Cálculo Financeiro

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CÁLCULO FINANCEIRO 
Prof. Roberto Moreno 
 
 
Bibliografia 
PUCCINI, Abelardo de Lima e PUCCINI, Adriana Matemática Financeira Objetiva e Aplicada - 
Ed Compacta, 2a. Edição. Rio de Janeiro: Elsevier, 2012. 
SECURATO, José Roberto, coord., Cálculo Financeiro das Tesourarias – Bancos e Empresas, 4ª. 
Edição. São Paulo: Saint Paul, 2008. 
 
Roberto Moreno é Doutor em Economia pela FGV/EPGE. Foi Presidente da ANPAD - Associa-
ção Nacional dos Programas de Pós-Graduação em Administração, Professor da FGV e do IAG 
da PUC-Rio, foi Diretor, Coordenador de Mestrado e de Extensão do IAG. É Professor Associ-
ado IV da Universidade Federal Fluminense e Consultor de Empresas na área de Finanças Cor-
porativas. 
 
Os exercícios deste texto foram adaptados a partir da bibliografia indicada. 
ÍNDICE 
 
INTRODUÇÃO .........................................................................................................................3 
REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO ..................................................................................................6 
JUROS SIMPLES .......................................................................................................................8 
Exercícios ..........................................................................................................................10 
DESCONTO ...........................................................................................................................12 
Exercícios ..........................................................................................................................14 
JUROS COMPOSTOS..............................................................................................................16 
Exercícios ..........................................................................................................................18 
TAXAS DE JUROS ...................................................................................................................20 
Exercícios ..........................................................................................................................26 
ANUIDADES ..........................................................................................................................28 
Exercícios ..........................................................................................................................30 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS E SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO ................................................33 
Exercícios ..........................................................................................................................38 
VALOR PRESENTE LÍQUIDO E TAXA INTERNA DE RETORNO ...................................................41 
Exercícios ..........................................................................................................................45 
FLUXOS DE CAIXA E INFLAÇÃO ..............................................................................................48 
FORMULÁRIO .......................................................................................................................51 
 
Matemática Financeira Prof. Roberto Moreno 
 
 
 3 
INTRODUÇÃO 
No dia a dia, freqüentemente nos deparamos com situações que envolvem valores a serem 
pagos ou recebidos em diferentes momentos do tempo. Esse é o caso, por exemplo, da com-
pra a crédito, quando o pagamento é feito através de um sinal e prestações posteriores. A 
utilização do salário ao longo do mês oferece outro exemplo: o salário recebido é utilizado na 
realização de vários pagamentos, como é o caso do aluguel, do colégio das crianças, do paga-
mento do cartão de crédito etc., todos ocorrendo em momentos diferentes. 
Nesses exemplos, está presente o conceito de Fluxo de Caixa: “o conjunto de pagamentos 
(saídas de caixa) e recebimentos (entradas de caixa) de um agente econômico (um indivíduo, 
uma empresa) em certo período de tempo”. 
Em Finanças estamos permanentemente tratando de entradas e saídas de caixa e, portanto, 
de fluxos de caixa. As decisões financeiras envolvem, em cada situação, conhecer os fluxos de 
caixa e transformá-los, de modo a poder compará-los. 
Classicamente, entende-se o papel da Matemática Financeira como o do instrumento voltado 
para o manuseio de fluxos de caixa visando suas transformações em fluxos equivalentes de 
modo a permitir suas comparações. Tendo em vista esta função, é natural que a Matemática 
Financeira seja de extrema utilização na área de Finanças. 
É possível distinguir entre dois fluxos de caixa fundamentais: 
 uma entrada (saída) e uma saída (entrada) de caixa 
 uma entrada (saída) e várias saídas (entradas) iguais de caixa 
Qualquer outro fluxo de caixa pode ser visto como uma combinação desses dois, motivo pelo 
qual o entendimento desses fluxos fundamentais é essencial. De fato, este segundo fluxo não 
passa de uma utilização repetida do primeiro, o que nos leva a concluir que o perfeito enten-
dimento deste último é tudo de que precisamos. 
O conceito de fluxo de caixa pode ser convenientemente visualizado através do Diagrama de 
Fluxo de Caixa, um esquema gráfico no qual se apresentam as entradas e saídas de caixa, no 
momento em que ocorrem, por meio de setas para cima (entradas) ou para baixo (saídas). 
O comprimento das setas deve representar, em princípio, o valor relativo das entradas e saí-
das de caixa. Suponha, por exemplo, que o salário tenha um valor maior que o pagamento do 
cartão de crédito de um indivíduo, cujo valor é maior que o aluguel e este, por sua vez, tenha 
um valor superior àquele do pagamento do colégio. 
No caso de representarmos o fluxo de caixa correspondente ao recebimento do salário no dia 
1o do mês e o pagamento do colégio no dia 5, do aluguel no dia 10 e do cartão de crédito no 
dia 16, o diagrama de fluxo de caixa poderia ser um dos seguintes: 
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 4 
Qualquer dos três gráficos representaria corretamente o fluxo de caixa descrito. Indepen-
dente da representação utilizada, o importante é distinguir claramente as entradas e saídas 
de caixa. 
Existem, ainda, outras convenções: 
a. as entradas de caixa são sempre, em termos algébricos, positivas (+) e as saídas, negativas 
( - ). Efetivamente, esta é uma convenção que poderia ser alterada sem qualquer pro-
blema, desde que se garantisse que o sinal das entradas fosse diferente do sinal das saídas 
de caixa; 
b. a data inicial (no exemplo, o dia 1o) é sempre o ponto 0. Os outros pontos do diagrama 
indicam a ocorrência das entradas e saídas em períodos relativos à data inicial. No exem-
plo, o dia 1o é o período 0 e o pagamento do aluguel é feito no 10o dia a contar dele. Se o 
diagrama estivesse expresso em meses e, em lugar do aluguel, houvesse o pagamento de 
uma hipoteca, esta ocorreria no final do 10o mês contado, mais uma vez, a partir da data 
inicial; 
c. note, finalmente, que o diagrama indica sempre final de períodos. Por essa razão, o final 
de um período representa, também, o início de outro. O ponto 10 no diagrama, por exem-
plo, indica o final do período 10 e, também, o início do período 11. 
Obviamente, na medida em que à entrada de caixa de um agente econômico corresponde 
uma saída de caixa de outro, qualquer fluxo de caixa terá sempre duas representações. 
Além dos conceitos de fluxo de caixa e diagrama de fluxo de caixa, o estudo da Matemática 
Financeira apóia-se, também, em uma lei básica: 
Um real hoje é sempre preferível a um real no futuro 
Outra forma de expressar esta afirmação é dizer que “um real hoje vale mais que um real 
amanhã”. Esta lei vigora mesmo quando não há inflação, porque o dinheiro hoje pode ser 
aplicado (ainda que seja por apenas um dia) e receber uma remuneração — os juros — demodo que o aplicador poderá ter uma importância maior no dia seguinte. 
Considere, por exemplo, as seguintes alternativas para aplicar-se $ 100.000: 
a. em um CDB que prometa pagar $ 120.000 no resgate, ao final de um mês; 
0
o 
5
o 
10
o 
16
o 0
o 
5
o 
10
o 
16
o 
5
o 
10
o 
16
o 
0
o 
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 5 
b. em uma Debênture que prometa pagar $ 40.000 ao final de 15 dias e $ 70.000 ao final de 
um mês. 
Qual a melhor opção? 
A resposta a essa questão (e outras similares) dependerá da transformação desses dois fluxos 
em seus valores equivalentes hoje (a data inicial, no caso) e a comparação dos resultados. O 
fluxo cujo valor for maior, medido em termos de hoje, seria o escolhido. No entanto, no caso 
da 2a alternativa, essa transformação não consistiria, simplesmente, em somar os valores a 
receber para comparar o resultado com a 1a opção, porque, tendo em vista a lei básica, se 
procedêssemos assim estaríamos somando valores em “moedas” diferentes: os reais são re-
cebidos em diferentes momentos do tempo. 
De fato, a transformação se realiza, normalmente, através do cálculo do valor atual ou valor 
presente dos fluxos de caixa, que consiste em calcular a expressão monetária equivalente dos 
fluxos no período 0. Se esta transformação for aplicada a ambos os fluxos, será possível com-
parar-se esses valores, posto que estarão expressos para o mesmo momento do tempo. 
A simbologia básica adotada neste texto é a seguinte: 
n = número de períodos de tempo, o 0 indicando sempre o momento atual, ou a data inicial, 
dependendo do contexto; 
i = taxa de juros por período de capitalização, expressa em termos decimais. A taxa i é igual 
à taxa expressa em percentagem, dividida por 100. Por exemplo, para 10,0% a.a., i = 10 ÷ 
100 = 0,10. A taxa i é a taxa utilizada nas fórmulas; 
r = taxa de juros por período de capitalização, expressa em termos reais, ou seja, descontada 
a inflação; 
P = principal, valor atual ou valor presente, expressa o capital inicial empregado. Seu valor 
em um fluxo de caixa está sempre localizado no período 0. Corresponde ao PV da calcu-
ladora HP-12C; 
S = montante, saldo ou valor futuro, expressa o capital no período n, ou seja, em datas futu-
ras. Corresponde ao FV da HP-12C. 
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 6 
REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO 
Os juros constituem, apenas, a remuneração pela renúncia ao consumo presente, em favor 
de outro agente econômico. De fato, para que qualquer um de nós se disponha a realizar uma 
aplicação – que, na verdade, é um empréstimo – é necessário que seja convencido através da 
promessa de uma recompensa futura, ou seja, que espere ter de volta sua aplicação e mais 
um adicional, a título de recompensa. Afinal, ao emprestar os recursos, o agente econômico 
abriu mão de utilizá-los em proveito próprio. Assim, nada mais justo do que ser recompensado 
por esta renúncia ao consumo presente. 
De outro lado, aquele que toma emprestado, aumenta sua capacidade de consumo hoje, mas 
se dispõe abrir mão de algum consumo futuro, pois terá que pagar o empréstimo obtido, 
acrescido da recompensa prometida. São os juros. Mas, em qualquer hipótese, é necessário 
estabelecer a regra pela qual esta recompensa será calculada, e que chamamos de regime de 
capitalização. O regime de capitalização refere-se à maneira pela qual os juros são calculados 
e pode ser simples ou composto. Por outro lado, o período de capitalização corresponde ao 
período para o qual os juros são calculados, ou seja, o período para o qual o regime de capi-
talização é aplicado. 
Considere a inversão de $100 hoje, por dez meses, à taxa de juros de 10,0% ao mês. 
TABELA 1 
O exame da tabela nos permite extrair algumas lições: 
a. o valor dos juros, no regime de capitalização simples (ou de juros simples), é obtido cal-
culando-se dez por cento sobre o investimento inicial – o principal – a cada mês; 
b. o valor dos juros, no regime de capitalização composta (ou de juros compostos), é obtido 
calculando-se dez por cento sobre o saldo existente, o principal acrescido dos juros até 
então acumulados, a cada mês; 
c. o regime de juros compostos parece superior ao regime de juros simples – produz um 
maior saldo ao final do mês. 
Período Juros Saldo Juros Saldo
1 10,00 110,00 10,00 110,00 
2 10,00 120,00 11,00 121,00 
3 10,00 130,00 12,10 133,10 
4 10,00 140,00 13,31 146,41 
5 10,00 150,00 14,64 161,05 
6 10,00 160,00 16,11 177,16 
7 10,00 170,00 17,72 194,87 
8 10,00 180,00 19,49 214,36 
9 10,00 190,00 21,44 235,79 
10 10,00 200,00 23,58 259,37 
Capitalização Simples Capitalização Composta
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 7 
O gráfico relacionando os saldos aos períodos de capitalização, que nesse caso são meses, 
para cada regime, pode ser visto a seguir. Dele é fácil perceber que o crescimento do saldo no 
regime de juros simples é linear, diferente do crescimento exponencial dos juros compostos. 
Embora as duas primeiras afirmações estejam corretas, é preciso muito cuidado com a ter-
ceira; afinal ela se aplicaria, apenas, à ótica do emprestador, nunca à do tomador, que haveria 
de preferir o regime de juros simples. Mas, de fato, trata-se de um equívoco geral. Normal-
mente, não há qualquer vantagem de um regime sobre o outro, uma vez que são, apenas, 
maneiras diferentes de os juros serem calculados. Para confirmar isto, veja que se o empres-
tador desejar maior remuneração no regime de juros simples, basta contratar uma taxa maior 
que 10,0%; se o tomador desejar pagar menos, no regime de juros compostos, basta encontrar 
quem aceite uma taxa menor de juros. 
 -
 50
 100
 150
 200
 250
 300
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Capitalização Simples
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 8 
JUROS SIMPLES 
A aplicação do regime de capitalização simples no cálculo dos juros devidos apóia-se no prin-
cípio de que a taxa de juros contratada incide, apenas, sobre o principal da operação, a cada 
período. Como a tabela acima indica os juros serão sempre iguais a $10 por período, com o 
principal de $100 e a taxa de 10,0% a.p. 1. 
Em termos formais, o saldo ao final do primeiro período será 
S1 = P + Pi = P(1 + i). 
Ao final do segundo período, 
S2 = P + Pi + Pi = P(1 + 2i). 
Ao final do terceiro período, 
S3 = P + Pi + Pi + Pi = P(1 + 3i). 
É fácil perceber que ao final de n períodos, teremos de saldo 
in)P(1S 
 (I) 
Note que a expressão pode ser reescrita como sendo 
S = P + Pin, ou seja, 
Saldo ou Montante = Principal + Juros 
Assim, se temos uma aplicação P, por n períodos, à taxa i, ou seja, se temos P, n e i, podemos 
calcular o saldo S. 
Exemplo: 
P = 100 
n = 12 meses 
i = 5,0% ao mês (a.m.). 
 
