PESQUISA OPERACIONAL aula 5

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PESQUISA OPERACIONAL 
AULA 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. José de Souza Leal Neto 
 
 
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CONVERSA INICIAL 
Neste momento, iniciamos o estudo de um novo assunto, filas. Sabemos 
que “as filas (filas de espera) fazem parte do dia a dia de nossa vida. Todos nós 
esperamos em uma fila para: comprar o ingresso para uma sessão de cinema, 
fazer um depósito bancário, pagar as compras em um supermercado, remeter 
um pacote no correio...” e consideramos a espera em tais situações como 
comum, bem como a irritação, quando temos que esperar muito em fila até 
sermos atendidos (Hillier; Lieberman, 2010). 
Um dos sintomas mais frequentes de que um sistema funciona de forma 
deficiente é a existência de congestionamento de clientes. Quando sempre 
existem clientes à espera de atendimento em um banco, por exemplo, é sinal de 
que o número de caixas não está dimensionado de maneira adequada de forma 
a minimizar o tempo de espera em fila (Andrade, 2009). 
Por mais que se quantifique, obtenha-se um padrão estatístico da 
formação de filas e do processo de atendimento e se empreguem modelos 
matemáticos ao estudo de filas, é fato que sempre ocorrerá uma aleatoriedade 
na ocorrência de chegadas de clientes e, principalmente, que cada cliente possui 
o seu tempo de atendimento, específico, uma vez que as demandas existentes 
de cada um são peculiares e únicas. 
O fato é que filas estarão sempre presentes na rotina do administrador e 
quando este compreende a dinâmica de sua formação, as suas características 
e, principalmente, que é possível desenvolver um estudo mais detalhado sobre 
o cenário em que a fila ocorre, será capaz de tomar decisões com mais 
segurança para realizar as devidas intervenções e correções, quando estas 
forem necessárias. 
O objetivo da presente rota de aprendizagem é introduzir os conceitos de 
teoria das filas e destacar, a partir da dinâmica que envolve a formação de filas, 
que a sua existência nem sempre significa uma ineficiência operacional. 
CONTEXTUALIZANDO 
Uma percepção inicial a respeito da qualidade de atendimento realizada 
pelos bancos comerciais é, praticamente, uma unanimidade: a estrutura 
existente é inapropriada, subdimensionada etc., pois, em regra, os clientes se 
deparam com filas naqueles estabelecimentos. Entretanto, em determinados 
 
 
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dias do mês, praticamente não há filas. Isto se deve ao fato de que os 
pagamentos de salários, de impostos, de taxas e contas são concentrados em 
determinados dias do mês, além do que as pessoas possuem o hábito de ir ao 
banco no período de intervalo de almoço. 
Outro setor que aparentemente podemos considerar como 
subdimensionado é o sistema de transporte público, porque nos períodos de 
início e término de expediente ocorre uma saturação de usuários nos 
pontos/estações de ônibus e também nos ônibus. Ocorrem também filas nas 
padarias, nos cinemas, nos supermercados... Esses diversos serviços podem 
até ser aperfeiçoados, e o tempo de espera em fila, amenizado, no entanto 
sempre haverá fila. 
“Grandes ineficiências também ocorrem por causa de outros tipos de 
espera, além daquelas de pessoas que esperam em fila. Por exemplo, deixar 
máquinas à espera para ser reparadas pode representar perda de produção”, 
além de veículos como navios e caminhões, que, se forem descarregados fora 
do cronograma, atrasam os embarques seguintes (Hillier; Lieberman, 2010). 
Assim, para melhor compreensão das situações comentadas 
anteriormente, estudamos a teoria das filas, que tem por objetivo compreender 
a dinâmica das filas e caracterizá-las por equações matemáticas. Uma vez que 
o administrador compreender esta dinâmica, os fenômenos inerentes às filas, 
poderá diagnosticar de forma apropriada se o sistema está saturado e, 
consequentemente, se necessita ser adequado ou se as filas ocorrem como 
consequência natural do processo randômico de chegada dos clientes, do 
processo de atendimento etc. 
Entretanto, a presente aula ter por objetivo fazer uma breve exposição 
sobre filas, pois não será possível esgotar o tema. Assim, inicialmente será 
apresentado um curto histórico, conceitos e áreas de aplicações da teoria das 
filas. Em seguida serão explicados os elementos e as características de filas, 
bem como a dinâmica da formação de filas, ampliando, posteriormente, os 
conceitos básicos de filas. Por fim, será realizada uma introdução aos modelos 
de filas. 
TEMA 1 – TEORIA DAS FILAS: HISTÓRICO, CONCEITOS E APLICAÇÕES. 
A teoria das filas é um método analítico que aborda o assunto por meio 
de fórmulas matemáticas (Prado, 2006) e “trata de congestionamento de 
 
 
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sistemas, cuja característica principal é a presença de ‘clientes’ solicitando 
‘serviços’ de alguma maneira” (Andrade, 2009). Quando se refere a um sistema 
de filas, basicamente se refere à existência de elementos (clientes) que estão 
aguardando um posto de serviço (atendente) ficar disponível para serem 
atendidos (Andrade, 2009). A seguir são apresentados histórico e conceitos 
iniciais referentes à filas. 
Aspectos históricos: A abordagem matemática de filas foi iniciada no 
início do século XX (1908) em Copenhague, Dinamarca, por A. K. Erlang, 
considerado o pai da teoria das filas, que estudou o problema de 
redimensionamento de centrais telefônicas quando trabalhava em uma 
companhia telefônica. Somente após a Segunda Guerra Mundial é que a teoria 
foi aplicada a outros problemas de filas. Apesar do enorme progresso alcançado 
pela teoria, inúmeros problemas não são adequadamente resolvidos (Prado, 
2006). 
O que são filas? A nossa rotina diária nos permite identificar exatamente 
o que são filas. Nós entramos em uma fila para fazer retirada em um caixa 
eletrônico, para pagar as compras em um supermercado, para comprar 
ingressos em um cinema, para pagar o pedágio em uma rodovia e em tantas 
outras situações. Filas também existem em ambientes de produção, tais como 
de lingotes aquecidos em uma aciaria, esperando pelo serviço de lingotamento, 
ou de caminhões em um serviço de terraplenagem, esperando, junto a uma 
carregadeira, a vez de serem carregados. 
Não é necessário que exista, na verdade, uma fila física de espera 
formada em frente a uma estrutura física, parte da instalação de atendimento. 
Pode ser o caso, por exemplo, de os integrantes da fila estarem dispersos por 
certa área, à espera da chegada de um atendente, como máquinas que 
aguardam conserto. Outro tipo de fila que não pode ser visualizada é uma lista 
no computador referentes a pedidos de manufatura em uma fábrica de 
geladeiras. Em outras situações, não há ordem de atendimento em razão de a 
fila não estar materializada, “enfileirada”, mas sim dispersa, por exemplo 
pessoas em uma barbearia, esperando por sua vez de cortar o cabelo, aviões 
sobrevoando um aeroporto, esperando pela vez de aterrissar, ou navios 
fundeados no litoral, esperando pela vez de atracar no porto para descarga/carga 
(Prado, 2006; Hillier; Lieberman, 2010). 
 
