Avaliando Calculo II

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Avaliação 1
	
	 1a Questão (Ref.: 175126)
	Pontos: 1,0  / 1,0 
	O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2 j. 
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1. 
	
	
	
	
	
	
	
	
	3t2 i  + 2t j
	
	 2a Questão (Ref.: 175096)
	Pontos: 1,0  / 1,0 
	Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t)  = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉 
	
	
	
	
	x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t 
	
	 3a Questão (Ref.: 52895)
	Pontos: 1,0  / 1,0 
	Calcule o limite de:
lim (x,y)--->(1,2) (x²y³ - x³y² + 3x + 2y)
	
	
	
	
	
	
	
	
	11
	
	 4a Questão (Ref.: 51733)
	Pontos: 1,0  / 1,0 
	Encontrando Primitivas.
Seja  ∫((cost)i + 3t2)j dt,
qual a  resposta correta?
		
	
	(sent)i + t³j
	
	 5a Questão (Ref.: 54325)
	Pontos: 1,0  / 1,0 
	Substitua a equação cartesiana x216+y225=1 por uma equação polar equivalente.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	9((rcos(θ))2+16r2=400 
		
	 6a Questão (Ref.: 174973)
	Pontos: 1,0  / 1,0 
	Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t2), indicando a única resposta correta. Considere a resposta em t=π4 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	(-22,22,π2) 
		
	 7a Questão (Ref.: 175504)
	Pontos: 0,0  / 1,0 
	Calcule a velocidade de uma  partícula com vetor de posição r(t) =  (t2, et, tet).  Indique a única resposta correta.
	
	
	
	
	
	
	(2t,et,(1+t)et)
	
	 8a Questão (Ref.: 42694)
	Pontos: 1,0  / 1,0 
	Supondo que r(t)é o vetor posição de uma partícula que se move a longo de uma curva então,em qualquer instante t , pode-se afirmar:
 I) O vetor velocidade da partícula, tangente à curva, é dado por:v(t)=dr(t)dt
 II) A aceleração é a derivada segunda da velocidade em relação ao tempo.
 III) O versor v(t)|v(t)|dá a direção do movimento no instante t. 
IV) A velocidade de uma partícula pode ser expressa como o produto do módulo de sua velocidade pela sua direção. 
Estão corretas apenas as afirmações: 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	I,III e IV 
		
	 9a Questão (Ref.: 54255)
	Pontos: 1,0  / 1,0 
	Sendo x=cos(wt), qual é o resultado da soma: d2xdt2+w2x?  
		
	
	0 
	
	 10a Questão (Ref.: 56428)
	Pontos: 1,0  / 1,0 
	 Considere w=f(x,y,z) uma função de três variáveis que tem derivadas parciais contínuas ∂w∂x , ∂w∂y e ∂w∂z em algum intervalo e   x,ye z são funções de outra variável t
Então dwdt=∂w∂x⋅dxdt+∂w∂y⋅dydt+∂w∂z⋅dzdt. 
Diz - se que dwdt é a derivada total de w  com relação a  t e representa a taxa de variação de w à medida que t varia.
Supondo w=x2 -3y2 +5z2 onde x=et, y=e-t, z= e2t, calcule dwdt sendo t= 0
	
	
	
	
	
	
	
	
	18
	
	
Avaliação 2
	
	 1a Questão (Ref.: 58159)
	Pontos: 0,0  / 1,0 
	Encontre um vetor normal a curva r(t) = (et cos t)i + (et sen t)j + 2k
		
	
	
Gabarito: 
N=(-cost-s∫2)i+(-s∫+cost2)j
		
	
	 2a Questão (Ref.: 59044)
	Pontos: 0,0  / 1,0 
	Use o teorema de Green para encontrar a circulação no sentido anti-horário e o fluxo exterior para o campo F = (x + y)i - (x2 + y2)j e a curva C: triângulo limitado por y = 0, x = 1, y = x
		
	
	
Gabarito: 
		
	 3a Questão (Ref.: 51703)
	Pontos: 1,0  / 1,0 
	Encontrando Derivadas.
Qual é a resposta correta para  a derivada de  r(t)=(tcost)i + (tsent)j + tk?
	