1 Ao período. 
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 9 
Qual o saldo a ser obtido? 
S = 100 x (1 + 12 x 0,05) = 160 
A equação (I) apresenta a relação fundamental no regime de capitalização simples e nos per-
mite calcular o valor futuro de uma aplicação realizada hoje. Concluímos também que o valor 
dos juros pode ser facilmente calculado: 
Juros = Pin (II) 
Diversas outras relações podem ainda ser deduzidas da expressão (I). Por exemplo, qual seria 
valor a ser aplicado hoje (P), para que pudéssemos alcançar certo saldo (S), ao final de n perí-
odos, à taxa de juros i ao período? Ou seja, dados S, n e i, podemos determinarP, o valor 
presente de S. 
in)(1
S
P


 (III) 
Exemplo: 
S = 740,00 
n = 2 anos 
i = 2,0% a.m. 
Nestas condições, que principal gerará este saldo? 
500,00
24x0,021
740,00
P 


 
Veja que na aplicação da equação (III), primeiro convertemos os dois anos em 24 meses para, 
em seguida, proceder ao cálculo. Essa conversão foi necessária para adequar o período em 
que a taxa de juros estava expressa ao tempo da aplicação (meses). Poderíamos, alternativa-
mente, ter expressado a taxa em anos – 24,0% a.a. - e aplicar a fórmula considerando-se os 
dois anos. O resultado seria o mesmo e você pode, facilmente, verificar. 
Existem situações nas quais conhecemos o valor da aplicação feita, o saldo que será obtido e 
o tempo em que a aplicação será feita, mas desconhecemos qual a taxa de juros utilizada. 
Neste caso, a equação inicial pode ser transformada para calcular-se a taxa de juros: 
n
1
p
S
i


 (IV) 
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 10 
Utilizando o exemplo anterior, teríamos: 
0,02
24
1
500
740
i 


 
Obviamente, se usássemos dois anos no denominador, obteríamos a taxa ao ano. Verifiquem! 
Concluindo o formulário de juros simples, resta uma questão: se tivermos o saldo, o principal 
e a taxa, como determinar o tempo da aplicação? A resposta pode ser obtida, também, a partir 
da equação (I): 
i
1
p
S
n


 (V) 
Utilizando, ainda, o exemplo anterior e considerando a taxa de 2,0% a.m., poderíamos deter-
minar facilmente o prazo: 
meses 24
0,02
1
500
740
n 