 
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Filas não são simpáticas. Certamente não é agradável permanecer em 
uma fila e esperar pelo serviço (o desejo do cliente é ser imediatamente atendido 
assim que chegar no local de serviço), e, quando a espera é longa, ficamos 
irritados. Em consequência de nossas incômodas experiências em filas, 
podemos evitar fazer compras em um determinado supermercado, até mesmo 
realizando um deslocamento maior, bem como mudar a nossa conta bancária 
para outra agência (ou banco) etc. Isso significa perda de faturamento para o 
supermercado, para a agência (banco) ou para qualquer outra empresa. 
Entretanto, apesar de não serem simpáticase de causarem prejuízos, temos que 
conviver com filas na vida real, visto ser financeiramente inviável 
superdimensionar um sistema para que nunca ocorram filas. O que se tenta obter 
é um balanceamento adequado que permita um atendimento aceitável pelo 
melhor custo e o melhor benefício. 
A existência de filas sempre ocorrerá nos mais variados ambientes, indo 
de fábricas a supermercados, trazendo consigo o lado desfavorável do custo. 
Por exemplo, nas fábricas, a existência de fila em um determinado equipamento 
pode gerar aumento nos tempos do ciclo de produção, o que, por sua vez, pode 
significar aumento nos custos e atrasos no atendimento aos pedidos dos clientes 
(Prado, 2006). 
A teoria das filas estuda a situação de “espera” nas mais variadas formas 
e emprega “modelos de filas para representar os diversos tipos de sistemas de 
filas (sistemas que envolvem filas do mesmo tipo) que surgem na prática. As 
fórmulas para cada modelo indicam como o sistema de filas correspondente 
deve funcionar”. Tais modelos são muito úteis para determinar como operar de 
forma mais eficiente um sistema de filas (Hillier; Lieberman, 2010). 
Aplicações: Andrade (2009) nos apresenta algumas aplicações da teoria 
das filas em administração, as quais são listadas a seguir: 
 Estabelecimento de uma política de atendimento ao público em empresas 
concessionárias de serviços públicos, determinando o número de 
atendentes e a especialização de cada um. 
 Estudo de um sistema de almoxarifado, de modo a determinar os custos 
totais de operação. 
 Estudo da operação de um centro de processamento de dados com o 
objetivo de determinar políticas de atendimento e prioridades para 
execução de serviços. 
 
 
6 
 Determinação de equipes de manutenção em grandes instalações, onde 
há custos elevados associados a equipamentos danificados, à espera de 
reparos. 
 Estudo de operação de caixas (bancos, supermercados etc.) com o 
objetivo de estabelecer uma política ótima de atendimento ao público; 
 Determinação de capacidade em pátios de estacionamentos de 
automóveis. 
Saiba mais 
Leia a introdução do capítulo 15 e o item 15.1 do Taha e procure 
compreender o contexto dos problemas apresentados no ‘conjunto de 
problemas 15.1A’. Disponível em: 
<http://uninter.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788576051503/pa
ges/247>. 
TAHA, H. A. Pesquisa Operacional: uma visão geral. 8. ed. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2008. 
Acesse o endereço a seguir e assista ao vídeo sobre teoria das filas: 
<https://www.youtube.com/watch?v=uNkHa1g5Pwg>. 
TEMA 2 – SISTEMA DE FILAS: ELEMENTOS, CARACTERÍSTICAS E MEDIDAS 
DE EFETIVIDADE 
Conforme Andrade (2009) nos informa, há diversos fatores que possuem 
tanta influência na operação de um sistema de filas que seu desempenho passa 
a ser função deles. Entre tais fatores estão: a estrutura do sistema, o 
processo/modo de chegada dos clientes, a disciplina da fila, a forma de 
atendimento etc. Neste tema de ensino, esses fatores e outros são apresentados 
a fim de que você compreenda melhor a operação dos sistemas de filas. 
Elementos de uma fila: Na Figura 1 é apresentado o processo básico 
suposto pela maioria dos modelos de filas, no qual clientes que necessitam de 
atendimento são gerados de uma certa população. Tais clientes entram no 
sistema de filas e pegam uma fila, e, em dado momento, um integrante da fila 
é selecionado para o atendimento por alguma regra conhecida como disciplina 
de fila. Cliente é um termo genérico que pode designar uma pessoa, um navio, 
um lingote etc. Os termos “transação” ou “entidade” podem ser empregados 
como sinônimo de cliente. O atendimento é realizado por um ou mais 
 
 
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servidores (ou atendentes ou canais de serviço) e pode designar um médico, 
um cais de atracação, uma máquina de lingotamento etc. Após o atendimento, o 
cliente deixa o sistema de filas (Prado, 2006; Hillier; Lieberman, 2010). 
Figura 1 – Elementos de uma fila 
 
Fonte: Prado, 2006. 
Características de uma fila. Os elementos principais que caracterizam 
um fila são: 
 Clientes e tamanho da população. O tamanho é o número total de 
possíveis clientes distintos. Um cliente sempre será proveniente de uma 
população, a qual pode possuir um tamanho infinito ou finito. Como os 
cálculos são bem mais fáceis para o caso em que a população é infinita, 
parte-se dessa hipótese, mesmo quando o tamanho real for um número 
finito relativamente grande. Esta é a hipótese implícita para qualquer 
modelo de filas que não afirme o contrário. No caso da população infinita, 
a chegada de um novo cliente a uma fila não afeta a taxa de chegada de 
clientes subsequentes, e pode-se afirmar que as chegadas são 
independentes. O caso da população finita é mais difícil analiticamente, 
pois o número de clientes no sistema de filas afeta o número de possíveis 
clientes fora do sistema a qualquer momento (Prado, 2006; Hillier; 
Lieberman, 2010). 
 Processo de chegada. “A chegadas de clientes a um sistema ocorrem, 
na maioria das dos casos que têm interesse para a administração, de 
modo aleatório, ou seja, o número de clientes que chegam por unidade te 
tempo, varia segundo o acaso” (Andrade, 2009). A hipótese comum é que 
os clientes são gerados de acordo com um processo de Poisson 
 