	
	
	
	
	
	(cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k
	
	 4a Questão (Ref.: 175504)
	Pontos: 0,0  / 1,0 
	Calcule a velocidade de uma  partícula com vetor de posição r(t) =  (t2, et, tet).  Indique a única resposta correta.
		
	
	(2t,et,(1+t)et)
	
	
	
	
	
	 5a Questão (Ref.: 58156)
	Pontos: 1,0  / 1,0 
	Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos t)j + 3k 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	(-sen t)i + (cos t)j
		
	 6a Questão (Ref.: 253692)
	Pontos: 0,0  / 1,0 
	Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 4] , y varia no intervalo [1 , 2] e z varia no intervalo [1 , 2].
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	35/4
		
	 7a Questão (Ref.: 59853)
	Pontos: 0,0  / 1,0 
	Considere uma função de três variáveis z=f(x,y,z). 
Seja z=sen(xy)+xseny .
 Encontre∂z∂uquando u=0 ; v=1 ; x=u2 +v2 e y=u.v. 
	
	
	
	
	
	
	 2   
	
	 8a Questão (Ref.: 253828)
	Pontos: 0,0  / 1,0 
	Considere a função F(x,y,z) = ( 3 * x^(2) * y^(3) ) (i) + ( 4 * y * z^(3) ) (j) + ( 5 * y^(2) * z ) (k). Calcular o divergente da função F(x,y,z). 
	
	
	
	
	
	
	
	
	6*x*y^(3) + 5*y^(2) + 4*z^(3) + 
	
	 9a Questão (Ref.: 58206)
	Pontos: 1,0  / 1,0 
	Calcule ∫14∫0x32eyxdydx
	
	
	
	
	 7e-7
	
	 10a Questão (Ref.: 43875)
	Pontos: 0,0  / 1,0 
	A equação de Laplace tridimensional é : 
                   ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0   
 As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas.
 Considere as funções:
 1) f(x,y,z)=x²+y²-2z²
2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z²
3) f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z² 
4) f(x,y,z)=xy+xz+yz 
5) f(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy-xyz² 
                    Identifique as funções harmônicas: 
	
	
	
	
	
	
	1,3,4
Aula 1
	
	 1a Questão (Ref.: 201602475562)
	Fórum de Dúvidas (0)       Saiba (0) 
	
	O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da função:
limt→0 r(t)=(sen2t) i + eln(2t)j + (cost)k 
	
	
	
	
	k
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 2a Questão (Ref.: 201602475586)
	Fórum de Dúvidas (1 de 1)       Saiba (0) 
	
	O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2 j. 
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1. 
		
	
	3t2 i  + 2t j
	
	 3a Questão (Ref.: 201602475571)
	Fórum de Dúvidas (1 de 1)       Saiba (0) 
	
	O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t)  = t3 i  + t2 j. 
 Determine a aceleração do objeto no instante t = 1. 
	
	
	
	
	
	
	6ti+2j 
	
	 4a Questão (Ref.: 201602475474)
	Fórum de Dúvidas (1 de 1)       Saiba (0) 
	
	Se  r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k,  então: ∫r(t)dt é: 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	2sent i - cost j + t2 k + C 
	
	 5a Questão (Ref.: 201602475768)
	Fórum de Dúvidas (0)       Saiba (0) 
	
	Calcule a acelaração da curva r(t) = (cost,sent,t2), em t=π2, indicando a única resposta correta. 
	
	
	
	
	
	
	
	
	(0,-1,2)
	
	 6a Questão (Ref.: 201602475556)
	Fórum de Dúvidas (1 de 1)       Saiba (0) 
	
	Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t)  = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉 
	
	
	
	
	
	
	x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t 
	
	
	
	
	
Aula 2
	
	
		1.
		Seja ∫((cost)i + (4t3)j) dt,
qual a resposta correta?
	
	
	
	
	(sent)i + t4j 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		2.
		Encontrando Primitivas.
Seja  ∫((cost)i + 3t2)j dt,
qual a  resposta correta?
	
