Material Dinâmica I(1)

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1 
Prof. DSc. Valtency F. Guimarães 
 
Dinâmica I 
“Cinemática de Partículas” 
 
2 
 
Dinâmica I 
 
Bibliografia Recomendada 
 
Bibliografia Básica: 
MERIAM, J. L. Dinâmica. 2ª Edição. Traduzido por Frederico Felgueiras Gonçalves e José 
Rodrigues de Carvalho. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1989. 
HIBBELER, R.C. Dinâmica – Mecânica para Engenharia, 12º ed. Editora Pearson. 2010. 
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Dinâmica, 7 ed., Mc 
Graw Hill, 2006. 
SHAMES, I. H. Dinâmica. Mecânica para Engenharia. 4 ed. Prentice Hall, 2003. 
 
Bibliografia Complementar: 
GIACAGLIA, G. E. O. Mecânica Geral. Campus, 1982. 
KRAIGE, G.; MERIAM, J. L. Mecânica - Dinâmica. 5ª Edição. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e 
Científicos, 2003. 496p. 
NORTON, Robert L. Projeto de Máquinas – Uma abordagem integrada. Traduzido por João 
Batista de Aguiar et al. 2ª Edição. Porto Alegre: Bookman, 2004. 887p. 
ARFKEN, George B. Física Matemática: Métodos Matemáticos para Engenharia e Física. 
Traduzido por Arlete Simille Marques. 1ª Edição. Rio de Janeiro: Campus, 2007. 900p. 
Prof. DSc. Valtency F. Guimarães 
3 
 Princípios da Dinâmica 
 
1. Introdução 
2. Conceitos Básicos 
3. Leis de Newton 
 4. Unidades 
 5. Gravitação 
 6. Descrição de Problemas de Dinâmica 
 7. O Movimento Absoluto e a Física de Newton 
 8. Velocidade Relativa 
 9. Atividades 
 Dinâmica I 
 Introdução - Dinâmica 
4 
 
 
1 - Introdução 
O fenômeno mais óbvio e fundamental que observamos à nossa volta é 
o movimento. Praticamente todos os processos imagináveis têm como 
origem o movimento dos corpos. A Terra e os outros planetas movem-
se em torno do Sol que, por sua vez, faz girar o sistema solar em torno 
do centro da galáxia; os elétrons, em movimento no interior dos 
átomos, dão lugar à absorção e à emissão da luz e, no interior de um 
metal, produzem corrente elétrica. Nossa experiência diária nos mostra 
que o movimento de um corpo é influenciado pelos corpos que o 
rodeiam, isto é, pelas interações com eles. 
 
A Dinâmica é a parte da Física que estuda os movimentos e as causas 
que os produzem ou os modificam. Então, na dinâmica vamos estudar 
os movimentos dos corpos e suas causas, utilizando também os 
conceitos de cinemática já estudados. 
 Introdução - Dinâmica 
5 
 
 
Introdução 
A Dinâmica tem duas partes distintas – Cinemática, que é o estudo do 
movimento, sem fazer referência às forças que o causam, e a Cinética, 
que relaciona a ação de forças sobre os corpos aos movimentos 
resultantes. A perfeita compreensão da Dinâmica fornece a estudantes 
de Engenharia uma de suas mais úteis e poderosas ferramentas para 
análise. 
 
Em termos de aplicação em Engenharia, a Dinâmica é uma das 
ciências mais recentes. Somente depois de conseguir que as máquinas 
e estruturas operassem em altas velocidades e acelerações apreciáveis 
foi que o homem achou necessário fazer cálculos baseados nos 
princípios da Dinâmica. O rápido desenvolvimento tecnológico sem 
dúvida exige a ampliação dos princípios da Mecânica. 
 
 Introdução - Dinâmica 
6 
 
 
Introdução 
Aristóteles elaborou uma teoria para explicar os movimentos dos 
corpos, dando início ao estudo da Dinâmica. As explicações de 
Aristóteles foram utilizadas até Galileu Galilei, considerado o primeiro 
cientista moderno, realizar vários experimentos, chegando às leis 
matemáticas que descrevem o movimento dos corpos terrestres, 
impulsionando o estudo da Dinâmica. 
As idéias de Galileu sobre a dinâmica, seus estudos sobre os 
movimentos dos corpos foram precursoras das Leis de Newton, que 
conseguiu dar um enorme salto na ciência. Conseguiu o que todos 
buscavam na época, uma teoria física unificada. Analisando o 
movimento da lua ele chegou a uma descrição perfeita para os 
movimentos, uma descrição que poderia ser utilizada tanto para os 
astros (lei da gravitação universal), como para objetos menores na 
terra. 
 Introdução - Dinâmica 
7 
 
 
Espaço. é a região geométrica na qual o evento ocorre. É comum 
relacionar linha reta ou plano como espaço uni ou bidimensional. 
Sistema de referência. A posição no espaço é determinada 
relativamente a sistemas de referência por meio de medidas lineares ou 
angulares. 
 
 
 
 
 
 
Tempo. é a medida da sucessão de eventos e é considerado uma 
quantidade absoluta. 
Força. é a ação de um corpo sobre outro. 
 Introdução - Dinâmica 
2 - Conceitos Básicos 
zˆ
xˆ
2


yˆ
1

r
r 
8 
 
 
Inércia. é a propriedade da matéria que causa resistência à variação do 
movimento. 
Massa. é a medida quantitativa da inércia. É também a propriedade de 
todo corpo que sofre sempre atração mútua em relação a outros corpos. 
Partícula. é um corpo cujas dimensões são desprezíveis na situação em 
que vamos considerar. É pois um corpo que em uma situação específica 
pode ser considerado como um ponto geométrico, no que diz respeito às 
suas dimensões. 
Corpo Rígido. é um sistema constituído de partículas agregadas de um 
modo tal que a distância entre as várias partes que constituem o corpo 
(ou o sistema) não varia com o tempo (não mudam), ou seja, as 
distâncias entre as várias partes que compõem o corpo são 
rigorosamente constantes. Não apresenta nenhuma deformação relativa 
entre suas partes. 
 
 Introdução - Dinâmica 
Conceitos Básicos 
9 
 
 
Escalar. a quantidade com a qual somente a grandeza está associada. 
Exemplos: tempo, volume, massa, densidade... 
Vetor. a quantidade na qual a direção, bem como a magnitude, está 
associada. Exemplos: deslocamento, velocidade, aceleração, força... 
 
Em dinâmica, o tipo em negrito é usado para simbolizar os vetores e o tipo 
comum, para escalares. Assim V = V1 + V2 representa o vetor soma de dois 
vetores, enquanto S = S1 + S2 representa a soma de dois escalares. 
 
Frequentemente, o uso de derivada de vetores e escalares em relação ao tempo 
é utilizado. Como notação, um ponto sobre a quantidade será usado para 
indicar uma derivada em relação ao tempo: significa dx/dt e para 
d2x/dt2. 
 
 
 Introdução - Dinâmica 
Conceitos Básicos 
x x
10 
 
 
Newton conseguiu elaborar uma teoria unificada para a Física e esta 
teoria é descrita em três leis, conhecidas como as leis de Newton. 
Primeira lei de Newton ou Princípio da Inércia 
na ausência de forças externas, um objeto em repouso permanece em 
repouso, e um objeto em movimento permanece em movimento. 
 
Segunda lei de Newton ou Princípio Fundamental da Dinâmica 
a força aplicada a um objeto é igual à massa do objeto multiplicado por 
sua aceleração. 
 
Terceira lei de Newton ou Princípio da ação e reação 
Se um objeto exerce uma força sobre outro objeto, este outro exerce 
uma força de mesma intensidade, de mesma direção e em sentido 
oposto. 
 Introdução - Dinâmica 
3 - Leis de Newton 
11 
 
 
A segunda lei de Newton é básica para a maioria das análises em 
Mecânica. Quando aplicada a uma partícula de massa m pode ser fixada 
como: F = ma (ou de outra forma ) 
Onde F é a força resultante que atua sobre a partícula e a é a aceleração 
resultante. 
 
A primeira lei de Newton é uma consequência da segunda, desde que 
não haja nenhuma aceleração quando a força é zero, e a partícula 
esteja em repouso ou move-se a velocidade constante. 
 
A terceira lei é básica para a compreensão de força. Ela estabelece que 
as forças sempre ocorrem em paresde igualdade e são opostas, sem 
observar-se a sua origem, e permanece válida para todo instante do 
tempo durante o qual as forças atuam. 
 Introdução - Dinâmica 
Leis de Newton 
amF


12 
 
 
Nos últimos anos, todos os países do mundo vêm adotando o Sistema 
Internacional de Unidade - SI - para todos os trabalhos de Engenharia e 
científicos. As tabelas resumem as unidades que formam a bases para 
os cálculos mecânicos e seus prefixos mais usados: 
 Introdução - Dinâmica 
4 - Unidades 
Grandeza Nome Símbolo 
 Comprimento metro m 
 Massa quilograma kg 
 Tempo segundo s 
Força newton N 
Nome Símbolo Multiplicador 
giga G 109 
mega M 106 
quilo k 103 
mili m 10-3 
micro m 10-6 
nano n 10-9 
13 
 
 
A lei da Gravitação Universal diz que dois objetos quaisquer se 
atraem gravitacionalmente por meio de uma força que depende das 
massas desses objetos e da distância que há entre eles. 
Dados dois corpos de massa m1 e m2, a uma distância d entre si, esses 
dois corpos se atraem mutuamente com uma força que é proporcional à 
massa de cada um deles e inversamente proporcional ao quadrado da 
distância que separa esses corpos. Matematicamente: 
 
 
onde 
F é a força mútua de atração entre os dois corpos; 
G é constante gravitacional universal; 
m1 e m2 são as massas dos corpos que se atraem entre si; e 
r é a distância entre os dois corpos. 
 Introdução - Dinâmica 
5 - Gravitação 
2
21
r
mm
GF 
14 
 
 
O peso de um corpo é a força gravitacional de atração exercida sobre 
esse corpo pela Terra e depende da posição do corpo em relação à 
Terra. Esta força existe estando o corpo em repouso ou em movimento. 
 