 
8 
(distribuição de Poisson), e uma hipótese equivalente é que a distribuição 
probabilística do tempo entre as chegadas consecutivas possui uma 
distribuição exponencial (Prado, 2006; Hillier; Lieberman, 2010). Um 
processo de chegada regular, ou seja, aquele em que não existe nenhuma 
variação entre os valores para os intervalos entre chegadas é raro de 
acontecer, porém ocorre apenas em processos altamente automatizados. 
Nesta situação, se dissermos que o intervalo entre chegadas é de 10 
segundos, teremos que rigorosamente a cada 10 segundos chega um 
novo cliente (Prado, 2006). 
Consideremos o exemplo de um posto de pedágio com 5 atendentes. 
Poderíamos constatar que chegam (processo de chegada) entre 7 e 8 horas da 
manhã 20 automóveis por minuto ou 1 automóvel a cada 3 segundos. Trata-se 
de um valor médio, pois não significa que chegarão 20 automóveis em intervalos 
fixos de 1 minuto. Em alguns intervalos de 1 minuto poderão chegar 10, 15, 25 
ou até mesmo 30 automóveis. Da mesma forma, o intervalo de 3 segundos 
entres chegadas não é rígido, e poderíamos constatar valores, por exemplo, 
desde zero segundo (2 veículos chegando juntos) até 20 segundos. Portanto, o 
intervalo de 3 segundos representa o intervalo médio entre chegadas no período 
de 7 a 8 horas da manhã. A partir dos dados apresentados, podemos quantificar 
o processo de chegada dizendo que a taxa média de chegada é de 20 veículos 
por minuto ou que o intervalo médio entre chegadas é de 3 segundos (Prado, 
2006). 
Entretanto, para se chegar a tais valores, o mais adequado é realizar um 
levantamento estatístico de forma a descobrir se o processo de chegada pode 
ser caracterizado por uma distribuição de probabilidades (distribuição normal, 
Poisson, exponencial etc.) e se ele se encontra no chamado “estado 
estacionário”, ou seja, quando a distribuição de probabilidade que identifica o 
processo hoje será a mesma de amanhã (Pradro, 2006; Andrade, 2009). 
Resumindo, quando se estudam filas, o ritmo de chegada é uma 
importante variável randômica. Para quantificar esta variável se usa a letra grega 
λ para significar ritmo médio de chegada e se usa IC para o intervalo médio 
entre chegadas. Assim, no exemplo acima temos: λ = 20 clientes por minuto e 
IC = 3 segundos. 
 
 
9 
Existem situações em que o ritmo de chegada sofre variações durante o 
dia.Por exemplo, em um banco a chegada de clientes é mais intensa no período 
do almoço. 
 Processo de atendimento. A priori, os postos de atendimentos são 
formados por pessoas, instalações e equipamentos que devem operar 
harmonicamente para prestar um bom serviço. Um modelo de filas deve 
especificar a disposição das instalações e o número de atendentes em 
cada uma delas. Consequentemente, para aperfeiçoar o desempenho do 
sistema, o administrador pode atuar em diversos elementos, tais como: 
dimensionamento da capacidade de atendimento, treinamento dos 
atendentes, processos administrativos etc. (Andrade, 2009; Hillier; 
Lieberman, 2010). 
Retornando ao exemplo do pedágio, ao observarmos um atendente em 
serviço, poderíamos constatar, por exemplo, que ele atende 6 veículos por 
minuto ou que gasta 10 segundos para atender um veículo. Tais valores são 
médios, e, para descrevê-los corretamente, o melhor é caracterizá-lo em uma 
distribuição de probabilidades. Aqui também será raro identificarmos um 
atendimento regular, ou seja, a existência de um único valor (sem variação) para 
a duração do atendimento (Prado, 2006). 
O processo de atendimento é também quantificado por uma importante 
variável randômica. A letra grega µ é usada para significar o ritmo médio de 
atendimento, e se usa TA para tempo ou duração média do serviço ou 
atendimento, que é o tempo decorrido entre o início do atendimento até o seu 
término. Em geral, pressupõe-se que todos os atendentes possuem a mesma 
distribuição probabilística de tempo de atendimento, e a distribuição que se 
supõe com mais frequência na prática é a distribuição exponencial; outra 
também considerada é a distribuição Erlang (gama). Considerando o exemplo 
acima, temos: µ = 6 clientes/minuto, e TA = 10 segundos/cliente (Prado, 2006; 
Hillier; Lieberman, 2010). 
 Número de servidores. A maioria dos modelos elementares parte do 
pressuposto de uma instalação de atendimento com um atendente (o 
sistema mais simples) ou com um número finito de atendentes. Um 
atendente não precisa ser um único indivíduo, mas pode ser constituído 
por um grupo de pessoas, por uma equipe de manutenção etc. Conforme 
 
 
10 
aumente o ritmo de chegada, podemos manter a qualidade do serviço 
aumentando convenientemente o número de servidores. Esta é, portanto, 
uma das características de uma fila que podemos utilizar par modelar um 
sistema de filas. Na Figura 1, temos 3 servidores (Prado, 2006; Hillier; 
Lieberman, 2010). 
 Disciplina da fila. A disciplina da fila se refere à ordem na qual 
integrantes da fila são selecionados para atendimento. Normalmente, 
para modelos de filas, adota-se a ordem de chegada, ou seja, “o primeiro 
a chegar é o primeiro a ser atendido” (em inglês diz-se FIFO: First In First 
Out). Outras disciplinas podem existir, tais como “último a chegar, primeiro 
a ser atendido” (em inglês diz-se LIFO: Last In First Out), serviço por 
ordem de prioridade, serviço randômico, prioridade de certas classes etc. 
(Prado, 2006; Andrade, 2009; Hillier; Lieberman, 2010). 
 Medidas de efetividade de um sistema. No estudo de um sistema, 
podemos determinar várias medidas de desempenho do sistema, como 
as apresentadas a seguir. A escolha do parâmetro depende do objetivo 
do estudo (Prado, 2006; Andrade, 2009). 
 Tamanho médio da fila. Basicamente, é o número médio de clientes 
existentes em uma fila, por uma unidade de tempo, e, via de regra, é a 
principal referência que consideramos para decidir qual fila escolheremos. 
Por exemplo, considere que um cliente em um supermercado deseja 
chegar e ser atendido de imediato pelo caixa (fila zero), mas, como isto é 
raro de ocorrer, ele escolhe efetuar o pagamento em um caixa que possua 
a menor quantidade de clientes em fila. Quando uma fila é de um tamanho 
razoável (digamos 10 clientes), intuitivamente sabemos que o tempo de 
espera na fila será longo. Assim, o supermercado dimensiona a 
quantidade de caixas de modo que, a qualquer momento, os clientes não 
sintam um grande desconforto ao escolher uma fila (Prado, 2006). 
 Tamanho máximo da fila (Prado, 2006). Quando os clientes devem 
esperar, alguma área de espera deve existir, por exemplo: cadeiras para 
os clientes a espera de caixa livre em um banco; caminhões 
embarcando/desembarcando mercadorias em um CD etc. De forma 
pragmática, na vida real, os sistemas existentes são dimensionados para 
uma certa quantidade máxima de clientes em espera, a partir do 
conhecimento empírico, ou seja, da experiência. Quando existe um 
 