	
	
	
	
	(sent)i + t³j
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		3.
		Calcule a integral da função vetorial:
[∫01dt1-t2]i+[∫01dt1+t2]j+[∫01dt]k
 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	3π4+1 
	
	
	
	
	
	
		4.
		Elimine o parâmetro tpara encontrar uma equação cartesiana da curva: x=3t-5 e y=2t+1
	
	
	
	
	
	y=(23)x+1335.
		Um objeto de massa m que se move em uma trajetória circular com velocidade angular constante w tem vetor posição dado por r(t) = acoswt i + asenwt j. Indique a única resposta correta que determina a acelaração em um tempo t qualquer. Observação: a > 0. 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	-aw2coswt i - aw2senwt j 
	
	
	
		6.
		Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então a integral definida: ∫0π2r(t)dt é: 
	
	
	
	
	
	2i  +  j  +  π24k 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		7.
		O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da função:
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	i + j + k
	
	
	
		8.
		Encontre o vetor velocidade para o movimento circular r(t) = (cos 2t)i + (sen 2t)j 
	
	
	
	
	
	v(t)=-2sen(2t)i+2cos(2t)j 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Aula 3
	
	
	
		1.
		Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela funções vetoriais:
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k 
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k 
Podemos concluir que 
a) as aeronaves não colidem.
 b) as aeronaves colidem no instante t=2 
c) as aeronaves colidem no instante t=5 
d) as aeronaves colidem no instante t=3 
e) as trajetórias não se interceptam 
		
	
	
	
	
	(c)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		2.
		Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t),  indicando a única resposta correta.  
		
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	(-sent, cost,1) 
	
	
	
		3.
		Dada a função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz) encontre
 (∂f∂x)+(∂f∂x)+(∂f∂z)
		
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 1x+1y+1z +3cos(y+2z)
 
	
	
	
	
	
	
		4.
		Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição r(t) = (3cos t) i + (3sen t)j + t2k. Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice. Para o intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da velocidade da asa-delta no instante t = 0. 
		
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	3
	
	
	
		5.
		Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t2), indicando a única resposta correta. Considere a resposta em t=π4 
		
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	(-22,22,π2) 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		
		Encontre o vetor aceleração da partícula de posição: 
r(t)= (et)i+29(e2t)j-2(et)k no instante t=ln3. 
		
	
	
	
	
	a(t)=3i+8j-6k
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		
		Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única resposta correta.
		
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	(1-cost,sent,0) 
	
	
	
	
	
	
	
	
		8.
		Encontrando Derivadas.
Qual é a resposta correta para  a derivada de  r(t)=(tcost)i + (tsent)j + tk?
		
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	(cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k
	
	
	
Aula 4
	
	
		1.
		Determine a equação do plano tangente à superfície 
 z=f(x,y)=3.x.y²-10x² no ponto P(1,2,2). 
		
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	z=-8x+12y -14  
	
	
	
	
	
	
		2.
		Seja r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k o vetor posição de uma partícula que se move ao longo de uma curva lisa no plano.
Considere as afirmações. Assinale (V) para as verdadeiras e (F) para as falsas:
1) (   ) Quando uma partícula se move durante um intervalo de tempo I, as coordenadas da partícula são   x(t),y(t),z(t). Os pontos P(x(t),y(t),z(t)) formam uma curva que é a trajetória da partícula.
 2) (   )  A velocidade é a derivada da posição,isto é:
 v(t) =r'(t) = dr(t)dt 
3) (   )  O módulo da velocidade ou a magnitude da velocidade é igual a
 |v(t)|= (dx(t)dt)2+(dy(t)dt)2+(dz(t)dt)2. 
4) (   )  A aceleração é a derivada da velocidade, ou seja 
a(t) = v'(t)= dv(t)dt 
5) (   )  O vetor unitário ou versor v(t)|v(t)| é a direção do movimento no instante t. 
6) (   )  r(t)é lisa se for contínua e nunca 0.
 
