Aula Conservação Quant Mov

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Capítulo- 1 – Conceitos e Definições
Capítulo- 2 – Estática dos Fluidos
Capítulo- 3 – Princípios do Comportamento dos Fluidos
Capítulo- 4 – Equações Gerais do Escoamento dos Fluidos
Capítulo- 5 – Aplicações das Equações Gerais
Capítulo- 6 – Análise Diferencial do Escoamento
Capítulo- 7 – Análise Dimensional e Similaridade
Capítulo- 8 – Teoria da Camada Limite Laminar
Capítulo- 9 – Escoamento Turbulento
Capítulo- 10 – Escoamento em Dutos
Capítulo- 11 – Aplicações
 
FENÔMENOS DE TRANSPORTE - I
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FENÔMENOS DE TRANSPORTE - I
Capítulo- 6 – Análise diferencial do escoamento
 (Equações de Navier-Stokes)
6.1 – Escoamento de um fluido
6.2 – Análise do escoamento
6.3 – Equação da Continuidade
6.4 – Exemplos, Eq. da Continuidade
6.5 – Equação da Quantidade de Movimento
6.6 – Exemplos, Eq. da Quantidade de Movimento 6.7 – Aplicações Práticas na Engenharia Química
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Referências Bibliográficas :
Fundamentals of Momentum, Het and Mass Tranfer
J. R. Welty , R. E. Wilson , C. E. Wicks
2nd. Edition , John Willey & Sons , New York
Mecânica dos Fluidos
Shames, I. H.
Edgar Blucher, São Paulo, 2005
EQ-541 , Fenômenos de Transporte I
Anotações de aulas - UNICAMP , Eng. Química
Prof. Sandra Cruz , 2010
https://www.youtube.com/watch?v=3Izk5c-fPm4
https://www.youtube.com/watch?v=GDgTwadkJ50
https://www.youtube.com/watch?v=i7SmVAOXs_I
https://www.youtube.com/watch?v=txIT-rFFtNA
https://www.youtube.com/watch?v=81pFathwAgU
https://www.youtube.com/watch?v=oL_DOxFagvI
https://www.youtube.com/watch?v=WNKHf937Qt0
https://www.youtube.com/watch?v=OqRUtRytanI
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6.1 – Escoamento de um fluido
Movimento dos fluidos de um local a outro, no interior de um sistema de transportes, em uma planta processadora, onde os fluidos começam a escoar a partir de forças agindo sobre eles.
Resumindo, é um balanço das forças que contribuem para o escoamento e das que se opõe a este movimento.
 Importância: 
projetos dos equipamentos processadores (bombas, tanques,
 trocadores de calor, tubulações,...);
 minimiza as perdas de energia nas indústrias;
 evita um sub ou super dimensionamento dos equipamentos.
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TROCADOR
DE 
CALOR
TANQUE
BOMBA
 - Fluido escoa a partir de forças agindo sobre ele (pressão, gravidade, fricção e efeitos térmicos): tanto a magnitude quanto a direção da força que age sobre o fluido são importantes.
 Um balanço de forças em um elemento de fluido é essencial para a determinação das forças que contribuem para o escoamento e das que se opõe a este movimento.
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 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE: 
 NÚMERO DE REYNOLDS: 
 REGIMES OU MOVIMENTOS VARIADO E PERMANENTE. 
VELOCIDADE MÉDIA DO ESCOAMENTO
ESCOAMENTO LAMINAR
ESCOAMENTO TURBULENTO
VARIADO: V=f(x,y,z,t)
PERMANENTE: V=f(x,y,z)
 DESCRIÇÃO QUANTITATIVA DAS CARACTERÍSTICAS DE ESCOAMENTO DOS FLUIDOS:
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6.2 – Análise do escoamento
Fluido em movimento !
Na natureza existem diversos tipos de escoamento: superfície do solo, rio, lagos...
