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Estudos Disciplinares -Fundamentos da Engenharia Economica - Mód. 3

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09/05/2016 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 1/9
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
 
1. Definições 
2. Fórmulas e conversões 
3. Exercícios resolvidos 
1. Definições 
É comum na relação das instituições financeiras com seus clientes a utilização de taxas de juros com periodicidades distintas, principalmente as taxas com
periodicidade anual e mensal. 
Este módulo aborda os diferentes tipos de taxas e as conversões existentes entre elas, para o regime de capitalização composta. 
As taxas utilizadas são: 
Taxa de juros nominal (iN): é uma taxa utilizada como referência, não sendo aplicada diretamente nos cálculos. Na maioria dos casos tem periodicidade anual
e a partir dela calcula­se a taxa efetiva de forma proporcional.  
Taxa de juros efetiva (ief): é a taxa que efetivamente é aplicada nos cálculos e é calculada proporcionalmente ao juro nominal. 
Por exemplo, qual a taxa de juros efetiva para uma taxa nominal de 12% ao ano com capitalização mensal?
 
Dividindo 12% ao ano por 12 meses, a taxa efetiva é de 1% ao mês.
Taxas de juros equivalentes (ieq), são duas ou mais taxas de juros com periodicidades diferentes que, quando aplicadas num mesmo capital durante o mesmo
período, produzem o mesmo montante. 
 
 
2. Fórmulas
2.1 Conversão de taxa de juros nominal para efetiva
 
 
 
Onde n é a relação de periodicidade entre a taxa nominal e a efetiva. 
Por exemplo, uma taxa nominal de 24% ao ano com capitalização trimestral tem n=4 (4 trimestres num ano) e a taxa efetiva é de 6% ao bimestre. 
2.2 Cálculo de taxas equivalentes
 
   
 
Onde n1/n2 é a relação de periodicidade entre as taxas. 
Por exemplo, para uma taxa efetiva de 15% ao semestre temos as seguintes taxas equivalentes:
 
 
 
Observações: 
1. Diz­se que as taxas 15% a.s., 0,078% a.d., 2,36% a.m., 9,77% a.q. e 32,25% a.a. são equivalentes. 
2.  Pela  definição  de  taxas  equivalentes,  se  aplicarmos  qualquer  uma  destas  taxas  num mesmo  capital  e  durante  o mesmo  período,  obtêm­se  o mesmo
montante. 
09/05/2016 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 2/9
Por exemplo: um capital de R$ 6.000 aplicado a 15% a.s., durante 2 anos gera um montante de R$ 10.494:
 
3. Exercícios resolvidos
 
 
1. Qual a taxa efetiva para um financiamento com taxa nominal de 24% ao ano e capitalização mensal? 
 
 
 
 
24%/12 = 2% a.m. 
  
2. Quais as taxas equivalentes bimestral, trimestral, semestral e anual para uma taxa efetiva de 2% ao mês?
 
   
 
 
 
3. Um empréstimo de R$ 3.500 é feito a uma taxa nominal de 34% ao ano com capitalização diária. Qual o valor da dívida após 4 meses?
 
 
 
 
 
