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09/05/2016 UNIP Universidade Paulista : DisciplinaOnline Sistemas de conteúdo online para Alunos. http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 1/9 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 1. Definições 2. Fórmulas e conversões 3. Exercícios resolvidos 1. Definições É comum na relação das instituições financeiras com seus clientes a utilização de taxas de juros com periodicidades distintas, principalmente as taxas com periodicidade anual e mensal. Este módulo aborda os diferentes tipos de taxas e as conversões existentes entre elas, para o regime de capitalização composta. As taxas utilizadas são: Taxa de juros nominal (iN): é uma taxa utilizada como referência, não sendo aplicada diretamente nos cálculos. Na maioria dos casos tem periodicidade anual e a partir dela calculase a taxa efetiva de forma proporcional. Taxa de juros efetiva (ief): é a taxa que efetivamente é aplicada nos cálculos e é calculada proporcionalmente ao juro nominal. Por exemplo, qual a taxa de juros efetiva para uma taxa nominal de 12% ao ano com capitalização mensal? Dividindo 12% ao ano por 12 meses, a taxa efetiva é de 1% ao mês. Taxas de juros equivalentes (ieq), são duas ou mais taxas de juros com periodicidades diferentes que, quando aplicadas num mesmo capital durante o mesmo período, produzem o mesmo montante. 2. Fórmulas 2.1 Conversão de taxa de juros nominal para efetiva Onde n é a relação de periodicidade entre a taxa nominal e a efetiva. Por exemplo, uma taxa nominal de 24% ao ano com capitalização trimestral tem n=4 (4 trimestres num ano) e a taxa efetiva é de 6% ao bimestre. 2.2 Cálculo de taxas equivalentes Onde n1/n2 é a relação de periodicidade entre as taxas. Por exemplo, para uma taxa efetiva de 15% ao semestre temos as seguintes taxas equivalentes: Observações: 1. Dizse que as taxas 15% a.s., 0,078% a.d., 2,36% a.m., 9,77% a.q. e 32,25% a.a. são equivalentes. 2. Pela definição de taxas equivalentes, se aplicarmos qualquer uma destas taxas num mesmo capital e durante o mesmo período, obtêmse o mesmo montante. 09/05/2016 UNIP Universidade Paulista : DisciplinaOnline Sistemas de conteúdo online para Alunos. http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 2/9 Por exemplo: um capital de R$ 6.000 aplicado a 15% a.s., durante 2 anos gera um montante de R$ 10.494: 3. Exercícios resolvidos 1. Qual a taxa efetiva para um financiamento com taxa nominal de 24% ao ano e capitalização mensal? 24%/12 = 2% a.m. 2. Quais as taxas equivalentes bimestral, trimestral, semestral e anual para uma taxa efetiva de 2% ao mês? 3. Um empréstimo de R$ 3.500 é feito a uma taxa nominal de 34% ao ano com capitalização diária. Qual o valor da dívida após 4 meses? Bibliografia Básica ANDRÉ LUIZ CARVALHAL DA SILVA. Matemática Financeira Aplicada. 1ª Edição Editora Atlas. 2005. JOSÉ DUTRA VIEIRA SOBRINHO. Matemática Financeira. 7ª Edição. Editora Atlas. 2002. Complementar MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática financeira. Atlas, 2004. ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 10ª ed. Atlas, 2008. 