Aula 05 - Tensões Principais e de Cisalhamento Máximo

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Mecânica dos Sólidos 3
Professor Maurício P. Ferreira
Engenheiro Civil, M.Sc., D.Sc.
Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Faculdade de Engenharia Civil
0. Relembrando Aula Anterior
Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil
� O estado geral de tensões em um ponto pode
ser representado por 6 componentes
, , tensões normais
, , tensões cisalhantes
(Note: , , )
x y z
xy yz zx
xy yx yz zy zx xz
σ σ σ
τ τ τ
τ τ τ τ τ τ= = =
� O mesmo estado de tensões pode ser
representado por um conjunto diferente de
componentes se os eixos forem rotacionados.
0. Relembrando Aula Anterior
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� Seja o Ponto Q, sujeito a um Estado Plano de
Tensões:
� Determinar as componentes de tensão
� No caso de uma rotação em torno do eixo z
xy, ,x yσ σ τ
xy', ', 'x yσ σ τ
θ
0. Relembrando Aula Anterior
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'
'
0
0
x
y
F
F
=
=
∑
∑
' .cos 2 .sin 2
2 2
x y x y
x xy
σ σ σ σ
σ θ τ θ
+ −
= + +
' ' .sin 2 .cos 2
2
x y
x y xy
σ σ
τ θ τ θ
−
= − +
' .cos 2 .sin 2
2 2
x y x y
y xy
σ σ σ σ
σ θ τ θ
+ −
= − −
yxyx σσσσ +=+ ''













Equações de 
Transformação
0. Relembrando (Lista Derivadas)
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1. Tensões Principais
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� Equações de Transformação para
tensão plana mostram que:
' ' ' ', e variam em função de x y x yσ σ τ θ
� Tensões normais e de Cisalhamento
atingem valores máximos e mínimos
em intervalos de 90º;
� Valores máximos e mínimos são
necessários para o dimensionamento
de estruturas em geral.
Nota: Conceito de Derivada
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1. No Cálculo, a derivada representa a taxa de
variação instantânea de uma função. Um
exemplo típico é a função velocidade que
representa a taxa de variação (derivada) da
função deslocamento. Do mesmo modo, a
função aceleração é a derivada da função
velocidade;
2.A derivada é a inclinação de uma reta tangente
a função em um dado ponto;
3.Quando ela é igual a zero, marca pontos de
máximo e mínimo de uma função
4.Derivadas de funções Trigonométricas:
sin' cos
cos' sin
=

= −
1. Tensões Principais
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� Tensões máxima e mínimas são chamadas de tensões principais;
� Obtidas através das equações de transformação:
' .cos 2 .sin 2
2 2
x y x y
x xy
σ σ σ σ
σ θ τ θ
+ −
= + +
( )
( )
' sin 2 .cos 2 0
2
0 .sin 2 2 .cos 2
x yx
xy
x y xy
d
d
σ σσ
θ τ θ
θ
σ σ θ τ θ
−
= ⋅ − + =
= − − + ⋅
( )
2
tan 2
xy
P
x y
τ
θ
σ σ
⋅
=
−
θ
P
é o ângulo que define o plano 
das tensões principais
1. Tensões Principais
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� Dois valores de 2θ
P
no intervalo de 0º até 360º , que diferem por 180º ,
com um valor entre 0º e 180º e outro entre 180º e 360º ;
� Logo, θ
P
tem dois valores que diferem por 90º , sendo um entre 0º e 90º
e outro entre 90º e 180º.
( )
2
tan 2
xy
P
x y
τ
θ
σ σ
⋅
=
−
( ) ( )22
2 tan
tan 2 tan 2 tan 2 tan tan 2 0
1 tan
α
α α α α α
α
⋅
= ∴ ⋅ + ⋅ − =
−
Equação do 2º grau
( ) ( )( )2
1,2
2 2 4 tan 2 tan 2
arctan
2 tan 2
α α
α
α
 − ± − ⋅ ⋅ − =
 ⋅
  
1. Tensões Principais
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� Como os valores θ
P1
e θ
P2
diferem por 90º , conclui-se que:
“As Tensões Principais ocorrem em planos 
mutuamente perpendiculares”.
R =
( )
2
tan 2
xy
P
x y
τ
θ
σ σ
⋅
=
−
( )
2
2
2
x y
xyR
σ σ
τ
− 
= + 
 









cos 2
2
sin 2
x y
P
xy
P
R
R
σ σ
θ
τ
θ
−
=
⋅
=
1. Tensões Principais
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� Substituindo cos 2θ
P
e sin 2θ
P
em:
( )
2
2
2
x y
xyR
σ σ
τ
− 
= + 
 
cos2
2
sin 2
x y
P
xy
P
R
R
σ σ
θ
τ
θ
−
=
⋅
=
1 '
1 '
.cos 2 .sin 2
2 2
.
2 2 2
x y x y
x xy
x y x y x y xy
x xy
R R
σ σ σ σ
σ σ θ τ θ
σ σ σ σ σ σ τ
σ σ τ
+ −
= = + +
+  − −        
= = + ⋅ +        ⋅        






