AulaCircunferencia (1)

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COLÉGIO DE APLICAÇÃO – UFRJ Portal Professor /Cônicas - Circunferência - 2009 
 SETOR CURRICULAR DE MATEMÁTICA www.cap.ufrj.br/matematica 
 
 
Cônicas - Circunferência 
Considere um plano, uma distância r e um ponto C neste plano. 
 
Circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão a uma mesma distância r, 
chamada de raio, de um ponto fixo C, denominado centro da circunferência, ou seja, qualquer ponto P que 
atender à condição d(P, C) = r pertencerá à circunferência. 
Elementos da Circunferência: 
 
• C: centro 
 
• r: raio 
 
 
Dedução da equação reduzida da circunferência com centro fora da origem: 
 
Considere P=(x,y) e C=(h, k). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dedução da equação geral da circunferência: 
 
Para obtermos a equação geral da circunferência, basta desenvolvermos a equação reduzida. 
 
( ) ( )2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
x h y k r
x 2xh h y 2yk k r
x y 2xh 2yk h k r
− + − =
− + + − + =
+ − − + + =
 
 
 
 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
2 2 2
2 2 2
CP r
CP P C (x,y) - (h,k)=(x-h, y-k)
x h y k r
x h y k r
x h y k r
=
= − =
− + − =
 
− + − = 
 
− + − =
����
����
Equação reduzida da circunferência com centro fora da origem. 
 
( ) ( )2 2 2x h y k r− + − =
Equação geral da circunferência. 
 
2 2 2 2 2x y 2xh 2yk h k r+ − − + + =
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Exemplo 1: Achar a equação geral da circunferência que passa pelos pontos (4,2), (-6,-2) e tem centro sobre o 
eixo OY. 
( ) ( )
( )
2 2 2
22
Temos que a equação reduzida da circunferência é x h y k r ,
onde C=(h,k) é o centro da mesma. Como o centro pertence ao eixo y, 
o mesmo é da forma C=(0,k).
Portanto, a equação fica na forma x y k r
− + − =
+ − =
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
2 2 2 2
22 2
2 2 2
Assim, chamando A=(4,2) e B=(-6,-2), temos:
Para A=(4,2): 4 + 2-k =r 16+4-4k+k =r 20-4k+k =r (1)
Para B=(-6,-2): -6 + -2-k =r 36+4+4k+k =r 40+4k+k =r (2)
-
Subtraindo (2) de (1): 20+8k=0 k=
∴ ∴
∴ ∴
∴
2
2 2 2
2
2
145
4 4
5
2
5
2
Daí, substituindo o valor de k encontrado em (1), segue:
-5 -5 25
20-4. r 20+10+ r r
2 2
145
Logo, x y = 
4
Para encontrarmos a equação geral precisamos desenvolver o re
   
+ = ∴ = ∴ =   
   
 
+ + 
 
2
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
sultado
acima: 
5 145 25 145 145 25
x y+ = x +y +5y+ = x +y +5y= -
2 4 4 4 4 4
120
x +y +5y= x +y +5y=30 x +y +5y-30=0
4
 
+ ∴ ∴ 
 
∴ ∴
 
 
 
 
Exemplo 2: Encontre o centro e o raio da circunferência x² + y² - 4x – 6y – 13 = 0. 
 
Dada a equação na forma geral, devemos transformá-la na forma reduzida 
para encontrarmos o centro C e o raio r.
Utilizaremos o processo de completamento de quadrados.
Portanto,
x² + y² - 4x – 6y – 13 = 0
( ) ( )
( ) ( )
26
2 2
2 2
x² - 4x + y² – 6y – 13 = 0
x² - 4x + 4+ y² – 6y + 9 – 13= 4 + 9
x-2 + y-3 =4 +9+13
x-2 + y-3 =26
Assim, temos que o centro é dado por C=(2, 3) e o raio é r= .