 5 pessoas deste conjunto, sem reposic¸a˜o, qual seria a probabilidade de:
a) 2 mulheres serem escolhidas?
b) 1 homen ser escolhido?
c) apenas mulheres serem escolhidas?
d) pelo menos 5 mulheres serem escolhidas?
e) no ma´ximo 2 homens serem escolhidos?
f) Fernando e Paula serem escolhidos?
g) Paula e Maria serem escolhidas, dado que as pessoas selecionadas foram mulheres?
h) Paula e Maria serem escolhidas, dado que as pessoas selecionadas foram homens?
Exemplo 14 Em um lote de 20 pec¸as existem 4 defeituosas. Uma pessoa deseja comprar 5
pec¸as deste lote, qual seria a probabilidade de uma pec¸a defeituosa ser escolhida?
5.4.7 Modelo de Poisson
Uma v.a.d. X segue o modelo de Poisson de paraˆmetro λ, λ > 0, se sua func¸a˜o de probabil-
idade e´ dada por
pX(x) = P (X = x) =

e−λλx
x!
, se x = 0, 1, 2, ...,
0, c.c..
Notac¸a˜o: X ∼ Poisson(λ), onde λ indica a taxa de ocorreˆncia. Aqui, X representa contagens,
como contar o nu´mero de eventos de um certo tipo que ocorrem em um instante de tempo
fixo (ou superf´ıcie ou volume), se estes eventos ocorrem com uma raza˜o me´dia conhecida e
independentemente do tempo desde o u´ltimo evento.
Exemplo 15 O nu´mero de mensagens eletroˆnicas (em centenas) recebidas por um provedor
em hora´rio comercial foi modelado por uma distribuic¸a˜o de Poisson com taxa de 15 por dia.
Qual e´ a probabilidade do provedor receber 1000 mensagens em um determinado dia?
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5.5 Refereˆncias
• ANDERSON, D. R.; SWEENEY, D. J.; WILLIAMS. Estat´ıstica Aplicada a` Economia
e Administrac¸a˜o. Traduc¸a˜o: Luiz Se´rgio de Castro Paiva. 1ed. Sa˜o Paulo: Pioneira
Thomson Learning, 2003.
• BUSSAB. W. O. ; MORETTIN, P. A. Estat´ıstica Ba´sica. 5ed. Saraiva, 2003.
• MAGALHA˜ES, M.N ; LIMA, A.C.P DE. Noc¸o˜es de Probabilidade e Estat´ıstica. 5ed.,
Sa˜o Paulo: Ed. Edusp, 2005.
• JAMES, Barry R. Probabilidade: um curso em n´ıvel intermedia´rio. 2ed., Rio de
Janeiro: IMPA, Projeto Euclides, 2002.
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