� Após substituir R e fazer manipulações algébricas:
( )
2
2
1
2 2
x y x y
xy
σ σ σ σ
σ τ
+ − 
= + + 
 
1 2 x yσ σ σ σ+ = +
( )
2
2
2
2 2
x y x y
xy
σ σ σ σ
σ τ
+ − 
= − + 
 
( )
2
2
max,min
2 2
x y x y
xy
σ σ σ σ
σ τ
+ − 
= ± + 
 
1. Tensões Principais
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1. Tensões Principais
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1. Tensões Principais
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1. Tensões Principais
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2. Cisalhamento Planos Principais
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( )0 .sin 2 2 .cos 2x y xyσ σ θ τ θ= − − + ⋅� Se fizermos , obtém-se a equação:' ' 0x yτ =
( )' sin 2 .cos 2 0
2
x yx
xy
d
d
σ σσ
θ τ θ
θ
−
= ⋅ − + =
� Anteriormente, ao derivar a tensão
normal em relação ao ângulo:
� Obteve-se a mesma Equação:
� Resolvendo-se a equação para 2θ, obtém-se a
mesma expressão para tan 2θ ( )
2
tan 2
xy
P
x y
τ
θ
σ σ
⋅
=
−
' ' .sin 2 .cos 2
2
x y
x y xy
σ σ
τ θ τ θ
−
= − +
� Uma importante característica do plano
de tensões principais pode ser obtida
através da Equação:
( )0 .sin 2 2 .cos 2x y xyσ σ θ τ θ= − − + ⋅
2. Cisalhamento Planos Principais
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“Os ângulos em relação aos planos de tensão de 
cisalhamento nulas são os mesmos ângulos em 
relação aos planos de tensões principais”;
“As tensões de cisalhamento são nulas no 
plano principal”.
3. Tensões de Cisalhamento Máximas
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( )
( )
' '
' '
.sin 2 .cos 2
2
.cos 2 2 .sin 2 0
2 .sin 2 .cos 2
x y
x y xy
x y
x y xy
xy x y
d
d
σ σ
τ θ τ θ
τ
σ σ θ τ θ
θ
τ θ σ σ θ
−
= − +
= − − − ⋅ =
− ⋅ = −
� Para determinar as Tensões de Cisalhamento Máximas e os planos que
elas agem, deve-se adotar o mesmo procedimento, e derivar a equação
de transformação obtida anteriormente:
tan 2
2
x y
S
xy
σ σ
θ
τ
−
= −
⋅
θ
S
é o ângulo que define o plano de 
tensões de cisalhamento máximas
3. Tensões de Cisalhamento Máximas
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� Comparando as equações para obter os ângulos , vê-se que:
tan 2
2
x y
S
xy
σ σ
θ
τ
−
= −
⋅
 e S Pθ θ
( )
2
tan 2
xy
P
x y
τ
θ
σ σ
⋅
=
−
1
tan 2cot 2
tan 2
S P
P
θ θ
θ
= − = −
� É possível então estabelecer uma relação entre os ângulos : e S Pθ θ
( )sin 2 cos 2 0 cos 2 sin 2
cos2 sin 2
sin 2 sin 2 cos2 cos 2 0
cos(2 2 ) 0
2 2 90
S P
S P
S P
S P P S
S P
S P
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ θ θ
θ θ
θ θ
+ = × ⋅
⋅ + ⋅ =
− =
− = ± �
45S Pθ θ= ±
�
3. Tensões de Cisalhamento Máximas
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� Mostra que os planos de tensão de cisalhamento máxima
ocorrem a 45º em relação aos planos principais.
45S Pθ θ= ±
�
tan 2
2
x y
S
xy
σ σ
θ
τ
−
= −
⋅
cos 2
xy
S
R
τ
θ = sin 2
2
x y
S
R
σ σ
θ
−
= −
⋅ ( )
2
2
2
x y
xyR
σ σ
τ
− 
= + 
 
' ' .sin 2 .cos 2
2
x y
x y xy
σ σ
τ θ τ θ
−
= − +
� Com a equação da tangente de podem ser obtidas novas relações seno
e cosseno:
2 Sθ
� Substituindo R e seno e cosseno na equação abaixo:
( )
2
2
max
2
x y
xy
σ σ
τ τ
− 
= + 
 
3. Tensões de Cisalhamento Máximas
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max min
max
2
σ σ
τ
−
=
� Alternativamente, a tensão de cisalhamento máxima pode ser calculada
em função das tensões principais:
� Nos planos das tensões de cisalhamento máximo existem também tensões
normais;
� Essas tensões podem ser determinadas com a equação:
2
x y
méd
σ σ
σ
+
=