		
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	1) (V)          2)(V)             3) (V)                    4)(V)                  5) (V)                  6) (F)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		3.
		Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a equação polar r=42cosΘ-senΘ
		
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	y = 2x - 4
	
	
		4.
		Determine o versor tangente à curva de função vetorial r(t)=(2sent)i+(2cost)j+(tgt)k no ponto t=π4.
		
	
	
	
	
	(12)i -(12)j+(22)k
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		5.
		Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a equação polar r2 = 4r cosΘ
		
	
	
	
	
	(x - 2)2 + y2 = 4
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		6.
		Um objeto de massa m que se move em uma trajetória circular com velocidade angular constante w tem vetor posição dado por r(t) = acoswt i + asenwt j. Indique a única resposta correta que determina a velocidade em um tempo t qualquer. Observação: a > 0. 
		
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	- awsenwt i + awcoswtj 
	
	
		7.
		Seja a função f(x,y,z)=x-y2+z2 . Encontre ∂f∂x , ∂f∂y e ∂f∂z 
		
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	∂f∂x=1 , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
	
	
	
		8.
		Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂x
		
	
	
	
	
	
	
	
	2sen(x - 3y)cos(x - 3y)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Aula 5
	
	
		1.
		Sendo x=cos(wt), qual é o resultado da soma: d2xdt2+w2x?  
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	0 
	
	
	
		2.
		Se f(x,y)=x2+y3,  calcule e marque a única alternativa correta para a derivada direcional na direção e sentido de v = <4, 3>,em P(1,2).
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	445=8,8
	
	
	
	
	
	
		3.
		Encontre a curvatura para r(t)=(lnsect)i+tj para -π2<t<π2
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	cos t
	
	
	
	
	
	
		4.
		O valor da integral é:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		5.
		Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos t)j + 3k 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	(-sen t)i + (cos t)j
	
	
	
	
	
	
		6.
		 Considere w=f(x,y,z) uma função de três variáveis que tem derivadas parciais contínuas ∂w∂x , ∂w∂y e ∂w∂z em algum intervalo e   x,ye z são funções de outra variável t
Então dwdt=∂w∂x⋅dxdt+∂w∂y⋅dydt+∂w∂z⋅dzdt. 
Diz - se que dwdt é a derivada total de w  com relação a  t e representa a taxa de variação de w à medida que t varia.
Supondo w=x2 -3y2 +5z2 onde x=et, y=e-t, z= e2t, calcule dwdt sendo t= 0
	
	
	
	
	
	18
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		7.
		Encontre a curvatura para a curva r(t) = (cos t + t sen t)i + (sen t - t cos t)j para t > 01/t
	
	
	
		8.
		Encontre a derivada direcional da função   f(x,y,z)=lnxyz    em   P(1,2,2) na direção do vetor v=i+j -k.
 
	
	
	
	
	
	
	
	
	 33 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Aula 6
	
	
		1.
		
	
	
	
	
	
	
	
	
	9/2 u.v
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		2.
		Seja f(x,y,z) = ( x^(2) * y^(1/3) ) / z. Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 3] , y varia no intervalo [8 , 27] e z varia no intervalo [1 , e].
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	845/2
	
	
	
		3.
		Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 3] , y varia no intervalo [2 , 5] e z varia no intervalo [3 , 4].
	
	
	
	
	
	
	
	
	203 * ( 3*x^(1/2) - 1 ) / 24
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		4.
		Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 4] , y varia no intervalo [1 , 2] e z varia no intervalo [1 , 2].
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	35/4
	
	
	
	
	
	
		5.
		Deseja-se pintar a estrutura externa lateral de um monumento em forma de um paraboloide que pode ser descrita pela equação z=x2 + y2, situada na região do espaço de coordenadas cartesianas(x, y, z) dada pela condição z≤9 . Os eixos coordenados estão dimensionados em metros e gasta-se um litro e meio de tinta a cada metro quadrado de área da superfície a ser pintada.
 A quantidade de tinta, em litros, necessária para pintar a superfície lateral do monumento é dada pela integral dupla 
	
	
	
	
	
	6∫0π2∫03(1+4r2)rdrdθ=
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		6.
		Seja a integral dupla ∫∫De(y2)dA, onde D={(x,y)|0≤y≤1,0≤x≤y}. O valor dessa integral é dada por:
 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	12(e-1) 
	
	
	
	
	
	
		7.
		Determine a integral ∫01∫02∫01-zdydxdz
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	1
	
	
	
	
	
