GA C Formulario GA Espacial Vetores Verso

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Formulário para Exercícios de Geometria Analítica Espacial (Verso) 
 
 Prof.: Anastassios H. Kambourakis 
 
 → → → 
Produtos Produto Escalar: Produto Vetorial: i j k Produto Misto: x1 y1 z1 
 de u x v = x1x2 + y1y2 + z1z2 u ∧ v = x1 y1 z1 [ u , v, w ] = x2 y2 z2 
Vetores u x v = 0 ⇒ u ⊥ v u ∧ v 0 ⇒ u//v (LD) x2 y2 z2 [ u , v, w ] = 0 ⇒ Compl. (LD) x3 y3 z3 
 
 → → 
Projeção de v na direção de u Mudança de base B para Base C: 
 → → → → → → 
 → → u u VB = MBC • VC ou ainda VC=(MBC )-1 • VB , onde 
 v1 = v x • → 
 → → VB = Vetor na Base B ; MBC= Matriz Mudança de Base de B para C ; 
 |u| |u| → 
 VC = Vetor na Base C. 
 
 Sendo → 
 ( x , y , z ) = ( x0 , y0 , z0 ) + t ( a , b , c ) Ponto A: Ângulos Diretores: v = (x , y , z ) 
 A = ( x0 , y0 , z0 ) x y z 
 → x = x0 + at , y = y0 + bt , z = z0 + ct & cosα = , cosβ = , cosγ = 
Reta r: P = A + t V ⇒ → → → 
 x − x0 = y − y0 = z − z0 Vetor v: v v v 
 a b c v = (a, b, c) 
 cos2α + cos2β + cos2γ = 1 
 
 ( x , y , z ) = ( x0 , y0 , z0 ) + t1 ( a1 , b1 , c1 ) + t2 ( a2 , b2 , c2 ) 
 → → 
Plano π: P = A + t1 V1 + t2 V2 ⇒ x = x0 + a1t1 + a2t2, y = y0 + b1t1+ b2t2, z = z0 + c1t1+ c2t2 
 → 
 ax + by + cz + d = 0, Vetor Normal : W = ( a , b , c ) 
 
 d A B = √ ( x2 – x1 ) 2 + ( y2 – y1 ) 2 + ( z2 – z1 ) 2 = B−A, sendo ponto A = ( x1 , y1 , z1 ) e B = ( x2 , y2 , z2 ) 
 
 Distâncias → → → 
  ( Q − A) ∧ V   (A2 − A1) x (V1 ∧ V2) ax + by + cz + d 
 d Q r = , d r1 r2 = , dQ π = 
 → → → √ a 2 + b 2 + c 2 
 V  (V1 ∧ V2) 
 
 → → → 
Produtos Produto Escalar: Produto Vetorial: i j k Produto Misto: x1 y1 z1 
 de u x v = x1x2 + y1y2 + z1z2 u ∧ v = x1 y1 z1 [ u , v, w ] = x2 y2 z2 
Vetores u x v = 0 ⇒ u ⊥ v u ∧ v 0 ⇒ u//v (LD) x2 y2 z2 [ u , v, w ] = 0 ⇒ Compl. (LD) x3 y3 z3 
 
 → → → → → 
Áreas A∇ ABC = (V1 ∧ V2)÷ 2 , (Triângulo) V = [V1 ,V2 , V3] ÷ 6 , (Tetraedro) 
 ABCD 
& 
Volumes → → → → → 
 A ABCD = ( V1 ∧ V2)  , (Paralelogramo) V ABCDEFGH =[V1 ,V2 ,V3] , (Paralelepípedo) 
 
 → → → → → → → → 
Ângulos: ϕ = arco-cosseno V1 × V2 ÷V1•V2 ϕ = arco-seno (V1 ∧ V2) ÷ V1•V2