 
Exercícios 
1. Determinar a taxa anual de juros simples que, aplicada durante 16 meses, produz um total 
de juros igual a 24,0% do valor do principal. (18,0% a.a.) 
2. Um investidor aplica, inicialmente, um principal de $10.000,00 a 15,0% ao ano e, posteri-
ormente, consegue aumentar essa taxa para 18,0% ao ano. Determinar o número de me-
ses em que vigorou a taxa de 15,0% ao ano sabendo-se que o valor de resgate dessa apli-
cação no final de 24 meses foi de $13.450,00. Todos os cálculos devem ser feitos no regime 
de juros simples, com as taxas de juros sendo aplicadas sobre o principal de $10.000,00. 
(6 meses) 
3. Um investidor aplicou um principal a juros simples e obteve um montante de $10.600,00, 
após três meses. Se o prazo do investimento fosse de nove meses, o montante obtido seria 
de $11.800,00. Determinar o principal aplicado e a taxa de juros simples mensal dessas 
duas aplicações. ($10.000 e 0,02%) 
4. Um investidor aplicou 20% do seu capital a 15,0% ao ano, 25% do seu capital a 18% ao ano 
e o restante a 12,0% ao ano, no regime de juros simples. Determinar o valor do principal 
aplicado sabendo-se que os juros acumulados no final de dois anos foram de $2.820,00. 
($10.000) 
5. Um investidor fez uma aplicação, a juros simples, que produziu um montante de 
$13.800,00 no final de 12 meses. O mesmo investidor fez uma segunda aplicação, 20% 
superior à primeira, que rendeu um total de juros de $1.440,00 no final de oito meses. 
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 11 
Determinar a taxa de juros simples mensal e os valores dessas duas aplicações. ($12.000; 
$14.400 e 1,25%) 
6. Um investidor aplicou 40% do seu capital a 12,0% ao ano e o restante, a 15,0% ao ano. No 
final de dois anos, a diferença entre os juros acumulados nas duas aplicações totalizou 
$8.400,00. Determinar o capital total investido, no regime de juros simples. ($100.000) 
7. Um principal é dividido igualmente em duas aplicações diferentes, com taxas de rentabili-
dade de 10,0% ao ano e 12,0% ao ano, juros simples. Determinar dentro de quantos anos 
a diferença entre os montantes acumulados nessas duas aplicações será igual a 10,0% do 
valor da aplicação inicial. (5 anos) 
 
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 12 
DESCONTO 
As operações de desconto são muito comuns no mercado financeiro e são utilizadas pelas 
empresas para conseguirem recursos que permitam a sua operação no curto prazo. De uma 
forma geral, as empresas têm uma política de venda a prazo, que dá origem a duplicatas a 
receber. As duplicatas a receber são instrumentos de crédito, que dão direito a empresa de 
receber o correspondente à venda realizada, no vencimento da duplicata. Se, por exemplo, 
uma empresa realiza uma venda de $300.000 e concede 30 dias de prazo para o pagamento, 
a operação dá origem a uma duplicata a receber, com vencimento em 30 dias. 
Se a empresa necessita de caixa nesse intervalo, pode descontar essa duplicata no mercado 
financeiro, transferindo seus direitos para o intermediário financeiro no vencimento, e rece-
bendo, em compensação, uma importância no momento da operação. No vencimento, então, 
a empresa recebe a duplicata e paga ao banco. Como se vê, trata-se de uma operação de 
crédito na qual o banco antecipa os recursos para a empresa, recebendo como garantia a 
duplicata descontada. Naturalmente, o valor que o banco antecipa para a empresa é inferior 
ao da duplicata, a diferença correspondendo à remuneração do banco, aos juros que ele cobra 
por antecipar os recursos. 
Numa operação de desconto, a variável chave é o valor a ser recebido pelas duplicatas des-
contadas e ele depende da taxa de desconto, do prazo que falta para o vencimento da dupli-
cata e, naturalmente, do valor da duplicata. 
Chamando de d, a taxa de desconto no período, de n o prazo até o vencimento e de S o valor 
da duplicata, o valor do desconto D seria calculado segundo a seguinte expressão: 
n . d . SD
 (VI) 
Note que a operação utiliza a abordagem dos juros simples para calcular o valor do desconto: 
o produto de d por n transforma a taxa de desconto ao período na taxa correspondente ao 
prazo da operação. Desnecessário dizer que é essencial a consistência entre o período no qual 
a taxa de desconto é expressa e o prazo. Se, por exemplo, o prazo é apresentado em dias, d 
deverá ser diário (ou o prazo convertido em meses); se for em meses, d deverá ser mensal (ou 
o prazo convertido em dias). 
Tendo em vista que o valor recebido pela empresa é semelhante ao valor presente da dupli-
cata, vamos chamá-lo P. Em conseqüência, 
P = S - D 
n) . d S(1P 
 (VII) 
Vejamos um exemplo: 
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 13 
Uma empresa que tem duplicatas a receber nos valores de $500 mil, $1 milhão e $1,5 milhão, 
com prazos de 15 dias, 45 dias e 60 dias. Considerando que seu banco está praticando uma 
taxa de 5,0% a.m., quanto receberia a empresa se descontasse as duplicatas? 
1a. duplicata: 
P1 = 500 x [1 – (0,05/30) x 15] = 487,50 mil 
2a. duplicata: 
P2 = 1000 x [1 – (0,05/30) x 45] = 925,00 mil 
3a. duplicata: 
P3 = 1500 x [1 – (0,05/30) x 60] = 1.350,00 mil 
Assim, a empresa receberia P1 + P2 + P3 = 2.762,50 mil. 
É interessante observar que uma operação de desconto envolve, de fato, um valor presente, 
um valor futuro e um prazo. Assim, podemos calcular custo da operação para a empresa, que 
corresponderia à rentabilidade do banco na ausência de impostos, lançando mão das expres-
sões (III) e (VII): 
in 1
S
P


 e P = S(1 – dn) 
Assim, 
dn) S(1
in 1
S


 
E concluímos que: 
dn 1
d
i


 (VIII) 
in 1
i
d


 (IX) 
Ainda em relação ao exemplo anterior, o custo para a empresa de descontar cada uma das 
duplicatas à taxa de desconto de 5,0% a.m. seria igual a 5,13%, 5,41% e 5,56% a.m., respecti-
vamente. 
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 14 
Note que a expressão (III) nos permite calcular o principal, a partir da taxa de juros, enquanto 
a expressão (VII) conduz ao principal a partir da taxa de desconto. Quando, em uma operação 
de desconto, é utilizada a taxa de juros, dizemos quese trata de um desconto por dentro (ou 
desconto racional); quando se utiliza a taxa de desconto, falamos de desconto por fora (ou 
desconto comercial). 
Freqüentemente emprega-se a expressão descontar um fluxo de caixa como sinônimo de des-
capitalizar esse fluxo, ou seja, trazê-lo a valor presente. É preciso não confundir esse uso do 
conceito, com o de uma operação de desconto que acabamos de descrever. 
Exercícios 
1. Um banco opera com juros simples e desconta uma promissória de $20.000,00, aplicando 
uma taxa de desconto comercial de 15,0% ao ano. Sabendo-se que o prazo de vencimento 
da promissória é de três meses, determinar o seu valor de resgate e a taxa anual de des-
conto racional dessa operação. 
2. Um título de $10.000,00 foi resgatado 25 dias antes do seu vencimento com a taxa de 
desconto racional de 15,0% ao ano. Determinar o valor do principal, assumindo-se regime 
de juros simples e ano com 360 dias. ($9.897) 
3. Um certificado de depósito de um banco comercial foi negociado com um investidor para 
uma aplicação de 62 dias, garantindo-se nesse prazo uma rentabilidade de 2,0% ao mês, 
no regime de juros simples. Sabendo-se que o valor de resgate desse certificado de depó-
sito é de $10.000,00, determinar o valor da aplicação e a taxa mensal de desconto comer-
cial desse banco, no regime de juros simples. ($9.603 e 1,92%) 
4. Um título de $8.000,00 é liquidado 27 dias antes do seu vencimento, com uma taxa de 
desconto comercial de 15,0% ao ano. Determinar o valor a ser descontado do título e a 
taxa anual de desconto racional, assumindo-se regime de juros simples e ano com 360 
dias. ($90,00 e 15,17%) 
5. Um título com vencimento no prazo de dois meses foi descontado com uma taxa de des-
conto racional de 12,0% ao ano, e o valor do desconto nessa operação foi de $2.000,00. 
Determinar o valor nominal desse título (na data do seu vencimento) e a taxa anual de 
desconto comercial, assumindo-se regime de juros simples. ($102.000,00 e 11,77%) 
6. O desconto de um título de $10.000,00 proporcionou um crédito de $9.550,00 na conta 
de um cliente de um banco comercial que opera com uma taxa de desconto comercial de 
18,0% ao ano. Determinar o prazo (em dias) até o vencimento do título e a taxa anual de 
desconto racional, assumindo-se regime de juros simples e ano com 360 dias. (90 dias e 
18,85%) 
7. Uma instituição financeira realiza suas operações de desconto com uma taxa de desconto 
comercial de 2,0% ao mês, no regime de juros simples. Determinar o valor a ser creditado 
na conta de uma empresa que apresentou um título para desconto nessas condições, sa-
bendo-se que o valor de tal título é $100.000,00 e que o prazo até seu vencimento é de 45 
dias. ($97.000) 
8. Quatro títulos com o mesmo valor nominal de $10.000,00 têm vencimentos para 30, 60, 
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 15 
90 e 120 dias e são descontados de acordo com o conceito de desconto comercial ou ban-
cário, no regime de juros simples. Determinar a taxa anual de desconto comercial que deve 
ser aplicada nesses títulos para que o valor presente dessa operação seja igual a 
$38.750,00, assumindo-se ano com 360 dias. (15,0%) 
 
