Aula 04 - CisalhamentoTransversal

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Mecânica dos Sólidos 2
Professor Maurício P. Ferreira
Engenheiro Civil, M.Sc., D.Sc.
Pós-doutorando - Universidade de Brasília
Pesquisador - Universidade Federal do Pará
Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Departamento de Engenharia Civil
0. Relembrando (Tensão de Cisalhamento Média)
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• Definição: é a componente de tensão
que atua no plano da área seccionada.
• Efeito: tende a provocar o
deslizamento (corte) entre seções
subseqüentes.
• Limitações: casos de cisalhamento
simples ou direto, que ocorre em
ligações com pinos e parafusos.
méd
V
A
τ =
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0. Relembrando (Tensão de Cisalhamento Média)
0. Relembrando (Relação entre M, V e q)
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0=
= ⋅ + +
= −
∑ yF
V q dx V dV
dV
q
dx
q
dx
0
2
=
+ ⋅ = ⋅ ⋅ + +
=
∑M
dx
M V dx q dx M dM
dM
V
dx
• Quando V = 0, M = cte
• Quando M = Mmax,min, V = 0
Mede a taxa de variação do momento 
0. Relembrando (Relação entre M, V e q)
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1. Introdução
• Em um elemento sob flexão pura (momento fletor constante) as
únicas tensões na seção transversal são as tensões normais;
• Na maioria dos casos os elementos estão sob ação de momento
fletor (M) e esforço cortante (V);
• Nestes casos, tem-se tensões normais (σ) e tensões cisalhantes
(τ) atuando na seção transversal;
• A determinação das tensões normais foi vista anteriormente.
Neste tópico apresenta-se uma discussão sobre as tensões
cisalhantes em elementos sob flexão simples.
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1. Introdução
Considere uma viga retangular sob a ação de
um esforço cortante V. É possível admitir:
1. Que a tensão cisalhante (τ) é paralela ao
esforço cortante (V);
2. Que a tensão cisalhante é constante ao
longo de sua largura (b);
3. Que a intensidade da tensão cisalhante
pode variar de acordo com a altura (h).
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Essas hipóteses permitem a determinação de τ em qualquer ponto da seção 
transversal da viga.
b
h
1. Introdução
Da análise de um elemento m-n é possível
concluir que:
1. As tensões na face frontal são uniformes;
2. Para garantir o equilíbrio é preciso que
existam tensões de igual intensidade em
faces perpendiculares;
3. Logo, existe cisalhamento horizontal agindo
entre camadas de uma viga assim como
cisalhamento vertical na sua seção
transversal.
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1. Introdução
A igualdade de cisalhamento vertical e
horizontal leva a conclusão que:
Se o elemento m-n estiver no topo
ou na base da viga, é evidente que o
cisalhamento horizontal precisa
“desaparecer”.
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0 para 2= = ±y hτ
1. Introdução
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A existência do cisalhamento horizontal pode ser
visualizada com o seguinte experimento:
1. Coloque 2 vigas idênticas uma sobre a outra;
2. Se a aderência entre elas for pequena,
quando flexionadas elas irão fletir de modo
independente;
3. Cada viga estará sob compressão acima da
linha neutra e sob tração abaixo;
4. Isso fará com que suas superfícies deslizem
uma em relação a outra
1. Introdução
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1. Introdução
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• Ao contrário, se os segmentos de viga estiverem unidos, a tensão de
cisalhamento horizontal entre elas irá impedir que elas deslizem entre si;
• Elas terão um comportamento igual ao de uma viga monolítica.
2. Deformações de Cisalhamento
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3. Determinação da Tensão Cisalhante
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• Considere uma viga retangular sob flexão;
• Analisando 2 seções m-n e m1-n1, tem-se os
momentos M e M + dM e cortantes V e V + dV ;
• Apenas as tensões horizontais são necessárias
para essa análise e deste modo, tem-se que:
( )
1
2
⋅
= −
+ ⋅
= −
M y
I
M dM y
I
σ
σ
3. Determinação da Tensão Cisalhante
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• Se concentrarmos a análise em um
trecho específico;
• Cortando a seção através de um plano
p – p1;
• Se a intensidade do momento nas
faces m-n e m1-n1 não for igual;
• Percebe-se que é necessário o
surgimento de uma tensão horizontal τ
de modo a garantir o equilíbrio.
3. Determinação da Tensão Cisalhante
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( )
( )
1
1 1
2 2
3 2 1
3
3 3 e 
⋅
⋅ = ⋅
⋅
= ⋅ = ⋅
+ ⋅
= ⋅ = ⋅
= −
+ ⋅ ⋅
= ⋅ − ⋅
= ⋅ = ⋅ ⋅
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
M y
dA dA
I
M y
F dA dA
I
M dM y
F dA dA
I
F F F
M dM y M y
F dA dA
I I
dM
F y dA F b dx
I
σ
σ
σ
τ
3. Determinação da Tensão Cisalhante
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1
= ⋅ ⋅ ⋅
⋅
= ⋅ ⋅
⋅
∫
∫
dM
y dA
dx I b
V
y dA
I b
τ
τ
(Eq.1)= ⋅ = ⋅∫Q y dA y dA
• Tem-se que a tensão cisalhante é
expressa por:
⋅
=
⋅
V Q
I b
τ
• Sabendo-se que o momento estático é:
(Eq.2)
4. Cálculo do Momento Estático
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• As equações obtidas mostram que o
momento estático (Q) varia ao longo de y;
• Por consequência, a tensão cisalhante (τ)
também varia ao longo da altura da seção;
• Na dedução feita, a área considerada (A)
está acima da linha neutra;
• Logo, Q é calculado considerando essa
área A;
= ⋅ = ⋅∫Q y dA y dA
⋅
=
⋅
V Q
I b
τ
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0. Relembrando (Momento Estático por Integração)
4. Cálculo do Momento Estático
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1
1
2
2
2
2
2
1
2
2 2
= ⋅
= ⋅
 