 
11 
crescimento na demanda, faz-se uma ampliação do serviço de 
atendimento, também, baseada na experiência empírica do 
funcionamento daquele sistema. Além disso, podem-se observar 
situações nas quais um novo cliente que chega pode ser recusado, 
devendo tentar novamente em outro instante (exemplo: agendamento de 
consulta médica). 
 Tempo médio de espera na fila (Prado, 2006). Esperar em fila pode 
gerar irritação, pois cada cliente possui uma expectativa de tempo a ser 
gasto em uma fila. O ideal é que não houvesse tempo de espera, o que 
nem sempre é possível do ponto de vista econômico. Se entrarmos numa 
fila com 10 pessoas à nossa frente, o tempo de espera será igual ao 
somatório dos tempos de atendimento de cada um dos clientes à nossa 
frente ou, possivelmente, será igual a 10 vezes a duração média de 
atendimento. Tal como o tamanho médio da fila, o tempo médio de espera 
depende dos processos de chegada e de atendimento. 
 Ocupação do posto de atendimento (Andrade, 2009). Pode-se verificar 
pelo percentual de tempo ocioso/ocupado se o posto de atendimento está 
superdimensionado ou subdimensionado. 
 Tempo médio no sistema (Andrade, 2009). É a média dos tempos gastos 
pelo cliente desde o instante de sua entrada até o momento de sua saída 
do sistema. Esta medida é significativa quando se contextualiza uma 
operação dentro de um período de jornada de trabalho de 8 horas/dia. Um 
tempo médio acima de 8 horas/dia pode implicar em custos adicionais ou 
na necessidade de criar novos turnos de trabalho, o que também gera 
custos adicionais. 
Saiba mais 
Leia o Item 15.2 do Taha e procure resolver o conjunto de problemas 
15.2ª. Disponível em: 
<http://uninter.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788576051503/pa
ges/249>. 
TAHA, H. A. Pesquisa Operacional: uma visão geral. 8. ed. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2008. 
Acesse o endereço a seguir e assista ao vídeo sobre Sistemas de Filas: 
<https://www.youtube.com/watch?v=gegv9FkGctQ>. 
 
 
12 
TEMA 3 – A DINÂMICA DE UMA FILA 
O exemplo apresentado neste tema tem por objetivo caracterizar a 
aleatoriedade que ocorre no processo de formação e de atendimento em um 
sistema de filas. Apesar de não abordarmos a caracterização da distribuição de 
probabilidade do processo de formação e de atendimento, destacamos, a partir 
dos argumentos de Andrade (2009), que os primeiros passos para estudar um 
sistema de filas é realizar um levantamento estatístico do processo/modo de 
chegada dos clientes em um determinado período e do número de clientes 
atendidos por unidade de tempo, ou do tempo gasto em cada atendimento, a fim 
de poder caracterizar o tempo de chegada e de atendimento por uma distribuição 
de probabilidade. A situação mais comum é que os clientes cheguem de forma 
aleatória na chegada, e no atendimento ocorre uma duração aleatória, pois cada 
cliente exige um tempo próprio para solucionar seus problemas. 
Exemplo: uma fila de caixa. Imagine-se, neste momento, sentado 
confortavelmente, observando a movimentação de clientes na padaria Le Petit 
Pain e avaliando a dinâmica que ocorre naformação da fila de clientes, que 
esperam a sua vez para serem atendidos pelo caixa da padaria (Prado, 2006, 
adaptado). 
Chegada. Em um período de meia hora, você verificou que chegaram ao 
sistema (caixa da padaria) 12 clientes e que os intervalos entre as chegadas dos 
clientes, a partir do instante zero, estão apresentados na Tabela 1. 
Tabela 1 – Chegada ao sistema 
 
Observe que o valor zero referente ao sexto cliente significa que ele 
chegou junto com o quinto cliente no início do 17º minuto. A linha “Momento” 
significa o instante da chegada do novo cliente, obtido a partir de acumulações 
da linha “Intervalo” acrescido de 1, para significar o início do próximo intervalo 
de tempo. Assim, o primeiro cliente chegou no início do 3º minuto, o segundo 
cliente chegou no início do 6º minuto, o terceiro cliente chegou no início do 9º 
minuto etc. 
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Média
Intervalo de chegada 
(min)
2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2 2,5
Momento: chegada de 
um novo cliente (min)
3 6 9 12 17 17 18 23 24 28 29 31
 
 
13 
O valor médio dos intervalos de chegada dos clientes é de 2,5 minutos 
(que é a soma de todos os intervalos de chegada, dividido pelo número de 
clientes), e, portanto, o sistema acima (fila do caixa) funcionou com um ritmo 
médio de 24 chegadas por hora, já que chegaram 12 clientes em 30 minutos, ou 
seja, λ = 30 clientes por hora, e TA = 2 minutos. 
 Atendimento. A partir da observação do comportamento do sistema, 
foram obtidos os dados referentes a cada atendimento, conforme 
apresentados na Tabela 5.2. 
Tabela 2 – Tempo de atendimento 
 
O valor médio dos dados acima é de 2,0 minutos (duração média de 
atendimento), e, portanto, podemos dizer que o servidor (caixa) tem uma 
capacidade de atender 30 clientes por hora, ou seja: µ = 30 clientes por hora, e 
TA = 2 minutos. 
 Dinâmica do funcionamento. O sistema funciona conforme apresentado 
na Figura 2. A linha central indica o momento de chegada de cada cliente. 
Na parte superior é indicado o momento em que o cliente inicia e conclui 
o seu atendimento. Na parte inferior, é representada a formação de fila, 
quando o atendente está ocupado com outro cliente, que chegou antes. 
Figura 2 – Funcionamento da fila na padaria 
 
 A partir da Figura 2 se verifica que: 
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Média
Duração 
(min)
1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3 2
1 3 4
7
11
5 10 15 20 25 30 35
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
FIL
A
A T
EN
D IM
E N
TO
12
6
7
9 11
12
2 5
6
8
9
10
 
 
14 
 O 1º cliente chegou à fila da padaria no início do 3º minuto, e seu 
atendimento durou 1 minuto (e, consequentemente, encerrou-se no final 
do 3º minuto); 
 O 5º cliente chegou à fila da padaria no início do 17º minuto, e seu 
atendimento durou 3 minutos (e, assim, encerrou-se no final do 19º 
minuto); 
 O 6º cliente chegou à fila da padaria simultaneamente com o 5º cliente, 
no 17º minuto, e, então, teve que esperar na fila até completar o 
atendimento do 5º cliente (3 minutos), o que ocorreu no final do 19º 
minuto. Então, no início do 20º minuto, foi iniciado o atendimento do 6º 
cliente, que se estendeu até o final do 21º minuto; 
 O 7º cliente chegou à fila da padaria no 18º minuto e encontrou o caixa 
ocupado (em atendimento ao 5º cliente). Além disso, o 6º cliente também 
estava na fila. O atendimento do 7º cliente se iniciou no 22º minuto e durou 
1 minuto; 
 Além dos clientes de número 6 e 7, também os clientes de número 9, 10, 
11 e 12 tiveram que esperar na fila; 
 O último cliente (12º) saiu do atendimento no final do 35º minuto. 
 A partir da Figura 2, obtiveram-se os tempos em fila de cada cliente, 
conforme apresentado na Tabela 3. 
Tabela 3 – Tempo de fila 
 