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 16 
JUROS COMPOSTOS 
Diferentemente do que ocorre com o regime de juros simples, no de capitalização composto 
os juros são calculados sobre o saldo, e não sobre o principal. Em relação à Tabela 1, o saldo 
ao final do primeiro período corresponde a 
S1 = P + iP = P(1 + i). 
Ao final do segundo período, 
S2 = P(1 + i) + i[P(1 + i)] = P(1 + i)(1 + i) = P(1 + i)2. 
Ao final do terceiro período, 
S3 = P(1 + i)2 + iP(1 + i)2 = P(1 + i)2(1 + i) = P(1 + i)3. 
Desenvolvendo a expressão para n períodos, teremos de saldo 
S = P(1 + i)n (X) 
Assim, se desejamos calcular o saldo de uma aplicação P, por n períodos, à taxa i, ou seja, se 
temos P, n e i, podemos calcular o valor futuro S. 
Exemplo: 
P = 100 
n = 12 meses 
i = 5,0% ao mês (a.m.) 
Qual o saldo a ser obtido? 
S = 100 x (1 + 0,05)12 = 179,59 
A equação (X) também é fundamental no regime de capitalização composto, no sentido que 
dela podemos extrair diversas outras relações, como fizemos nos juros simples. Assim, pode-
mos utilizá-la, com alguma adaptação, para determinar qual o valor a ser aplicado hoje (P), 
para que possamos alcançar certo saldo (S), ao final de n períodos, à taxa de juros i ao período. 
Ou seja, dados S, n e i, podemos determinar o valor presente P. 
i)(1
S
P
n


 (XI) 
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 17 
Exemplo: 
S = 740,00 
n = 2 anos 
i = 2,0% a.m. 
Nestas condições, que principal gerará este saldo? 
460,07
0,02)(1
740
P
24



 
Veja que na aplicação da equação (XI), primeiro convertemos os dois anos em 24 meses para, 
em seguida, proceder ao cálculo. Essa conversão foi necessária para adequar o período em 
que a taxa de juros estava expressa ao tempo da aplicação (meses). Poderíamos, alternativa-
mente, ter expressado a taxa em anos, mas, no caso dos juros compostos, essa conversão não 
ocorreria aplicando-se a proporcionalidade das taxas como fizemos com os juros simples; seria 
necessário utilizarmos o conceito de taxas equivalentes, o que faremos mais à frente. 
Existem situações nas quais conhecemos o valor da aplicação feita, o saldo que será obtido e 
o tempo em que a aplicação será feita, mas desconhecemos qual a taxa de juros utilizada. 
Neste caso, a equação inicial pode ser transformada para calcular-se a taxa de juros: 
1
p
S
i n 
 (XII) 
A equação (XII) pode ser escrita, também, como 
1
p
S
i
1/n







 
Utilizando o exemplo anterior, teríamos: 
0,0161
500
740
i
1/24







 =>1,6% a.m. 
Finalmente, como podemos determinar o tempo da aplicação se tivermos o saldo, o principal 
e a taxa? A resposta pode ser obtida, também, a partir da equação (X), com um pouco mais 
de trabalho. Da equação podemos escrever: 
i)(1
P
S n

 
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 18 
Aplicando-se logaritmo, por exemplo, neperiano, a ambos os membros da equação, teremos: 
logS – logP = n log(1 + i) 
O que nos conduziria à conclusão de que 
i) log(1
logP - logS
n


 (XIII) 
Então, se P = 740,00, S = 460,07 e i = 0,02, 
24 
log1,02
log460,07log740,00
n 


 
Exercícios 
1. Determinar o montante obtido, ao final de quatro anos, a partir de uma aplicação de 
$100.000,00, à taxa de 10,0% ao ano, nos regimes de juros simples e compostos, respec-
tivamente. ($140.000,00 e $146.410,00) 
2. Determinar o valor dos principais que, aplicados por dois anos, à taxa de 15,0% ao ano, 
produzem montantes de $180.000,00, nos regimes de juros simples e compostos, respec-
tivamente. ($138.462,00 e $136.106,00) 
3. Determinar o prazo n (em anos) necessário para triplicar um capital a uma taxa de 8,0% 
ao ano, nos regimes de juros simples e juros compostos. (25 anos e 14,27 anos) 
4. A aplicação de um principal de $100.000,00 produz um montante de $104.887,09 no final 
de quatro meses. Determinar as rentabilidades mensais dessa aplicação financeiras, res-
pectivamente, nos regimes de juros simples e compostos. (1,22% e 1,2%) 
5. Um principal de $5.000,00 é aplicado pelo prazo de quatro meses a uma taxa de 1,2% ao 
mês, no regime de juros compostos. Determinar os valores a serem recebidos no final do 
4o. mês, nas seguintes hipóteses: 
 I - juros capitalizados nos quatro meses; ($5.244,35) 
 II - juros resgatados periodicamente, no final de cada mês. ($5.060,00) 
6. Determinar a taxa mensal de juros compostos que, aplicada durante 16 meses, produz um 
total de juros igual a 24% do valor do principal. (1,35%) 
7. Determinaro número de meses que um capital de $10.000,00 deve ser aplicado a uma 
taxa de 1,3% ao mês para produzir $1.088,57 de juros, no regime de juros compostos. (8 
meses) 
8. Um investidor aplicou 20% do seu capital a 15,0% ao ano, 25% do seu capital a 18,0% ao 
ano e o restante a 12,0% ao ano, no regime de juros compostos. Determinar o valor do 
principal aplicado, sabendo-se que os juros acumulados no final de dois anos foram de 
$2.600,00. ($8.594,00) 
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 19 
9. Um investidor fez uma aplicação de $10.000,00 pelo prazo de um ano. Durante os primei-
ros quatro meses, a taxa obtida foi de 1,0% ao mês e, durante os últimos oito meses, a 
taxa foi aumentada para 1,25% ao mês. Determinar o valor de resgate dessa aplicação no 
final de 12 meses e a taxa de juros anual correspondente, no regime de juros compostos. 
($11.493,00 e 14,93%) 
10. Um investidor aplicou um principal a uma determinada taxa de juros compostos e obteve 
um montante de $10.379,71 no final de três meses. Se o prazo do investimento fosse de 
nove meses, a taxa de juros seria a mesma e o montante obtido seria de $11.182,92. De-
terminar o principal aplicado e a taxa de juros mensal dessas duas aplicações, no regime 
de juros compostos. ($10.000,00 e 1,25%) 
11. Um investidor fez uma aplicação, a juros compostos, que produziu um montante de 
$15.869,52 no final de 12 meses. O mesmo investidor fez uma segunda aplicação, com um 
valor 20% superior à primeira, que produziu um montante de $18.264,17 no final de oito 
meses, com a mesma taxa de juros. Determinar a taxa de juros mensal dessas duas aplica-
ções e seus respectivos valores, no regime de juros compostos. (1,05%; $14.000,00 E 
$16.800,00) 
12. Um investidor aplicou 40% de seu capital a 12,0% ao ano e o restante, a 15,0% ao ano. No 
final de dois anos, a diferença entre os montantes acumulados nas duas aplicações totali-
zou $12.000,00. Determinar o capital total investido, no regime de juros compostos. 
($41.132,52) 
13. Um investidor fez uma aplicação de $100.000,00 para ser resgatada em duas parcelas de 
mesmo valor, pagas no final do 3o. e do 6o. mês, a partir da data da aplicação. Determinar 
o valor dessas parcelas para que o investidor receba uma rentabilidade de 1,0% ao mês, 
no regime de juros compostos. ($52.283,88) 
14. Um investidor fez uma aplicação de $100.000,00 para ser resgatada em duas parcelas, 
pagas no final do 3o. mês e no final do 6o. mês a partir da data da aplicação. Sabendo-se 
que a parcela do 3o. mês é o dobro da parcela do 6o. mês, determinar seus valores para 
que o investidor receba uma rentabilidade de 1,0% ao mês, no regime de juros compostos. 
($34.683,38 e $69.366,76) 
15. Determinar os valores acumulados no final do 6o. mês no caso de um investidor se defron-
tar com duas alternativas para aplicar seu capital de $10.000,00, no regime de juros com-
postos: 
(I) aplicação que lhe proporciona taxa efetiva de 1,5% ao mês e permite a retirada do 
montante do principal e dos juros apenas no final do 6o. mês. ($10.934,43) 
(II) aplicação com mesmo prazo que permite, porém, retiradas mensais dos juros no 
final de cada período, com uma taxa efetiva de 1,2% ao mês. Os juros mensais re-
cebidos podem ser reaplicados até o final do 6o. mês com uma taxa de 1,8% ao mês, 
a juros compostos. ($10.753,19) 
 