Todo objeto que é deixado cair no vácuo numa dada posição, na 
superfície terrestre, terá a mesma aceleração g. 
 
 
onde mT é a massa da Terra e r o seu raio. 
 
A aceleração devida à gravidade, quando determinada pela lei gravitacional, é a 
aceleração de um grupo de eixos de referência com origem no centro da Terra, 
porém não girando com a mesma. 
g = 9,824 m/s2 
 Introdução - Dinâmica 
Gravitação 
2r
Gm
g T
15 
 
 
A variação de g com a altitude pode ser determinada pela lei 
gravitacional. Se g0 apresenta a aceleração absoluta devido à gravidade 
ao nível do mar, o valor absoluto numa altitude h é: 
 
 
onde r é o raio da Terra. 
 
A massa m de um corpo pode ser calculada pelo resultado de uma experiência 
gravitacional. Se a força gravitacional de atração ou peso verdadeiro de um 
corpo for W, para uma aceleração absoluta g, tem-se: 
 
W = mg 
 
 Introdução - Dinâmica 
Gravitação 
2
2
0
)( hr
r
gg


16 
 
 
O estudo da Dinâmica é dirigido no sentido da compreensão e da 
descrição das diversas quantidades envolvidas nos movimentos dos 
corpos. Esta descrição, que é amplamente matemática, habilita fazer 
prognósticos em relação ao comportamento da Dinâmica. Necessita-se, 
porém, para formular esta descrição de um duplo processo mental. É 
preciso pensar tanto em termos da situação física como nos da 
descrição matemática correspondente. A análise de cada problema 
requer esta contínua transição reflexiva entre aquilo que diz respeito à 
Física e à Matemática. 
 
Durante a construção do modelo matemático idealizado para qualquer 
problema de Engenharia, certas aproximações estarão sempre presentes. 
Algumas delas podem ser matemáticas, enquanto outras serão físicas. O 
grau da hipótese depende da informação ou da precisão que se deseja. 
 Introdução - Dinâmica 
6 - Descrição de Problemas de Dinâmica 
17 
 
 
A utilização de métodos eficazes para solucionar problemas de 
Dinâmica – bem como todos os problemas de Engenharia – é essencial. 
Cada solução deve ser buscada através de uma sequência lógica que vai 
do levantamento de hipóteses até a conclusão. A sistematização da 
tarefa deve incluir o estabelecimento das seguintes partes, cada uma 
delas claramente identificadas: 
 1. dados fornecidos; 
 2. resultados desejados; 
 3. diagramas necessários; 
 4. cálculos; 
 5. respostas e conclusões. 
Para descrever as relações entre as forças e os movimentos que elas 
produzem, é essencial que o sistema para o qual um princípio é aplicado seja 
claramente definido. 
 Introdução - Dinâmica 
Descrição de Problemas de Dinâmica 
18 
 
 
Para descrever as relações entre as forças e os movimentos que elas 
produzem, é essencial que o sistema para o qual um princípio é 
aplicado seja claramente definido. Algumas vezes uma única partícula 
ou um corpo rígido é o sistema a ser isolado, enquanto que em outras 
vezes dois ou mais corpos considerados juntos constituem o sistema. A 
definição do sistema a ser analisado torna-se clara através da construção 
do seu diagrama de corpo livre. 
 Introdução - Dinâmica 
Descrição de Problemas de Dinâmica 
 
 
Um pesquisador, a ser chamado por observador O, construiu um mini-
laboratório (mini-lab) convidando um colega seu, a ser chamado por 
observador O', para que permaneça no interior do mini-lab para ajudá-lo 
em suas pesquisas. O mini-lab anda sobre trilhos perfeitos, sem atrito, e 
vamos assumir, por facilidade, que não há gravitação neste local. Vamos 
desprezar também outros atritos e viscosidades. Pelo princípio da 
relatividade de Galileu é de se esperar que as leis do modelo mecânico 
newtoniano, válidas no laboratório original, sejam válidas também neste 
mini-lab, sempre que ele estiver com velocidade constante em relação a 
um referencial fixo ao laboratório original. 
 Introdução - Dinâmica 
7 - O Movimento Absoluto e a Física de Newton 
 
 Uma experiência de pensamento 
 
 
No interior do mini-lab existem duas bolinhas A e B e duas molas, como 
mostra a figura. As bolinhas A e B estão fixas a molas comprimidas e 
travadas, e em repouso em relação ao mini-lab. Uma terceira bolinha C 
está no teto do mini-lab e no compartimento exterior, mas fixa ao 
mesmo. No laboratório original que contém o mini-lab existe uma 
terceira mola fixa ao teto. Esta terceira mola não está comprimida e 
localiza-se exatamente no trajeto por onde irá passar a bolinha C quando 
o mini-lab entrar em movimento. 
 Introdução - Dinâmica 
O Movimento Absoluto e a Física de Newton 
 
 
Num dado instante o observador O aciona um mecanismo e coloca o 
mini-lab em movimento a uma velocidade v (pode ser uma velocidade 
pequena, pois não vamos aqui testar a teoria da relatividade de Einstein). 
Quando a bolinha C encostar na mola distendida, ela começa a 
comprimir a mola e vamos supor que, através de um mecanismo 
apropriado, ela solte-se do mini-lab e se fixe à mola exterior (deixando 
portanto de acompanhar o mini-lab). Ao final da compressão a mola 
trava-se, graças a outro mecanismo apropriado. Exatamente nesse 
instante o observador O' aciona um mecanismo a destravar as duas 
molas interiores e a soltar as bolinhas A e B. Estas ficam então soltas no 
espaço recebendo o impulso das molas ao se distenderem. 
 Introdução - Dinâmica 
O Movimento Absoluto e a Física de Newton 
 
 
Vamos supor, por facilidade, que o aparato foi construído de tal maneira 
que as duas bolas adquiram uma velocidade v, em relação ao observador 
O', igual à velocidade do mini-lab em relação ao observador O. Nestas 
condições teremos, ao final da experiência, as duas bolinhas A e C em 
repouso em relação ao observador O e a bolinha B com a velocidade 2v. 
Em relação ao observador O', do mini-lab, as bolinhas A e C afastam-se 
para a esquerda na velocidade v e a bolinhaB afasta-se para a direita 
também na velocidade v. 
 Introdução - Dinâmica 
O Movimento Absoluto e a Física de Newton 
 
 
Em termos do modelo mecânico newtoniano, é relativamente fácil 
explicar tudo o que aconteceu durante todo o processo. Também não é 
difícil perceber que cada um dos observadores irá concordar que a 
energia, da maneira como é definida em física clássica, se conserva; se 
bem que os argumentos utilizados serão diversos, pois eles estão em 
referenciais distintos. De qualquer maneira, existem alguns componentes 
comuns a ambas interpretações e a independer do referencial, quais 
sejam: 1) a energia armazenada na mola que foi comprimida; 2) a 
energia das duas molas que se distenderam, e que acabou se 
transformando em energia cinética das bolas A e B no referencial do 
mini-lab (e estas sim, serão diferentes de um observador para outro); e 3) 
a energia correspondente ao impulso inicial a colocar o mini-lab em 
movimento. 
 Introdução - Dinâmica 
O Movimento Absoluto e a Física de Newton 
 
 
Sem entrar em maiores detalhes a respeito da localização e/ou 
comparação dessas energias relativas e não-relativas. Na realidade, o que 
se pretende é analisar esta experiência de pensamento sobre um outro 
prisma, aquele relativo a um possível absolutismo do movimento. Em 
particular, pretende-se mostrar que esse absolutismo do movimento não 
implica na existência de um referencial absoluto, pensado como algo a 
ser fixado num hipotético espaço absoluto. 
Raciocinando fisicamente ninguém pode contestar a seguinte verdade: 
algo está se movendo, qualquer que seja o referencial da observação. 
Portanto, e sob esse aspecto, o movimento existe num sentido absoluto, 
sendo relativo apenas quando pensamos em descrever em qual dos 
objetos esta propriedade foi constatada. O movimento não seria uma 
propriedade da matéria em si, mas algo mutável e a depender da postura 
do observador. 
 Introdução - Dinâmica 
O Movimento Absoluto e a Física de Newton 
 
 
Umas das aplicações mais comum, que se faz necessário o uso de 
propriedades vetoriais, é o estudo da velocidade relativa em mais de uma 
dimensão. Pode-se ver inicialmente como as observações feitas em 
diferentes sistemas de referência estão relacionadas uma com a outra. 
Por exemplo, considere dois carros se aproximando um do outro, em 
linha reta, onde cada um viaja com uma velocidade de 50 km/h com 
respeito a Terra. v1 = v2 = 50 km/h 
Observadores na Terra, ao lado da estrada, medirão uma velocidade de 
50 km/h para ambos os carros, mas em sentido contrário. Observadores 
dentro dos carros (em referenciais diferentes) medirão uma velocidade 
de aproximação igual a vr = 100 km/h. 
 Introdução - Dinâmica 
8 - Velocidade Relativa 
 