= ⋅ 
 
  = ⋅ −  
   
∫
∫
h
y
h
y
Q y dA
Q y bdy
y
Q b
b h
Q y
• Desenvolvendo:
(Eq.3)
4. Cálculo do Momento Estático
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2
2
1
2
2
1
2 2
2 4
  = ⋅ ⋅ −  ⋅    
 
= ⋅ − 
 
V b h
y
I b
V h
y
I
τ
τ (Eq.4)
• Substituindo 3 em 2:
• τ = 0 para y1 = ± h/2
• τ = τmax para y1 = 0
2 2
3
12
8 8
⋅ ⋅
= = ⋅ ∴
⋅ ⋅
V h V h
I b h
τ
3
2
⋅
=
⋅
V
A
τ (Eq.5)
4. Cálculo do Momento Estático
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5. Vigas com Seção Circular
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• Em vigas circulares não é possível assumir que τ
age paralelo ao eixo y;
•Para que seja válido o conceito que na superfície
externa da viga a tensão cisalhante é igual a zero;
• As tensões cisalhantes na seção transversal não podem ter
componentes na direção radial;
• Assim, a tensão cisalhante τ precisa agir tangente às extremidades da
seção transversal.
5. Vigas com Seção Circular
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5. Vigas com Seção Circular
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6. Cisalhamento em Vigas de Abas Largas
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• Vigas de abas largas são comuns em
estruturas de aço;
• São formadas por abas ou mesas
ligadas entre si por uma alma;
• A distribuição das tensão cisalhante
vertical pode ser obtida usando-se o
mesmo raciocínio usado
anteriormente.
6. Cisalhamento em Vigas de Abas Largas
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6. Cisalhamento em Vigas de Abas Largas
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7. Limitações desta Teoria (Equações)
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• Restringe-se, como no caso da teoria de flexão, para os casos de
estruturas feitas com materiais lineares-elásticos e dentro do campo
dos pequenos deslocamentos;
• Para vigas retangulares, sua precisão é influenciada pela relação h/b,
sendo os resultados teóricos 13% inferiores aos reais (vigas
quadradas);
• A teoria e suas equações não se aplicam para os casos de vigas
triangulares e semicirculares.
7. Limitações desta Teoria (Equações)
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• Para vigas faixa ou chatas, a distribuição das tensões cisalhantes é
significativamente diferente do assumido aqui.
Erro 
3%
Erro 
40%
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• Exemplo 1: Uma viga de madeira AB suporta duas cargas concentradas P com
um vão de cisalhamento de a = 0,5 m. Ela tem seção retangular com 100 mm de
largura e 150 mm de altura. Determinar a máxima carga admissível Pmax, sabendo-se
que a máxima tensão normal (tração e compressão) é 11 MPa e a máxima tensão
cisalhante é de 1,2 MPa (desprezar peso próprio).
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max max= ∴ = ⋅V P M P a
• Exemplo 1:
max
max 2
6
=
⋅ ⋅
=
⋅
M
w
P a
b h
σ
σ
max
max
max
3
2
3
2
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
V
A
P
A
τ
τ
, ,
2 2 100 150 1,2
12 kN
3 3
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= = ∴ =admadm cis adm cis
b h
P P
τ
2 2
,flex ,flex
100 150 11
8,25 kN
6 6 500
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= = ∴ =
⋅ ⋅
adm
adm adm
b h
P P
a
σ
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• Exemplo 2: A viga abaixo é feita de madeira e está sujeita a uma força cortante
vertical interna de 3 kN. Determinar: a) a tensão cisalhante na viga no ponto P e b) a
tensão cisalhante máxima na viga.
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• Exemplo 2:
2
2
1
2
2
3
2 4
3000 12 125
12,5
2 100 125 4
0,346 MPa
 