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 20 
TAXAS DE JUROS 
As taxas de juros indicam a remuneração (ou custo) de um capital e podem ser expressas de 
várias maneiras, destacando-se as seguintes: 
 taxas de juros proporcionais x taxas de juros equivalentes; 
 taxas de juros nominais x taxas de juros efetivas; 
 taxas de juros nominais x taxas de juros reais. 
Taxas proporcionais 
Duas taxas de juros são proporcionais quando, aplicadas ao mesmo capital, pelo 
mesmo prazo, produzirem o mesmo montante em diferentes períodos de capitaliza-
ção, no regime de juros simples. 
Nesses termos, 1,0% a.m. e 12,0% a.a. são proporcionais porque ambas as taxas, aplicadas ao 
mesmo capital, p.ex. $100, conduzem ao mesmo montante em dado prazo, p. ex. dois anos: 
S = 100 x (1 + 24 x 0,01) = $124 e 
S = 100 x (1 + 2 x 0,12) = $124. 
Note que é necessário sempre compatibilizar taxas e prazos: no primeiro caso o número de 
períodos é de 24 meses, pois a taxa é mensal, e no segundo esse número é de dois anos, 
porque a taxa é anual. 
Em função do conceito, podemos dizer que as taxas proporcionais ao ano, semestre, trimes-
tre, bimestre, mês e dia (ano comercial e ano civil) obedecem à seguinte relação entre si: 
ia = 2is = 4it = 6ib = 12im = 360id (365id) 
Vale notar que, no regime de juros simples, é comum o emprego do ano comercial (360 dias), 
em lugar do ano civil (365 dias). O contrário ocorre no regime de juros compostos. 
Verifique que a relação obedece à proporção entre os prazos: a taxa anual é proporcional a 
duas vezes a taxa semestral, porque há dois semestres em um ano, e assim por diante. Com 
base na proporcionalidade, podemos afirmar que a taxa trimestral é proporcional a três vezes 
a taxa mensal. Ou 2/3 vezes a taxa bimestral! 
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 21 
Taxas equivalentes 
Duas taxas de juros são equivalentes quando, aplicadas ao mesmo capital, pelo 
mesmo prazo, produzirem o mesmo montante em diferentes períodos de capitaliza-
ção, no regime de juros compostos. 
Assim, e usando o exemplo anterior, 1,0% a.m. e 12,683% a.a. são taxas equivalentes: 
S = 100(1 + 0,01)24 = $126,97 e 
S = 100(1 + 0,12683)2 = $126,97, 
mantendo-se o mesmo cuidado em compatibilizar taxas e prazos. 
A relação entre taxas equivalentes anuais, semestrais, trimestrais, bimestrais, mensais e diá-
rias, a título de exemplo, é a seguinte: 
(1 + ia) = (1 + is)2 = (1 + it)4 = (1 + ib)6 = (1 + im)12 = (1 + id)365 
Nessa relação, veja que são os expoentes que, agora, guardam proporcionalidade entre si. A 
conversão de uma taxa para sua equivalente em outro período é fácil de realizar se compre-
endermos a lógica da transformação. Suponha que tivéssemos uma taxa ao trimestre e qui-
séssemos convertê-la em uma taxa ao bimestre. Poderíamos fazê-lo convertendo-a, inicial-
mente, em uma taxa mensal para, em seguida, transformá-la em uma taxa bimestral. Nesse 
caso, teríamos: 
(1 + it) = (1 + im)3  (1 + im) = (1 + it)1/3 
Como, 
(1 + ib) = (1 + im)2  (1 + ib) = [(1 + it)1/3]2 
Então, 
(1 + ib) = (1 + it)2/3.2 
Na prática, o denominador do expoente fracionário cumpre a tarefa de converter a taxa ao 
menor período relevante, no caso, mês; o numerador, por seu turno, transforma a taxa para 
o prazo desejado, levando em consideração o número de períodos necessários. Como o bi-
mestre contém dois meses, esse é o numerador. 
 
2 Lembre-se que a1/b = 
b
a
. Da mesma forma, ac/b = 
b
c
a
. 
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 22 
Assim, se tivermos uma taxa de juros correspondente ao ano civil e quisermos determinar sua 
equivalente para o ano comercial, basta realizar o seguinte cálculo: 
(1 + i360) = (1 + i365)360/365 
Novamente, o denominador do expoente reduz a taxa do ano civil a dia, enquanto o numera-
dor transforma o resultado em ano comercial, reconhecendo que há 360 dias em um ano co-
mercial. 
O regime de juros simples opera com base em taxas proporcionais, enquanto o de juros com-
postos utiliza as taxas equivalentes. 
Taxas de juros nominais x efetivas 
Uma taxa é nominal quando é indicada em um período diferente daquele de capitaliza-
ção; ela é efetiva quando é expressa no mesmo período de capitalização. 
Exemplo: 
 12,0% a.a., capitalizados mensalmente — taxa nominal (expressa ao ano, com regime 
de capitalização mensal); 
 2,0% a.t., capitalizados trimestralmente— taxa efetiva (expressa ao trimestre, com 
regime de capitalização trimestral). 
Se a taxa é nominal, a taxa efetiva correspondente será calculada dividindo-a pelo número de 
períodos de capitalização contido no período em que foi expressa. No exemplo acima, a taxa 
efetiva correspondente aos 12,0% a.a. será 1,0% a.m., porque o período em que a taxa está 
expressa (ano) contém 12 períodos de capitalização (mês). Assim, a taxa efetiva será 12% ÷ 12 
= 1,0%. 
Se a taxa é efetiva, a taxa nominal correspondente será calculada pelo processo inverso. No 
exemplo acima, a taxa nominal a.a. correspondente a 2,0% a.t. seria 2% x 4 = 8,0%. 
Se uma taxa é nominal, a primeira tarefa é transformá-la em taxa efetiva. Apenas esta deve 
ser utilizada na manipulação dos fluxos de caixa. Fique atento para o fato de que 12,0% a.a. e 
1,0% a.m., ou 2,0% a.t. e 8,0% a.a. são taxas proporcionais. Deste modo, para passar do con-
ceito de nominal para efetivo, ou vice-versa, você deve utilizar o conceito de proporcionali-
dade. 
Por outro lado, note que 1,0% a.m. capitalizado mensalmente é equivalente a [(1 + 0,01)12 - 1] 
x 100 = 12,36% a.a. capitalizado anualmente (a multiplicação por 100 está presente apenas 
para expressar a taxa em termos percentuais). Ou seja, para calcularmos a taxa efetiva para 
outro período de capitalização a partir de uma taxa efetiva dada, devemos lançar mão da 
equivalência. 
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 23 
Finalmente, considere como taxa nominal ao ano qualquer taxa de juros que não seja devida-
mente referenciada. Por exemplo, a taxa de 24,0% capitalizada semestralmente, deve ser en-
tendida como a taxa de 24,0% a.a. nominal e, portanto, 12,0% a.s. efetiva. 
Taxas de juros nominais x reais 
Outro emprego para a expressão taxa nominal de juros ocorre quando queremos destacar o 
impacto da inflação sobre a remuneração das aplicações financeiras. 
Para compreender o que isso significa, imagine que no início de um ano você disponha de 
$100 e possa adquirir 100 maçãs, ao preço de $1 cada. Qual o impacto sobre esse poder de 
compra se ocorresse uma inflação de 100%? Uma inflação indica o aumento de preços na 
economia e, nesse caso, o preço da maçã passaria a $2. Nessas circunstâncias, embora você 
dispusesse dos mesmos $100, só poderia comprar 50 maçãs. 
No exemplo, os $100 constituem o valor nominal de seu capital e as 50 maçãs indicam o valor 
real desse capital, ou seja, seu poder de compra, metade do que era originalmente. Esse é 
precisamente o impacto que a inflação causa sobre os valores monetários: reduz seu poder 
de compra. 
 Valor nominal Valor real 
Situação original $100,00 100,00 
Após a inflação $100,00 
50,00
x1 1) (1
100,00


 
Note que no cálculo do novo valor real, dividimos o valor nominal pelo preço, acrescido da 
inflação de 100% (uma taxa que, em termos decimais, é igual um). 
Considere, agora, a situação na qual se aplica $100,00, a 12,0%, por um ano. O saldo dessa 
aplicação seria, naturalmente, de $112,00, com uma remuneração de $12,00 em relação ao 
principal. Suponha, no entanto, essa mesma aplicação na presença de uma inflação de 1,0% 
no período. Neste caso, embora o saldo continuasse sendo de $112,00, certamente seu poder 
de compra seria menor, mais precisamente, de $110,89, indicando um ganho real de 10,89%. 
 Valor nominal Valor real 
Situação original $112,00 112,00 
Após a inflação $112,00 
10,891
x1 1)0,0 (1
112,00