Dos tempos de fila acima, pode-se concluir o seguinte: 
o Total de clientes atendidos: 12; 
o Tempo Médio na Fila (TMF) = (3+4+3+1+3+2) / 12 = 16/12 = 1,33 
minutos; 
o Número Médio na Fila (NMF) = (3+4+3+1+3+2) / 35 = 16/35 = 0,46 
clientes 
 Um fato curioso. Você pode verificar que: 
o λ = 24 clientes por hora (IC = 2,5 minutos); 
o µ = 30 clientes por hora (TA = 2 minutos). 
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Média
Tempo de 
Fila (min)
0 0 0 0 0 3 4 0 3 1 3 2 1,33
35º minuto: saída 
do último cliente 
 
 
15 
Ou seja, a capacidade de atendimento (µ) é superior ao ritmo de chegada 
(λ). Mesmo assim, houve formação de fila. A formação de filas ocorre porque 
os clientes não chegam ao caixa em tempos fixos e regulares de 2,5 minutos, 
mas de forma randômica. Portanto, pode-se concluir que, quando µ > λ, 
provavelmente ocorrerá a geração de fila, e quando µ ≤ λ, certamente haverá 
fila. 
Ao se analisar a aleatoriedade do processo, verifica-se que: 
 O prazo total foi acrescido de 3 minutos. Se os clientes chegassem de 
forma regular, o 12º cliente sairia no 32º minuto (2,5 minutos x 12 clientes 
= 32), pois não haveria fila, uma vez que o atendimento é de apenas 2 
minutos e, consequentemente, nunca haveria fila. Mas, como há a 
aleatoriedade, o último cliente saiu no 35º minuto; 
 O prazo médio de atendimento individual (2 minutos) foi acrescido pelo 
tempo médio de fila de 1,33 minuto, ou seja, na média um cliente gasta 
3,33 minutos dentro do sistema. 
Quando efetuamos dimensionamento de sistemas, procuramos minimizar 
tais efeitos, seja pela modificação de fluxos, pela colocação de mais atendentes, 
pela utilização de melhores atendentes etc., logicamente considerando sempre 
proporcionar um nível de serviço, de atendimento, compatível com os custos 
previstos para tal nível. 
Sistemas estáveis (Prado, 2006). Para se realizar uma abordagem 
matemática de filas pela teoria das filas, é necessário que o fluxo de chegada e 
o processo de atendimento dos clientes sejam estáveis, ou seja, os valores λ e 
µ devem permanecer constantes no tempo. Caso contrário, melhor usar software 
de simulação por ser a ferramenta mais adequada, pois a teoria das filas é 
limitada em sua capacidade de prover soluções para todos os cenários de filas. 
Contudo, é possível fazer uso de um artifício como dividir o período total em 
períodos parciais, porém isso torna ainda mais complexa a abordagem pela 
teoria das filas. 
Outra exigência para que o processo seja considerado estável é que os 
atendentes sejam capazes de atender ao fluxo de chegada, mas, conforme 
verificado no exemplo apresentado acima, é provável que ocorra a formação de 
filas em sistemas nos quais µ > λ, porque é sempre possível a ocorrência de 
situações “imprevistas”, como: 
 
 
16 
 A chegada em determinado instante de mais clientes do que a capacidade 
de atendimento daquele momento, gerando filas temporárias; 
 O tempo de atendimento de um determinado cliente pode ser muito 
superior à média, obrigando os clientes que chegam posteriormente a 
ficarem em fila. 
Em sistemas estáveis, todas as características randômicas das filas 
(tamanho médio da fila, tempo médio de espera, tempo médio de atendimento 
etc.) se mantêm estáveis o tempo todo, ou seja, com seus valores oscilando em 
torno de um valor médio. 
Dimensionando filas (Prado, 2006). O estudo de fila para dimensionar 
sistemas tem por objetivo prestar um melhor atendimento aos clientes ou para 
obter uma redução de custos do funcionamento do sistema. A seguir são 
apresentadas considerações válidas para qualquer situação: sistemas estáveis 
ou não. 
 A escolha inicial: a qualidade do atendimento. O dimensionamento de 
um sistema, no qual haverá filas, é determinado pelo nível de serviço que 
será fornecidoaos clientes, ou seja, a qualidade do atendimento que está 
vinculada diretamente à capacidade de atendimento a ser implantada. As 
opções para determinar a capacidade de atendimento, são: 
• atendimento para a média de chegada; 
• atendimento para o pico de chegada; 
• atendimento para momentos especiais. 
 Obtenção de dados: o tamanho da amostra. Para realizar um estudo 
de qualquer sistema, é necessário que se obtenham dados, a partir dos 
quais seja possível caracterizar seu comportamento e, assim, fazer o seu 
correto dimensionamento. Para isso, é necessário que tais dados obtidos 
sejam confiáveis e que a amostra (dos dados) possua tamanho correto. 
Uma amostra com tamanho inapropriado pode gerar valores que não 
caracterizam corretamente o sistema em estudo. Por exemplo, em um 
sistema estável, podemos ter um tempo médio de espera na fila de 5 
minutos. Para se chegar a essa conclusão, foi necessário observar o 
funcionamento do sistema durante um longo período, no qual inúmeros 
clientes foram atendidos, entretanto, se o período de observação fosse 
 
 
17 
menor, poucos clientes seriam observados e provavelmente 
encontraríamos um valor diferente para o tempo médio de espera na fila. 
 Tipo de fila e quantidade de servidores. Quando desejamos definir a 
estrutura de um sistema, podemos optar pelas seguintes formas de 
atendimento: 
• uma única fila e um único servidor; 
• uma única fila e diversos servidores; 
• diversas filas e os correspondentes servidores; 
• filas especiais; 
• alteração dinâmica no sistema de atendimento. 
Cada opção acima possui seus prós e contras. Por exemplo, quando 
houver uma situação em que a distribuição do tempo de atendimento aos clientes 
pode variar significativamente, com atendimento de clientes acima da média, 
como acontece em bancos, nos Correios etc., é mais adequado optar pela fila 
única e com diversos atendentes. 
Por vezes, é mais apropriado modificar dinamicamente a quantidade de 
atendentes conforme aumenta ou diminui o fluxo de chegada de clientes. Essas 
situações são comuns em supermercados e em bancos, que empregam essa 
estratégia, tornando disponíveis atendentes extras nos horários de pico. 
Na verdade, podemos observar que os supermercados adotam diferentes 
estruturas de sistema para prestar um bom serviço de atendimento, entre as 
quais o uso de “caixas expressos”, para conquistar clientes que desejam comprar 
poucos itens e que não se sujeitariam a filas morosas para adquiri-los. 
Assim, pode-se concluir que a escolha entre diversas opções 
apresentadas dependerá das características do estabelecimento e do sistema 
em estudo, pois a solução que pode ser apropriada para uma situação pode não 
ser para outra. 
Saiba mais 
Acesse o endereço a seguir e assista a um pouco mais sobre teoria das 
filas: <https://www.youtube.com/watch?v=WiXJaX-Ybls>. 
TEMA 4 – CONCEITOS BÁSICOS: UMA ABORDAGEM MATEMÁTICA 
O objetivo deste tema é acrescer conceitos da teoria de filas, porém, 
realizando uma abordagem matemática que permitirá quantificar as chamadas 
 