 
Nota-se que quando objetos movem-se em uma mesma linha, uma soma 
simples ou subtração das velocidades envolvidas é suficiente para 
determinar a velocidade relativa. Isto significa que não é necessário, 
nestes casos, levar em conta as características vetoriais do movimento. 
Mas se os movimentos não estão na mesma linha, estas considerações 
não são válidas e somos forçados a fazer uso das somas vetoriais. 
Vejamos o movimento de um barco cruzando um rio. 
 Introdução - Dinâmica 
Velocidade Relativa 
 
 
Usando as notações: vbr velocidade do barco em relação as águas do rio, 
vbm velocidade do barco em relação a margem e vrm a velocidade do rio 
em relação a margem. Neste caso, a velocidade do barco em relação a 
margem (vbm) é igual a velocidade do bote no rio (vbr) mais o efeito da 
correnteza do rio (vrm). Como este movimento envolve velocidades em 
direções e sentidos diferentes, é necessário usar somas vetoriais. 
 vbm = vbr + vrm 
Neste exemplo, nota-se que para o barco chegar na outra margem do rio 
em um ponto (A) exatamente em frente ao ponto de partida é necessário 
que o movimento esteja inclinado. Este fato deve-se à influência da 
corrente de águas no rio. Caso contrário, se o barco estiver viajando 
sempre apontando para o ponto A, ele será arrastado pelas correntezas 
do rio. Conseqüentemente irá atingir a margem num ponto distante do 
ponto B. 
 Introdução - Dinâmica 
Velocidade Relativa 
28 
 
 
1. Para os vetores fornecidos V1 e V2, determine V1 + V2, V1 + V2, 
V1 - V2, V1 X V2 e V1 . V2. Considere os vetores adimensionais e 
seus módulos V1 = 12 e V2 = 15. 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: Lembre-se de que a grandeza vetorial está representada em 
negrito. 
 
 Introdução - Dinâmica 
9 - Atividades 
V1 
V2 
30º 
3 
4 
29 
 
 
2. Uma esfera considerada pontual é lançada verticalmente para cima. 
Após o lançamento, ela fica somente em contato com ar. Desprezando a 
força de resistência do ar para os itens a seguir, marque verdadeiro (V) 
ou falso (F) para cada uma das afirmações. 
 
( ) A única força que atua na esfera é a força peso. 
( ) Durante a subida, o vetor aceleração da esfera tem sentido para 
cima. 
( ) Durante a subida, o vetor velocidade tem sentido para cima. 
( ) Ao atingir o ponto mais alto da trajetória, a aceleração da esfera é 
nula. 
( ) Ao atingir o ponto mais alto da trajetória, a velocidade da esfera é 
nula. 
( ) A esfera pode ser considera pontual por ser pequena e possuir 
massa muito baixa. 
 Introdução - Dinâmica 
30 
 Cinemática das Partículas 
 
 1. Introdução 
2. Movimento Retilíneo 
 Exercícios Resolvidos 
 3. Interpretações Gráficas 
 Exercícios Resolvidos 
 4. Movimento Retilíneo Uniforme 
 5. Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado 
 6. Atividades 
 Dinâmica I 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
31 
1 - Introdução 
A cinemática trata da posição no espaço como função do tempo e 
geralmente refere-se à “geometria do movimento”. O cálculo de 
trajetórias de vôos de aviões e naves e o projeto de engrenagens e 
correntes para controlar ou produzir certos movimentos são exemplos 
de problemas cinemáticos. O movimento das partículas pode ser 
descrito através da especificação de coordenadas lineares ou angulares e 
suas derivadas em relação ao tempo. 
A cinemática das partículas será desenvolvida progressivamente pela 
discussão do movimento com uma, duas ou três coordenadas espaciais. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
32 
2 - Movimento Retilíneo de uma Partícula 
Consideremos uma partícula P movendo-se apenas ao longo de uma 
reta. Tal movimento é dito retilíneo ou unidimensional. Vamos escolher 
o eixo OX de nosso referencial ao longo dessa reta. A posição de P em 
qualquer instante de tempo t pode ser especificada por seu 
deslocamento Δs de algum ponto de referência O fixado sobre a linha. 
Seja x1 a posição da partícula no instante t1 e x2 a sua posição no 
instante t2. A variação de posição da partícula, do instante t1 ao instante 
t2, é a diferença x2 - x1. Isto é: Δs = x2 - x1 
 
 
 
 
 
 
Obs. Durante um movimento qualquer, podem ocorrer deslocamentos no sentido 
positivo ou negativo do eixo OX. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
33 
 
 
Movimento Retilíneo de uma Partícula - vm 
Considere um intervalo de tempo [t1, t2] com t2 ≠ t1; nesse caso, a 
duração t2 - t1 do intervalo é diferente de zero. Seja Δs o deslocamento 
da partícula no intervalo de tempo Δt = t2 - t1. A razão entre o 
deslocamento da partícula no intervalo de tempo gasto nesse 
deslocamento é chamada de velocidade média da partícula no intervaloconsiderado. 
 
 
 
 
 
Sendo a velocidade média a razão entre um deslocamento e um intervalo de tempo, a 
sua unidade será a razão entre as unidades de comprimento e de tempo que forem 
usadas. Se usamos o metro para os deslocamentos e o segundo para o tempo, a 
unidade de velocidade média é o metro por segundo, usualmente escrita como m/s. 
 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
t
s
tt
xx
vm






12
12
34 
Movimento Retilíneo de uma Partícula 
Considere agora uma partícula em movimento e dois instantes t e t+Δt 
durante o movimento, onde Δt é uma quantidade de tempo que vamos 
considerar cada vez mais próxima de zero sem, contudo, jamais ser 
igual a zero. A razão Δs/Δt pode ser escrita: 
 
Quando Δt se aproxima indefinidamente de zero, o intervalo com 
extremos em t e t+Δt torna-se cada vez mais próximo de um único 
instante t, e a velocidade da partícula se aproxima de um valor que 
chamamos de velocidade instantânea (v) no instante t. A velocidade 
instantânea v é o valor do qual a fração Δs/Δt aproxima-se quando Δt se 
aproxima de zero. Para expressar esse fato, usamos a seguinte 
simbologia: 
 ou 
 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
t
xx
t
s ttt




  )(
t
s
v
t 


 0
lim s
dt
ds
v 
35 
Movimento Retilíneo de uma Partícula - am 
Se ao longo da trajetória a velocidade instantânea da partícula varia de v 
em x1 para v +Δv em x2, a aceleração média durante o intervalo de 
tempo correspondente Δt é am = Δv/Δt, e será positiva ou negativa, 
dependendo se a velocidade está aumentando ou diminuindo. 
 
 
 
A aceleração instantânea (a) da partícula é a variação instantânea 
com o tempo da variação da velocidade, 
 
isto é, quando o valor Δt se aproxima indefinidamente de zero. 
 
 ou 
 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
t
v
a
t 


 0
lim
v
dt
dv
a  s
dt
sd
a 
2
2
36 
 
 
Exercício resolvido 1 
Uma partícula executa um movimento em linha reta dado por: 
s = 8 + Bt − 2t2 
onde B é uma constante. Sabendo que a partícula inverte o sentido de seu 
movimento no instante t = 5 segundos, determine o valor da constante B. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
smB
BtB
v
tB
dt
ds
v
/20
05.404
0
;4




37 
 
 
 
 
Exercício resolvido 2 
Uma partícula se move ao longo do eixo OX e seu movimento é dado por 
s = - t2 + 6t + 16, onde está subentendida a utilização do Sistema 
Internacional de Unidades. 
 
(a) Determine a expressão da velocidade e da aceleração da partícula. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
(b) Em que instantes e com que velocidades a partícula passa pela origem? 
2;62  a
dt
dv
atv
dt
ds
v 2;62  a
dt
dv
atv
dt
ds
v
ststttsorigem 8;20166;0: 21
2 
smvsmv /106)8.(2;/106)2.(2 21 
38 
 
 
Exercício resolvido 3 
A velocidade de uma partícula ao longo do eixo x é dada por v = 5 u3/2, 
onde v é expresso em milímetros por segundo. Determine a aceleração 
quando u vale 2. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
2
2
1
2
1
2/3
/6,10
)2(
2
15
2
;5
2
3
)5(
smma
au
ua
dt
ud
a
dt
dv
a




39 
 
 
Exercício resolvido 4 
Consideremos um ponto material que desloca em linha reta, de modo que 
sua posição seja definida por x = 6t2 – t3, onde t é expresso em segundos e 
x em metros. Determine (a) sua função velocidade, (b) sua função 
aceleração e (c) um esboço dos gráficos de x, v e a em função do tempo. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
2;312 2  a
dt
dv
attv
dt
ds
v ta
dt
dv
aaaatv
dt
ds
v 612;62 
(a) (b) 
(c) Uma análise dos três diagramas do movimento pode nos mostrar que o 
movimento do ponto material desde t = 0 até t = ∞ pode ser dividido em 
quatro fases: 
 
. O ponto material parte da origem, x = 0, com velocidade zero, mas com 
aceleração positiva. Animado com esta aceleração, o ponto adquire uma 
velocidade positiva no sentido positivo. De t = 0 a t = 2 s, x, v e a são 
todos positivos. 
40 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
. Em t = 2 s, a velocidade é zero; a velocidade atinge o valor máximo. De t = 
2 s a t = 4 s, v é positivo; mas a é negativo; o ponto move-se, ainda, no sentido 
positivo, cada vez mais lentamente; está desacelerado. 
. Em t = 4 s a velocidade é zero; a coordenada de posição x alcança o valor 
máximo. Daqui por diante, v e a são negativos; o ponto está acelerado e move-se 
no sentido negativo, com um aumento de velocidade. 
 