 
A taxa de juros real expressa, na presença da inflação, o poder de compra da taxa de 
juros nominal e indica o ganho (ou perda) efetivamente ocorrido na aplicação finan-
ceira. 
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 24 
De fato, podemos calcular o poder de compra ao fim do período, depois da inflação. Para isso 
basta descontar o efeito da inflação sobre o saldo, numa operação conhecida como deflacio-
nar, que consiste em determinar a capacidade de compra de um valor depois da elevação dos 
preços. 
A mesma operação pode ser feita em relação à taxa de juros empregada. De modo geral, 
θ) r)(1 (1i 1 
 (XIV) 
onde i = taxa de juros nominal no período 
r = taxa de juros real no período 
 θ = taxa de inflação no período 
Essa relação, conhecida como equação de Fisher, permite-nos determinar a taxa de juros real 
a partir de uma taxa nominal e a inflação, pois: 
θ 1
i 1
 r 1



 
No exemplo, é fácil constatar que, 
0,01 1
0,12 1
0,1089 1



, 
uma conseqüência natural da expressão acima. 
Taxa over 
As taxas de juros a que nos referimos até aqui indicam remuneração em termos de dias corri-
dos, ou seja, considerando-se os sábados, domingos e feriados. Por outro lado, freqüente-
mente os profissionais que atuam no mercado financeiro têm necessidade de identificar a 
remuneração de uma aplicação em termos de dias úteis, em lugar de dias corridos; uma taxa 
de juros a.m. quando o mês tem muitos feriados, por exemplo, representa uma remuneração 
por dia útil mais elevada do que ocorreria se este mês tivesse menos feriados. Nessas circuns-
tâncias, se o agente econômico tem a possibilidade de fazer uma aplicação mensal ou várias 
aplicações em prazos menores dentro do mês, a avaliação da taxa de juros por dia útil pode 
indicar qual a melhor decisão. 
A taxa de juros expressa em termos de dia útil é conhecida como taxa over e um exemplo 
esclarece o seu cálculo. 
Exemplo 1 
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 25 
Imagine que uma aplicação realizada por 63 dias corridos (46 dias úteis) tenha alcançado uma 
taxa efetiva de 26,47%. A taxa over io é calculada pela relação 
1 + idu = (1 + 0,2647}1/46 
idu = 0,0051  0,51% a.d. 
É usual apresentar-se a taxa over em termos mensais, utilizando-se, curiosamente, não a equi-
valência, mas a proporcionalidade. Desta forma, a taxa over é apresentada como sendo 
io = 0,51 x 30 = 15,3% a.m. 
Exemplo 2 
O Banco Central divulgou sua taxa básica para novembro de 2000, como sendo 43,8% a.a.. 
Sabendo-se que o ano tem, em média, 252 dias úteis, qual a taxa over? 
1 + idu = (1 + 0,438)1/252 
idu = 0,001442  0,1442% a.d. 
Assim, a taxa over é: 
io =0,1442 x 30 = 4,326% a.m. 
Exemplo 3 
Um indivíduo aplicou $100.000 em um ativo financeiro por 48 dias (33 dias úteis) e recebeu 
$108.600. Determine: 
a. a taxa efetiva da operação; 
b. a taxa equivalente dia; 
c. a taxa equivalente dia útil; 
d. a taxa over. 
Neste caso: 
a. 
 
100.000
108.600
i 1 e 
 = 1,086 
ie = 0,086  8,6% a.p. 
b.  
100.000
108.600
i 1 d
48
1

 = 1,00172 
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 26 
id = 0,00172  0,172% 
c.  
100.000
108.600
i 1 du
33
1

 = 1,0025 
idu = 0,25% 
d. io = 0,025 x 30 = 7,5% a.m. 
Exercícios 
1. Determinar as taxas semestral e anual proporcionais à taxa de juros de 1,5% ao mês. (9,0% 
e 18,0%) 
2. Determinar as taxas mensal e diária proporcionais à taxa de juros de 4,5% ao semestre, 
assumindo-se ano com 360 dias. (0,75% e 0,025%) 
3. Determinar as taxas efetivas semestral e anuais equivalentes à taxa de juros de 1,2% ao 
mês. (7,4% e 15,4%) 
4. Determinar as taxas efetivas anuais equivalentes, respectivamente, às taxas de juros de 
0,9% ao mês e 2,8% ao trimestre. (11,35% e 11,68%) 
5. Determinar as taxas de juros mensais equivalentes, respectivamente, às taxas efetivas de 
10,0% ao ano e 12,0% ao ano. (0,797% e 0,095%) 
6. Determinar a taxa diária equivalente à taxa de juros de 10,0% ao ano, assumindo-se ano 
com 360 dias. (0,0265%) 
7. Determinar a taxa diária equivalente à taxa de juros de 10,0% ao ano, assumindo-se ano 
com 365 dias. (0,0261%) 
8. Considerar uma taxa de juros de 12,0% ao ano, assumir ano com 360 dias e determinar a 
taxadiária equivalente e a taxa anual equivalente, para ano com 365 dias. (0,032% e 
12,18%) 
9. Considerar uma taxa de juros de 12,0% ao ano, assumir ano com 365 dias, e determinar a 
taxa diária equivalente e a taxa anual equivalente, para ano com 360 dias. (0,031% e 
11,83%) 
10. Determinar o valor da taxa efetiva mensal equivalente à taxa de juros de 16,0% ao ano, 
capitalizados trimestralmente. (1,32%) 
11. Determinar as taxas efetivas anuais equivalentes às seguintes taxas de juros: 
 12,0% ao ano, capitalizados mensalmente; (12,68%) 
 10,0% ao ano, capitalizados semestralmente. (10,25%) 
12. Determinar as taxas efetivas mensais que são equivalentes às seguintes taxas de juros: 
 8,0% ao ano, capitalizados semestralmente; (0,066%) 
 10,0% ao ano, capitalizados trimestralmente. (0,826%) 
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 27 
13. Uma instituição financeira remunera suas aplicações com uma taxa de 12,0% ao ano, no 
regime de juros simples, e assume ano com 360 dias. Determinar a taxa de juros diária, no 
regime de juros compostos, e sua taxa anual equivalente, para uma aplicação com prazo 
de 15 dias. (0,033% e 12,72%) 
14. Uma instituição financeira remunera suas aplicações com uma taxa efetiva de 12,0% ao 
ano, no regime de juros compostos, e assume ano com 360 dias. Determinar a taxa de 
juros diária, no regime de juros simples, e a taxa anual proporcional para uma aplicação 
com prazos de 45 dias. (0,032% e 11,41%) 
15. Determinar o montante acumulado no final de quatro anos, ao se aplicar um principal de 
$10.000,00 com uma taxa nominal de juros de 9,0% ao ano, capitalizados trimestralmente, 
no regime de juros compostos. ($14.276,00) 
16. Determinar a taxa nominal de juros, capitalizados mensalmente, que faz um principal de 
$10.000,00 produzir um montante de $13.473,51 no final de dois anos, no regime de juros 
compostos. (15,0%) 
17. Determinar o valor do principal que, aplicado durante três anos com a taxa de 15,0% ao 
ano, capitalizados mensalmente, produz um montante superior em $206,42 ao montante 
que seria produzido com essa mesma taxa nominal, porém com capitalizações semestrais. 
Adotar o regime de juros compostos. ($10.000,00) 
18. Um principal foi aplicado a 15,0% ao ano, capitalizados mensalmente, pelo prazo de um 
ano e, posteriormente, a 12,0% ao ano, capitalizados trimestralmente por mais um ano. 
Determinar o valor desse principal sabendo-se que, no final dos seis anos, o montante 
acumulado dessa aplicação foi de $32.660,98. Adotar o regime de juros compostos. 
($25.000,00) 
19. Dada a taxa over de 2,7% a.m., determinar a taxa efetiva. (0,09% a.d.) 
20. Dada a taxa over de 3,3%%, a.m. determinar a taxa efetiva mensal em um mês de 21 dias 
úteis. (2,34%) 
21. Um investidor obtém, em uma aplicação, a taxa efetiva de 7,2% a.p. (com 37 dias úteis). 
Determinar a taxa over correspondente. (5,64% a.m.) 
22. Uma operação financeira é fechada à taxa over de 2,4% a.m. por um período de 47 dias 
úteis. Determine a taxa efetiva do período. (3,83%) 
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 28 
ANUIDADES 
Algumas vezes acontece de os fluxos de caixa obedecerem a um padrão que permite a simpli-
ficação das transformações realizadas pela matemática financeira. Esse é precisamente o caso 
das anuidades ou série de pagamentos uniforme. Uma anuidade caracteriza-se por um fluxo 
de caixa constante durante certo período. Veja o caso do crédito direto ao consumidor. A 
compra de um computador a prazo dá origem a uma obrigação constante a ser saldada pelo 
comprador, constituída pela prestação periódica (freqüentemente mensal). 
As anuidades podem ser antecipadas ou postecipadas, segundo o primeiro pagamento ocorra 
no período inicial ou apenas um período após. 
Considere a compra do computador, com o primeiro pagamento ocorrendo um período após 
a compra, o que caracteriza a anuidade postecipada: o fluxo de caixa, onde PMT representa o 
valor de uma prestação periódica e constante, do ponto de vista do comprador, seria o se-
guinte: 
No diagrama, a linha unindo as duas setas indica pagmentos repetidos e de igual valor. 
O valor financiado, que é o próprio valor presente do financiamento, relaciona-se à prestação 
através da seguinte expressão: 
1i)(1
i)i(1
PPMT
n
n