O escoamento é regido por diversas leis:
Equação da continuidade
Equação da quantidade de movimento
2a lei de Newton
1a lei da termodinâmica
2a lei da termodinâmica
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Revisando, A análise de um escoamento de fluido pode ser feita de duas maneiras:
6.2.1 - Análise onde a região de interesse é um volume definido (volume de controle); análise macroscópica (balanço global de massa); assunto já abordado em capítulo anterior.
6.2.2 - As trocas que ocorrem dentro do volume de controle, por cada elemento diferencial de fluido; análise microscópica (balanço local de massa dentro do volume de controle); assunto a qual abordaremos neste capítulo.
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6.2.1- Análise macroscópica (balanço global de massa e energia);
Conservação da Energia,
Hipóteses de Simplificação :
 - Regime permanente.
 - Com perdas por atrito.
 - Fluido incompressível.
 - Sem trocas de calor.
 - Propriedades uniformes
 nas seções.
Altura Manométrica (HM)representa a energia total do sistema na referência.
Potência 
da bomba
γ é o peso específico = ρ g
NB é a potência da bomba.
HB = é a carga manométrica da bomba.
ηB é o rendimento da bomba.
m1 = m2
ρ1.Q1 = ρ2.Q2
ρ1.V1.A1 = ρ2.V2.A2
ρ1 = ρ2
V1.A1 = V2.A2
Equação da Continuidade
ref.
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As expressões resultantes deste tipo de análise microscópica são equações diferenciais;
A solução destas equações diferenciais dará informações de natureza diferente da obtida através a análise macroscópica (campo de velocidade e de pressões dentro do volume de controle)
6.2.2- Análise microscópica (balanço local de massa dentro do VC);
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Imagem de infinitos volumes de controle a partir do rotor de uma bomba
como base para modelagem das correntes de fluxo na sua rotação.
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Princípio da conservação da massa:
Taxa de matéria que entra
Taxa de matéria que sai
Taxa de variação interna
-
=
6.3 – Equação da Continuidade 
Vazão mássica = V.A.ρ
Taxa de variação interna
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As vazões mássicas das faces da esquerda, de baixo e de trás, são, respectivamente :
As restantes se obtém expandindo as anteriores com a série de Taylor.
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Taxa de matéria que entra
Substituindo no princípio da conservação da massa :
=
Taxa de Matéria que Entra = mesq + mbaixo + mtraz 
Taxa de Matéria que Sai = mdir + mcima + mfrente 
Taxa de matéria que sai
=
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Taxa que entra
Taxa que sai
-
=
=
Substituindo no princípio da conservação da massa
 com a taxa de variação interna
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Substituindo no princípio da conservação da massa
 equação da continuidade para qualquer escoamento
Coordenadas cilíndricas
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Equação da Continuidade, Casos particulares
- Escoamento permanente  
- Fluido Incompressível  
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6.4 – Exemplos, Eq. da Continuidade
Exemplo-1 :
Determinar a velocidade do fluido na direção y (Vy), considerando escoamento
bidimensional (não existe componente z) e incompressível, sabendo-se que a
velocidade na direção x é dada por Vx = x² - y² .
0
∂ (x² - y² ) + ∂Vy = 0
 ∂x ∂y
2x + ∂Vy = 0
 ∂y
∂Vy = -2x
 ∂y
Vy = - 2xy + C
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Exemplo-2 :
No escoamento através de um tubo há apenas um componente de velocidade :
Vx = x (1-y²) sen(wt) , e em qualquer tempo ρ = ρ(y , t) e para t = π/2w  ρ = ρo.
Achar uma expressão para ρ .
