Probabilidade

Prévia do material em texto

1
Cálculo Aplicado à 
Administração
Prof. Nelson Pereira Castanheira
Aula 3
Probabilidades
Introdução
 Probabilidades
 Distribuição de 
probabilidades:
a) binomial
b) Poisson
c) normal
Tema 1 – Probabilidades
Conceitos Fundamentais
Teoria das Probabilidades
 Experimento aleatório
 Espaço amostral
 Eventos: simples, composto, 
certo, impossível
ܲ ܣ = 	 ݊ú݉݁ݎ݋	݀݁	ݒ݁ݖ݁ݏ	݁݉	ݍݑ݁	݋	݁ݒ݁݊ݐ݋	ܣ	݌݋݀݁	݋ܿ݋ݎݎ݁ݎ
݊ú݉݁ݎ݋	݀݁	ݒ݁ݖ݁ݏ	݁݉	ݍݑ݁	݋	
݁ݏ݌ܽç݋	ܽ݉݋ݏݐݎ݈ܽ	ܵ	݋ܿ݋ݎݎ݁
Valores limites das 
probabilidades
 P(A) = 0 , quando A = 0
(há certeza de não acontecer)
 P(A) = 1 , quando A = S 
(há certeza de acontecer)
2
 Probabilidade do 
acontecimento 
 Probabilidade do não 
acontecimento 
ܳ ܣ + ܲ ܣ = 1
→ ܲ(ܣ)
→ ܳ(ܣ)
 Experimento: joga-se uma 
moeda honesta
• Espaço amostral: S = {cara, 
coroa}
• Evento: A = {deu cara}
ܲ ܣ = ଵ
ଶ
	݋ݑ	50%
 Agora o evento que consiste em 
jogarmos, uma única vez, três 
moedas
 Sendo K = cara , C = coroa e 
sendo A = {deu uma única 
cara}, temos:
• S = {KCC, KKC, KKK, CKC, 
CKK, CCK, CCC, KCK}
ܲ ܣ = 38
 Agora o evento que consiste em 
jogarmos, uma única vez, um 
dado honesto. Seja o evento: 
• A = {deu 5} 
• S = {1, 2, 3, 4 , 5, 6}
 Então: ܲ ܣ = 	16
 Jogam-se dois dados honestos
• S = {36 resultados possíveis}
• A = {a soma dos dois dados 
é 6}
• A = {(1 , 5), (2 , 4), (3 , 3), 
(4 , 2), (5 , 1)}
ܲ ܣ = 	 536
3
 Um número é sorteado entre os 
inteiros de 1 até 10. Qual a 
probabilidade de ele ser o 4?
• S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 
10}
• A = {4}
ܲ ܣ = 110
Eventos mutuamente 
exclusivos
 Ocorrendo um deles, o outro não 
pode ocorrer
 Exemplo: joguei um dado 
• Sejam os eventos:
 A = {deu o número 3} 
 B = {deu o número 4} 
 Então, se ocorreu o evento A, 
não pode ter ocorrido o evento B 
e vice-versa
 Os eventos A e B são 
mutuamente exclusivos
Tema 2 – Regras da 
Multiplicação e da Soma
Teoria das Probabilidades
Regra da multiplicação
1o experimento: “a” resultados
2o experimento: “b” resultados
 Obs.:  significa interseção e 
corresponde à multiplicação. 
Lê-se “e”
ܲ 	1º ∩ 2º = ܽ. ܾ
Regra da adição para eventos 
mutuamente exclusivos
 Obs.:  significa união e 
corresponde à soma. Lê-se “ou”
ܲ ܣ ∪ ܤ = ܲ ܣ + ܲ(ܤ)
4
 Joguei um dado. Qual a 
probabilidade de ter dado 4 ou 
5?
ܲ 4 ∪ 5 = ܲ 4 + ܲ(5)
ܲ 4 ∪ 5 = 	16 + 16 = 26
Eventos não mutuamente 
exclusivos
 São eventos que podem ocorrer 
simultaneamente
• Exemplo: experimento que 
consiste em retirar uma carta 
de um baralho comum com 52 
cartas
 Sejam os eventos:
• A = {extração de um ás}
• B = {extração de uma carta de 
ouros} 
 Observe que, ao ocorrer A, poderá 
ter ocorrido B
Regra da adição para eventos 
não mutuamente exclusivos
ܲ ܣ ∪ ܤ = ܲ ܣ + ܲ ܤ − ܲ(ܣ ∩ ܤ)
 Retirei uma carta de um baralho 
honesto. Qual a probabilidade 
dessa carta ser um ás ou uma 
carta de ouros?
ܲ áݏ = 	 452
ܲ ݋ݑݎ݋ݏ = 	1352
ܲ áݏ	݋ݑ	ܿܽݎݐܽ	݀݁	݋ݑݎ݋ݏ= 452 + 1352 − 452 . 1352 = 1652
5
Tema 3 – Distribuição 
Binomial de Probabilidades 
 Recordando fatorial
3! = 3 . 2 . 1 = 6
5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
0! = 1 (por definição)
 Recordando combinação
ܥହ,ଷ = ହ!ଷ!	. ହିଷ !
