Geometria Analítica - Circunferência - Matemática Para Vestibulares Militares - Exercícios Com Respostas - Proj. Futuro Militar

Prévia do material em texto

1 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br 
 
Exercícios de Matemática 
Geometria Analítica - Circunferência 
 
1) (Unicamp-2000) Sejam A e B os pontos de intersecção 
da parábola y = x
2 
com a circunferência de centro na origem 
e raio 2 . 
a) Quais as coordenadas dos pontos A e B? 
b) Se P é um ponto da circunferência diferente de A e de B, 
calcule as medidas possíveis para os 
ângulos A Pˆ B. 
 
2) (UFPR-1998) Em um sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais, considere a circunferência de equação x
2
 + y
2
 = 
25, na qual está inscrito um quadrado com lados paralelos 
aos eixos coordenados. Então, é correto afirmar: 
 
01. Uma das diagonais do quadrado está contida na 
reta de equação x + y = 0 . 
02. O ponto (-3, 4) não pertence à circunferência. 
04. A reta de equação 3x + 4y + 25 = 0 é tangente à 
circunferência. 
08. O volume do sólido de revolução obtido pela 
rotação do quadrado em torno de uma de suas diagonais é 
igual a 250 unidades de volume. 
16. O cilindro de revolução obtido pela rotação do 
quadrado em torno do eixo x tem altura igual à diagonal do 
quadrado. 
 
Marque como resposta a soma dos itens corretos. 
 
 
3) (Unifesp-2003) A figura representa, em um sistema 
ortogonal de coordenadas, duas retas, r e s, simétricas em 
relação ao eixo Oy, uma circunferência com centro na 
origem do sistema, e os pontos A = (1, 2), 
B, C, D, E e F, correspondentes às interseções das retas e 
do eixo Ox com a circunferência. 
 
Nestas condições, determine 
a) as coordenadas dos vértices B, C, D, E e F e a área do 
hexágono ABCDEF. 
b) o valor do cosseno do ângulo AÔB. 
 
 
4) (Unicamp-1999) Uma reta intersecciona nos pontos A (3, 
4) e B (-4, 3) uma circunferência centrada na origem. 
a) Qual é o raio dessa circunferência? 
b) Calcule a área do quadrilátero cujos vértices são os 
pontos A e B e seus simétricos em relação à origem. 
 
 
5) (Fatec-2002) A circunferência que passa pelos pontos O 
= (0, 0), A = (2, 0) e B = (0, 3) tem raio igual a: 
a) 4
11
 
b) 2
11
 
c) 4
13
 
d) 2
13
 
e) 4
17
 
 
 
6) (Fuvest-2000) Uma circunferência passa pelos pontos (2, 
0), (2, 4) e (0, 4). Logo, a distância do centro dessa 
circunferência à origem é: 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
7) (UFC-2004) Determine o valor da constante a de modo 
que o sistema de equações 






az4y3x
4zyx 22
 
tenha solução real única. 
 
8) (UDESC-1996) DETERMINE a equação da 
circunferência que passa pelos pontos A(5,5), B(-3,1) e 
C(2,-4). COMENTE as etapas durante a resolução da 
questão. 
 
 
9) (FUVEST-2010) No sistema ortogonal de coordenadas 
cartesianas Oxy da figura, estão representados a 
circunferência de centro na origem e raio 3, bem como o 
gráfico da função 
 
 
2 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br 
 
 
Nessas condições, determine 
a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D de interseção da 
circunferência com o gráfico da função. 
b) a área do pentágono OABCD. 
 
 
10) (UNIFESP-2007) Em um plano cartesiano, seja T o 
triângulo que delimita a região definida pelas inequações y 
2, x 0 e x – y 2. 
a) Obtenha as equações de todas as retas que são 
eqüidistantes dos três vértices do triângulo T. 
b) Obtenha a equação da circunferência circunscrita ao 
triângulo T, destacando o centro e o raio. 
 
 
11) (FUVEST-2006) a) Determine os pontos A e B do plano 
cartesiano nos quais os gráficos de y = x
12
 -1 e x + y - 6 = 
0 se interceptam. 
b) Sendo O a origem, determine o ponto C no quarto 
quadrante que satisfaz AÔB = BCA ˆ e que pertence à reta x 
= 2. 
 
 
12) (UERJ-1998) 
 
(O Estado de São Paulo, 16/08/97) 
Considere os pontos A, B e C nas condições mencionadas 
na tirinha. 
a) Se A, B e C pertencem a uma mesma reta, calcule a 
distância entre A e C quando: 
» A está situado entre B e C; 
» A está situado fora do segmento BC. 
b) Se A, B e C estiverem no plano cartesiano, sendo A um 
ponto móvel, B um ponto do semi-eixo positivo das 
abscissas (x) e C a origem (0,0), determine a equação da 
linha descrita pelo ponto A e identifique a curva 
correspondente. 
 
 
13) (Unicamp-1994) a) Identifique as circunferências de 
equações x
2 
+ y
2 
= x e x
2 
+ y
2 
= y, calculando o raio e o 
centro das mesmas. Esboce seus gráficos. 
b) Determine os pontos de intersecção dessas 
circunferências e mostre que as retas a elas tangentes em 
cada um desses pontos são perpendiculares entre si. 
 