. Em t = 6 s, o ponto passa pela origem; sua coordenada x é então, zero, enquanto 
a distância total percorrida desde o início do movimento é 64 m. Para valores de t 
maiores que 6 s, x, v e a serão todos negativos. O ponto irá se movimentar no 
sentido negativo, afastando-se de O, cada vez mais rapidamente. 
 
41 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
Não se deve esquecer que o ponto material não se move ao longo de qualquer 
uma dessas curvas; o ponto move-se sobre uma reta. Como a derivada de uma 
função mede a inclinação da curva correspondente, a inclinação da curva x – t, 
para qualquer instante dado, é igual ao valor de v nesse instante, e a inclinação 
da curva v – t é igual ao valor de a. Já que a = 0 para t = 2 s, a inclinação da 
curva v – t deve ser zero para t = 2 s; a velocidade alcança um máximo nesse 
instante. Também, sendo v = 0 para t = 4 s, a tangente a curva x – t deve ser 
horizontal para este valor de t. 
42 
 
 
Movimento Retilíneo de uma Partícula 
Comentário: 
É possível determinar o movimento de uma partícula conhecendo-se 
sua velocidade em qualquer instante do movimento e a sua posição em 
um certo instante? 
 
 
Vamos pensar o exemplo em que a velocidade de uma partícula seja 
dada por vx = 5m/s e que a sua posição no instante t = 4s seja 20m. 
Vamos supor, ainda, que o movimento dessa partícula esteja definido 
para t ≥ 0. É possível conhecer seu movimento no decorrer do tempo? 
 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
43 
3. Interpretações Gráficas 
A interpretação das equações diferenciais que governam o movimento 
retilíneo é consideravelmente esclarecida através da representação 
gráfica das relações entre s, v, a e t. 
 
 
 
 
 
 
Como vimos, para se determinar a velocidade de uma partícula num 
instante t, podemos usar o intervalo [t1, t2]. A velocidade média nesse 
intervalo é v = Δx/Δt = (x2 - x1)/(t2 - t1), o que equivale à declividade da 
secante “r”. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
44 
Interpretações Gráficas 
Para um valor mais aproximado podemos tomar o intervalo [t3, t4], quando 
então a velocidade média será v = (x4 - x3)/(t4 - t3) que é igual à declividade 
da secante “s”. Se reduzirmos o intervalo de tempo, a secante se aproxima 
da tangente à curva, cuja declividade representará o valor da velocidade 
no instante t. Assim, a velocidade no instante t é a declividade da tangente 
à curva no instante considerado. 
A tangente à curva para algum instante de tempo t, obtém-se a sua taxa 
de variação. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica45 
Interpretações Gráficas 
Então, construindo a tangente à curva para algum instante de tempo 
t, obtém-se a sua taxa de variação, que é a velocidade: 
 
 
Assim, a velocidade pode ser determinada para todos os pontos sobre a 
curva e representada graficamente contra o tempo correspondente. 
 
 
 
 
 
 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
dt
ds
sv  
46 
Interpretações Gráficas 
Supondo que desejamos determinar o espaço percorrido no intervalo de 
tempo Δt = t2 – t1, representado no gráfico v x t. Podemos dividir o 
intervalo em intervalos menores e considerar que em cada intervalo a 
média das velocidades inicial e final seja a velocidade média (vm) no 
intervalo. 
 
 
 
 
 
 
Em cada intervalo, a distância percorrida será aproximadamente igual à 
vm.Δt, o que equivale à área de um retângulo de base Δt e altura vm. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
47 
Interpretações Gráficas 
A distância total percorrida será a soma das áreas de todos os retângulos. 
Se tomarmos os retângulos com Δt → 0, a área será v(ti) onde ti são os 
valores de t em cada um dos instantes que constituem o intervalo de 
tempo. 
 Como a soma corresponde a infinitos intervalos escrevemos : 
Ou seja, o espaço percorrido é a integral da equação da velocidade 
definida no intervalo de tempo considerado. 
 
Dizendo de uma outra forma, a área sob a curva v x t durante o intervalo 
de tempo dt é “v dt”, que é o deslocamento ds. Consequentemente, o 
deslocamento da partícula durante o intervalo de t1 até t2 é a corresponde 
área sob a curva, dada por: 
 ou 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 

2
1
)(
t
t
dttv
 
2
1
2
1
t
t
s
s
vdtds 
2
1
12
t
t
vdtss
48 
Interpretações Gráficas 
Observação: 
Na realidade, a integral não é o espaço percorrido, mas sim o deslocamento. Se o 
gráfico intercepta o eixo horizontal, ao calcular a integral da região abaixo do 
eixo horizontal esta resultará em um valor negativo. Isto indica que o móvel 
descreveu um movimento retrógrado. Ao calcular a integral, a área abaixo do eixo 
será subtraída da área acima do eixo. Assim, o resultado da integral será 
correspondente ao deslocamento. Para obter a distância efetivamente percorrida 
deve-se integrar a equação da velocidade dividindo o intervalo em intervalos 
acima e abaixo do eixo horizontal e somar os valores absolutos encontrados. 
 
Podemos agora voltar à questão inicial: “É possível determinar o 
movimento de uma partícula conhecendo-se sua velocidade em 
qualquer instante do movimento e a sua posição em um certo instante?” 
 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
49 
Interpretações Gráficas 
No exemplo proposto em que a velocidade de uma partícula foi dada 
por vx = 5m/s e que a sua posição no instante t = 4s seja 20m. É 
possível conhecer seu movimento no decorrer do tempo utilizando o 
conceito de integral! 
A partir do que foi exposto, podemos escrever: 
 
 
 
 
 
Note que o conhecimento da equação da velocidade de uma partícula não é 
suficiente para obtermos seu movimento. É necessário também fornecer a posição 
da partícula em um dado instante de tempo; no caso, em t = 4s. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
txtx
dtx
vdtss
t
t
t
5)4(520
520
2
2
1
4
12





50 
Interpretações Gráficas 
Do mesmo modo, construindo a tangente à curva para algum 
instante de tempo t, obtém-se a sua taxa de variação, que é a 
aceleração: 
 
Logo, a taxa de variação dv/dt da curva v x t em qualquer instante de 
tempo fornece a aceleração naquele instante. Assim, a aceleração pode 
ser determinada para todos os pontos e a curva a x t pode ser então 
representada. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
v
dt
dv
a 
51 
Interpretações Gráficas 
De maneira similar, a área sob a curva a x t durante o intervalo de tempo 
dt é “a dt”, que é a velocidade dv. 
 
 
 
 
 
 
Assim, a variação da velocidade da partícula durante o intervalo de t1 
até t2 é a corresponde área sob a curva, dada por: 
 
 ou 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
 
2
1
2
1
t
t
v
v
adtdv 
2
1
12
t
t
adtvv
52 
 
 
 
 
 
 
Exercício resolvido 1 
Considere uma partícula em queda livre, executando um movimento retilíneo, 
com aceleração constante a = g. Considere, por simplicidade, que no instante 
inicial t = 0 a velocidade seja v = v0. 
a) Escreva a velocidade em função do intervalo de tempo t. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
gtvvdtgdvgdtdvdtadv
dt
dv
a
tv
v
tv
v
  000 00. 
2
00
0
0
2
1
)(
0
gttvssdtgtvdsvdtds
dt
ds
v
ts
s
 
b) Supondo conhecida a posição inicial s = s0, obtenha a função do 
movimento em função do tempo t. 
c) Que tipo de movimento representam essas expressões? 
Um movimento retilíneo uniformemente variado (acelerado)! 
53 
 
 
 
 
Exercício resolvido 2 
A velocidade de uma partícula é dada por vx = −2 + 3t
2. Sabe-se ainda que 
em t = 2 s a sua posição é −16 m. 
(a) Encontre a sua “função-movimento”. 
 