 
Bibliografia
Básica
 
ANDRÉ LUIZ CARVALHAL DA SILVA. Matemática Financeira Aplicada. 1ª Edição Editora Atlas. 2005.
JOSÉ DUTRA VIEIRA SOBRINHO. Matemática Financeira. 7ª Edição. Editora Atlas. 2002.
Complementar
MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática financeira. Atlas, 2004.
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 10ª ed. Atlas, 2008.
09/05/2016 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 3/9
PIERRE JACQUES EHRLICH, EDMILSON ALVES DE MORAES. Engenharia Econômica: avaliação e seleção de projetos de investimento. Atlas, 2009.
Exercício 1:
Um financiamento é obtido com uma taxa nominal de 42% ao ano e capitalização semestral. A taxa efetiva e as taxas equivalentes são de
A ­ 21% a.s.; 3,23% a.m.; 0, 159% a.d. 
B ­ 21% a.s.; 6,56% a.b.; 46,41% a.a. 
C ­ 21% a.s.; 4.88% a.q.; 3,64% a.t. 
D ­ 3,5% a.m.; 7,12% a.b.; 51,11% a.a. 
E ­ 3,5% a.m.; 0, 114% a.d.; 10,87% a.t. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A ­ ief=42%/2=21% a.s. ieq=((1+0,21)^(1/6))­1=3,23% a.m. ieq=((1+0,21)^(1/180))­1=0,1059% a.d. 
B ­ ief=42%/2=21% a.s. ieq=((1+0,21)^2)­1=46,41% a.a. ieq=((1+0,21)^(1/3))­1=6,56% a.b. ieq=((1+0,21)^(1/6))­1=3,23% a.m.
ieq=((1+0,21)^(1/180))­1=0,1059% a.d. 
Exercício 2:
Qual das seguintes taxas de juros apresenta maior rentabilidade?
A ­ 1,90% ao mês. 
B ­ 3,75% ao bimestre. 
C ­ 5,75% ao trimestre. 
D ­ 12,00% ao semestre. 
E ­ 24,00% ao ano. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
D ­ B) ieq=((1+0,0375)^(1/2))­1=1,8577% a.m. C) ieq=((1+0,0575)^(1/3))­1=1,8810% a.m. D) ieq=((1+0,12)^(1/6))­1=1,9068%
a.m. E) ieq=((1+0,24)^(1/12))­1=1,8087% a.m. 
Exercício 3:
Calcule a taxa nominal anual para um financiamento que tem capitalização mensal e uma taxa equivalente de 12% ao semestre.
A ­ 22,88% a.a. 
B ­ 24,00% a.a. 
C ­ 25,44% a.a. 
D ­ 26,82% a.a. 
E ­ 28, 205 a.a. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A ­ 0,12=((1+ief)^6)­1 ief=0,01907 a.m. in=ief.n=0,01907*12 in=22,88% a.a. 
Exercício 4:
Certo capital foi aplicado em um fundo que rende juros a uma taxa nominal de 14% ao ano com capitalização diária.
Se após 5 meses o montante era de R$ 7.653,60, então o capital investido foi de
A ­ R$ 6.910,00. 
B ­ R$ 7.000,00. 
C ­ R$ 7.220,00. 
D ­ R$ 7.240,00. 
E ­ R$ 7.310,00. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
C ­ ief=0,14/360=0,038889% a.d. 7653,60=C.(1+0,00038889)^150 C=7220,00 
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Exercício 5:
A taxa nominal de um investimento que gera R$ 453,36 de juros sobre um capital de R$ 10.000,00 em 90 dias, capitalizados bimestralmente, é de
A ­ 17,00% a.a. 
B ­ 17,74% a.a. 
C ­ 17,87% a.a. 
D ­ 18,00% a.a. 
E ­ 19,00% a.a. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
D ­ 10000+453,36=10000.(1+i)^3 i=0,014889 0,014889=((1+ief)^(1/2))­1 ief=0,03 a.b. in=ief.n=0,03.6=0,18 = 18%a.a. 
Exercício 6:
Em quanto tempo um capital quintuplica de valor se aplicado a uma taxa de juros nominal de 11,4% a.a. com capitalização mensal? 
A ­ 14 anos e 10 dias. 
B ­ 14 anos, 2 meses e 6 dias. 
C ­ 15 anos e 6 meses. 
D ­ 16 anos e 2 meses. 
E ­ 16 anos e  6 meses. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
B ­ ief=0,114/12=0,0095 a.m. 5C=C.(1+0,0095)^n 5=(1,0095)^n n=170,22 meses = 14 anos, 2 meses e 7 dias. 
Exercício 7:
Qual das taxas de juros a seguir não é equivalente a 14% ao semestre?
A ­ 2,21% a.m. 
B ­ 4,46% a.b. 
C ­ 6,77% a.t. 
D ­ 9,33% a.q. 
E ­ 29,96% a.a. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
D ­ ieq=((1+0,14)^(1/6))­1=2,21% a.m. ieq=((1+0,14)^(1/3))­1=4,46% a.b. ieq=((1+0,14)^(1/2))­1=6,77% a.t. ieq=
((1+0,14)^(2/3))­1=9,13% a.q. ieq=((1+0,14)^2)­1=29,96% a.a. 
Exercício 8:
Qual das seguintes taxas de juros apresenta maior rentabilidade?