 
14) (UFC-1998) Considere o conjunto de todas as cordas de 
comprimento 2 da circunferência x
2 
+ y
2
 -2x -4y -7 = 0. O 
conjunto dos pontos médios destas cordas forma uma curva 
cuja equação é: 
a) (x-1)
2
 + (y-2)
2
 = 11 
b) 14
2)(y
9
1)(x 22




 
c) (x-1)
2
 + (y-2)
2
 = 4 
d) 19
2)(y
4
1)(x 22




 
e) (x-1)
2
 + (y-2)
2
 = 3 
 
 
15) (Mack-2002) A melhor representação gráfica dos pontos 
(x, y) tais que x + 3 = 2y1 é: 
 
 
 
 
 
 
3 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br 
 
 
 
 
16) (FUVEST-2009) Considere, no plano cartesiano Oxy, a 
circunferência C de equação (x - 2)
2
 + (y - 2)
2
 = 4 e sejam P 
e Q os pontos nos quais C tangencia os eixos Ox e Oy, 
respectivamente. 
Seja PQR o triângulo isósceles inscrito em C, de base PQ, e 
com o maior perímetro possível. 
Então, a área de PQR é igual a 
a) 2
2
 - 2 
b) 2
2
 -1 
c) 2
2
 
d) 2
2
+ 2 
e) 2
2
+ 4 
 
 
17) (Mack-2007) Considere os pontos A e B, do primeiro 
quadrante, em que a curva x
2
 + y
2
 = 40 encontra a curva x.y 
= 12. A equação da reta AB é 
a) x + y . 8 = 0 
b) x . y . 8 = 0 
c) 2x + y . 8 = 0 
d) x . 2y + 8 = 0 
e) x + 3y . 8 = 0 
 
 
18) (FUVEST-2008) A circunferência dada pela equação x2 + 
y
2
 – 4x – 4y + 4 = 0 é tangente aos eixos coordenados x e 
y nos pontos A e B, conforme a figura. 
O segmento MN é paralelo ao segmento AB e contém o 
centro C da circunferência. É correto afirmar que a área da 
região hachurada vale 
 
a)  - 2 
b)  + 2 
c)  + 4 
d) + 6 
e) + 8 
 
19) (FATEC-2006) Num sistema de eixos cartesianos 
ortogonais, considere a circunferência  e a reta r, de 
equações x
2 
+ y
2 
- 6x + 2y + 6 = 0 e 3x + 7y - 21 = 0. 
A reta s, que é paralela a r e contém o centro de , tem 
equação: 
a) 3x + 7y - 2 = 0 
b) 3x - 7y - 2 = 0 
c) 3x - 7y + 5 = 0 
d) 3x + 7y - 16 = 0 
e) 7x + 3y - 2 = 0 
 
20) (Vunesp-2005) A reta r de equação y = 2
x
 intercepta a 
circunferência de centro na origem e raio 5 em dois 
pontos P e Q, sendo que as coordenadas de P são ambas 
positivas. Determine: 
a) a equação da circunferência e os pontos P e Q; 
b) a equação da reta s, perpendicular a r, passando por P. 
 
 
21) (FGV-2005) No plano cartesiano, a circunferência que 
passa pelo ponto P(1, 3) e é concêntrica com a 
circunferência x
2
 + y
2
 - 6x - 8y - 1 = 0 tem a seguinte 
equação: 
a) x
2
 + y
2
 + 6x + 8y - 40 = 0 
b) x
2
 + y
2
 - 3x - 4y + 5 = 0 
c) x
2
 + y
2
 - 6x - 8y + 20 = 0 
d) x
2
 + y
2
 + 3x + 4y - 25 = 0 
e) x
2
 + y
2
 - 3x + 4y - 19 = 0 
 
 
 
22) (ITA-2005) Uma circunferência passa pelos pontos A = 
(0, 2), B = (0, 8) e C = (8, 8). Então, o centro da 
circunferência e o valor de seu raio, respectivamente, são 
a) (0, 5) e 6.. 
b) (5, 4) e 5. 
c) (4, 8) e 5,5. 
d) (4, 5) e 5 
e) (4, 6) e 5. 
 
23) (Fatec-2003)Na figura abaixo os pontos A, B e C 
estão representados em um sistema de eixos cartesianos 
ortogonais entre si, de origem O. 
 
 
4 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br 
 
 
É verdade que a equação da 
 
a) circunferência de centro em B e raio 1 é x
2
 + y
2
 - 8x - 6y 
+ 24 = 0. 
b) circunferência de centro em B e raio 1 é x
2
 + y
2
 - 6x - 4y 
+ 15 = 0. 
c) reta horizontal que passa por A é y = 2. 
d) reta que passa por C e é paralela à bissetriz do 1
o
 
quadrante é x - y - 2 = 0. 
e) reta que passa por C e é paralela à bissetriz do 1
o
 
quadrante é x + y - 2 = 0. 
 
24) (Vunesp-1995) Considere o quadrado de lados paralelos 
aos eixos coordenados e circunscrito à circunferência de 
equação: x
2 
+ y
2 
- 6x - 4y + 12 = 0. Determine as equações 
das retas que contêm as diagonais desse quadrado. 
 
 
25) (UEL-1996) Considere os pontos A(0;0), B(2;3) e 
C(4;1). O segmento BC é um diâmetro da circunferência de 
equação: 
a) x
2
 + y
2
 + 6x + 4y + 11 = 0 
b) x
2
 + y
2
 - 6x - 4y + 11 = 0 
c) x
2
 + y
2
 - 4x + 9y + 11 = 0 
d) x
2
 + y
2
 - 6x - 4y + 9 = 0 
e) x
2
 + y
2
 - 4x - 9y + 9 = 0 
 
 
26) (PUC-SP-1996) A reta de equação y = 2x - 4 intercepta 
os eixos coordenados nos pontos A e B. Esses pontos são os 
extremos de um diâmetro da circunferência . A equação 
correspondente a  é: 
a) x
2
 + y
2
 - 2x + 4y - 5 = 0 
b) x
2
 + y
2
 - 2x + 4y = 0 
c) 2x
2
 + 4y
2
 + 2x + 4y + 5 = 0 
d) x
2
 + y
2
 + 2x + 2y + 1 = 0 
e) x
2
 + y
2
 + 6x + 3y - 4 = 0 
 