 
 
 
 
(b) Determine as posições da partícula nos instantes t = 0s e t = 3s. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
3
0
3
0
3
0
0
2
0
0
0
220
20)2()2.(216
2)32(
tts
mss
ttssdttssvdtss
tt


 
msst
msst
tts
173
200
220 3



54 
 
 
Exercício resolvido 3 
Uma partícula se move ao longo do eixo x com uma velocidade inicial 
vx = 50 m/s na origem quando t = 0. Para os primeiros 4 segundos a partícula 
não possui aceleração, e após esse intervalo de tempo ela sofre a ação de uma 
força retardadora que fornece uma aceleração constante ax = -10 m/s
2. 
Calcule a velocidade e a coordenada x da partícula para as condições de t = 8 s 
e t = 12 s, e encontre a máxima coordenada x positiva atingida pela partícula. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
90104010501050
4450
  tvtvdtvadtdv xx
t
x
tvx
Nos instantes de tempo especificados, as velocidades são: 
smvst
smvst
x
x
/30)12.(109012
/10)8.(10908


A velocidade da partícula após t = 4 s é determinada a partir de: 
55 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
A dependência da velocidade com o tempo pode ser representada graficamente: 
A coordenada x da partícula em qualquer instante após 4 s é a distância percorrida 
durante os primeiros 4 s mais a distância percorrida após a descontinuidade na 
aceleração ter ocorrido. Assim, 
 
t
ttdttx
4
2 80905)9010()4.(50
Para os dois instantes especificados: 
mxst
mxst
28080)12.(90)12.(512
32080)8.(90)8.(58
2
2


56 
 
 
Exercício resolvido 4 
De uma janela de um prédio, localizada a 20 m acima do solo, arremessa-se, 
verticalmente para cima, uma bola, com velocidade de 10 m/s. Sabendo-se 
que a aceleração da bola é constante e igual a 9,81 m/s2, para baixo, 
determinar (a) a velocidade v e elevação y da bola, relativamente ao solo, para 
qualquer instante t, (b) a máxima elevação atingida pela bola e o 
correspondente instantet e (c) o instante em que a bola atinge o solo e a sua 
correspondente velocidade. Esboçar os gráficos v – t e y – t. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
(a) Escolhemos o eixo y para medir a coordenada de posição (ou elevação), 
com origem O no solo e sentido positivo para cima. O valor da aceleração e os 
valores iniciais de v e y estão indicados na figura ao lado. Substituindo-se a 
em a = dv/dt = 0, v0 = +10 m/s, tem-se: 
tvtv
v
dtdv
sma
dt
dv
tv
tv
v
81,91081,910
]81,9[][
81,9
/81,9
010
010
2
0




 
57 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
Substituindo-se v em v = dy/dt e notando-se que para t = 0, y0 = 20 m, obtém-
se: 
2
0
2
20
020
90,41020
]90,410[][
)81,910(
81,910
0
tty
ty
dttdy
tv
dt
dy
ty
ty
y




 
58 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
(b) A velocidade da bola anula-se quando esta atinge a elevação máxima. Da 
expressão da velocidade, segue-se que: 
 10 – 9,81t = 0 → t = 1,02 s 
 
Substituindo-se t = 1,02 s na expressão de y, resulta: 
 y = 20 + 10.(1,02) – 4,90.(1,02)2 → y = 25,1 m 
 
 
(c) Quando a bola atinge o solo, tem-se y = 0. Fazendo-se y = 0 na expressão 
da posição, tem-se: 
 20 + 10t – 4,90t2 = 0 → t = -1,24 s e + 3,28 s 
59 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
Somente a raiz positiva corresponde a um tempo posterior ao início do 
movimento. Levando-se este valor de t para a expressão da velocidade, tem-
se, finalmente: 
 v = 10 – 9,81.(3,28) = – 22,2 m/s 
60 
4. Movimento Retilíneo Uniforme 
Este é um tipo de movimento retilíneo frequentemente encontrado em 
aplicações práticas. Nesse movimento, a aceleração a do ponto material é 
nula para qualquer valor de t. A velocidade v é, dessa forma, constante: 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
teconsv
dt
ds
tan
vtss
vtss
dtvds
ts
s


 
0
0
00
A coordenada de posição s é obtida pela integração desta equação. 
Denotando-se por s0, o valor inicial de s, escrevemos: 
 
Esta equação pode ser usada somente quando a velocidade do ponto 
material for constante! 
Movimento Retilíneo Uniforme 
61 
Movimento Retilíneo Uniforme 
62 
 Cinemática das Partículas - Dinâmica 
63 
5. Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado 
Neste outro tipo de movimento, a aceleração a do ponto material é 
constante: 
 
A velocidade v do ponto material é obtida pela integração desta equação: 
 
 
 
Onde v0 é a velocidade inicial. 
 
Chamando-se de s0 o valor inicial de s e integrando-se 
a substituição da equação da velocidade, escrevemos: 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
teconsa
dt
dv
tan
atvv
atvv
dtadv
tv
v


 
0
0
00
2
00
2
00
0
0
0
2
1
2
1
)(
0
attvss
attvss
dtatvds
atv
dt
ds
ts
s





64 
Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado 
Podemos também escrever: 
 
 
Então: ; 
 
 
Integrando-se ambos os membros, obtemos: 
 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
dx
dv
v
dx
dx
dt
dv
dt
dv
a  .
tecons
dx
dv
va tan tecons
dx
dv
v tan
)(2
)()(
2
1
0
2
0
2
0
2
0
2
00
ssavv
ssavv
dxavdv
x
x
v
v


 
65 
Comentário: As três equações deduzidas acima fornecem relações úteis entre 
coordenada de posição, velocidade e tempo para o caso de um movimento 
uniformemente acelerado, assim que a, v0 e x0 forem substituídos por valores 
apropriados. Primeiramente, deve ser definida a origem O do movimento, 
escolhendo-se sentidos positivos ao longo dos eixos; estes sentidos 
possibilitarão determinar os sinais de a, v e x0. Uma aplicação importante de 
um movimento uniformemente acelerado é na queda livre de um corpo. 
A aceleração de um corpo em queda livre (geralmente indicada por g) é igual 
a 9,81 m/s2, valor tomado como padrão (aceleração normal). Efetivamente, 
este valor depende da posição considerada, sobre a superfície da Terra, e de 
sua distância ao centro desta. 
 
É importante não esquecer que as três equações anteriores podem ser 
usadas somente quando a aceleração do ponto material é constante. Se a 
aceleração do ponto for variável, seu movimento será determinado pelas 
equações de derivação. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado 
66 
 Cinemática das Partículas - Dinâmica 
Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado 
67 
 Cinemática das Partículas - Dinâmica 
68 
6. Atividades 
1. A coordenada de posição de uma partícula que está confinada a se mover ao 
longo de uma linha reta é dada por s = 2t3 – 24t + 6, onde s é medida em 
metros a partir de uma origem conveniente e t é expresso em segundos. 
Determine: 
(a) o tempo requerido para a partícula atingir a velocidade de 72 m/s a partir 
da sua condição inicial em t = 0; 
(b) a aceleração da partícula quando v = 30 m/s; 
(c) o deslocamento da partícula no intervalo de tempo desde t = 1 s até t = 4 s. 
 
R: (a) 4 s; (b) 36 m/s2; (c) 54 m 
 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
69 
2. Uma partícula se move ao longo de uma linha reta com uma velocidade em 
milímetros por segundo dada por v = 400 – 16t2, onde t é expresso em 
segundos. Calcule o deslocamento Δs durante os primeiros 6 segundos de 
movimento. 
R: 1,248 m 
 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
70 
3. A aceleração de uma partícula é dada por a = 4t – 30, onde a é expressa 
em metros por segundo ao quadrado e t em segundos. Determine a 
velocidade e o deslocamento como funções do tempo. O deslocamento 
inicial em t = 0 é s0 = -5 m, e a velocidade inicial é v0 = 3 m/s. 
 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
71 
4. (a) Um foguete é lançado do repouso verticalmente para cima. Se ele foi 
projetado para manter uma aceleração constante para cima de 1,5g, calcule o 
tempo t necessário para o foguete atingir uma altitude de 30 Km e a sua 
velocidade nessa posição. 
 
 (b) Um carro consegue parar completamente a partir de uma velocidade 
inicial de 80 Km/h em uma distância de 30 m. Com a mesma aceleração 
constante, qual seria a distância de parada s a partir de uma velocidade inicial 
de 110 Km/h? 
R: (a) 63,9 s e 940 m/s; (b) 56,7 m 
 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
72 
5. (a) Um projétil é lançado verticalmente para cima com uma velocidade 
inicial de 200 m/s. Calcule a máxima altitude h atingida pelo projétil e o 
tempo t após o lançamento para ele retornar ao chão. Despreze a resistência 
do ar e tome a aceleração da gravidade como sendo constante em 9,81 m/s2. 
 
 (b) Uma bola é lançada verticalmente para cima com uma velocidade 
inicial de 25 m/s de um plano próximo a um planalto de 15 m de altura. 
Determine a distância h acima do planalto atingida pela bola e o tempo t 
após o lançamento em que ela aterrissa nele. 
R: (a) 2040 m e 40,8 s; (b) 16,86 m e 4,4 s 
 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
73 
 
 
6. O gráfico mostra a história do deslocamento no tempo para um movimento 
retilíneo de uma partículadurante um intervalo de 8 segundos. Determine a 
velocidade média vméd durante o intervalo e, dentro de limites aceitáveis de 
precisão, encontre a velocidade instantânea v quando t = 4 s. 
R: –0,75 m/s e –1,25 m/s 
 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
74 
 
 
7. A velocidade de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por 
v = 2 + 5t3/2, onde t é expresso em segundo e v em metros por segundo. 
Avalie o deslocamento s, a velocidade v e a aceleração a quando t = 4 s. 
A partícula está na origem s = 0 quando t = 0. 
R: 72 m; 42 m/s; 15 m/s2 
 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
75 
 
 
8. A posição de um ponto material que se desloca em linha reta é definida 
pela relação x = t3 - 6t2 - 15t + 40, onde x é expresso em metros e t em 
segundos e t ≥ 0. 
Determine (a) o instante em que a velocidade será nula, (b) a posição e a 
distância percorrida pelo ponto até esse instante, (c) a aceleração do ponto 
nesse instante, (d) a distância percorrida pelo ponto de t = 4 s a t = 6 s. 
 