	
		8.
		Determine a integral ∫π2π∫0π(senx+cosy)dxdy
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	2π
	
	
	
	
	
	
Aula 7
	
	
		1.
		Considere uma função de três variáveis z=f(x,y,z). 
Seja z=sen(xy)+xseny .
 Encontre∂z∂uquando u=0 ; v=1 ; x=u2 +v2 e y=u.v. 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 2   
	
	
		2.
		Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida por r(x,y,z) = -2t (i) + 3t (j) - t (k), onde t varia no intervalo [0 , 1] 
	
	
	
	
	
	2 * (14)^(1/2)
	
	
		3.
		Integre a função f(x,y,z) = x - 3y2 + z sobre o segmento de reta C que une a origem ao ponto (1,1,1). Considere a parametrização r(t) = ti + tj + tk, onde t pertence ao intervalo [0,1]. Portanto, a integral de f sobre C é: 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	0
	
	
		4.
		Integre f(x, y, z) = x - 3.y2 + z sobre o segmento de reta C que une a origem (0,0,0) ao ponto (1,1,1) passando primeiro por (1,1,0). Dado a parametrização r(t) = ti + tj + tk, 0 ≤ t ≤ 1. 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	0
	
	
	
		5.
		Considere f:R3→R definida por f(x,y,z) = x2 + y2 + z2. Considere ainda a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t), t∈[0,2π]. Calcule ∫c fds.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	2.(2π+8π33) 
	
	
		6.
		Calcular ∫c fds em que r é a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t), 
t∈[0,2π] e F o campo vetorial definido por F(x,y,z)=(x,y,z). 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	2π2 
	
	
		7.
		Considere  a  função f(x,y)= y.lnx + x.ey  .
Identifique as afirmações verdadeiras (V) e as falsas (F):
1) (   ) A derivada da função  f(x,y) em  P(1,0)  na direção do vetor  v =  i-j  é nula.
2) (   ) A função f(x,y)  aumenta mais rapidamente na direção do vetor  u= i + j.
3) (   )  Existe uma direção na qual a taxa de variação da função é 2. 
4) (   )  A taxa de variação da função é   21/2
5) (   ) A reta tangente à curva  f(x,y)  no ponto    P(1,0)   é      y=x-1.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	1) (V)     2) (V)     3) (F)     4) (V)     5) (F)
	
	
		8.
		Seja f:R3→R definida por f(x,y,z) = x + 3y2 + z e  c o segmento de reta que une (0,0,0) e (1,1,1). Calcular ∫c fds. Utilize a parametrização deste segmento : r(t)=(t,t,t), t∈[0,1] .
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	23
Aula 8
	
	
	
		1.
		Considere a função F(x,y,z) = ( 3 * x^(2) * y^(3) ) (i) + ( 4 * y * z^(3) ) (j) + ( 5 * y^(2) * z ) (k). Calcular o divergente da função F(x,y,z). 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	6*x*y^(3) + 5*y^(2) + 4*z^(3) + 
	
	
	
		2.
		Calcule o volume gerado pela função f(x,y) = x2y + y2 delimitada por 1< x < 2 e 0 < y < 1
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	2
	
	
	
		3.
		Considere a função F(x,y,z) = ( x^(3) * y^(1/2) ) / z. Calcular o gradiente da função F(x,y,z)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	( 3* x^(2) * y^(1/2) ) /z (i) + ( x^(3) / (2 * y^(1/2) * z ) ) (j) - ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k) 
	
	
		4.
		Calcular o volume do sólido E limitado superiormente pela superfície de equação z = x² + y² e inferiormente pela região R = {(x, y) ∈ R² : 1 ≤ x² + y² ≤ 4 e x ≥ 0}.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		5.
		Determine o plano tangente à superfície esférica
 x2 + 3y2+ z2=22 no ponto P(1,2,3).
	
	
	
	
	
	
	
	
	 x+6y+3z=22
	
	
		6.
		Considere T(x,y,z) = 20 - x2 - y2 - z2 uma distribuição de temperatura em uma região do espaço. Uma partícula A localizada em A(2,3,5) precisa esquentar rapidamente. Outra partícula B situada em B(0,-1,0) precisa resfriar-se o mais rápido possível. Marque a alternativa que indica a direção e o sentido que a partícula B deve tomar.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	(0, -2, 0)
	
	
		7.
		 Encontre a área da região R limitada pela parábola y=x2 e pela reta y=x+2 utilizando integral dupla. .
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	92u.a. 
	