 
27) (UFSCar-2003) Dados os pontos A(2,0), B(2,3) e C(1,3), 
vértices de um triângulo, o raio da circunferência 
circunscrita a esse triângulo é 
a) 3
10
 
b) 3
10
 
c) 2
2
 
d) 2
10
 
e) 10 
 
 
28) (Vunesp-2003) Considere a circunferência , de 
equação (x-3)
2
 + y
2
 = 5. 
a) Determine o ponto P = (x, y) pertencente a , tal que y = 
2 e x > 3. 
b) Se r é a reta que passa pelo centro (3, 0) de  e por P, dê 
a equação e o coeficiente angular de r. 
 
 
29) (UFC-2003) O segmento que une os pontos de 
interseção da reta 2x + y - 4 = 0 com os eixos coordenados 
determina um diâmetro de uma circunferência. A equação 
dessa circunferência é: 
 
a) (x - 1)
2
 + (y - 2)
2
 = 5 
b) (x - 1)
2
 + (y - 2)
2
 = 20 
c) (x - 1)
2
 + (y - 2)
2
 = 25 
d) (x + 1)
2
 + (y + 2)
2
 = 5 
e) (x + 1)
2
 + (y + 2)
2
 = 20 
 
30) (PUC-SP-2003) Seja x2 + y2 + 4x = 0 a equação da 
circunferência de centro Q representada no plano cartesiano 
ao lado. Se o quadrado PQMN tem os vértices Q e M sobre 
o eixo das abscissas e o vértice N pertence à circunferência, 
o ponto N é dado por 
a)( 2 -2; 2 ) 
b) (- 2 +2; 2 ) 
c) ( 2 -2; 2) 
d) (- 2 -2; 2- 2 ) 
e) (- 2 ; 2- 2 ) 
 
 
 
 
31) (Unicamp-1997) Os ciclistas A e B partem do ponto P(-
1, 1) no mesmo instante e com velocidades de módulos 
constantes. O ciclista A segue a trajetória descrita pela 
equação 4y - 3x - 7 = 0 e o ciclista B, a trajetória descrita 
pela equação x
2 
+ y
2 
- 6x - 8y = 0. As trajetórias estão no 
mesmo plano e a unidade de medida de comprimento é o 
km. Pergunta-se: 
 
 
5 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br 
 
a) Quais as coordenadas do ponto Q, distinto de P, onde 
haverá cruzamento das duas trajetórias? 
b) Se a velocidade do ciclista A for de 20 km/h, qual deverá 
ser a velocidade do ciclista B para que cheguem no mesmo 
instante ao ponto Q? 
 
 
32) (AFA-1998) A área da intersecção das regiões do plano 
cartesiano limitada por x
2
 + (y -4)
2
  25 e y   13
x4  é 
a) 2
9
 
b) 2
17
 
c) 2
25
 
d) 2
31
 
 
33) (AFA-1999) Os pontos A(-5,2) e B(1,6) são extremos de 
um dos diâmetros da circunferência de equação 
 
a) x
2
 + y
2
 - 2y - 25 = 0. 
b) x
2
 + y
2
 + 4x - 8y + 7 = 0. 
c) x
2
 + y
2
 - 4x + 4y - 57 = 0. 
d) x
2
 + y
2
 + 8x - 14y + 39 = 0. 
 
34) (FAZU-2002) Dada a circunferência de equação x2 + y2 - 
2x + 6y = 6, considere as afirmativas: 
 
I. o diâmetro da circunferência é igual a 8 unidades 
de comprimento. 
II. o centro da circunferência é o ponto C(1, -2) 
III. o ponto (-1, -1) é interior à circunferência 
IV. o ponto (4, -5) é exterior à circunferência 
 
Assinale a opção correta 
 
a) apenas IV é falsa 
b) I e III são verdadeiras 
c) todas são verdadeiras 
d) I e IV são verdadeiras 
e) todas são falsas 
 
 
35) (Vunesp-2000) Seja S = {(x, y)  R2: x2 + y2  16 e x2 
+ (y - 1)
2
  9} uma região do plano. A área de S é: 
a) 5. 
b) 7. 
c) 5. 
d) 7. 
e) 72. 
 
 
36) (UFSCar-2002) O raio da circunferência inscrita em um 
triângulo de lados a, b e c pode ser calculado pela fórmula 
r = p
c)b)(pa)(p(p 
, onde p é o semi-perímetro do 
triângulo. Os catetos de um triângulo retângulo medem 3 e 
4 e estão sobre os eixos cartesianos, conforme a figura. 
 
 
 
Determine nesse triângulo 
a) o raio da circunferência inscrita. 
b) a equação da circunferência inscrita. 
 
 
37) (Fuvest-1994) A reta s passa pelo ponto (0,3) e é 
perpendicular à reta AB onde A=(0,0) e B é o centro da 
circunferência x
2
+y
2
-2x-4y=20. Então a equação de s é: 
a) x- 2y = - 6 
b) x + 2y = 6 
c) x + y = 3 
d) y - x = 3 
e) 2x + y = 6 
 
 
38) (Unicamp-1998) Se z = x+iy é um número complexo, o 
número real x é chamado parte real de z e é indicado por 
Re(z), ou seja, Re(x+iy) = x. 
a) Mostre que o conjunto dos pontos que satisfazem à 
equação Re( 2z
2iz


) = 2
1
, ao qual se acrescenta o ponto 
(2,0), é uma circunferência. 
b) Ache a equação da reta que passa pelo ponto (-2, 0) e é 
tangente àquela circunferência. 
 