09/05/2016 UNIP Universidade Paulista : DisciplinaOnline Sistemas de conteúdo online para Alunos. http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 3/9 PIERRE JACQUES EHRLICH, EDMILSON ALVES DE MORAES. Engenharia Econômica: avaliação e seleção de projetos de investimento. Atlas, 2009. Exercício 1: Um financiamento é obtido com uma taxa nominal de 42% ao ano e capitalização semestral. A taxa efetiva e as taxas equivalentes são de A 21% a.s.; 3,23% a.m.; 0, 159% a.d. B 21% a.s.; 6,56% a.b.; 46,41% a.a. C 21% a.s.; 4.88% a.q.; 3,64% a.t. D 3,5% a.m.; 7,12% a.b.; 51,11% a.a. E 3,5% a.m.; 0, 114% a.d.; 10,87% a.t. O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B) Comentários: A ief=42%/2=21% a.s. ieq=((1+0,21)^(1/6))1=3,23% a.m. ieq=((1+0,21)^(1/180))1=0,1059% a.d. B ief=42%/2=21% a.s. ieq=((1+0,21)^2)1=46,41% a.a. ieq=((1+0,21)^(1/3))1=6,56% a.b. ieq=((1+0,21)^(1/6))1=3,23% a.m. ieq=((1+0,21)^(1/180))1=0,1059% a.d. Exercício 2: Qual das seguintes taxas de juros apresenta maior rentabilidade? A 1,90% ao mês. B 3,75% ao bimestre. C 5,75% ao trimestre. D 12,00% ao semestre. E 24,00% ao ano. O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D) Comentários: D B) ieq=((1+0,0375)^(1/2))1=1,8577% a.m. C) ieq=((1+0,0575)^(1/3))1=1,8810% a.m. D) ieq=((1+0,12)^(1/6))1=1,9068% a.m. E) ieq=((1+0,24)^(1/12))1=1,8087% a.m. Exercício 3: Calcule a taxa nominal anual para um financiamento que tem capitalização mensal e uma taxa equivalente de 12% ao semestre. A 22,88% a.a. B 24,00% a.a. C 25,44% a.a. D 26,82% a.a. E 28, 205 a.a. O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A) Comentários: A 0,12=((1+ief)^6)1 ief=0,01907 a.m. in=ief.n=0,01907*12 in=22,88% a.a. Exercício 4: Certo capital foi aplicado em um fundo que rende juros a uma taxa nominal de 14% ao ano com capitalização diária. Se após 5 meses o montante era de R$ 7.653,60, então o capital investido foi de A R$ 6.910,00. B R$ 7.000,00. C R$ 7.220,00. D R$ 7.240,00. E R$ 7.310,00. O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C) Comentários: C ief=0,14/360=0,038889% a.d. 7653,60=C.(1+0,00038889)^150 C=7220,00 09/05/2016 UNIP Universidade Paulista : DisciplinaOnline Sistemas de conteúdo online para Alunos. http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 4/9 Exercício 5: A taxa nominal de um investimento que gera R$ 453,36 de juros sobre um capital de R$ 10.000,00 em 90 dias, capitalizados bimestralmente, é de A 17,00% a.a. B 17,74% a.a. C 17,87% a.a. D 18,00% a.a. E 19,00% a.a. O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D) Comentários: D 10000+453,36=10000.(1+i)^3 i=0,014889 0,014889=((1+ief)^(1/2))1 ief=0,03 a.b. in=ief.n=0,03.6=0,18 = 18%a.a. Exercício 6: Em quanto tempo um capital quintuplica de valor se aplicado a uma taxa de juros nominal de 11,4% a.a. com capitalização mensal? A 14 anos e 10 dias. B 14 anos, 2 meses e 6 dias. C 15 anos e 6 meses. D 16 anos e 2 meses. E 16 anos e 6 meses. O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B) Comentários: B ief=0,114/12=0,0095 a.m. 5C=C.(1+0,0095)^n 5=(1,0095)^n n=170,22 meses = 14 anos, 2 meses e 7 dias. Exercício 7: Qual das taxas de juros a seguir não é equivalente a 14% ao semestre? A 2,21% a.m. B 4,46% a.b. C 6,77% a.t. D 9,33% a.q. E 29,96% a.a. O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D) Comentários: D ieq=((1+0,14)^(1/6))1=2,21% a.m. ieq=((1+0,14)^(1/3))1=4,46% a.b. ieq=((1+0,14)^(1/2))1=6,77% a.t. ieq= ((1+0,14)^(2/3))1=9,13% a.q. ieq=((1+0,14)^2)1=29,96% a.a. Exercício 8: Qual das seguintes taxas de juros apresenta maior rentabilidade? A 2,21% ao mês. B 4,20% ao bimestre. C 7,18% ao trimestre. D 14,00% ao semestre. E 30,5% ao ano. O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C) Comentários: C B) ieq=((1+0,042)^(1/2))1=2,078% a.m. C) ieq=((1+0,0718)^(1/3))1=2,338% a.m. D) ieq=((1+0,14)^(1/6))1=2,207% a.m. E) ieq=((1+0,305)^(1/12)1=2,243% a.m. Exercício 9: Calcule a taxa nominal anual para um financiamento que tem capitalização trimestral e uma taxa equivalente de 2,0% ao mês. A 24,00% a.a. B 24,48% a.a. 09/05/2016 UNIP Universidade Paulista : DisciplinaOnline Sistemas de conteúdo