 
18 
“variáveis randômicas fundamentais”, as quais, por sua vez, caracterizam o 
comportamento do sistema de filas e, por conseguinte, fornecem subsídios para 
as correções que se fizerem necessárias. 
Variáveis randômicas fundamentais (Prado, 2006). Consideremos o 
sistema de filas da Figura 3, que possui uma situação estável (os valores de 𝜆 e 
𝜇 não se alteram), na qual clientes chegam, entram em fila e aguardam o 
atendimento por um dos “c” servidores existentes. 
Figura 3 – Localização das variáveis 
 
Fonte: Adaptado de Prado, 2006. 
A partir da Figura 3, podemos identificar as seguintes variáveis randômicas 
fundamentais: 
 Variáveis referentes ao sistema: 
• TS = tempo médio de permanência no sistema. 
• NS = número médio de clientes no sistema. 
 Variáveis referentes ao processo de chegada: 
• IC = intervalo médio entre chegadas (IC = 1/𝜆, por definição). 
• 𝜆 = ritmo médio de chegada. 
 Variáveis referentes à fila: 
• TF = tempo médio de permanência na fila. 
• NF = número médio de clientes na fila. 
 
 
 
19 
 Variáveis referentes ao processo de atendimento: 
• c = capacidade de atendimento ou quantidade de atendentes. 
• TA = tempo médio de atendimento ou de serviço (TA = 1/𝜇, por 
definição). 
• NA = número médio de clientes que estão sendo atendidos. 
• µ = ritmo médio de atendimento de cada cliente. 
 Relações básicas: 
• NS = NF + NA 
• TS = TF + TA 
• NA = λ/μ = TA / IC → NS = NF + NA = NF + (λ/μ) = NF + (TA / IC) 
 Taxa de utilização dos atendentes: 
• 𝜌 =
λ
cμ
, onde λ = ritmo médio de chegada, c = número de atendentes e 
µ = ritmo médio de atendimento; 𝜌 representa a fração média do tempo 
em que cada servidor está ocupado. Por exemplo, com um servidor, se 
chegam 4 clientes/hora e se o servidor possui capacidade para atender 
10 clientes/hora, então a taxa de utilização é de 0,40, ou seja, o servidor 
está com 40% do seu tempo ocupado no atendimento e 60% do tempo 
livre. 
 Intensidade de tráfego ou número mínimo de atendentes: 
• Chamamos de intensidade de tráfego a expressão: 𝑖 =
λ
μ
=
TA
IC
, em que 
𝑖 é o próximo valor inteiro que se obtém. Na prática, 𝑖 representa o 
número mínimo de atendentes necessário para atender a um dado 
fluxo de tráfego. Por exemplo, se 𝜆 = 10 clientes/hora e TA = 3 minutos 
(ou, 𝜇 = 20 cliente/hora), temos que 
𝜆
𝜇
= 0,5, então 𝑖 = 1, ou seja, 1 
atendente é suficiente para o correto funcionamento do sistema. Se o 
fluxo de chegada aumentar para 𝜆 = 50 clientes/hora, com TA = 3 
minutos (ou, 𝜇 = 20 cliente/hora), temos que 
𝜆
𝜇
= 2,5, então 𝑖 = 3, ou 
seja, serão necessários pelo menos 3 atendentes para que o sistema 
funcione de forma apropriada. 
 J.D.C. Little demonstrou para um sistema de fila as fórmulas abaixo, as 
quais independem da quantidade de servidores e do modelo de fila por 
tratarem-se de fórmulas fundamentais básicas (fórmulas de Little): 
 
 
20 
• NF = 𝜆 ∙ TF 
• NS = 𝜆 ∙ TS 
Tabela 4 – Resumo de fórmulas 
Nome Fórmula 
Intervalo entre chegadas IC =
1
𝜆
 
Tempo do atendimento TA =
1
𝜇
 
Taxa de utilização dos atendentes 𝜌 =
𝜆
c𝜇
 
Intensidade de tráfego 𝑖 = |
𝜆
𝜇
| = |
TA
IC
| 
Relações entre fila, sistema e 
atendimento 
NA =
𝜆
𝜇
 
NS = NF + NA ∴ NF = NS −
𝜆
𝜇
 
NS = NF +
𝜆
𝜇
= NF +
TA
IC
 
TS = TF + TA ∴ TF = TS −
1
𝜇
 
Fórmulas de Little NF = 𝜆 ∙ TF 
NS = 𝜆 ∙ TS 
Fonte: Prado,2006; Andrade, 2009. 
Exemplo. Em uma fábrica, o funcionamento de um dado setor possui as 
seguintes características: 𝜆 = 20 clientes/hora, 𝜇 = 25 clientes/hora e TS = 0,3 
horas. A partir desses dados, é solicitado que sejam calculados: o tamanho 
médio da fila, o número médio de clientes no sistema e o número médio de 
cliente sendo atendidos. 
 Solução: 
 TA =
1
𝜇
=
1
25
= 0,04 
 TF = TS − TA = 0,3 − 0,04 = 0,26 
 NF = 𝜆 ∙ TF = 20 ∙ 0,26 = 5,2 clientes (número médio de clientes na fila) 
 NS = 𝜆 ∙ TS = 20 ∙ 0,3 = 6 clientes (número médio de clientes no sistema) 
 NA = NS − NF = 6 − 5,2 = 0,8 clientes (número médio de clientes sendo 
atendidos) 
 
 
 
21 
Saiba mais 
Leia o Item 15.6.1 do Taha para ampliar seu conhecimento sobre 
medidas de desempenho. Disponível em: 
<http://uninter.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788576051503/pa
ges/257>. 
TAHA, H. A. Pesquisa Operacional: uma visão geral. 8. ed. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2008. 
Acesse o endereço a seguir e assista ao vídeo sobre modelos de filas: 
<https://www.youtube.com/watch?v=BY15B5dnZUQ>.TEMA 5 – MODELOS 
Em teoria das filas são estudados diversos modelos de sistemas. Cada 
modelo possui equações matemáticas que o definem, ou seja, que caracterizam 
o seu comportamento. Os diferentes modelos disponibilizados pela teoria das 
filas nos permitem empregá-los para estudar situações semelhantes que 
ocorrem em nosso cotidiano. O presente tema de ensino tem por objetivo 
apresentar a notação que caracteriza o sistema, bem como as equações 
matemáticas do modelo que possui uma fila e um atendente. 
A notação de Kendall (Prado, 2006). A notação básica para descrever 
um modelo de fila emprega a seguinte notação: A/B/c/K/m/Z, onde 
 A indica o tipo de distribuição de probabilidade dos intervalos entre 
chegadas; 
 B indica o tipo de distribuição de probabilidade do tempo de serviço 
(atendimento); 
 c é a capacidade de atendimento ou quantidade de atendentes; 
 K é a capacidade máxima do sistema (número máximo de clientes no 
sistema); 
 m é o tamanho da população de onde se originam os clientes; 
 Z é a disciplina da fila. 
Esta notação recebeu o nome de notação Kendall como homenagem ao 
seu criador, David Kendall. Os diferentes tipos de distribuição de probabilidade 
são designados por A e B, conforme apresentado a seguir: 
 M: Exponencial Negativa (ou Markoviana ou Poisson) 
 Em: Erlang de estágio m; 
 