39) (Fuvest-2004) Na figura abaixo, os pontos A, B e C são 
vértices de um triângulo retângulo, sendo B o ângulo reto. 
 
 
 
 
6 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br 
 
Sabendo-se que A = (0, 0), B pertence à reta x - 2y = 0 e P 
= (3, 4) é o centro da circunferência inscrita no triângulo 
ABC, determinar as coordenadas 
a) do vértice B. 
b) do vértice C. 
 
 
 
40) (Fuvest-2003) a) A reta r passa pela origem do plano 
cartesiano e tem coeficiente angular m  0. A 
circunferência C passa pelos pontos (1, 0) e (3, 0) e tem 
centro no eixo x. Para qual valor de m a reta r é tangente a 
C? 
b) Suponha agora que o valor de m seja menor que aquele 
determinado no item anterior. Calcule a área do triângulo 
determinado pelo centro de C e pelos pontos de intersecção 
de r com C. 
 
 
41) (Fuvest-1996) Considere o triângulo ABC, onde A = 
(0,4), B=(2,3) e C é um ponto qualquer da circunferência 
x
2
+y
2 
= 5. A abscissa do ponto C que torna a área do 
triângulo ABC a menor possível é: 
a) -1 
b) -3/4 
c) 1 
d) 3/4 
e) 2 
 
 
42) (FUVEST-2010) No plano cartesiano Oxy, a reta de 
equação x + y = 2 é tangente à circunferência C no ponto 
(0,2). Além disso, o ponto (1,0) pertence a C. Então, o raio 
de C 
a) 
2
23 
b) 
2
25 
c) 
2
27 
d) 
2
29 
e) 
2
211 
 
 
43) (UFSCar-2009) Seja () a curva x2 + y2 – 12x – 16y + 
75 = 0, e os pontos P(0, 0) e Q(12, 16). 
a) Faça em seu caderno de respostas o plano cartesiano 
ortogonal (x, y) e represente nele a curva () e os pontos P 
e Q. 
b) Calcule o comprimento do menor caminho de P a Q que 
não passe pela região do plano determinada por x
2
 + y
2
 – 
12x – 16y + 75 < 0. 
 
 
 
44) (FUVEST-2008)São dados, no plano cartesiano de 
origem O, a circunferência de equação x
2
 + y
2
 = 5 , o ponto 
P = (1,
3
) e a reta s que passa por P e é paralela ao eixo y. 
Seja E o ponto de ordenada positiva em que a reta s 
intercepta a circunferência. 
Assim sendo, determine 
a) a reta tangente à circunferência no ponto E. 
b) o ponto de encontro das alturas do triângulo OPE. 
 
 
45) (ITA-2005) Seja C a circunferência de centro na origem, 
passando pelo ponto P = (3, 4). Se t é a reta tangente a C 
por P determine a circunferência C’ de menor raio, com 
centro sobre o eixo x e tangente simultaneamente à reta t e 
à circunferência C. 
 
46) (UFMG-1998) Observe a figura: 
 
Nessa figura, a circunferência tangencia a reta da equação y 
= 2x no ponto P de abscissa x = 2 e tangencia, também, o 
eixo x. Determine o raio e as coordenadas do centro da 
circunferência. 
 
 
 
47) (UFBA-1998) No sistema de coordenadas XOY, tem-se 
uma circunferência C, de centro no ponto A(1,1) e tangente 
à reta s: 4x + 3y + 3 = 0. Sendo assim, pode-se afirmar: 
 
01. O raio de C mede 2 u.c. 
02. A equação de C é x
2
 + y
2
 = 4. 
04. A área do quadrado inscrito em C tem 12 u.a. 
08. A reta que passa pelo ponto A e é perpendicular à 
reta s tem equação 3x - 4y + 1 = 0. 
16. Sendo B (x,1) ponto da região interior a C, então -
1 < x < 3. 
 
Marque como resposta a soma dos itens corretos. 
 
 
48) (UFPR-2002) Em um sistema de coordenadas 
cartesianas no plano, considere, para cada número real m, a 
reta de equação y = mx e a circunferência de equação 
x
2
+y
2–10x = 0. Então, é correto afirmar: 
 - A medida do raio da circunferência é 5. 
 
 
7 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br 
 
 - Se m = 10, a reta é tangente à circunferência. 
 - Qualquer que seja o valor de m, a reta contém a 
origem do sistema. 
 - Se m = 1, a reta determina na circunferência uma 
corda de comprimento 5. 
 - A circunferência é tangente ao eixo y. 
 - Se m = 3, um dos pontos de interseção da reta com a 
circunferência é (1, 3). 
 
 
49) (FGV-2002) a) No plano cartesiano, qual o gráfico dos 
pontos (x, y) que satisfazem a relação x
2
 – y2 = 0? 
b) No plano cartesiano, qual a equação da circunferência de 
raio 3, com centro pertencente à reta 
x – y = 0 e tangente à reta 3x + 4y = 0? 
 
 
50) (Fuvest-1997) Considere as circunferências que passam 
pelos pontos (0, 0) e (2, 0) e que são tangentes à reta 
y=x+2. 
a) Determine as coordenadas dos centros dessas 
circunferências. 
b) Determine os raios dessas circunferências. 
 
 
51) (Fuvest-1995) Sejam A=(0, 0), B=(0, 5) e C=(4, 3) 
pontos do plano cartesiano. 
a) Determine o coeficiente angular da reta BC. 
b) Determine a equação da mediatriz do segmento BC. O 
ponto A pertence a esta mediatriz? 
c) Considere a circunferência que passa por A, B e C. 
Determine a equação da reta tangente a esta circunferência 
no ponto A. 
 