= ⋅ − 
 
 ⋅
= − 
⋅ ⋅  
=
P
P
V h
y
I
τ
τ
τ
max
max
max
3
2
3 3000
2 100 125
0,36 MPa
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅ ⋅
=
V
A
τ
τ
τ
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• Exemplo 3: Uma viga T de aço tem as dimensões mostradas abaixo. Se ela for
submetida a uma força cortante de 80 kN, determinar: a) a curva da distribuição da
tensão de cisalhamento e b) a força cortante que a alma resiste.
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• Exemplo 3:
180 kN ; b 300 mm ; t 15 mm ; 240 mm; 200 mm= = = = =V h h
( )
( )
3 3 3
1 1
3 3 3
6 4
1
12
1
300 240 300 200 15 200
12
155,6 10 mm
= ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅
= ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅
= ⋅
I b h b h t h
I
I
( )
' '
'
' '
' 6
'
'
80000 110 300 20
155,6 10 300
1,13 MPa
⋅ ⋅⋅
= =
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅
=
B B
B
B B
B
B
V y AV Q
I b I b
τ
τ
τ
( )
' '
6
'
80000 110 300 20
155,6 10 15
22,62 MPa
⋅ ⋅⋅
= =
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅
=
B B
B
B B
B
B
V y AV Q
I b I b
τ
τ
τ
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• Exemplo 3:
180 kN ; b 300 mm ; t 15 mm ; 240 mm; 200 mm= = = = =V h h
( ) ( )
3
110 300 20 50 15 100
735 10 mm³
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= ⋅
C
C
Q
Q
3
6
80000 735 10
155,6 10 15
25,19 MPa
⋅
=
⋅
⋅ ⋅
=
⋅ ⋅
=
C
C
C
C
C
V Q
I b
τ
τ
τ
( )
( )
1
max min2
3
15 200
2 25,19 22,62
3
73 kN
⋅
= ⋅ ⋅ +
⋅
= ⋅ ⋅ +
=
alma
alma
alma
t h
V
V
V
τ τ
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• Exemplo 4: Uma viga em balanço está sujeita a uma carga concentrada na sua
extremidade de 2.000 kN. As dimensões da seção transversal do perfil duplo T estão
indicadas na figura abaixo. Determinar: a) a tensão cisalhante no ponto K; b) a tensão
cisalhante no ponto H e c) a tensão cisalhante horizontal máxima do perfil duplo T.
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• Exemplo 4:
( ) ( )2 2,1 1 ,1 ,2 2 ,2
3 3
2 2
4
2
56 3 3 42
56 3 13,5 2 3 42 9
12 12
88.200 mm
= + ⋅ + ⋅ + ⋅
   ⋅ ⋅
= + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅   
   
=
x x x x x
x
x
I I A d I A d
I
I
( ) ( )13,5 56 3 2 8,5 3 7
2.625 mm³
= ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
=
∑K i i
K
Q y A
Q
2000 2625
88200 2 3
9,92 MPa
⋅ ⋅
= =
⋅ ⋅ ⋅
=
K
K
x
K
V Q
I b
τ
τ
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• Exemplo 4:
( )2 23,5 3 13
1.833 mm³
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
=
∑H i i
H
Q y A
Q
2000 1833
88200 2 3
6,93 MPa
⋅ ⋅
= =
⋅ ⋅ ⋅
=
H
H
x
H
V Q
I b
τ
τ
max
max
max
2000 2700
88200 2 3
10,20 MPa
⋅ ⋅
= =
⋅ ⋅ ⋅
=
x
V Q
I b
τ
τ
( )max
max
2 15 3 30
2.700 mm³
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
=
∑ i iQ y A
Q