 
22 
 Hm: hiper-exponencial de estágio m; 
 Determinística; 
 Geral. 
Por exemplo, seja o modelo M/E2/5/20/∞/randômico, o qual possui as 
seguintes características: 
 A = M, as chegadas são Markoviana (ou Poisson); 
 B = E2, o atendimento possui uma distribuição tipo Erlang de segundo 
grau; 
 c = 5, ou seja, são 5 atendentes; 
 K = 20, então a capacidade máxima do sistema igual a 20 clientes; 
 m = ∞, população infinita; 
 Z, a disciplina da fila possui atendimento randômico. 
Quando se adota a notação condensada A/B/c, que é bastante comum, 
subentende-se que não há limite para o tamanho da fila, a população é infinita e 
a disciplina da fila possui atendimento por ordem de chegada, ou seja, é do tipo 
FIFO (o primeiro a chegar é o primeiro a ser atendido). 
O modelo M/M/1 ou M/M/c (também conhecido por modelo de Poisson), 
apesar de poucas aplicações práticas, possui aplicação teórica por possibilitar 
que se construa toda uma teoria sobre filas. A partir deste modelo, podemos 
calcular tamanhos de filas, tempos etc. 
O Modelo M/M/1. Este modelo possui uma fila, um atendente e as 
seguintes características (Prado, 2006; Andrade, 2009): 
 Chegadas de clientes: segue uma distribuição de Poisson com média 𝜆 
chegadas/tempo; 
 Atendimento de clientes: obedece uma distribuição exponencial negativa 
com média 1/𝜇 (ou seja, o número de atendimentos é uma distribuição de 
Poisson com média 𝜇); e 
 Disciplina da fila: atendimento por ordem de chegada. 
O estudo será feito para os casos de população infinita e finita. Na Figura 
4, vemos a representação mais usual para o modelo M/M/1. 
 
 
 
 
23 
Figura 4 – Representação do Modelo de Fila M/M/1 
 
Fonte: Adaptado de Prado, 2006. 
Para o modelo M/M/1 permanecem válidas as definições de 𝜆, IC, TA e 𝜇. 
 População infinita: uma população é considerada infinita quando o 
número de clientes potenciais é suficientemente grande para que a 
população seja considerada infinita. A seguir são apresentadas as 
equações do modelo de uma fila e um atendente, sem a apresentação de 
seu desenvolvimento (Prado, 2006; Andrade, 2009): 
Tabela 5 – Modelo de uma fila e um atendente 
Nome Descrição Fórmula 
NF número médio de clientes na fila NF =
𝜆2
𝜇(𝜇 − 𝜆)
 
NS número médio de clientes no sistema NS =
𝜆
𝜇 − 𝜆
 
TF tempo médio de espera na fila por cliente TF =
𝜆
𝜇(𝜇 − 𝜆)
 
TS tempo médio gasto no sistema por cliente TS =
1
𝜇 − 𝜆
 
Pn probabilidade de haver n clientes no sistema P𝑛 = (1 −
λ
μ
) (
𝜆
𝜇
)
𝑛
 
A Taxa de Utilização é definida como a relação entre o ritmo médio de 
chegada e o ritmo médio de atendimento, ou seja, 𝜌 =
𝜆
𝜇
 e. Como sistemas 
estáveis exigem 𝜆 < 𝜇, tem-se 𝜌 < 1. Observe que, quando 𝜌 tende para 1, ou 
seja, quando se aproxima de valores muito próximos a 1, a fila tende a aumentar 
infinitamente, o que pode ser comprovado a partir da equação: 
NF =
𝜆2
𝜇(𝜇 − 𝜆)
= 
𝜆2
𝜇2 − 𝜇𝜆
=
𝜆2
𝜇2
𝜇2
𝜇2
−
𝜇𝜆
𝜇2
=
𝜌2
1 −
𝜆
𝜇
=
𝜌2
1 − 𝜌
 
Assim, por exemplo, quando 𝜌 for igual a 0,999, o número médio de 
clientes na fila (NF) será igual a 998. Em situações práticas, quando a taxa de 
utilização se aproxima de 1 (100%), deve-se ficar atento, pois, se NF cresce de 
 
 
24 
forma exponencial (o que pode ser comprovado), isso significa que isso também 
ocorrerá com o tempo de fila (TF) e com o tempo no sistema (TS). 
Exemplo: contratação de um reparador (Prado, 2006). Uma empresa 
deseja contratar um reparador para efetuar manutenção em suas máquinas, as 
quais estragam a um ritmo de 3 falhas/hora. A empresa se deparou com 2 
opções de contratação: um reparador lento, que é capaz de consertar a um ritmo 
de 4 falhas/hora, ou um reparador rápido, que é capaz de consertar a um ritmo 
de 6 falhas/hora. O salário/hora do reparador lento é de $3,00, e o do reparador 
rápido é de $5,00. Qual contratação deve ser efetuada para que o custo total 
(reparador + máquina parada) seja mínimo? Sabe-se que uma máquina parada 
implica um custo horário de $5,00. 
Solução: para calcular o custo das máquinas paradas, devemos calcular 
o número médio de máquinas paradas (NS). 
a. Reparador lento 
 NS =
λ
μ−λ
=
3
4−3
= 3 máquinas 
 Custo das máquinas = 3 x $5,00 = $15,00 
 Custo do reparador = $3,00 
 Custo horário total = $18,00 
b. Reparador rápido 
 NS =
λ
μ−λ
=
3
6−3
= 1 máquina 
 Custo das máquinas = 1 x $5,00 = $5,00 
 Custo do reparador = $5,00 
 Custo horário total = $10,00 
Comparando o desempenho dos dois reparadores, chega-se à conclusão 
de que o reparador rápido, apesar de ter um custo maior, implica um custo total 
menor. 
 População finita: M/M/1/K: um caso particular e encontrado com 
frequência no cotidiano é aquele em que a população de clientes é finita, 
ou seja, o número máximo de cliente que podem solicitar serviços é 
predeterminado. A seguir são apresentadas as fórmulas deste modelo, 
em que K representa o número (limitado) de clientes que estão 
percorrendo o sistema (Prado, 2006; Andrade, 2009; Hillier; Lieberman, 
2010): 
 
 
25 
Tabela 6 – Fórmulas para população finita 
Nome Descrição Fórmula 
NF número médio de clientes na fila NF = K − [
𝜆 + 𝜇
𝜆
∙ (1 − 𝑃𝑜)] 
NS número médio de clientes no sistema NS = 𝐾 − [
𝜆 + 𝜇
𝜆
∙ (1 − 𝑃𝑜)] +
𝜆
𝜇
 