 
52) (FUVEST-2009) No plano cartesiano Oxy, a 
circunferência C tem centro no ponto A = (–5, 1) e é 
tangente à reta t de equação 4x – 3y – 2 = 0 em um ponto P. 
Seja ainda Q o ponto de intersecção da reta t com o eixo 
Ox. 
Assim: 
a) Determine as coordenadas do ponto P. 
b) Escreva uma equação para a circunferência C . 
c) Calcule a área do triângulo APQ. 
 
53) (Mack-2007) Com relação à reta que passa pela origem 
e é tangente à curva (x-3)
2
 + (y-4)
2
 = 25, considere as 
afirmações: 
I. é paralela à reta 3x – 4y = 25. 
II. é paralela à bissetriz dos quadrantes pares. 
III. é perpendicular à reta 4x – 3y = 0. 
Dessa forma, 
a) somente I está correta. 
b) somente II está correta. 
c) somente III está correta. 
d) somente I e III estão corretas. 
e) I, II e III estão incorretas. 
 
54) (FGV-2005) Sabendo-se que a circunferência x2 + y2 - 6x 
+ 4y + p = 0 possui apenas um ponto em comum com a reta 
y = x - 1, conclui-se que p é igual a 
a) -9. 
b) 7. 
c) 9. 
d) 11. 
e) 12. 
 
 
55) (FGV-2004) No plano cartesiano, considere a reta de 
equação 2 x - y = 5 e a circunferência de equação 
x
2
 + y
2
 - 2x - 4y + 3 = 0. Podemos afirmar que: 
 
a) A reta passa pelo centro da circunferência. 
b) A reta é tangente à circunferência. 
c) A circunferência intercepta o eixo y em dois pontos cuja 
distância é 2. 
d) A circunferência intercepta o eixo x em dois pontos cuja 
distância é 1. 
e) A área do círculo determinado pela circunferência é4. 
 
 
56) (Vunesp-2004) Considere a circunferência x2 + (y - 2)2 
= 4 e o ponto P(0, -3). 
a) Encontre uma equação da reta que passe por P e 
tangencie a circunferência num ponto Q de abscissa 
positiva. 
b) Determine as coordenadas do ponto Q. 
 
 
57) (Fatec-2002) Seja P o ponto de intersecção das retas de 
equações y = x + 3 e y = 2. 
A equação da circunferência que tem centro em P e 
tangencia o eixo das abscissas é 
 
a) x
2
 + y
2
 + 2x - 4y = - 1 
b) x
2
 + y
2
 + 2x - 4y = - 3 
c) x
2
 + y
2
 - 2x - 4y = - 1 
d) x
2
 + y
2
 - 2x - 4y = - 3 
e) x
2
 + y
2
 + 2x + 4y = - 1 
 
58) (Mauá-2001) Determine as equações das retas que 
passam por A( 2 , 0) e são tangentes à circunferência de 
equação x
2
+y
2
 = 1. 
 
 
59) (UECE-2002) Os valores de k para os quais a reta y = kx 
é tangente à circunferência x
2
 + y
2
 - 10x + 16 = 0 são: 
a) 2
1
e
2
1
 
b) 2
3
e
2
3
 
c) 4
3
e
4
3
 
 
 
8 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br 
 
d) 4
1
e
4
1
 
 
60) (UFC-2002) Encontre uma equação da reta tangente à 
curva x
2
 - 2x + y
2
 = 0 no ponto (1, 1). 
 
61) (Fuvest-1999) Uma reta passa pelo ponto P = (3,1) e é 
tangente à circunferência de centro C = (1,1) e raio 1 num 
ponto T. Então a medida do segmento PT é: 
a) 3 
b) 2 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
 
 
62) (Mack-2002) O círculo de centro A e tangente à reta r 
da figura tem área: 
 
a) 4/5 
b) 5/4 
c) 3/5 
d) /5 
e) 3/4 
 
 
63) (Fuvest-1995) Uma circunferência de raio 2, localizada 
no primeiro quadrante, tangencia o eixo x e a reta de 
equação 4x-3y=0. Então a abscissa do centro dessa 
circunferência é: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
 
64) (Fuvest-1998) Considere um ângulo reto de vértice V e 
a bissetriz desse ângulo. Uma circunferência de raio 1 tem o 
seu centro C nessa bissetriz e VC = x. 
 
a) Para que valores de x a circunferência intercepta os lados 
do ângulo em exatamente 4 pontos? 
b) Para que valores de x a circunferência intercepta os lados 
do ângulo em exatamente 2 pontos? 
65) (Fuvest-1994) Fixado o ponto N=(0,1), a cada ponto P 
do eixo das abscissas associamos o ponto P'N obtido pela 
intersecção da reta PN com a circunferência x
2
+y
2
=1. 
a) Que pontos do eixo das abscissas foram associados aos 
pontos (x,y) da circunferência, com y<0? 
b) Quais as coordenadas do ponto P' da circunferência, 
associado a P=(c,0), c0? 
 
 
66) (Vunesp-2006) Seja C a circunferência de centro (2, 0) 
e raio 2, e considere O e P os pontos de interseção de C 
com o eixo Ox. Sejam T e S pontos de C que pertencem, 
respectivamente, às retas r e s, que se interceptam no ponto 
M, de forma que os triângulos OMT e PMS sejam 
congruentes, como mostra a figura a seguir. 
 
a) Dê a equação de C e, sabendo que a equação de s é, y = 
3
x
determine as coordenadas de S. 
b) Calcule as áreas do triângulo OMP e da região 
sombreada formada pela união dos triângulos OMT e PMS. 
 