R: 5 s; 100 m; 18 m/s2; 2 m 
 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
76 
 
 
9. Para um breve intervalo de tempo, a velocidade do carro que se move em 
linha reta é dada por v = (3t2 + 2t) m/s, onde t é expresso em segundos. 
Determine a posição e a aceleração do carro para t = 3 s. 
Sabe-se que quando t = 0 e s = 0. 
 
R: 36 m; 20 m/s2 
 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
77 
 
 
Questão Desafio: 
 
A aceleração de um ponto material é definida por a = kt2, no sistema 
internacional de unidades. Sabendo-se que v = - 24 m/s quando t = 0 e que 
v = + 40 m/s quando t = 4 s 
(a) determine a constante k. 
(b) Sabendo-se também que x = 6 m quando t = 2 s escreva as equações da 
posição e da velocidade que caracterizam o movimento. 
 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
78 
 Dinâmica 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
 Cinemática Vetorial de Partículas 
 
 1. Introdução 
 
 2. Velocidade 
 
 3. Aceleração 
 
 4. Visualização do Movimento 
 
 5. Coordenadas Retangulares 
 
 6. Movimento de Projéteis 
 
 7. Coordenadas Normal e Tangencial (n-t) 
 
 8. Movimento Circular 
 
 9. Coordenadas Polares (r-θ) 
 
 
79 
1 - Introdução 
O caso do movimento tridimensional mais geral é aquele que trata do 
movimento de uma partícula ao longo de uma trajetória curva que pertence 
a um único plano. 
Considere o movimento como representado na figura abaixo. No instante t 
a partícula está na posição A, que é localizada pelo vetor posição r medido 
a partir de alguma origem fixa conveniente O. No instante t + Δt, a 
partícula está em A’, localizada pelo vetor posição r + Δr. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
80 
Nota-se que essa é uma combinação vetorial, e não uma adição escalar. O 
deslocamento da partícula durante o intervalo de tempo Δt é o vetor Δr, 
que representa a variação vetorial da posição. 
 
A distância percorrida pela partícula conforme ela se move de A para A’ é 
o comprimento escalar Δs medido ao longo da trajetória. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
 Cinemática Vetorial de Partículas 
81 
 Cinemática das Partículas - Dinâmica 
82 
2 - Velocidade 
A velocidade média da partícula entre A e A’ é definida como , 
que é um vetor cuja direção é a de Δr. A velocidade escalar média da 
partícula entre A e A’ é o quociente escalar Δs/Δt. 
A velocidade instantânea (v) da partícula é definida como valor-limite 
da velocidade média conforme o intervalo de tempo se aproxima de zero. 
Assim: 
 
A direção de se aproxima da tangente à trajetória conforme Δt se 
aproxima de zero; assim a velocidade é sempre um vetor tangente à 
trajetória. 
Ampliando a definição básica da derivada de uma grandeza escalar para 
incluir uma grandeza vetorial, temos: 
 
A derivada de um vetor é também um vetor que tem módulo e direção. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
t
r
vméd





v

t
r
v
t 





0
lim
r


r
dt
rd
v 




83 
Recorrendo novamente à figura, fica então definido a velocidade da 
partícula em A pelo vetor tangente v e a velocidade em A’ pela tangente v’. 
 
Existe uma variação vetorial na velocidade durante o tempo Δt, sendo que 
a velocidade v em A mais (vetorialmente) a variação Δv igual à velocidade 
em A’: v’ – v = Δv. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
Soma Vetorial 
84 
 Cinemática das Partículas - Dinâmica 
85 
3 - Aceleração 
A aceleração média da partícula entre A e A’ é definida como Δv/Δt, 
que é um vetor cuja direção é a de Δv. 
A aceleração instantânea (a) da partícula é definida como o valor-
limite da aceleração média, conforme o intervalo de tempo se aproxima 
de zero. Assim: 
Pela definição da derivada, então pode-se escrever: 
 
Obs.: À medida que o intervalo Δt se torna menor e se aproxima de zero, a 
direção da variação Δv se aproxima daquela da variação diferencial dv e, 
assim, de a. A aceleração a inclui os efeitos tanto da variação do módulo de v 
quanto da variação da direção de v. Então, em geral, a direção da aceleração 
de uma partícula em um movimento curvilíneo não é nem tangente à trajetória 
nem normal a ela; porém, a componente da aceleração que é normal à 
trajetória aponta sempre para o seu centro de curvatura. 
 
 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
a

t
v
a
t 





0
lim
v
dt
vd
a 




86 
4 - Visualização do Movimento 
Abaixo temos uma interpretação gráfica da aceleração, onde os vetores 
posição de posições arbitrárias sobre a trajetória da partícula são mostrados. 
Existe um vetor velocidade tangente à trajetória correspondentes a cada vetor 
posição. Os vetores aceleração são mostrados para instantes quaisquer, 
escolhidos arbitrariamente. 
 
 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
87 
5 - Coordenadas Retangulares (x-y) 
Este sistema de coordenadas é particularmente útil para a descrição do 
movimento quando as componente x e y da aceleração são independentemente 
geradas ou determinadas. O movimento curvilíneo resultante é então obtido 
pela combinação vetorial das componentes x e y dos vetores posição, 
velocidade e aceleração. 
 
Na figura podemos visualizar a trajetória de uma partícula, mostrada ao longo 
dos eixos x e y. O vetor posição r, a velocidade v e a aceleração a da 
partícula são representados juntamente com suas componentes. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
88 
Com o auxílio dos vetores unitários i e j, pode-se escrever os vetores r, 
v e a em termos das suas coordenadas x e y. Assim, 
 
 r = xi + yj 
 v = dr/dt = vxi + vyj ou 
 a = dv/dt = axi + ayj 
 
Como observado anteriormente, a direção da velocidade é sempre 
tangente à trajetória, e a partir da figura, fica claro que: 
 
 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
jyixrva
jyixrv
jyixr
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ








22
22
yx
x
y
yx
aaa
v
v
tgvvv

 
89 
Se as coordenadas x e y são conhecidas, pode-se em qualquer instante 
de tempo combiná-las para obterr. Do mesmo modo, combinam-se 
suas primeiras derivadas e para obter v, e suas segundas derivadas 
 para obter a. 
Por outro lado, se as componentes da aceleração ax e ay são dadas como 
funções do tempo, pode-se integrar cada uma separadamente com 
relação ao tempo, uma vez para obter vx e vy e novamente para obter x e 
y. A eliminação do tempo t entre essas duas últimas equações 
paramétricas fornece a equação da trajetória da curva y = f(x). 
 
Obs.: A partir dessa discussão, percebe-se que a representação em 
coordenadas retangulares do movimento curvilíneo é meramente a 
superposição das componentes de dois movimentos retilíneos simultâneos nas 
direções x e y. Desse modo, tudo que foi tratado sobre o M.R. pode ser 
aplicado separadamente para o movimento em x e para o movimento em y. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
x
y
x
y
 Cinemática Vetorial de Partículas 
90 
 Cinemática das Partículas - Dinâmica 
91 
6 - Movimento de Projéteis 
A figura apresenta o movimento de uma partícula no plano x-y. 
 
 
 
 
 
 
 
Para os eixos mostrados, as componentes de aceleração são ax = 0 e 
ay = - g. A integração dessas acelerações segue os resultados obtidos 
para aceleração constante, e fornece: 
vx = vx0 ; vy = vy0 – gt 
x = x0 + vx0 t ; y = y0 + vy0 t – ½gt
2 
vy
2 = vy0
2 – 2g(y – y0) 
 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
92 
Em todas essas expressões, o subscrito zero denota as condições 
iniciais, frequentemente tomadas onde o lançamento ocorre, para o 
caso ilustrado x0 = y0 = 0. Desprezam-se o arrasto aerodinâmico, a 
curvatura e a rotação da Terra e considera-se que a variação de altitude 
é pequena o suficiente, de tal modo que a aceleração devida à 
gravidade pode ser considerada constante. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
Movimento de Projéteis 
93 
 Cinemática das Partículas - Dinâmica 
94 
 Cinemática das Partículas - Dinâmica 
95 
 Cinemática das Partículas - Dinâmica 
96 
 Observações: 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
2
2
00
0
2
1
x
v
g
x
v
v
y
xx
y

 Se tomamos x0 = y0 = 0 (saindo da origem): 
de x = v0xt temos: t = x/v0x 
Substituindo na equação para y encontramos a 
equação da trajetória: 
(Equação de uma parábola !) Fotografia estroboscópica 
do movimento parabólico 
O movimento na direção y não depende da 
velocidade vx. Na figura ao lado, duas bolas são 
jogadas sob a ação da gravidade. A vermelha é 
solta (v0y=0) e a amarela tem velocidade inicial 
horizontal v0x. 
Em cada instante elas têm a mesma altura! 
97 
 Cinemática das Partículas - Dinâmica 
98 
 
 
Exercício resolvido 1 
Dispara-se um projétil, da extremidade de uma colina de 150 m de 
altura, com uma velocidade inicial de 180 m/s, num ângulo de 30º com 
a horizontal. Desprezando-se a resistência do ar, determinar (a) a 
distância horizontal da arma ao ponto onde o projétil atinge o solo, (b) a 
altura máxima que o projétil alcança em relação ao solo. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
99 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
Substituindo-se nas equações do movimento uniformemente acelerado, tem-se: 

















ayvv
attvy
atvv
yy
y
yy
2)(
2
1
)(
)(
2
0
2
2
0
0
yv
tty
tv
y
y
62,1910.1,8
90,490
81,990
32
2



2
0
/81,9
/90º30.180)(
sma
smsenvy


Movimento vertical → Movimento Uniformemente Acelerado. 
 