TF 
tempo médio de espera na fila por 
cliente 
TF =
𝐾
𝜆
− [
(𝜆 + 𝜇) ∙ (1 − 𝑃𝑂)
𝜆2
] 
TS 
tempo médio gasto no sistema por 
cliente 
TS =
𝐾
𝜆
− [
(𝜆 + 𝜇) ∙ (1 − 𝑃𝑂)
𝜆2
] +
1
𝜇
 
Pn 
probabilidade de haver n clientes no 
sistema 
P𝑛 =
(
𝜇
𝜆)
𝑘−𝑛
(k − n)! ∙ ∑
(
𝜇
𝜆)
𝑗
𝑗!
𝐾
𝑗=0
 
 
Saiba mais 
Leia a introdução do Item 15.6 do Taha e se familiarize com as notações 
empregadas pelo autor para caracterizar os sistemas de filas. Disponível em: 
<http://uninter.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788576051503/pa
ges/81>. 
Leia também o item 15.6.2 do Taha para conhecer mais sobre modelos com 
um único servidor. Disponível em: 
<http://uninter.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788576051503/pa
ges/257>. 
TAHA, H. A. Pesquisa Operacional: uma visão geral. 8.ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2008. 
Acesse o link a seguir e assista ao vídeo sobre modelos de filas: 
<https://www.youtube.com/watch?v=Ujk_x5Owxoo>. 
NA PRÁTICA 
Em quantas situações em sua rotina diária você seria capaz de identificar 
a existência de fila? Identifique uma bastante diferente, descreva-a e aplique a 
notação de Kendall no que for possível. Em seguida, compartilhe essa situação 
no fórum com seus colegas de disciplina. Avalie com eles como você poderia 
levantar os dados estatísticos a fim de caracterizar as distribuições de 
probabilidade das chegadas e do atendimento. 
Leia o caso de ensino sugerido e depois responda o solicitado. Terminada 
a atividade de estudo e solucionado o estudo de caso, você receberá a solução 
 
 
26 
para a atividade realizada pelo professor que elaborou o presente caso de 
ensino. 
 Orientações para realizar a atividade: 
1. Leia o caso de ensino e identifique as características do sistema. 
2. Reveja as equações/fórmulas dos modelos de filas, pois são necessários 
para resolver o caso de ensino. 
3. Boa aprendizagem! 
 Caso de Ensino n. 6: Problema de fila (Andrade, 2009) 
Uma seção de fábrica dispõe de 6 máquinas que apresentam defeito a 
uma taxa média de 3 por semana, segundo a distribuição de Poisson. A equipe 
de manutenção consegue reparar, em média, 6 máquinas por semana. Pede-se 
que sejam calculados: 
 A probabilidade de haver n máquinas fora de operação (1 máquina em 
reparo e 𝑛 − 1 esperando), para 𝑛 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 
 O tempo médio gasto por máquina na equipe de manutenção, o tempo 
médio gasto em espera, o número médio de máquina na fila e o número 
médio de máquina parada por semana. 
Solução: o aluno deverá identificar que a fila é do tipo M/M/1/K e, portanto, 
possui as seguintes características: 
 𝜆 = 3 máquinas/semana; 
 𝜇 = 6 máquinas/semana; 
 𝐾 = 6 máquinas 
a. Probabilidade de haver n clientes no sistema, ou seja, n máquinas 
paradas: 
P𝑛 =
(
𝜇
𝜆
)
𝑘−𝑛
(k−n)!∙∑
(
𝜇
𝜆
)
𝑗
𝑗!
𝐾
𝑗=0
): 
 Para 𝑛 = 0: P0 =
(
6
3
)
6−0
(6−0)!∙(∑
(
6
3
)
𝑗
𝑗!
6
𝑗=0 )
=
(2)6
6!∙(∑
(2)𝑗
𝑗!
6
𝑗=0 )
=
64
6∙5∙4∙3∙2∙1∙(
20
0!
+
21
1!
+
22
2!
+
23
3!
+
24
4!
+
25
5!
+
26
6!
)
=
64
720∙(
1
1
+
2
1
+
4
2∙1
+
8
3∙2∙1
+
16
4∙3∙2∙1
+
32
5∙4∙3∙2∙1
+
64
6∙5∙4∙3∙2∙1
)
=
64
720∙(1+2+2+
8
6
+
16
24
+
32
120
+
64
720
)
=
64
720∙(1+2+2+1,333+0,666+0,266+0,088)
=
64
720∙(7,3555)
=
64
5295,99
= 0,012 
 
 
27 
 Para 𝑛 = 1: P1 =
(
6
3
)
6−1
(6−1)!∙(∑
(
6
3
)
𝑗
𝑗!
6
𝑗=0 )
=
(2)5
5∙4∙3∙2∙1∙(
20
0!
+
21
1!
+
22
2!
+
23
3!
+
24
4!
+
25
5!
+
26
6!
)
= 0,0362 
 Para 𝑛 = 2: P2 = 0,0906 
 Para 𝑛 = 3: P3 = 0,1812 
 Para 𝑛 = 4: P4 = 0,2719 
 Para 𝑛 = 5: P5 = 0,2719 
 Para 𝑛 = 6: P6 = 0,1359 
b. Número médio de máquinas à espera de conserto: NF = K − [
𝜆+𝜇
𝜆
∙
(1 − 𝑃𝑜)] = 6 − [
3+6
3
∙ (1 − 0,01208)] = 3,036 
c. Número médio de máquinas paradas: NS = 𝐾 − [
𝜆+𝜇
𝜆
∙ (1 − 𝑃𝑜)] +
𝜆
𝜇
= 6 −
[
3+6
3
∙ (1 − 0,01208)] +
3
6
= 3,536 
d. Tempo médio por máquina parada: TS =
𝐾
𝜆
− [
(𝜆+𝜇)∙(1−𝑃𝑂)
𝜆2
] +
1
𝜇
=
6
3
−
[
(3+6)∙(1−0,01208)
32
] +
1
6
= 1,1786 semanas 
e. Tempo médio de espera por máquina: TF =
𝐾
𝜆
− [
(𝜆+𝜇)∙(1−𝑃𝑂)
𝜆2
] =
6
3
−
[
(3+6)∙(1−0,01208)
32
] = 1,012 semanas 
FINALIZANDO 
O tema principal abordado nesta aula foi teoria das filas. Inicialmente 
apresentamos breve histórico, conceitos e situações de aplicações. Em seguida 
vimos os elementos e as características de filas. Posteriormente, destacamos a 
dinâmica existente na formação de filas, além de realizar uma abordagem 
matemática das variáveis randômicas existentes e que caracterizam um sistema. 
Por fim, fizemos uma introdução aos modelos de filas, apresentando a 
nomenclatura empregada e a formulação matemática de um sistema composto 
por uma fila e um servidor. 
O caso de ensino proposto tem por objetivos fazer o aluno identificar as 
características do sistema de fila e empregar as fórmulas matemáticas 
pertinentes. 
 
 
 
28 
REFERÊNCIAS 
ANDRADE, E. L. de. Introdução à pesquisa operacional: métodos e modelos 
para análise de decisões. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. 
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