 
67) (UFRJ-2005) A reta y = x + k , k fixo,intercepta a 
circunferência x
2
 + y
2 
= 1 em dois pontos distintos, P1 e P2 , 
como mostra a figura a seguir. 
 
a) Determine os possíveis valores de k. 
b) Determine o comprimento do segmento P1P2 em função 
de k. 
 
 
68) (IBMEC-2005) Suponha que r é um número real positivo 
e considere as circunferências do plano cartesiano dadas 
por 
C1 : (x – 5)2 + y2 = r2. 
C2 : (x + 5)
2 
+ y
2
 = r
2
. 
 
 
9 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br 
 
O conjunto dos pontos do plano que representam as 
intersecções de C1 e C2 para r 13, é melhor descrito pela 
figura 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
 
e) 
 
 
69) (UFSCar-2005) Seja A = (p, 3 p) um ponto de 
intersecção da reta (r) y = qx com a circunferência λ de 
centro C = (0,0), com p real e diferente de 0. 
a) Construa o gráfico da reta r e determine seu ângulo de 
inclinação. 
b) Sendo R a coroa circular definida pelas circunferências, 
com as características de λ, tais que 1  p  9, calcule a área 
da região formada pela intersecção de R com {(x,y) | y  
qx}. 
 
70) (Unicamp-2003) As equações (x + 1)2 + y2 = 1 e (x - 2)2 
+ y
2 
= 4 representam duas circunferências cujos centros 
estão sobre o eixo das abscissas. 
a) Encontre, se existirem, os pontos de intersecção daquelas 
circunferências. 
b) Encontre o valor de a  IR, a  0, de modo que duas 
retas que passam pelo ponto (a, 0) sejam tangentes às duas 
circunferências. 
 
71) (Fuvest-2002) Os pontos A = (0, 0) e B = (3, 0) são 
vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD situado 
no primeiro quadrante. O lado AD é perpendicular à reta y 
= -2x e o ponto D pertence à circunferência de centro na 
origem e raio 
5
. Então, as coordenadas de C são: 
a) (6, 2) 
b) (6, 1) 
c) (5, 3) 
d) (5, 2) 
e) (5, 1) 
 
72) (FGV-2002) a) Represente os pontos (x, y) do plano 
cartesiano que satisfazem a relação |3x – 2y| = 6 
b) Qual a área da figura determinada pelos pontos (x, y) do 
plano cartesiano que satisfazem simultaneamente as 
relações: 






3yx
9yx 22
 
 
73) (Fuvest-1998) Um quadrado está inscrito numa 
circunferência de centro (1,2). Um dos vértices do quadrado 
é o ponto (–3, –1). Determine os outros três vértices do 
quadrado. 
 
 
 
10 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br 
 
 
74) (UFPB-2006) Considerando as seguintes proposições 
relativas à circunferência 422  yx no plano 
cartesiano, identifique a(s) verdadeira(s): 
 
01. O ponto P (-1 ,1) é interior à circunferência. 
02. O ponto P (-2 ,2) é exterior à circunferência. 
04. O ponto P )2,2( está sobre a circunferência. 
08. A reta de equação xy  intercepta a 
circunferência em dois pontos. 
16. A reta de equação 2 xy intercepta a 
circunferência em um único ponto. 
 
A soma dos valores atribuídos à(s) proposição(ões) 
verdadeira(s) é igual a: 
 
 
75) (FGV-2004) As coordenadas do ponto da circunferência 
    256y8x 22  que fica mais afastado da 
origem  0,0O são: 
a)  6,8 
b)  3,4 
c)  25,0 
d)  12,13 
e)  9,12 
 
 
76) (PUC-PR-2003) Se a equação da corda do círculo x2 + y2 
= 49, que tem por ponto médio o ponto (1,2), é da forma 
ax + by + c = 0, então a + b - c vale: 
 
a) -2 
b) 5 
c) 2 
d) 10 
e) 8 
 
 
77) (PUCCamp-1998) São dadas a reta r, da equação y = 3 
, e a circunferência , de equação x2 + y2 - 4x = 0. O centro 
de  e as intersecções de r e  determinam um triângulo 
cuja área é: 
 
a) 3 3 
b) 6 
c) 2 3 
d) 3 
e) 3 
 
 
78) (UFPA-1997) A reta de equação x + 2y = 0 intercepta o 
círculo x
2
 + y
2
 + 2x + 4y - 20 = 0 de centro C, nos pontos A 
e B. Determine: 
a) Os pontos A, B e C. 
b) A área do triângulo ABC. 
 
 
79) (Vunesp-1999) O comprimento da corda que a reta y=x 
determina na circunferência de equação (x+2)
2
+(y-2)
2
 = 16 
é: 
 
a) 4 
b) 4 2 
c) 2 
d) 2 2 
e) 2 
 
 
 
 
80) (UNIUBE-2001) Considere a circunferência descrita pela 
equação x
2 
+ y
2 
-2y = 0. Pode-se afirmar que o 
comprimento da corda que a reta de equação 6x - 8y = 0 
determina nessa circunferência é igual a 
 
a) 1 unidade de comprimento. 
b) 0,8 unidades de comprimento. 
c) 1,2 unidades de comprimento. 
d) 2 unidades de comprimento. 
 
 
 
 
11 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br 
 
Gabarito 
 
1) a) A(1, 1) e B( -1, 1) 
b) 45
o
 e 135
o
 
 
2) V – F – V – F – F  1 + 4 = 5 
 
3) a) B(-1, 2), C(- 5 ,0), D(-1, -2), E(1, -2) e F( 5 ,0). A 
área é 4( 5 + 1) 
b) cos AÔB = 3/5 
 
 
4) a) R = 5 
b) 50 u.a. 
 