	
	
		8.
		Considere T(x,y,z) = 20 - x2 - y2 - z2 uma distribuição de temperatura em uma região do espaço. Uma partícula A localizada em A(2,3,5) precisa esquentar rapidamente. Outra partícula B situada em B(0,-1,0) precisa resfriar-se o mais rápido possível. Marque a alternativa que indica a direção e o sentido que a partícula A deve tomar.
	
	
	
	
	
	
	
	
	(-4, -6, -10)
Aula 9
	
	
	
		1.
		Encontre ∂f∂x e ∂f∂y para a função f(x,y)=x+yxy-1
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	∂f∂x=-y2-1(xy-1)2 e ∂f∂y=-x2-1(xy-1)2
	
	
	
		2.
		Resolva a integral ∫01∫y1x2exydxdy invertando a ordem de integração 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	e-22
	
	
	
		3.Transforme para o sistema de coordenadas polares a integral ∫-11∫01-x2dydx(1+x2+y2)2. Em seguida, calcule o seu valor. 
	
	
	
	
	
	π4
 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		4.
		Calcule ∫14∫0x32eyxdydx
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 7e-7
	
	
	
		5.
		Encontre a área dda região R limitada pela parábola y = x2 e pela reta y = x + 2 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	9/2
	
	
	
	
	
	
		6.
		Calcule ∫03∫02(4-y2)dydx 
	
	
	
	
	
	
	
	
	16
	
	
	
	
	
		7.
		Encontre a derivada parcial para a função f(x,y,z)=e-(x2+y2+z2) 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	∂f∂x=-2xe-(x2+y2+z2) e ∂f∂y=-2ye-(x2+y2+z2) e ∂f∂z=-2ze-(x2+y2+z2) 
	
	
	
		8.
		Resolva a integral ∫02ln3∫y2ln3ex2dxdy invertendo a ordem de integração 
	
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Aula 10
	
	
	
		1.
		Quais dos campos abaixo são conservativos?
1. F=yzi+xzj+xyk
2. F=(ysenz)i+(xsenz)j+(xycosz)k
3. F=yi+(x+z)j-yk
4. F=-yi+xj
5. F=(z+y)i+zj+(y+x)k
6. F=(excosy)i -(exseny)j+zk 
	
	
	
	
	
	campos 1, 2 e 6
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		2.
		A derivada direcional permite calcular a taxa de variação de uma função fem um ponto P  na direção de um versor u; é igual ao produto escalar do vetor gradiente de f (∇f) e o versor u.
 Encontre a derivada direcional da função f(x,y,z)=cos(xy)+eyz+lnxz em P(1,0,12) na direção do vetor v=i+2j+2k.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	2 
	
	
	
		3.
		Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(3ydx+2xdy) onde a curva C: a fronteira de 0≤x≤π,0≤y≤senx 
	
	
	
	
	
	
	
	
	-2
	
	
		4.
		Encontre o volume da região D limitada pelas superfícies z = x2 + 3y2 e z = 8 - x2 - y2
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	8π2
	
	
		5.
		Sabendo-se que o comprimento de uma curva lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k,  a≤t≤b é dada pela fórmula
 L = ∫ab((dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2)dt = ∫ab|v(t)|dt ,
encontre o comprimento da curva r(t)=(3t3)i -(2t3)j -(6t3)k , 1≤t≤2.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 21u.c.
	
	
	
		6.
		Calcule a integral ∫02π∫01∫r2-r2dzrdrdΘ em coordenada cilíndrica
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	4π(2-1)3 
	
	
	
	
	
	
		7.
		Mude a integral cartesiana para uma integral polar equivalente e calcule a integral polar de ∫-11∫01-x2dydx
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	π2
	
	
	
		8.
		Seja a função w = ln (2x + 3y), encontre ∂2w∂y∂x
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	-6(2x+3y)2