 (XV) 
Então, se o computador está sendo vendido à vista por $2.500 e é possível comprá-lo a prazo 
em 24 vezes, à taxa de 3,0% a.m., a prestação seria de 
$147,62
10,03) (1
0,03) 0,03(1
 2.500PMT
24
24




 
É claro que, a partir da expressão (XV), podemos afirmar que o valor presente de uma anui-
dade pode ser calculado pela seguinte expressão: 
i)i(1
1i)(1
PMTP
n
n



 (XVI) 
0 1 n 
PMT 
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 29 
Assim, se você tem sete prestações a quitar de um compromisso assumido no valor de $120 
cada e deseja liquidá-las através de um único pagamento hoje, sendo a taxa de juros de 3,0% 
a.p., o valor a ser pago seria de 
$747,63
0,03)0,03(1
10,03)(1
120P
7
7




 
O valor futuro também é facilmente determinado a partir da prestação, posto que por defini-
ção, trata-se da capitalização de um valor presente por n períodos, à taxa i: 
S = P(1 + i)n 
De (XV): 
S = 
i)(1
i)i(1
1i)(1
PMT n
n
n



 
i
1i)(1
PMT S
n


 (XVII) 
Em conseqüência: 
1i)(1
i
S PMT
n


 (XVIII) 
permite determinar o valor da prestação a partir do valor futuro. 
Todo o formulário desenvolvido até aqui pode ser facilmente ajustado para considerar a situ-
ação dos pagamentos que se iniciam já no momento do contrato – a anuidade antecipada. É 
esse o caso do crédito direto ao consumidor e o fluxo de caixa abaixo descreve essa situação. 
Note que, no caso da anuidade antecipada com o mesmo número de pagamentos de uma 
postecipada, o último pagamento ocorrerá sempre um período antes, na medida em que eles 
também se iniciam um período antes. Por essa razão, a prestação inicial (e, por definição, as 
demais) será igual ao valor da prestação de uma anuidade postecipada, descontada por um 
período. Assim, se chamarmos de PMTP a prestação de uma anuidade postecipada, e de PMTA 
a prestação de uma antecipada com mesmo valor presente, poderemos escrever: 
0 n - 1 
PMT 
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 30 
i 1
PMT
PMT PA


 
Dessa forma, o cálculo da prestação, a partir do valor a ser financiado (valor presente), utili-
zando-se a expressão (XV) seria: 
i) (1
1
x
1i)(1
i)i(1
PPMT n
n
A



 
1i)(1
i)i(1
PPMT n
1-n
A



 (XIX) 
Com essa abordagem, é possível determinar-se as demais relações que caracterizam uma sé-
rie antecipada. 
Exercícios 
1. Um equipamento cujo valor à vista é de $10.000,00 será financiado em 12 prestações 
mensais e sucessivas, além de uma entrada de $2.500,00, por ocasião da compra. Deter-
minar o valor das 12 prestações mensais sabendo-se que o financiamento será realizado 
a juros compostos de 15,0% ao ano, capitalizados mensalmente, e que a 1a. prestação 
vencerá 30 dias após a data da compra. ($676,94) 
2. Uma compra de $10.000,00 é financiada em oito prestações trimestrais, iguais e sucessi-
vas, sendo que a 1a. prestação deve ser paga 90 dias após a liberação do financiamento. 
Determinar o valor dessas prestações para uma taxa de 3,0% ao trimestre, no regime de 
juros compostos. ($1.424,56) 
3. Uma compra de $10.000,00 é financiada em oito prestações trimestrais, iguais e sucessi-
vas. Determinar o valor dessas prestações para uma taxa de 1,2% ao mês, no regime de 
juros compostos. (Usar a taxa trimestral equivalente com, no mínimo, quatro casas deci-
mais e considerara 1a. prestação ocorrendo 90 dias após a data da compra). ($1.463,98) 
4. Um financiamento de $100.000,00, a juros compostos, deve ser pago em dez prestações 
mensais de $10.700,31, a partir do 30o. dia da liberação dos recursos. Determinar o novo 
valor das prestações mensais caso a 1a. prestação fosse paga no ato da liberação dos re-
cursos, mantida a mesma taxa de juros. ($10.568,21) 
5. Um financiamento de $10.000,00 deve ser liquidado em 12 prestações mensais, iguais e 
sucessivas, a uma taxa de 1,25% ao mês, no regime de juros compostos. Determinar o 
valor dessas prestações, nas seguintes hipóteses: 
 a 1ª prestação deve ser paga no ato da liberação dos recursos, a título de entrada; 
($891,44) 
 a 1ª prestação deve ser paga três meses após a liberação do financiamento. ($925,29) 
6. Um empréstimo de $50.000,00 é realizado com uma taxa de 8,0% a.a., no regime de juros 
compostos, e deve ser amortizado no prazo de seis anos, com os dois primeiros anos de 
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 31 
carência. Determinar o valor das quatro prestações anuais, iguais e sucessivas, que deve-
rão ser pagas a partir do final do 3o. ano, nas seguintes hipóteses: 
 os juros devidos nos dois primeiros anos de carência são pagos no final de cada ano; 
($15.096,04) 
 os juros devidos nos dois primeiros anos de carência não são pagos, mas sim capitali-
zados. ($17.608,02) 
7. Uma compra é financiada em seis prestações mensais de $10.000,00, que incluem juros 
calculados a uma taxa de 15,0% ao ano, capitalizados mensalmente. Determinar o valor 
do principal desse financiamento, no regime de juros compostos, sabendo-se que a 1a. 
prestação deve ocorrer 30 dias após a data da compra. ($57.460,10) 
8. Uma compra deve ser financiada em seis prestações mensais de $10.000,00, que incluem 
juros calculados com a taxa de 1,25% ao mês. Determinar o valor do principal desse finan-
ciamento, no regime de juros compostos, sabendo-se que a 1a. prestação ocorre no ato da 
realização da compra, a título de entrada. ($58.178,35) 
9. Um equipamento cujo valor à vista é $50.000,00 é financiado a juros compostos de 12,0% 
ao ano, capitalizados mensalmente, no prazo de dois anos. Determinar o valor a ser dado 
a título de entrada, para que o valor das 24 prestações mensais, iguais e sucessivas seja 
limitado a $2.000,00. Assumir que a 1a. prestação ocorre 30 dias após a liberação dos re-
cursos. ($7.513,23) 
10. Uma empresa financia a venda de seus equipamentos em seis vezes, com pagamentos 
mensais e iguais. A 1a. prestação deve ocorrer 30 dias após a realização da venda. Em uma 
venda de $50.000,00 a prestação a ser paga é de $8.640,00. Determinar a taxa de juros 
mensal efetiva da operação, no regime de juros compostos. (1,042%) 
11. Um financiamento de $10.000,00 deve ser liquidado mediante o pagamento de seis pres-
tações mensais de $1.730,00. Determinar a taxa efetiva mensal desse financiamento, no 
regime de juros compostos, nas seguintes hipóteses: 
 a 1a. prestação ocorre 30 dias após a liberação do principal; (1,076%) 
 a 1a. prestação ocorre na mesma data da liberação do principal. (1,516%) 
12. Uma cadeia de lojas de varejo financia os seus produtos num plano de “três vezes sem 
juros“, mediante pagamentos mensais, iguais e sucessivos, a partir de 30 dias da data da 
venda. Assumir mês com 30 dias e determinar o percentual de acréscimo que essa cadeia 
de lojas tem que aplicar nos seus preços à vista, para obter uma remuneração efetiva de 
1,5% ao mês, a juros compostos, nas vendas financiadas por esse plano. (3,015%) 
13. Um banco comercial que opera no regime de juros compostos, com uma taxa efetiva de 
1,2% ao mês, oferece aos seus clientes os seguintes planos de financiamento: 
 “Plano Mensal”: 24 prestações mensais, iguais e sucessivas, com pagamento da 1a. 
prestação 30 dias após a data da operação; 
 “Plano Semestral”: quatro prestações semestrais, iguais e sucessivas, com pagamento 
da 1a. prestação 180 dias após a data da operação. 
Um cliente desse banco deseja tomar um financiamento de $50.000,00, para ser pago, 
em parte pelo Plano Mensal, em parte pelo Plano Semestral. Determinar o valor que deve 
ser financiado em cada plano para que a prestação do “Plano Semestral” seja igual a do 
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 32 
“Plano Mensal”. ($43.039,03 e $6.960,97) 
14. Um banco de investimentos realiza suas operações de crédito com uma taxa efetiva de 
1,4% ao mês, a juros compostos, embora seus contratos registrem, sempre, uma taxa de 
1,0% ao mês. A taxa efetiva de 1,4% ao mês é alcançada através da cobrança antecipada 
de um percentual do valor do principal financiado, de uma só vez, por ocasião da liberação 
dos recursos do financiamento. Determinar o valor do percentual que deve ser cobrado 
antecipadamente, nas seguintes hipóteses: 
 o financiamento será liquidado de uma só vez, no final do 6o. mês após a liberação dos 
recursos; (2,34%) 
 o financiamento será liquidado em seis prestações mensais, iguais e sucessivas, a partir 
do final do 1o. mês da data da liberação dos recursos. (1,36%) 
15. Um investidor efetuou seis depósitos mensais sucessivos de $5.000,00 numa Caderneta 
de Poupança que oferece uma remuneração de 12,0% ao ano, capitalizados mensalmente. 
Determinar o saldo acumulado por esse investidor nessa Caderneta de Poupança, imedia-
tamente após a efetivação do seu último depósito. ($30.760,08) 
16. Uma dívida deve ser liquidada com dez prestações trimestrais de $8.000,00, e os juros 
cobrados nesse financiamento correspondem a 3,5% ao trimestre, no regime de juros 
compostos. Sabendo-se que a 1a. prestação ocorre 90 dias após a liberação dos recursos, 
determinar o valor do pagamento único no final do 10o. trimestre, que liquidaria essa dí-
vida. ($93.851,15) 
17. Um investidor efetuou oito depósitos trimestrais consecutivos de mesmo valor numa Ca-
derneta de Poupança que remunera seus depósitos a juros compostos, com uma taxa de 
15,0% ao ano, capitalizados trimestralmente. Determinar o valor desses depósitos trimes-
trais para que esse investidor possa retirar dessa Caderneta de Poupança a quantia de 
$20.000,00, no final do 8o. trimestre, imediatamente após a efetivação do seu último de-
pósito. ($2.189,97) 
18. Um investidor efetua três depósitos de mesmo valor, no final de janeiro, fevereiro e 
março, num banco que remunera seus depósitos a juros compostos, com uma taxa efetiva 
de 1,2% ao mês. No final de dezembro do mesmo ano, o total acumulado por esse inves-
tidor, através desses depósitos, é $50.000,00. Determinar o valor desses depósitos men-
sais, assumindo-se mês com 30 dias. ($14.791,87) 
19. Um banco de investimentos opera com uma taxa de 12,0% ao ano, capitalizados mensal-
mente, no regime de juros compostos. Um cliente tomou um financiamento que deve ser 
liquidado em 12 prestações mensais, a 1a. delas 30 dias após a liberação dos recursos. 
Determinar o principal desse financiamento sabendo-se que as seis primeiras prestações 
têm valor de $2.000,00 e as últimas seis, $4.000,00. ($33.429,35) 
20. Uma debênture foi emitida com um valor de resgate de $100.000,00, no final de oito anos, 
além de 16 cupons semestrais de $4.500,00. No regime de juros compostos, determinar: 
 seu preço de venda para que o comprador do título tenha uma remuneração efetiva 
de 10,0% ao ano até seu vencimento. ($95.836,94) 
 a rentabilidade efetiva anual para um investidor que adquira esse título, na data da 
sua emissão, pelo preço de $97.000,00 e que o conserve até seu vencimento. (9,77%) 
 