- Escolhendo o sentido do eixo y para cima e colocando a origem O na arma, 
temos: 
100 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
Movimento horizontal → Movimento Uniforme. 
 
- Escolhendo-se o sentido positivo do eixo x para a direita, tem-se: 
 
0
/9,155º30cos.180)( 0


a
smvx
Substituindo-se na equação do movimento uniforme, obtém-se: 
 tvx x 0)( tx 9,155
101 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
(b) Quando o projétil atinge a máxima elevação, temos vy = 0; levando-se este valor à 
equação da velocidade para o movimento vertical, escrevemos: 
Elevação máxima acima do solo = 150 m + 413 m → 563 m 
myy 41362,1910.10,80 3 
(a) Quando o projétil atinge o solo, temos: y = -150 m 
Levando-se este valor à equação do movimento vertical, escrevemos: 
sttttt 9,1906,304,1890,490150 22 
Levando-se t = 19,9 s à equação do movimento horizontal, tem-se: 
Kmxx 10,39,19.9,155 
102 
 
 
Exercício resolvido 2 
O vetor posição de uma partícula se movendo no plano x-y no tempo 
t = 3,60 s é 2,76i – 3,28j m. Em t = 3,62 s seu vetor posição se torna 
2,79i – 3,33j m. Determine o módulo v de sua velocidade média 
durante esse intervalo e o ângulo θ que a velocidade média faz com o 
eixo x. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
0
22
0,59;
3
5
5,1
5,2
/92,25,25,1
)/(ˆ5,2ˆ5,1
02,0
ˆ05,0ˆ03,0











x
y
v
v
tg
smvv
smji
ji
t
r
v



103 
 
 
Exercício resolvido 3 
Um operário que trabalha no telhado de uma casa lança uma pequena 
ferramenta para seu companheiro no chão. Qual deve ser a mínima 
velocidade horizontal v0 necessária para que a ferramenta passe, sem tocar, 
o ponto B? Localize o ponto de impacto, especificando a distância s 
mostrada na figura. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
mss
sttC
smvv
tvxx
stt
gttvyy
C
x
B
y
C
B
49,2)277.1(64,66
277,1)81,9(
2
1
8
/64,6)903,0(06
903,081,9
2
1
004
2
1
2
00
00
2
2
00






104 
Atividades 
1. Todo dia, Bisnaga jogava futebol com seus amigos depois da aula. Um 
dia, quando parou um pouco para respirar, viu seu professor na 
arquibancada fazendo várias anotações. Depois do jogo, foi perguntar a 
ele o que estava fazendo. O professor lhe mostrou dois desenhos. 
 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
105 
Bisnaga, eu estava esquematizando uma jogada sua. Enquanto você 
andava do ponto A ao ponto B, os seus oponentes não mudaram de lugar. 
Mas, quando se dirigiu de B para o C, de onde chutou a bola o para o gol, 
deu tempo para o defensor D ficar na sua frente e o goleiro G retornar 
para a linha de fundo podendo agarrar a bola. Você tem força no pé para, 
estando no ponto B, chutar a bola que encobriria o goleiro antes que ele 
retornasse ao gol. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
106 
Usando os conceitos de Dinâmica, estava calculando em que direção você 
deveria chutar. Se você chutar para a direção do gol com certa velocidade 
e a bola adquirir uma velocidade horizontal de 20 m/s e uma velocidade 
vertical de 9 m/s, no início do lançamento, é possível, sabendo que o ponto 
B está a 32 m do gol, determinar qual o tempo que a bola levará para 
chegar na linha de fundo e com que altura ela chegará. Desprezando a 
resistência do ar, determine os valores encontrados por Bisnaga para o 
tempo e altura com os dados fornecidos pelo professor. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
107 
2. Uma pedra considerada pontual é lançada poruma catapulta no plano XY 
como mostrado na figura. Após o lançamento, ela fica somente em contato 
com ar. Desprezando a força de resistência do ar para os itens a seguir, 
marque verdadeiro (V) ou falso (F) para cada uma das afirmações. 
 
 
 
 
 
( ) Ao atingir o ponto mais alto da trajetória, o vetor aceleração da esfera 
tem sentido horizontal. 
( ) Ao atingir o solo, o vetor velocidade da pedra é nulo. 
( ) O ângulo α de lançamento, feito com a horizontal, influencia na 
velocidade final da pedra. 
( ) O vetor velocidade inicial (v0) da esfera possui módulo constante. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
108 
3. Um atleta de salto à distância se aproxima da plataforma de salto A com 
uma velocidade horizontal de 10 m/s. Determine a componente vertical vy da 
velocidade de seu centro de gravidade no ponto A para que ele realize o salto 
mostrado. Qual será a elevação h do seu centro de gravidade? 
 
R: vy = 3,68 m/s; h = 0,69 m 
 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
109 
4. No combate a incêndios em florestas, aviões jogam água para ajudar 
equipes que trabalham no solo. Um piloto em treinamento lança uma caixa 
com corante vermelho, na esperança de atingir um alvo no solo. Se o avião 
está voando horizontalmente a uma altura H acima do solo com velocidade V 
a que distância horizontal do alvo o piloto deve lançar a caixa? Despreze a 
resistência do ar. 
R: V.√(2H/g) 
 Cinemática Vetorial 
110 
5. Um helicóptero pretende lançar cobertores para uma família que está 
isolada em uma região onde houve uma enchente. O helicóptero está voando 
paralelo ao solo a uma altitude de 10 m com uma velocidade de 5 m/s. No 
momento em que a distância horizontal entre o helicóptero e a casa vale 10 m, 
os cobertores caem do helicóptero. 
(a) A que distância da casa os cobertores caem? 
(b) Qual a velocidade instantânea dos cobertores no instante imediatamente 
antes deles atingirem o solo? Expresse esta velocidade em termos dos 
unitários i e j. R: 2,86 m; 14,87 m/s 
 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
111 
6. Um time de estudantes de engenharia está projetando uma catapulta para 
lançar uma pequena bola em A, de tal modo que ela atinja a caixa. Sabe-se 
que o vetor velocidade inicial faz um ângulo 30º com a horizontal. Determine 
a faixa de velocidades de lançamento v0 para as quais a bola irá parar dentro 
da caixa. 
R: 6,15 – 6,68 (m/s) 
 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
112 
7. Qual deve ser a mínima velocidade horizontal para que o rapaz lance uma 
pedra em A e ultrapasse, sem tocar, o obstáculo em B? 
 
R: 28,37 m/s 
 
 Cinemática Vetorial 
113 
8. Uma pedra é arremessada até um muro de altura h com velocidade inicial 
de 42 m/s fazendo um ângulo θ0 = 60 º com a horizontal, conforme a figura. 
A pedra atinge o ponto A 5,5 s após o lançamento. Determine (a) a altura h 
do muro, (b) a velocidade da pedra logo antes do impacto em A e (c) a altura 
máxima H alcançada pela pedra. 
R: 51,68 m; 27,38 m/s; 67,43 m 
 Cinemática Vetorial 
114 
9. O bocal de uma mangueira de jardim despeja água a uma taxa de 15 m/s. 
Se o bocal é mantido no nível do solo e inclinado de 30º em relação à 
horizontal, determine a altura máxima alcançada pela água e a distância 
horizontal entre o bocal e o ponto no solo onde a água o atinge. 
 
R: 2,87 m; 19,74 m 
 Cinemática Vetorial 
115 
10. Em uma competição esportiva, uma moto saltou da pista em A, a um 
ângulo de 60º. Se o ponto de aterrissagem dista de 20 m do ponto A, 
determine aproximadamente o módulo da velocidade com que a motocicleta 
deixou o solo. Despreze as dimensões da moto. 
R: 15,05 m/s 
 Cinemática Vetorial 
116 
11. Devido a certas inomogeneidades na Terra, numa certa região a 
aceleração da gravidade não é bem vertical. Além de uma componente 
vertical para baixo de módulo g, ela possui uma componente horizontal de 
módulo a. Em relação a um sistema de eixos convenientemente escolhido, as 
equações do movimento de uma partícula lançada nessa região são 
 
 
onde v0x e v0y são constantes positivas. 
 
