Lista 3 GA

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Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de Matemática - Geometria Analítica 1
Prof. Rodrigo Cavalcante
Terceira Lista
Dependência Linear, Bases e Componentes
1. Julgue os itens abaixo como verdadeiro ou falso, justificando sua resposta.
a) Se a sequência (
→
u,
→
v ,
→
w) é LD, então o vetor
→
w é uma combinação linear de
→
u e
→
v .
b) Uma sequência de vetores contendo o vetor nulo é sempre LD.
c) A sequência (
→
u,
→
v ,
→
w) é LI se, e somente se, (
→
u,
→
v ) também é.
d) Dado que
→
u é forma com
→
v uma sequência LI e que o vetor
→
w também forma uma sequência LI com
→
v ,
então a sequência formada por estes três vetores pode ou não ser LI.
2. Dados os vetores não coplanares
→
e 1,
→
e 2 e
→
e 3
a) Justifique porque esses vetores formam uma base;
b) Encontre as componentes de
→
e 1,
→
e 2 e
→
e 3 na base β1 = (
→
e 1,
→
e 2,
→
e 3);
c) Encontre as componentes de
→
e 1,
→
e 2 e
→
e 3 na base β2 = (3
→
e 1, 2
→
e 2, 4
→
e 3);
d) Encontre as componentes do vetor (2, 1, 0)β1 + (3, 2, 1)β2 nas bases β1 e β2.
3. Seja OABC um tetraedro e M o ponto médio de BC.
a) Justifique porque a sequência β = (
−→
OA,
−−→
OB,
−−→
OC) é uma base do espaço (V3);
b) Determine as componentes do vetor
−−→
AM na base β;
4. Seja V ABCD uma pirâmide regular de base quadrada com vértice fora do quadrado V .
a) Justifique porque a sequência β = (
−→
V A,
−−→
V B,
−−→
CD) não é uma base do espaço (V3);
b) Considere a sequência β = (
−→
V A,
−−→
V B,
−−→
V C). Escreva os vetores
−→
AC e
−−→
BD como combinação linear dos vetores
desta sequência.
c) As combinações lineares do item anterior são únicas?
5. Dadas as componentes dos vetores
→
u ,
→
v e
→
w em relação a uma base β de V3, determine m ∈ R de forma que as
sequências formadas pelos seguintes vetores sejam LD:
a)
→
u= (m2 − 4,m+ 2, 0)β ;
b)
→
u= (1, 3, 5)β e
→
v= (2,m+ 1, 10)β ;
c)
→
u= (3, 5, 1)β ,
→
v= (2, 0, 4)β e
→
w= (1,m, 3)β .
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