Aula 03 - Estado Plano de Tensões

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Mecânica dos Sólidos 3
Professor Maurício P. Ferreira
Engenheiro Civil, M.Sc., D.Sc.
Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Faculdade de Engenharia Civil
1. Introdução
Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil
� As Tensões Normais e Tangenciais (cisalhantes) podem ser obtidas
através das fórmulas básicas apresentadas na disciplina de MEC SOL II:
max
maxx
M yM y
I I
σ σ
⋅⋅
=− ∴ =
Linha Neutra
ymax
• Flexão
1. Introdução
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• Cisalhamento
• Para uma viga estreita de 
seção retangular
2
2
max
3
1
2
3
2
xy
V Q V y
I b A c
V
A
τ
τ
 ⋅
= = ⋅ − ⋅  
= ⋅
1. Introdução
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• Torção
4
2
1 cJ π=
( )414221 ccJ −= πmax
T T c
J J
ρ
τ τ
⋅ ⋅
= ∴ =
1. Introdução
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� As Tensões calculadas pelas equações anteriores agem NA SEÇÃO
TRANSVERSAL dos elementos;
� Porém, tensões maiores podem agir em PLANOS INCLINADOS;
� Assim, é importante desenvolver métodos para determinar as tensões
normais e cisalhantes em planos inclinados;
� Isso será feito para um estado de tensões conhecido;
� Usando-se as equações de transformação de tensões;
1. Introdução
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� O estado geral de tensões em um ponto pode
ser representado por 6 componentes
, , tensões normais
, , tensões cisalhantes
(Note: , , )
x y z
xy yz zx
xy yx yz zy zx xz
σ σ σ
τ τ τ
τ τ τ τ τ τ= = =
� O mesmo estado de tensões pode ser
representado por um conjunto diferente de
componentes se os eixos forem rotacionados.
1. Introdução
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O objetivo aqui é apresentar como as
componentes de tensão podem ser transformadas
quando ocorre uma rotação dos eixos espaciais.
� Estado Plano de Tensões: aquele no qual 2 faces do
elemento cúbico estão livres de tensões. Para o caso
ilustrado ao lado, o estado de tensões é definido por:
xy, , 0. x y z zx zyσ σ τ σ τ τ= = =∴
1. Introdução
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� Estado Plano de Tensões em uma placa fina
submetida a forças agindo em seu plano médio
(eixo);
� Estado Plano de Tensões na superfície de um
eixo, desde que não próximo do ponto de
aplicação de forças externas.
2. Estado Plano de Tensões
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� Seja o Ponto Q, infinitesimal, sujeito a um
Estado Plano de Tensões:
� Determinar as componentes de tensão
� No caso de uma rotação em torno do eixo z
xy, ,x yσ σ τ
xy', ', 'x yσ σ τ
θ
2. Estado Plano de Tensões
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θθτθθσ
θθτθθσσ
cos)...()...( 
).cos..(cos).cos..(-A.
0
''
'
senAsensenA
senAAF
F
xyy
xyxxx
x
∆−∆−
∆−∆∆=
=
∑
∑
� Relações trigonométricas:
2
2cos1
cos
cos..22
2 θθ
θθθ
+
=
= sensen
2
2cos1
cos2cos
2
22
θ
θ
θθθ
−
=
+=
sen
sen
� Reescrevendo a equação, fica:
' .cos 2 . 2
2 2
x y x y
x xy sen
σ σ σ σ
σ θ τ θ
+ −
= + +
x
y x’y'
θ
2. Estado Plano de Tensões
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0' =∑ yF
� Segue o mesmo para τx’y’:
� Para determinar σy’, substituindo-se o ângulo θ
por θ+90º, que é o ângulo formado por y’ e x
θθ
θθ
2)1802(
2cos)1802cos(
0
0
sensen −=+
−=+
� Sendo assim:
� Observando que: yxyx σσσσ +=+ ''
' ' . 2 .cos 2
2
x y
x y xysen
σ σ
τ θ τ θ
−
= − +
' .cos 2 . 2
2 2
x y x y
y xy sen
σ σ σ σ
σ θ τ θ
+ −
= − −
x
y x’y'
θ
2. Estado Plano de Tensões
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� Se somarmos as equações para obtenção de σx’ e σy’ obtém-se uma
importante conclusão:
' .cos 2 . 2
2 2
x y x y
y xy sen
σ σ σ σ
σ θ τ θ
+ −
= − −
' .cos 2 . 2
2 2
x y x y
x xy sen
σ σ σ σ
σ θ τ θ
+ −
= + +
+
' 'x y x yσ σ σ σ+ = +
� Mostra que a soma das tensões normais em faces perpendiculares é
constante, independente do ângulo θ.
2. Estado Plano de Tensões
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� Casos Especiais
� Estado de Tensão Uniaxial
y
x
σxσx
O xy
0
0
yσ
τ
=

=
( )' . 1 cos 2
2
x
x
σ
σ θ= +
' ' . 2
2
x
x y sen
σ
τ θ= −
2. Estado Plano de Tensões
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� Casos Especiais
� Estado de Cisalhamento Puro
y
x
τxy
O
0
0
x
y
σ
σ
=
 =τxy
τyx
τyx
' . 2x xy senσ τ θ= ' ' .cos 2x y xyτ τ θ=
2. Estado Plano de Tensões
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� Casos Especiais
� Estado de Tensão Biaxial
y
O
{ xy 0τ =
σxσx
x
σy
σy
' .cos 2
2 2
x y x y
x
σ σ σ σ
σ θ
+ −
= +
' ' . 2
2
x y
x y sen
σ σ
τ θ
−
= −
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• Exemplo 1: Um elemento em estado plano de tensões é submetido à tensões
σx=6.500 psi, σy= 1.700 psi; τxy= 2.750 psi, conforme indicado. Determinar as tensões
agindo em um elemento inclinado de um ângulo θ = 60º em relação ao eixo x, sendo
este angulo tomado no sentido anti-horário. Apresente os valores destas tensões em
um desenho deste elemento inclinado com o ângulo θ.
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• Exemplo 1: 6500 psi ; 1700 psi ; 2750 psi ; 60x y xyσ σ τ θ= = = = �
'
'
'
.cos 2 . 2
2 2
6500 1700 6500 1700
.cos(2 60) 2750. (2 60)
2 2
5281,6 psi
x y x y
x xy
x
x
sen
sen
σ σ σ σ
σ θ τ θ
σ
σ
+ −
= + +
+ −
= + ⋅ + ⋅
=
' '
' '
' '
. 2 .cos 2
2
6500 1700
. (2 60) 2750.cos(2 60)
2
3453,5 psi
x y
x y xy
x y
x y
sen
sen
σ σ
τ θ τ θ
τ
τ
−
= − +
−
= − ⋅ + ⋅
= −
' '
' '
'
'
6500 1700 5281,6
2918,4 psi
x y x y
y x y x
y
y
σ σ σ σ
σ σ σ σ
σ
σ
+ = +
= + −
= + −
=