5) Alternativa: D 
 
6) Alternativa: D 
 
7) Resp: a = -25 
Resol: isole z na 2ª equação e substitua na 1ª; remonte a 
equação completando quadrados e obtendo uma equação de 
circunferência onde o raio seja 1004a  . Para que uma 
equação de circunferência represente um único ponto (o seu 
próprio centro), é necessário que o raio seja nulo. 
 
8) Da geometria plana, lembramos que o centro da 
circunferência circunscrita a um triângulo é o circuncentro, 
ou seja, o encontro das mediatrizes do triângulo. Então, 
vamos obter a equação de duas mediatrizes e obter o ponto 
de intersecção das mesmas. O centro da circunferência será 
esse ponto e o raio será a distância do centro a um dos 3 
vértices. Sabendo que A =(5, 5) B=(–3, 1) e C = (2, –4) 
temos: 
 
Mediatriz do lado AB: 
m1 = 
53
51


= 
2
1
  m2 = –1/ m1 = –2 
ponto médio de AB: M = (1, 3) então a reta que passa por 
M com coeficiente angular m2 = –2 é 
y–3 = –2(x–1)  2x +y –5 = 0 
 
Mediatriz do lado AC: 
m3 = 
52
54


= 3  m4 = –1/ m3 = –
3
1
 
ponto médio de AC: N = (
2
7
; 
2
1
) então a reta que passa 
por N com coeficiente angular m4 = –
3
1
 é 
y –
2
1
= –
3
1
(x – 
2
7
)  6y – 3 = –2x + 7  2x + 6y –10 = 0 
 x +3y – 5 = 0 
 
Centro O da circunferência: 
 
A intersecção das 2 mediatrizes (que são retas 
concorrentes) é obtida pela resolução do sistema: 





053
052
yx
yx
 
Resolvendo o sistema, encontramos x = 2 e y = 1  O = (2, 
1) 
 
Raio da circunferência: 
 
Distância do centro ao vértice A (poderia ser qualquer um 
dos 3 vértices): 
 
d(O, A) = 
   22 1525 
= 
169
= 5  raio = 5 
 
Então a circunferência procurada é (x – 2)2 + (y – 1)2 = 25 
 
9) a) 
)1,8()8,1(),8,1(),1,8(  DeCBA
 
b) 
87 
 
 
 
 
10) a) As retas pedidas não podem passar por nenhum dos 3 
vértices. Assim, as retas procuradas dividem o plano em 
dois semiplanos, um deles com dois dos vértices do 
triângulo e o outro com o outro vértice. E como cada reta 
deve ser eqüidistante dos três vértices, cada reta precisa ser 
paralela ao lado que contém os dois vértices contidos no 
mesmo semiplano. 
Portanto, as retas são x = 2, y = 0 e y = x 
 
 
b) (x-2)
2
 + y
2
 = 8 com centro (2, 0) e raio 2
2
 
 
11) a) A(4, 2) e B (3, 3) 
b) (2,1- 5 ) 
 
 
12) a) 
3
10
 e 10cm respectivamente. 
b) 
 
dAC = 2 dAB  3x
2
 + 3y
2
 - 40x + 100 = 0  circunferência 
 
 
 
 
12 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br 
 
13) a) Circunf: x2 + y2 = x : C = ( 2
1
 , 0) e R = 2
1
 
 Circunf: x
2 
+ y
2 
= y : C = (0, 2
1
 ) e R = 2
1
 
 
 
b) Pontos de intersecção: (0, 0) e ( 2
1
 , 2
1
 ) 
Retas tangentes no ponto (0, 0): eixos coordenados,que são 
perpendiculares. 
Retas tangentes no ponto ( 2
1
 , 2
1
 ): x = 2
1
 e y = 2
1
 , que 
são perpendiculares. 
 
 
 
 
14) Alternativa: A 
 
15) Alternativa: E 
 x + 3 = 2y1 
2 
= 1 - y
2
3)
2
 + y
2
 - 3. 
Portanto o conjunto dos pontos (x; y) tais que x + 3 = 
2y1 é um arco de circunferência de centro (- 3; 0) e r = 
1. 
 
 
16) Alternativa: D 
 
17) Alternativa: A 
 
18) Alternativa: B 
 
Através da equação geral da circunferência encontra-se sua 
equação reduzida (x-2)
2
 + (y-2)
2
 = 4, achando assim seu 
centro (2,2) e se raio r = 2. Dessa forma conclui-se que 
A=(2,0) e B=(0,2). 
Finalmente encontra-se o valor da área hachurada 
calculando a área do semicírculo de raio 2 determinado pelo 
diâmetro MN menos a área do segmento circular de ângulo 
central 90
o
 determinado pelo segmento AB. 
 
Ahachurada = Asemicirculo – Asegmento circular 
 = 







2
90..
4
.
2
. 22 osenrrrr  
 = 
 22  
 
 = 
2
 
 
 
 
 
19) Alternativa: A 
 
20) a) x2 + y2 = 5, P(2, 1) e Q(-2, -1). 
b) y = -2x + 5. 
 
 
21) Alternativa: C 
 
22) Alternativa: D 
 
23) Alternativa: D 
 
24) Diagonais: x + y - 5 = 0 e x - y - 1 = 0 
 
25) Alternativa: B 
 
26) Alternativa: A 
 
27) Alternativa: D 
 
28) a) P = (4, 2) 
b) y = 2x - 6 e o coeficiente angular é 2. 
 