∂ρ + ρ ∂Vx + Vx ∂ρ + ρ ∂Vy + Vy ∂ρ + ρ ∂Vz + Vz ∂ρ = 0 
∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
∂ρ + ρ ∂Vx = 0
∂t ∂x
∂ρ + ρ ∂[x(1-y²)sen(wt)] = 0
∂t ∂x
∂ρ = - (1-y²)sen(wt)] ∂t
 ρ
Integral  ln ρ = (1 - y²) cos(wt) . 1 + C
 w
t = π  ρ = ρo
 2w
 ln ρo = (1 - y²) cos(wπ) 1 + C
 2w w
0
C = ln ρo
ln ρ - ln ρo = (1 - y²) cos(wt) . 1
 w
ρ = ρo exp{ (1 - y²) cos(wt) . 1 }
 w
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6.5 – Equação da Quantidade de Movimento
Balanço de forças no elemento infinitesimal
 Gravitacionais (forças de campo)
 Força peso e Força de Coriolis
 Perpendiculares à superfície (força superficial)
 Pressão
Tangenciais à superfície (força superficial)
 Viscosas (cisalhamento e compressão)
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Equação da quantidade de movimento :
Da 2ª lei de Newton para um sistema infinitesimal de massa dm :
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 Força peso
Atua na direção vertical;
Componente longitudinal é quem promove o escoamento.
Significativa em simulações de rompimentode barragem; 
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 Força de Coriolis
A força de Coriolis, embora não possa causar o movimento da água, é importante porque pode modificar, significativamente, a direção do movimento da água, especialmente em lagos e estuários grandes. 
A força de Coriolis é uma força aparente que surge porque analisamos o escoamento fixando o referencial à Terra, que está em movimento de rotação. 
Os efeitos da força de Coriolis tornam-se significativos em lagos maiores do que 5.rc; onde rc é um raio característico que depende da velocidade média da água e da latitude. 
onde rc é o raio característico de circulação inercial (m); u é velocidade média da água (m.s-1);  é a velocidade angular da terra (7,29 . 10-5 rad.s-1); e l é a latitude. 
Considerando um lago na latitude de 30o (latitude aproximada dos lagos do RS), onde a velocidade da água é de 0,1 m.s-1, o valor de rc é de 1370 m. 
Se o lago for maior do que 7 km, aproximadamente, a força de Coriolis será significativa. 
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 Força de pressão
É necessário um gradiente de pressão para promover escoamento. 
O sentido do escoamento é de um ponto com maior pressão para um ponto com menor pressão 
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Força de pressão
Pela 2ª lei de Newton, têm-se:
Analogamente para as outras direções y e z
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Força de cisalhamento
Força de atrito entre duas superfícies ou entre duas camadas; 
A nível molecular, as forças de tensão que atua em um volume de água são produzidas pela viscosidade do fluido (atrito interno das moléculas de água) que seria uma força intrínseca do fluido)
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Forças de superfície
normais na direção x :
Forças Tangenciais na direção x:
Força de 
cisalhamento
A resultante na direção x é:
Um resultado análogo é obtido nas demais direções.
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A Equação da Quantidade de Movimento se torna, nas 3 direções:
Completando as equações de Navier-Stokes para
Balanços Diferenciais de Quantidade de Movimento
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Coordenadas cilíndricas
A EQM se torna, nas 3 direções:
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Casos particulares :
- Escoamento permanente :
∂u = ∂v = ∂w = 0
∂t ∂t ∂t
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Casos particulares :
- Escoamento bidimensional : (w = 0)
Escoamento unidimensional : (v = w = 0)
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6.6 – Exemplos, Eq. da Quantidade de Movimento
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6.7 – Aplicações Práticas na Engenharia Química
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Ventilador com dupla entrada de ar
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Simulação Aerodinâmica num Automóvel
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Simulação num Pistão Hidráulico
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O defletor em “meia cana” e eliminador de Névoas em forma de “W” (mostrado do lado esquerdo) criaram zonas de alta velocidade que resultaram em “re-arraste” prematuro. O projeto modificado (mostrado a direita) nesse modelo CDF atingiu as expectativas do processo.
Simulação num Redistribuidor de Líquido de um Absorvedor
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Simulação de Fluxo num Reator PFR
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