online para Alunos. http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 5/9 C 28,55% a.a. D 36,72% a.a. E 38,00% a.a. O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B) Comentários: B 0,02=((1+ief)^(1/3))1 ief=6,12% a.t. in=0,0612.4=24,48% a.a. Exercício 10: A taxa nominal deum investimento que gera R$ 2.257,00 de juros sobre um capital de R$ 50.000,00 em 100 dias, capitalizados mensalmente, é de A 16,00% a.a. B 17,00% a.a. C 18,00% a.a. D 19,00% a.a. E 20,00% a.a. O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A) Comentários: A 50000+2257=50000.(1+i)^100 i=0,04416% a.d. 0,0004416=((1+ief)^(1/30))1 ief=1,333% a.m. in=0,01333*12 in=16,00% a.a. Exercício 11: A taxa nominal de um investimento que gera um montante de R$ 32.448,00 sobre um capital de R$ 30.000,00 em 4 meses, capitalizados bimestralmente, é de A 15,00% a.a. B 16,00% a.a. C 18,00% a.a. D 22,00% a.a. E 24,00% a.a. O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E) Comentários: E 32448=30000.(1+i)^2 i=4% a.b. in=0,04*6 in=24,00% a.a. Exercício 12: Considere uma taxa efetiva de juros compostos de 7,85% ao quadrimestre. As taxas de juros nominais anuais, considerando capitalização mensal, capitalização trimestral e capitalização semestral, são, respectivamente, A 20,10%, 21,44% e 22,50%. B 21,81%, 22,05% e 22,90%. C 22,0%, 22,35% e 22,95%. D 22,7%, 23,5% e 23,85%. E 22,89%, 23,33% e 24,00%. O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E) Comentários: E 0,0785=((1+ief)^4)1 ief=1,907% a.m. in=0,01907*12=22,89% a.a. 0,0785=((1+ief)^(4/3))1 ief=5,831% a.t. in=0,05831*4=23,33% a.a. 0,0785=((1+ief)^(2/3)1 ief=12,00% a.s. in=0,1200*2=24,00% a.a. Exercício 13: Considere uma taxa efetiva de juros compostos de 7,85% ao quadrimestre. As taxas de juros nominais anuais, considerando capitalização mensal, capitalização trimestral e capitalização semestral são respectivamente: A 20,10%, 21,44% e 22,50% B 21,81%, 22,05% e 22,90% C 22,0%, 22,35% e 22,95% D 22,7%, 23,5% e 23,85% E 22,89%, 23,33% e 24,00% O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E) 09/05/2016 UNIP Universidade Paulista : DisciplinaOnline Sistemas de conteúdo online para Alunos. http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 6/9 Comentários: E Idem a questão anterior. Exercício 14: Uma empresa, necessitando de recursos financeiros na ordem de R$ 2 milhões em razão do aumento do capital de giro, está analisando alternativas de empréstimo de três bancos conforme as condições a seguir: BANCO A : taxa nominal de 30% ao ano com capitalização mensal. BANCO B : taxa nominal de 31% ao ano com capitalização trimestral. BANCO C : taxa nominal de 31,5% ao ano com capitalização semestral. Considerando que o pagamento do empréstimo será efetuado em uma única parcela um ano após o crédito do valor, assinale a opção correta: A A melhor alternativa para a empresa é financiar pelo BANCO A. B A melhor alternativa para a empresa é financiar pelo BANCO B. C A melhor alternativa para a empresa é financiar pelo BANCO C. D As melhores alternativas para a empresa são financiar pelo BANCO A ou pelo BANCO B pois ambos praticam a mesma taxa de juros efetiva. E As melhores alternativas para a empresa são financiar pelo BANCO B ou pelo BANCO C pois ambos praticam a mesma taxa de juros efetiva. O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C) Comentários: C Banco A: ief=0,3/12=0,025=2,5% a.m. Banco B: ief=0,31/4=0,0775=7,75% a.t. ieq=((1+0,0775)^(1/3))1=0,02519=2,519% a.m. Banco C: ief=0,315/2=0,1575=15,75% a.s. ieq=((1+0,1575)^(1/6))1=0,02467=2,467% a.m. Exercício 15: Uma empresa, necessitando de recursos financeiros na