ܥହ,ଷ = ଵଶ଴଺.ଶ = 10
 Uma distribuição de 
probabilidades é um modelo 
matemático para a distribuição 
real de frequências
 Tratando-se de distribuição de 
probabilidade, a variável X é dita 
variável aleatória
 A distribuição binomial é uma 
distribuição discreta, de 
probabilidade aplicável, sempre 
que o processo de amostragem é 
do tipo de Bernoulli, ou seja:
a) em cada tentativa existem dois 
resultados possíveis e 
mutuamente exclusivos, 
denominados sucesso e 
fracasso
b) as séries de tentativas ou 
observações são eventos 
independentes
c) a probabilidade de sucesso, 
indicada por “p”, permanece 
constante de tentativa para 
tentativa (processo 
estacionário)
6
Distribuição Binomial
ܲ ܺ = ܥே,௑.݌ܺ. ݍேି௑ =
ே!
௑! ேି௑ ! . ݌௑ . ݍேି௑
 Importante:
• p = probabilidade de sucesso
• q = probabilidade de fracasso
p + q = 1
 Experimento: jogar um dado 5 
vezes
• P(três 6 em cinco lances) = ?
 p = 1/6 ; q = 5/6
 N = 5 (no de tentativas)
 X = 3 (no de sucessos)
ܲ ܺ = 3 = 	 ܥହ,ଷ	.	݌ଷ. 	ݍହିଷ= 5!3! 5 − 3 ! 	 . (1 6⁄ )ଷ	. (5 6⁄ )ହିଷ
ܲ ܺ = 3 = 10	. 	 1216	 . 2536
ܲ ܺ = 3 = 0,0321	݋ݑ	3,21%
Tema 4 –
Distribuição de Poisson
 A distribuição de Poisson é usada 
quando os eventos ocorrem em 
um continuum de tempo ou 
espaço. Os eventos são 
independentes e o processo é 
estacionário
7
 Obs.:  = no médio de sucessos (é 
sempre um valor conhecido)
P(X		)=௑ . ݁ି
ܺ!
 Um departamento de conserto de 
máquinas recebe uma média de 5 
chamadas por hora. Qual a 
probabilidade de que em uma hora, 
selecionada aleatoriamente, sejam 
recebidas exatamente 3 
chamadas? 
ܲ(ܺ = 3		=	5)	=	5ଷ	.݁ିହ3!= 125	. 0,006746 = 0,1404	݋ݑ	14,04%
Parâmetros da distribuição de 
Poisson
 Média:  = N . p
 Variância: S2 = N . p . q
 Desvio padrão: ܵ = 	 ݏଶ
Tema 5 – Distribuição 
Normal de Probabilidades
 A distribuição normal é contínua 
e simétrica em relação à média. 
A curva que representa a 
distribuição normal é 
mesocúrtica e frequentemente 
descrita como curva em forma 
de sino, sendo também 
conhecida como Curva de 
Gauss
Distribuição Normal
 Uma variável aleatória discreta e 
contínua pode assumir qualquer 
valor fracionário dentro de um 
intervalo definido de valores
8
Curva da Distribuição 
Normal de Probabilidades
f(X)
X
Z
 Qualquer conjunto de valores X 
normalmente distribuídos pode 
ser convertido em valores 
normais padronizados z pelo uso 
da fórmula:
ࢠ = ܺ − 	
ܵ
Z 0,00 0,01 0,02 0,03
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517
0,2 0,0793 0,0832 0.0871 0,0910
 A vida média de um tipo de 
lâmpada segue uma distribuição 
normal, com média  = 2000 
horas e desvio padrão S = 200 
horas. Qual a probabilidade de 
uma lâmpada escolhida ao acaso 
durar entre 2000 e 2400 horas?
Distribuição normal
1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 X
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 Z
f(X)
 P (2000 a 2400 horas) = ?
ݖ = 	ܺ − 
ܵ
= 	2400	 − 2000200
ݖ = 	+	2
ܲ(ܱ ≤ ݖ ≤	+2,0 = 0,4772
ܲ 2000 ≤ ܺ ≤ 2400= 0,4772	݋ݑ	47,72%
9
 O que isso significa? 
• Significa que a área limitada pela 
curva e pelo eixo horizontal X, 
para valores de z variando de 0 
até +2, corresponde a 47,72% 
da área total sob a curva
Síntese
 Conceitos de probabilidades
 Teoremas da soma e da 
multiplicação
 Distribuição de probabilidades:
a) binomial
b) Poisson
c) normal
Referências de Apoio
 CASTANHEIRA, N. P. Estatística 
aplicada a todos os níveis. 5. 
ed. Curitiba: Intersaberes, 2010.
 BUSSAB, W. de O.; MORETTIN, 
P. A. Estatística básica. 5. ed. 
São Paulo: Saraiva, 2002.