A ­ 2,21% ao mês. 
B ­ 4,20% ao bimestre. 
C ­ 7,18% ao trimestre. 
D ­ 14,00% ao semestre. 
E ­ 30,5% ao ano. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
C ­ B) ieq=((1+0,042)^(1/2))­1=2,078% a.m. C) ieq=((1+0,0718)^(1/3))­1=2,338% a.m. D) ieq=((1+0,14)^(1/6))­1=2,207% a.m. E)
ieq=((1+0,305)^(1/12)­1=2,243% a.m. 
Exercício 9:
Calcule a taxa nominal anual para um financiamento que tem capitalização trimestral e uma taxa equivalente de 2,0% ao mês.
A ­ 24,00% a.a. 
B ­ 24,48% a.a. 
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http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 5/9
C ­ 28,55% a.a. 
D ­ 36,72% a.a. 
E ­ 38,00% a.a. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
B ­ 0,02=((1+ief)^(1/3))­1 ief=6,12% a.t. in=0,0612.4=24,48% a.a. 
Exercício 10:
A taxa nominal deum investimento que gera R$ 2.257,00 de juros sobre um capital de R$ 50.000,00 em 100 dias, capitalizados mensalmente, é de
A ­ 16,00% a.a. 
B ­ 17,00% a.a. 
C ­ 18,00% a.a. 
D ­ 19,00% a.a. 
E ­ 20,00% a.a. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A ­ 50000+2257=50000.(1+i)^100 i=0,04416% a.d. 0,0004416=((1+ief)^(1/30))­1 ief=1,333% a.m. in=0,01333*12 in=16,00% a.a.
Exercício 11:
A taxa nominal de um investimento que gera um montante de R$ 32.448,00 sobre um capital de R$ 30.000,00 em 4 meses, capitalizados bimestralmente, é de
A ­ 15,00% a.a. 
B ­ 16,00% a.a. 
C ­ 18,00% a.a. 
D ­ 22,00% a.a. 
E ­ 24,00% a.a. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
E ­ 32448=30000.(1+i)^2 i=4% a.b. in=0,04*6 in=24,00% a.a. 
Exercício 12:
Considere  uma  taxa  efetiva  de  juros  compostos  de  7,85%  ao  quadrimestre.        As  taxas  de  juros  nominais  anuais,  considerando  capitalização  mensal,
capitalização trimestral e capitalização semestral, são, respectivamente,
A ­ 20,10%, 21,44% e 22,50%. 
B ­ 21,81%, 22,05% e 22,90%. 
C ­ 22,0%, 22,35% e 22,95%. 
D ­ 22,7%, 23,5% e 23,85%. 
E ­ 22,89%, 23,33% e 24,00%. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
E ­ 0,0785=((1+ief)^4)­1 ief=1,907% a.m. in=0,01907*12=22,89% a.a. 0,0785=((1+ief)^(4/3))­1 ief=5,831% a.t.
in=0,05831*4=23,33% a.a. 0,0785=((1+ief)^(2/3)­1 ief=12,00% a.s. in=0,1200*2=24,00% a.a. 
Exercício 13:
Considere uma taxa efetiva de juros compostos de 7,85% ao quadrimestre. 
As taxas de juros nominais anuais, considerando capitalização mensal, capitalização trimestral e capitalização semestral são respectivamente:
A ­ 20,10%, 21,44% e 22,50% 
B ­ 21,81%, 22,05% e 22,90% 
C ­ 22,0%, 22,35% e 22,95% 
D ­ 22,7%, 23,5% e 23,85% 
E ­ 22,89%, 23,33% e 24,00% 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
09/05/2016 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 6/9
Comentários:
E ­ Idem a questão anterior. 
Exercício 14:
Uma  empresa,  necessitando  de  recursos  financeiros  na  ordem  de  R$  2  milhões  em  razão  do  aumento  do  capital  de  giro,  está  analisando  alternativas  de
empréstimo de três bancos conforme as condições a seguir:
BANCO A :   taxa nominal de 30% ao ano com capitalização mensal.
BANCO B :  taxa nominal de 31% ao ano com capitalização trimestral.
BANCO C :  taxa nominal de 31,5% ao ano com capitalização semestral.
Considerando que o pagamento do empréstimo será efetuado em uma única parcela um ano após o crédito do valor, assinale a opção correta:
A ­ A melhor alternativa para a empresa é financiar pelo BANCO A. 
B ­ A melhor alternativa para a empresa é financiar pelo BANCO B. 
C ­ A melhor alternativa para a empresa é financiar pelo BANCO C. 
D ­ As melhores alternativas para a empresa são financiar pelo BANCO A ou pelo BANCO B pois ambos praticam a mesma taxa de juros
efetiva. 
E ­        As melhores alternativas para a empresa são financiar pelo BANCO B ou pelo BANCO C pois ambos praticam a mesma taxa de