29) Alternativa: A 
A principal parte do problema é a determinação dos pontos 
de interseção da reta 2x + y - 4 = 0 com os eixos 
coordenados. A partir daí o raio da circunferência 
procurada é igual à metade da distância entre estes dois 
pontos, e o centro da circunferência é o ponto médio do 
segmento determinado por eles. 
Para encontrarmos o ponto de interseção da reta 2x + y - 4 
= 0 com o eixo x, fazemos y = 0 e para encontrarmos o 
ponto de interseção da reta 2x + y - 4 = 0 com o eixo y, 
fazemos x = 0. Assim os pontos de interseção da reta 2x + y 
- 4 = 0 com os eixos coordenados são (2,0) e (0,4). A 
distância entre estes pontos é 5220)2(4 22  e 
portanto o raio da circunferência procurada é 5 .O ponto 
médio do segmento que une os pontos (2,0) e (0,4) é 





 
2
40
,
2
02
= (1,2), que é o centro da circunferência. 
Portanto a equação da circunferência é (x - 1)
2
 + (y - 2)
2
 = 5 
 
30) Alternativa: A 
 
 
13 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br 
 
 
31) a) Q = (7, 7) 
b) V = 10 km/h 
 
32) Alternativa: C 
 
33) Alternativa: B 
 
34) Alternativa: B 
 
35) Alternativa: D 
 
36) a) r = 1 
b) C = x
2 
+ y
2 
- 2x - 2y + 1 = 0 
 
 
37) Alternativa: B 
 
38) a) Se z = x+iy, então z+2i = x+i(y+2) e z-2 = (x-2)+iy. 
Então, dividindo 2z
2iz

 encontramos 
 
22 y2)(x
xy2)2)(y(xi2)y(y2)x(x


e assim a parte 
real é 22 y2)(x
2)y(y2)x(x


. Fazendo 22 y2)(x
2)y(y2)x(x


 
= 2
1 
de onde se chega em x
2
+(y+2)
2
 = 8 para x2 e y0. Note 
que x
2
+(y+2)
2
 = 8 seria a equação da circunferência de 
centro (0,-2) e raio 2 2 se não tivéssemos x2 e y0. 
Assim, acrescentando-se o ponto (2,0) temos a 
circunferência. 
 
b) y = x+2 
 
39) a) B=(6,3) 
b) C=(2,11) 
 
40) a) m = 3
3
 
b) A = 1m
3m12m
2
2


, para 0 < m < 3
3
 
 
 
 
41) Alternativa: C 
 
42) Alternativa: B 
 
43) a) 
 
 
b) 10
3
 + 
3
5
 
 
 
44) a) x + 2y – 5 = 0 
b) (2
3
 + 1,0) 
 
45) A circunferência C’ tem centro O’ 






0,
4
25
 
e raio r = 
4
5
 
 
 
46) C = (2 5 , 5- 5 ) e R = 5- 5 
 
47) V F F V V : soma das corretas = 25 
 
48) V – F – V – F – V – V 
 
49) 
 
 
14 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br 
 
(x – 
7
15
 )
2
+( y –
7
15
)
2 
= 9 ou (x + 
7
15
)
2 
+ (y + 
7
15
)
2 
= 9 
 
50) a) C=(1,1) ou C = (1,–7) 
b) R = 2 ou R = 5 2 
 
51) a) m = -1/2 
b) 2x - y = 0. Sim, o ponto A pertence à essa mediatriz. 
c) x + 2y = 0. 
 
52) a) (–1, –2) 
b) (x + 5)
2
 + (y – 1)2 = 25 
c) 
4
25
 
 
 
53) Alternativa: C 
 
54) Sem Resposta 
A resolução nos leva a p = 5, que não está nas alternativas. 
 
 
55) Alternativa: C 
 
56) a) y = 
3
2
21
x
 
b) 








5
6
,
5
212
 
 
57) Alternativa: A 
 
58) Resposta: y = x - 2 e y = -x + 2 
 
59) Alternativa: C 
 
60) Tangente: y = 1 
 
61) Alternativa: A 
 
62) Alternativa: D 
 
63) Alternativa: D 
 
64) a) 1 < x < 2 
b) 0  x < 1 ou x = 2 
 
65) a) os pontos P = (x, 0) tais que -1< x < 1 
b) 










1c
1c,
1c
2c P'
2
2
2 
 
66) a) (x - 2)2 + y 2 = 4 e 






5
6
,
5
18
 
b) 3
4
 e 15
32
 
 
 
67) a) - 2 < k < 2 
b) ) k - 2(2 2 
 
 
68) Alternativa: C 
 
69) a) ângulo de inclinação  = 60º 
 
 
b) 160 
 
 
70) a) encontram-se na origem (0, 0) 
b) a = –4 
 
71) Alternativa: E 
 
72) 
A = 9 4
2) - (
 
 
73) (4, –2), (5, 5) e (–2, 6) 
 
74) Resposta: 15 
 
75) Alternativa: E 
 
76) Alternativa: E 
e) (resposta oficial) 
Nota: A questão não está bem redigida, pois a forma geral 
da equação da reta não apresenta coeficientes a, b e c 
 
 
15 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br 
 
únicos. Assim, mesmo sendo x + 2y - 5 = 0 a opção mais 
natural, qualquer equação no formato kx + 2ky - 5k = 0 
representa a mesma reta, com a + b - c = 8k, e, escolhendo-
se valores convenientes de k, pode-se ter qualquer 
alternativa como correta. 
 
77) Alternativa: E 
 
78) a) A = (4, -2); B = (-4, 2) e C = (-1, -2) 
b) área = 10 
 
 
79) Alternativa: B 
 
80) Alternativa: C