Determine (a) o tempo de subida da partícula, isto é, o tempo desde o 
lançamento até que ela chegue ao ponto mais alto da trajetória e (b) o espaço 
horizontal percorrido pela partícula no movimento de subida. 
 Cinemática Vetorial 
117 
 
 
12. A menina sempre lança os brinquedos do ponto A, a um ângulo de 30º. 
Determine com que velocidade ela deve lançar cada brinquedo para que eles 
atinjam a piscina. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
 
13. Um jogador de basquete lança uma bola de uma altura de h = 2,30 m do 
solo imprimindo-lhe uma velocidade v0 de módulo 10 m/s e que faz um 
ângulo de 60° com a horizontal. Despreze a resistência do ar e considere a 
aceleração da gravidade g = 9,81 m/s2. Trate a bola como uma partícula. 
Utilize o sistema de eixos dado na figura abaixo. 
118 
 Cinemática das Partículas - Dinâmica 
a) Escreva o vetor velocidade inicial da bola em relação à Terra. 
b) Escreva o vetor posição r e o vetor velocidade instantânea v da bola 
em termos dos unitários i e j. 
c) A que distância D da bola deve estar o centro da cesta para que o 
jogador consiga acertar a mesma, quando a bola estiver na 
descendente? A altura da cesta é de H = 3,0 m em relação ao solo. 
d) Qual a velocidade instantânea da bola no instante em que ela atingir a 
cesta? Expresse esta velocidade em termos dos unitários i e j. 
119 
 Cinemática das Partículas - Dinâmica 
 
14. Uma equipe de estudantes de engenharia projeta uma catapulta de 
tamanho médio que lança esferas de aço de 4 kg. A velocidade de lançamento 
é v0 = 24 m/s, o ângulo de lançamento é θ = 35° acima da horizontal, e a 
posição de lançamento é 2 m acima do nível do solo. Os estudantes usam um 
campo de atletismo com uma inclinação adjacente limitada por uma cerca 
com 2,4 m de altura, conforme mostrado. Determine se as esferas de aço irão 
atingir o solo no nível superior do campo ou irão atingir a cerca. 
R: Ultrapassa a cerca e cai em 48,7 m 
 
120 
 Cinemática das Partículas - Dinâmica 
 
15. O jogador de basquete gosta de arremessar seus lances livres com uma 
velocidade inicial v0 = 7,15 m/s. Quais valores iniciais do ângulo θ podem 
levar a bola a passar por dentro da cesta? Despreze qualquer consideração 
com relação a folga com que a bola passa através do aro. 
R: 8,5° ou 53,6° 
 
121 
 Cinemática das Partículas - Dinâmica 
122 
 
 
Questão desafio: 
Um avião de carga voa com uma velocidade horizontal constante v0 a uma 
altura H acima no nível do solo. No exato instante em que passa em cima 
de uma pessoa que se encontra no chão deixa cair uma caixa de massa m 
(sem nenhuma velocidade inicial em relação ao avião). 
Desprezando as dimensões da caixa e a resistência do ar e tomando como 
instante inicial de tempo aquele em que a caixa é liberada pelo avião, como 
função do tempo, escreva os vetores posição, velocidade e aceleração da 
caixa em relação à pessoa que se encontra no solo. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
123 
7 - Coordenadas Normal e Tangencial (n-t) 
Uma das descrições mais comuns do movimento curvilíneo usa as 
variáveis de trajetória, que são medidas feitas ao longo da tangente t e 
da normal n à trajetória da partícula. 
As coordenadas n e t são consideradas como se movendo ao longoda 
trajetória com a partícula, como mostrado na figura abaixo, onde a 
partícula avança de A para B até C. 
O sentido positivo de n em qualquer posição é sempre tomado para o 
centro de curvatura. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
124 
As coordenadas são usadas para descrever a velocidade v e a aceleração a 
para um movimento curvilíneo de uma partícula. Introduzem-se os 
unitários en na direção n e et na direção t, como mostrado na figura para a 
posição da partícula no ponto A. 
 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
125 
Com o raio de curvatura da trajetória nesse ponto designado por ρ, 
podemos escrever a velocidade como o vetor: v = vet = et 
 
A aceleração a da partícula é um vetor que reflete tanto a variação no 
módulo quanto a variação na direção de v. A partir da equação da 
velocidade e trabalhando com os unitários, a equação para a aceleração se 
torna: a = en + et 
 
 onde: 
 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
 

2v v
22
2
2
tn
t
n
aaa
sva
v
v
a




 

126 
As relações obtidas nos dizem que a componente tangencial da aceleração é 
igual à derivada temporal da velocidade escalar do ponto material, enquanto a 
componente normal é igual ao quadrado da velocidade escalar dividida pelo 
raio de curvatura da trajetória. Conforme a velocidade do ponto material 
aumenta ou diminui, at é positiva ou negativa, e a componente vetorial at está 
dirigida no sentido do movimento ou contrária ao mesmo. A componente 
vetorial an, por outro lado, está sempre orientada para o centro de curvatura C 
da trajetória. 
 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
127 
É importante observar que a componente normal da aceleração an está 
sempre direcionada para o centro de curvatura da trajetória. A 
componente tangencial, por outro lado, estará no sentido positivo da 
direção t do movimento se o módulo da velocidade v estiver aumentando, 
e no sentido negativo da direção t se o módulo da velocidade estiver 
diminuindo. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
128 
Conclui-se, portanto, que a componente tangencial da aceleração é 
responsável pela mudança da velocidade escalar do ponto material, 
enquanto sua componente normal reflete a mudança na direção de seu 
movimento. 
 
A aceleração de um ponto material será zero somente se ambas as 
componentes forem zero. Assim, a aceleração de um ponto material que se 
desloca com uma velocidade constante ao longo de uma curva nunca será 
zero, a não ser que o ponto material passe por um ponto de inflexão da curva 
(onde o raio de curvatura é infinito) ou a curva seja uma linha reta. 
 
O fato de a componente normal da aceleração depender do raio de curvatura 
da trajetória do ponto material é levado em conta no projeto de estruturas ou 
mecanismos como asas de avião e linhas férreas. Para evitar variações 
repentinas na aceleração de partículas do ar que se escoam ao redor da asa de 
um avião, projetam-se perfis de asas sem qualquer mudança brusca de 
curvatura. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
129 
8 - Movimento Circular 
O movimento circular é um importante caso especial do movimento 
curvilíneo plano, onde o raio de curvatrura ρ se torna o raio r constante 
de um círculo e o ângulo β é substituído pelo ângulo θ medido a partir 
de alguma referência radial conveniente. As componentes de velocidade 
e aceleração para o movimento circular da partícula se tornam: 
 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 






rva
vr
r
v
a
v
t
n



2
2
130 
r
r
r

ˆ
Aqui também podemos usar um vetor 
unitário: (note que este vetor varia 
com o movimento) 
A aceleração fica: 
r
r
v
a ˆ
2


(a aceleração tem a direção do vetor posição e 
aponta para o centro da circunferência. Esta é a 
aceleração centrípeta). 
Ou: 
ra
 2
 Cinemática das Partículas - Dinâmica 
 Observações: 
Movimento Circular 
131 
 Cinemática das Partículas - Dinâmica 
Movimento Circular 
132 
 Cinemática das Partículas - Dinâmica 
133 
 
 
Exercício resolvido 1 
Uma partícula se move em uma trajetória circular de 0,4 m de raio. 
Calcule o módulo a da aceleração da partícula (a) se sua velocidade é 
constante em 0,6 m/s e (b) se sua velocidade é 0,6 m/s, mas está 
aumentando a uma taxa de 1,2 m/s a cada segundo. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
222
222
2
2
22
/5,19,02,1
/2,1)(
/9,00)(
/9,0
4,0
6,0
sma
aaasmvab
smaavaa
sm
v
a
ntt
nt
n







134 
 
 
Exercício resolvido 2 
Um carro passa por uma depressão na estrada em A com uma velocidade 
constante, que fornece ao seu centro de massa G uma aceleração igual a 
0,5g. Se o raio de curvatura da estrada em A é 100 m, e se a distância da 
estrada ao centro de massa G do carro é 0,6 m, determine o módulo v da 
velocidade do carro. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
hKmsmav
v
aa
n
n
/5,79/08,22)81,9(5,0)6,0100(
2




135 
 
 
Exercício resolvido 3 
Para atravessar uma depressão seguida de uma elevação na estrada, o 
motorista de um carro aplica os freios para produzir uma desaceleração 
uniforme. Sua velocidade é de 100 Km/h no ponto A da depressão e de 
50 Km/h no ponto C no topo da elevação, que se encontra a 120 m de A ao 
longo da pista. Se os passageiros do carro experimentam uma 
desaceleração total de 3 m/s2 em A e se o raio de curvatura da elevação em 
C é 150 m, calcule (a) o raio de curvatura ρ em A, (b) a aceleração no 
ponto de inflexão B e (c) a aceleração total em C. 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
136 
Encontra-se a desaceleração constante ao longo da trajetória a partir de: 
 Introdução - Dinâmica I Cinemática das Partículas - Dinâmica 
222
2
2
22
2
222
2222222
2
22
22
22
0
/73,2)41,2()286,1(
)/(e41,2e286,1
/286,1
150
89,13
)(
/41,20)(
432
785,1
8,27
/785,141,23)(
/41,2
)120(2
)8,27()89,13(
)(
2
1
2
sma
sma
sm
v
ac
smaaab
m
a
vv
a
smaaaaa
smvv
s
a
savvdsavdv
tn
n
tn
n
n
ntn
ACt
v
v
tAC
s
t
C
A









 






137 
Atividades 
1. Seis vetores aceleração são mostrados para um carro cujo vetor 
velocidade está direcionado para a frente. Para cada vetor aceleração 
descreva, em palavras, o movimento instantâneo do carro. 
 Cinemática das Partículas - Dinâmica 
138 
2. Uma partícula se move num plano com movimento uniforme, isto é, com 
velocidade de módulo constante. A figura mostra um trecho de sua trajetória, 
formada por um semicírculo de raio r, uma semi-reta e outro semicírculo de 
raio R = 2r. O sentido do movimento está indicado na figura e, nela, estão 
marcados os pontos A e B. 
 
 
 
 
 
 
Indique, com vetores, as velocidades e acelerações da partícula nos instantes 
em que ela se encontra no ponto A e no ponto B. Desenhe as setas de modo 
que seus tamanhos sejam proporcionais aos seus módulos. Marque, ainda em 
seu desenho, o vetor deslocamento Δr[ta, tb], onde ta é o instante e que ela se 
encontra no ponto