juros efetiva. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
C ­ Banco A: ief=0,3/12=0,025=2,5% a.m. Banco B: ief=0,31/4=0,0775=7,75% a.t. ieq=((1+0,0775)^(1/3))­1=0,02519=2,519% a.m.
Banco C: ief=0,315/2=0,1575=15,75% a.s. ieq=((1+0,1575)^(1/6))­1=0,02467=2,467% a.m. 
Exercício 15:
Uma  empresa,  necessitando  de  recursos  financeiros  na  ordem  de  R$  2.000.000,00  em  razão  do  aumento  do  capital  de  giro,  está  analisando
alternativas de empréstimo de três bancos conforme as condições a seguir:
BANCO A:  taxa nominal de 30% ao ano com capitalização semestral.
BANCO B: taxa nominal de 31% ao ano com capitalização trimestral.
BANCO C: taxa nominal de 31,5% ao ano com capitalização mensal.
Considerando  que  o  pagamento  do  empréstimo  será  efetuado  em  uma  única  parcela  um  ano  após  o  crédito  do  valor,  a melhor  alternativa  para  a
empresa é financiar no
A ­ Banco A. 
B ­ Banco B. 
C ­ Banco C. 
D ­ Banco A ou no Banco B, pois ambos praticam a mesma taxa de juros efetiva. 
E ­ Banco B ou no Banco C, pois ambos praticam a mesma taxa de juros efetiva. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
C ­ Banco A: ief=0,3/12=0,025=2,5% a.m. Banco B: ief=0,31/4=0,0775=7,75% a.t. ieq=((1+0,0775)^(1/3))­1=0,02519=2,519% a.m.
Banco C: ief=0,315/2=0,1575=15,75% a.s. ieq=((1+0,1575)^(1/6))­1=0,02467=2,467% a.m. 
A ­ Banco C: ief=0,315/12=0,02625=2,625% a.m. Banco B: ief=0,31/4=0,0775=7,75% a.t. ieq=
((1+0,0775)^(1/3))­1=0,02519=2,519% a.m. Banco A: ief=0,30/2=0,15=15,00% a.s. ieq=((1+0,15)^(1/6))­1=0,02357=2,357% a.m.
Exercício 16:
Uma  empresa,  necessitando  de  recursos  financeiros  na  ordem  de  R$  2.000.000,00  em  razão  do  aumento  do  capital  de  giro,  está  analisando
alternativas de empréstimo de três bancos conforme as condições a seguir:
BANCO A: taxa nominal de 30% ao ano com capitalização bimestral.
BANCO B: taxa nominal de 31% ao ano com capitalização semestral.
BANCO C: taxa nominal de 31,5% ao ano com capitalização mensal.
Considerando  que  o  pagamento  do  empréstimo  será  efetuado  em  uma  única  parcela  um  ano  após  o  crédito  do  valor,  a melhor  alternativa  para  a
empresa é financiar no
A ­ Banco A. 
B ­ Banco B. 
C ­ Banco C. 
D ­ Banco A ou no Banco B, pois ambos praticam a mesma taxa de juros efetiva. 
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E ­ Banco B ou no Banco C, pois ambos praticam a mesma taxa de juros efetiva. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
B ­ Banco C: ief=0,315/12=0,02625=2,625% a.m. Banco B: ief=0,31/2=0,155=15,5% a.s. ieq=((1+0,155)^(1/6))­1=0,02431=2,431%
a.m. Banco A: ief=0,30/6=0,05=5,00% a.b. ieq=((1+0,05)^(1/2))­1=0,02469=2,469% a.m. 
Exercício 17:
Nos contratos de financiamento de imóveis pelo SFH (Sistema Financeiro da Habitação) constam, dentre várias informações, o valor da taxa de juros
nominal anual e os valores das taxas de juros efetivas anual e mensal. O pagamento nestes contratos é mensal, ou seja, a capitalização é mensal.
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir.
I. A taxa de juros efetiva mensal é obtida pela divisão da taxa de juros nominal por 12.
II. Se a taxa de juros efetiva for de 15,4% a.a., então a taxa de juros nominal é de 14,4% a.a.
III. Se o período de capitalização for alterado para trimestral, mantendo­se a mesma taxa de juros nominal, então a taxa de juros efetiva anual ficará
maior que a da capitalização mensal.
É verdadeiro o afirmado em 
A ­ I 
B ­ II 
C ­ III 
D ­ I e II 
E ­ I e III 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
D ­ I) Correta. II) 0,154=((1+ief)^12)­1 ief=0,01201 a.m. in=0,01201*12=14,4% a.a. 
Exercício 18:
Nos contratos de financiamento de imóveis pelo SFH (Sistema Financeiro da Habitação) constam, dentre várias informações, o valor da taxa de juros
nominal anual e os valores das taxas de juros efetivas anual e mensal. O pagamento nestes contratos é mensal, ou seja, a capitalização é mensal.
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir.
I. A taxa de juros efetiva mensal é obtida pela divisão da taxa de juros nominal por 12.
II. Se a taxa de juros efetiva for de 14,4% a.a., então a taxa de juros nominal é de 15,4% a.a.
III. Se o período de capitalização for alterado para trimestral, mantendo­se a mesma taxa de juros nominal, então a taxa de juros efetiva anual ficará
menor que a da capitalização mensal.
É verdadeiro o afirmado em
A ­ I 
B ­ II 
C ­ III 
D ­ I e II 
E ­ I e III 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
E ­ I) Correta. II) 0,144=((1+ief)^12)­1ief=0,01127 a.m. in=0,01127.12=13,53% a.a. III) in=13,53% a.a.
ief=0,1353/4=0,03382=3,382% a.t. ieq=((1+0,03382)^4)­1=14,23% a.a. 
Exercício 19:
Nos contratos de financiamento de imóveis pelo SFH (Sistema Financeiro da Habitação) constam, dentre várias informações, o valor da taxa de juros
nominal anual e os valores das taxas de juros efetivas anual e mensal. O pagamento nestes contratos é mensal, ou seja, a capitalização é mensal.
Com base nestas informações, analise as afirmativas a seguir.
I. A taxa de juros efetiva mensal é obtida pela divisão da taxa de juros nominal por 12.
09/05/2016 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
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II. Se a taxa de juros efetiva for de 14,4% a.a., então a taxa de juros nominal é de 15,4% a.a.
III. Se o período de capitalização for alterado para trimestral, mantendo­se a mesma taxa de juros nominal, então a taxa de juros efetiva anual ficará
maior que a da capitalização mensal.
É verdadeiro o afirmado em 
A ­ I 
B ­ II 
C ­ III 
D ­ I e II 
E ­ I e III 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
E ­ Idem a questão anterior. 
A ­ Verificando a resposta da questão anterior podemos ver que a taxa de juros efetiva anual é maior na capitalização mensal do que na
trimestral. 
Exercício 20:
Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado em um fundo de investimentos que tem rendimento diário. Após dez anos esta aplicação teve um rendimento
de R$ 22.500,00.
Em tais condições a taxa nominal de juros da aplicação é de
A ­ 4,05% a.a. 
B ­ 6,06% a.a. 
C ­ 9,18% a.a. 
D ­ 10,42% a.a. 
E ­ 13,44% a.a. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A ­ 22500=15000.(1+i)^3600 i=0,0001126=0,01126% a.d. in=0,0001126*360=0,04054=4,054%a.a. 
C ­ 22500+15000=15000.(1+i)^3600 i=0,000254=0,0254% a.d. in=0,000254*360=9,16%a.a. 
Exercício 21:
Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado em um fundo de investimentos que tem rendimento diário. Após dez anos esta aplicação teve um rendimento
de R$ 42.500,00.
Em tais condições a taxa nominal de juros da aplicação é de
A ­ 4,05% a.a. 
B ­ 6,06% a.a. 
C ­ 9,18% a.a. 
D ­ 10,42% a.a. 
E ­ 13,44% a.a. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
E ­ 42500+15000=15000.(1+i)^3600 i=0,0003733=0,03733% a.d. in=0,0003733*360=13,44%a.a. 
Exercício 22:
Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado em um fundo de investimentos que tem rendimento diário. Após dez anos, esta aplicação teve um rendimento
de R$ 27.500,00.
Em tais condições a taxa nominal de juros da aplicação é de
A ­ 4,05% a.a. 
B ­ 6,06% a.a. 
C ­ 9,18% a.a. 
D ­ 10,42% a.a. 
E ­ 13,44% a.a. 
09/05/2016 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 9/9
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
D ­ 27500+15000=15000.(1+i)^3600 i=0,0002893=0,02893% a.d. in=0,0002893*360=10,42%a.a.

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