Distribuição de Probabilidade Contínua

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07/07/2014
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Distribuição de 
Probabilidade Contínua
UFPE 
Métodos Quantitativos 2
Prof. Alessandra P. Cezario
Distribuição de probabilidade
• Para uma variável discreta, a distribuição de 
probabilidade é definida por função de 
probabilidade ,f(x), que fornece a 
probabilidade de a variável aleatória assumir 
um valor em particular. 
• Para uma variável contínua, a contraparte a 
função de probabilidade é a função 
densidade de probabilidade (fdp), também 
representada por f(x).
• A função densidade de probabilidade não 
produz probabilidades diretamente.
• A área sob o gráfico de f(x) em determinado 
intervalo produz a probabilidade de a variável 
aleatória contínua x assumir um valor nesse 
intervalo.
• Propriedades da função densidade de 
probabilidade (fdp):
∫
∞+
∞−
=
≥
1)(
0)(
dxxf
e
xf
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• A função densidade de probabilidade (fdp) da 
variável aleatória X é a taxa de crescimento 
no ponto x de sua função de distribuição 
acumulada:
Portanto:
x
xF
xf
∂
∂
=
)()(
∫
∞−
==≤
x
dttfxFxXP )()()(
∫=≤≤
b
a
dxxfbXaP )()(
• Valor Esperado:
• Variância:
dxxxfXE ∫
+∞
∞−
= )()(
dxxfxExXVar ∫
+∞
∞−
−= )())²(()(
Distribuição uniforme de 
Probabilidade
• A função densidade uniforme de 
probabilidade:
• Função de distribuição



 ≤≤
−
=
qualquer ponto outro 0
bxa para1)( abxf
ab
axdt
ab
dttfxF x
a
x
a
−
−
=
−
== ∫∫
1)()(







>
≤≤
−
−
<
=
bx, 1
bxa ,
ax, 0
)(
ab
ax
xF
• Valor Esperado: 
• Variância:
2
)( baXE +=
12
)²()( abXVar −=
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• Exemplo: Sabe-se a variável aleatória X está 
distribuída uniformemente entre 10 e 20
• Apresente o gráfico da função densidade de 
probabilidade
• Calcule P (x = 15)
• Calcule P (x < 15)
• Calcule P (12 ≤ x ≤ 18)
• Calcule E(X)
• Calcule Var(X)
Distribuição Normal de 
probabilidade, X~N(μ,σ²)
• É a principal distribuição contínua de 
probabilidade.
• Função de densidade normal de 
probabilidade:
• onde μ = média, σ = desvio padrão
²2/)²(
2
1)( σµ
piσ
−−
=
xexf
• O formato, ou forma, da distribuição normal é dado 
pela curva em formato de sino:
• A curva é simétrica em relação à média.
• O ponto máximo da curva encontra-se na média
• A família inteira de distribuições normais são 
diferenciadas por sua média e seu desvio padrão
Média μ
Desvio padrão σ
• O desvio padrão determina o quanto uma curva 
é achatada ou larga.
Maior valor de 
desvio padrão 
resultam em uma 
curva mais larga
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• A área total sob a curva de distribuição normal é 1. 
• Área à esquerda da média é 0,5 e à direita é 0,5.
Distribuição Normal Padrão
• Apresenta μ = 0 e σ=1
• Normalmente utiliza-se a letra z para designar essa variável 
aleatória
2/²
2
1)( zezf −=
pi
• Os Cálculos de probabilidade com quaisquer 
distribuições normais são feitos calculando-se 
as áreas sob o gráfico da função densidade de 
probabilidade.
• Para a distribuição normal padrão, as áreas 
sob a curva normal foram calculadas e estão 
disponíveis em tabelas
•
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• Alguns exemplos:
• P( 0≤ z ≤ 1,25) = 0,3944, P (-,125 ≤ z ≤0) = 0,3944
• P (z ≤ 1,25) = P(-∞<z ≤ 0) + P( 0≤ z ≤ 1,25) = 0,5 + 0,3944 = 
0,8944
• P (z≥ -1,25) = P (-,125 ≤ z ≤0) + P(0 ≤ z <∞ 0) = 0,3944 + 0,5 = 
0,8944
• P(z>1,25) = P(0 ≤ z <∞ 0) - P( 0≤ z ≤ 1,25) = 0,5 – 0,3944 = 
0,1056
• P( -1,25 ≤ z ≤ 1,25) = P (-,125 ≤ z ≤0) + P( 0≤ z ≤ 1,25) = 0,3944 
+ 0,3944 = 0,7888
• P (1,25 ≤ z ≤ 2) = P (0 ≤ z ≤ 2) – P (0 ≤ z ≤ 1,25) = 0,4772 –
0,3944 = 0,0828
• A fórmula utilizada para converter qualquer 
variável aleatória normal X com média μ e 
desvio padrão σ em uma distribuição normal 
padrão é:
σ
µ−
=
x
z
• Um valor de x igual a sua média μ resulta em z = 0.
• Se x é um desvio padrão maior que sua média, ou seja, x = μ + σ, 
então z = 1.
• Podemos interpretar z como o número de desvios-padrão que a 
variável aleatória normal X está distante de sua média.
• Exemplo: Seja uma variável aleatória X com média 10 e desvio 
padrão 4 [ N~(10,4)]. Qual a probabilidade de X estar entre 10 e 14?
• Para x = 10 tem-se z = 0
• Para x = 14 tem-se z = 1
• A probabilidade procurada é equivalente a z estar entre 0 e 1, seu 
valor é igual a 0,3413. 
• A média de preço das ações de uma empresa é $ 
30, e o desvio padrão é $ 8,2. Suponha que os 
preços das ações se distribuam normalmente.
• a) Qual é a probabilidade de uma empresa ter 
um preço de, no mínimo, $ 40 para suas ações?
• b) Qual é a probabilidade de uma empresa ter 
um preço não superior a $ 20 para suas ações?
• c) Qual deve ser o preço das ações para que a 
empresa seja incluída entre as 10% maiores?