ordem de R$ 2.000.000,00 em razão do aumento do capital de giro, está analisando alternativas de empréstimo de três bancos conforme as condições a seguir: BANCO A: taxa nominal de 30% ao ano com capitalização semestral. BANCO B: taxa nominal de 31% ao ano com capitalização trimestral. BANCO C: taxa nominal de 31,5% ao ano com capitalização mensal. Considerando que o pagamento do empréstimo será efetuado em uma única parcela um ano após o crédito do valor, a melhor alternativa para a empresa é financiar no A Banco A. B Banco B. C Banco C. D Banco A ou no Banco B, pois ambos praticam a mesma taxa de juros efetiva. E Banco B ou no Banco C, pois ambos praticam a mesma taxa de juros efetiva. O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A) Comentários: C Banco A: ief=0,3/12=0,025=2,5% a.m. Banco B: ief=0,31/4=0,0775=7,75% a.t. ieq=((1+0,0775)^(1/3))1=0,02519=2,519% a.m. Banco C: ief=0,315/2=0,1575=15,75% a.s. ieq=((1+0,1575)^(1/6))1=0,02467=2,467% a.m. A Banco C: ief=0,315/12=0,02625=2,625% a.m. Banco B: ief=0,31/4=0,0775=7,75% a.t. ieq= ((1+0,0775)^(1/3))1=0,02519=2,519% a.m. Banco A: ief=0,30/2=0,15=15,00% a.s. ieq=((1+0,15)^(1/6))1=0,02357=2,357% a.m. Exercício 16: Uma empresa, necessitando de recursos financeiros na ordem de R$ 2.000.000,00 em razão do aumento do capital de giro, está analisando alternativas de empréstimo de três bancos conforme as condições a seguir: BANCO A: taxa nominal de 30% ao ano com capitalização bimestral. BANCO B: taxa nominal de 31% ao ano com capitalização semestral. BANCO C: taxa nominal de 31,5% ao ano com capitalização mensal. Considerando que o pagamento do empréstimo será efetuado em uma única parcela um ano após o crédito do valor, a melhor alternativa para a empresa é financiar no A Banco A. B Banco B. C Banco C. D Banco A ou no Banco B, pois ambos praticam a mesma taxa de juros efetiva. 09/05/2016 UNIP Universidade Paulista : DisciplinaOnline Sistemas de conteúdo online para Alunos. http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 7/9 E Banco B ou no Banco C, pois ambos praticam a mesma taxa de juros efetiva. O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B) Comentários: B Banco C: ief=0,315/12=0,02625=2,625% a.m. Banco B: ief=0,31/2=0,155=15,5% a.s. ieq=((1+0,155)^(1/6))1=0,02431=2,431% a.m. Banco A: ief=0,30/6=0,05=5,00% a.b. ieq=((1+0,05)^(1/2))1=0,02469=2,469% a.m. Exercício 17: Nos contratos de financiamento de imóveis pelo SFH (Sistema Financeiro da Habitação) constam, dentre várias informações, o valor da taxa de juros nominal anual e os valores das taxas de juros efetivas anual e mensal. O pagamento nestes contratos é mensal, ou seja, a capitalização é mensal. Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir. I. A taxa de juros efetiva mensal é obtida pela divisão da taxa de juros nominal por 12. II. Se a taxa de juros efetiva for de 15,4% a.a., então a taxa de juros nominal é de 14,4% a.a. III. Se o período de capitalização for alterado para trimestral, mantendose a mesma taxa de juros nominal, então a taxa de juros efetiva anual ficará maior que a da capitalização mensal. É verdadeiro o afirmado em A I B II C III D I e II E I e III O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D) Comentários: D I) Correta. II) 0,154=((1+ief)^12)1 ief=0,01201 a.m. in=0,01201*12=14,4% a.a. Exercício 18: Nos contratos de financiamento de imóveis pelo SFH (Sistema Financeiro da Habitação) constam, dentre várias informações, o valor da taxa de juros nominal anual e os valores das taxas de juros efetivas anual e mensal. O pagamento nestes contratos é mensal, ou seja, a capitalização é mensal. Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir. I. A taxa de juros efetiva mensal é obtida pela divisão da taxa de juros nominal por 12. II. Se a taxa de juros efetiva for de 14,4% a.a., então a taxa de juros nominal é de 15,4% a.a. III. Se o período de capitalização for alterado para trimestral, mantendose a mesma taxa de juros nominal, então a taxa de juros efetiva anual ficará menor que a da capitalização mensal. É verdadeiro o afirmado em A I B II C III D I e II E I e III O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E) Comentários: E I) Correta. II) 0,144=((1+ief)^12)1ief=0,01127 a.m. in=0,01127.12=13,53% a.a. III) in=13,53% a.a. ief=0,1353/4=0,03382=3,382% a.t. ieq=((1+0,03382)^4)1=14,23% a.a. Exercício 19: Nos contratos de financiamento de imóveis pelo SFH (Sistema Financeiro da Habitação) constam, dentre várias informações, o valor da taxa de juros nominal anual e os valores das taxas de juros efetivas anual e mensal. O pagamento nestes contratos é mensal, ou seja, a capitalização é mensal. Com base nestas informações, analise as afirmativas a seguir. I. A taxa de juros efetiva mensal é obtida pela divisão da taxa de juros nominal por 12. 09/05/2016 UNIP Universidade Paulista : DisciplinaOnline Sistemas de conteúdo online para Alunos. http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 8/9 II. Se a taxa de juros efetiva for de 14,4% a.a., então a taxa de juros nominal é de 15,4% a.a. III. Se o período de capitalização for alterado para trimestral, mantendose a mesma taxa de juros nominal, então a taxa de juros efetiva anual ficará maior que a da capitalização mensal. É verdadeiro o afirmado em A I B II C III D I e II E I e III O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A) Comentários: E Idem a questão anterior. A Verificando a resposta da questão anterior podemos ver que a taxa de juros efetiva anual é maior na capitalização mensal do que na trimestral. Exercício 20: Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado em um fundo de investimentos que tem rendimento diário. Após dez anos esta aplicação teve um rendimento de R$ 22.500,00. Em tais condições a taxa nominal de juros da aplicação é de A 4,05% a.a. B 6,06% a.a. C 9,18% a.a. D 10,42% a.a. E 13,44% a.a. O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C) Comentários: A 22500=15000.(1+i)^3600 i=0,0001126=0,01126% a.d. in=0,0001126*360=0,04054=4,054%a.a. C 22500+15000=15000.(1+i)^3600 i=0,000254=0,0254% a.d. in=0,000254*360=9,16%a.a. Exercício 21: Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado em um fundo de investimentos que tem rendimento diário. Após dez anos esta aplicação teve um rendimento de R$ 42.500,00. Em tais condições a taxa nominal de juros da aplicação é de A 4,05% a.a. B 6,06% a.a. C 9,18% a.a. D 10,42% a.a. E 13,44% a.a. O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E) Comentários: E 42500+15000=15000.(1+i)^3600 i=0,0003733=0,03733% a.d. in=0,0003733*360=13,44%a.a. Exercício 22: Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado em um fundo de investimentos que tem rendimento diário. Após dez anos, esta aplicação teve um rendimento de R$ 27.500,00. Em tais condições a taxa nominal de juros da aplicação é de A 4,05% a.a. B 6,06% a.a. C 9,18% a.a. D 10,42% a.a. E 13,44% a.a. 09/05/2016 UNIP Universidade Paulista : DisciplinaOnline Sistemas de conteúdo online para Alunos. http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 9/9 O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D) Comentários: D 27500+15000=15000.(1+i)^3600 i=0,0002893=0,02893% a.d. in=0,0002893*360=10,42%a.a.
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