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 33 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS E SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 
Inúmeras vezes nos deparamos com situações nas quais é necessário substituir um conjunto 
de fluxos de caixa por um outro. É, por exemplo, o caso quandorenegociamos uma dívida ou 
um financiamento. Do ponto de vista do credor, a renegociação só faz sentido se as novas 
condições não implicarem em perda, em relação ao contrato original (a menos que, obvia-
mente, a chance da inadimplência seja muito elevada); do ponto de vista do mutuário, é ne-
cessário que as novas condições não sejam piores do que inicialmente acordado. 
Nessas circunstâncias, as partes vão procurar entrar em acordo com respeito a um valor co-
mum e equivalente ao débito (e ao crédito), aplicando o conceito de equivalência de capitais. 
Dois fluxos de capitais são equivalentes quando seus valores forem iguais, para uma 
mesma taxa de juros e uma mesma data focal, no regime de juros compostos. 
A data focal diz respeito ao período para o qual os fluxos são analisados. Um corolário do 
conceito é que dois fluxos de caixa equivalentes em uma data focal serão equivalentes para 
qualquer outra. Com base nesse conceito, dois exemplos imediatos de fluxos equivalentes 
surgem: o valor presente e o valor futuro. O valor presente indica o valor hoje — a data focal 
é o período 0 — de um fluxo de caixa qualquer e, portanto, constitui uma alternativa natural 
ao fluxo. Ou seja, é indiferente receber o valor presente hoje, ou o fluxo correspondente dado 
uma taxa de juros. O caso do valor futuro é semelhante, exceto que a data focal é algum pe-
ríodo no futuro. No entanto, a interpretação é a mesma: é indiferente receber o fluxo distri-
buído no tempo, ou um único valor em certo período à frente. 
Uma aplicação natural para o conceito de equivalência ocorre quando uma empresa procura 
o seu banco para propor um novo fluxo de pagamentos para sua dívida. É necessário, então, 
determinar o valor da dívida neste momento, para avaliar se o fluxo proposto é equivalente. 
Exemplo 
Uma empresa contraiu uma dívida, a ser liquidada em três parcelas mensais de $100 e mais 
um pagamento no quinto mês, de $200. Após pagar a primeira parcela, propôs a seu banco 
avaliar a substituição do fluxo contratado, por três pagamentos iguais e sucessivos, o primeiro 
em três meses. Ou, alternativamente, liquidar a dívida. A taxa de juros praticada naquele mo-
mento, para esse tipo de financiamento, era de 2,0% a.m.. 
Esse é um exemplo em que se aplica completamente o conceito de equivalência, pois se trata 
de determinar o valor das prestações do novo fluxo, bem como o valor que liquidaria a dívida. 
Antes de tudo, note que nenhuma informação é dada sobre a taxa de juros relativa ao con-
trato original, nem é necessário: uma vez contraída a dívida, tudo o que resta é um fluxo de 
caixa a ser honrado. Por outro lado, do ponto de vista do banco só é possível uma alteração 
do contrato se: 
 a taxa de juros vigente for igual ou superior à utilizada inicialmente, pois, de outra 
forma, ele sairia perdendo; 
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 34 
 o valor do fluxo proposto for equivalente ao valor da dívida existe, à taxa de juros vi-
gente. 
A empresa, de seu lado: 
 não proporá um fluxo, cujo valor supere o da dívida existente, à taxa de juros vigente; 
 só fará a proposta se a taxa de juros vigente for menor ou igual à original, exceto se as 
condições de pagamento compensarem o pagamento de uma taxa maior. 
Para atender ao interesse das partes, é necessário que o valor do fluxo proposto seja igual ao 
valor da dívida existente. Os credores não aceitam receber menos; os mutuários não desejam 
pagar mais. Os diagramas de fluxo de caixa da dívida original, da dívida atual e da proposta 
são os seguintes: 
Original 
Atual 
Proposta 
O momento atual corresponde ao período 1 do fluxo original e, para fins de comparação, foi 
mantido como tal. 
Tendo em vista que o fluxo proposto deve ser equivalente ao fluxo existente no momento 
atual, a seguinte equação de valor deve prevalecer: 







1,02
1
1,02
1
1,02
1
 X
1,02
200
1,02
100
1,02
100
543421
 
X = $136,70. 
A interpretação desse resultado é simples: para que o valor presente da dívida atual, descon-
tada a 2%, seja igual ao valor presente do fluxo proposto, é necessário que X seja igual a 
$136,70. E esses valores precisam ser iguais para que as partes vejam os dois fluxos como 
equivalentes e a negociação entre a empresa e o banco logre êxito. 
0 1 2 3 
 
4 
 
5 
 
100 
 200 
 
1 2 3 4 5 
100 
200 
1 2 3 4 5 
X 
6 
Valor da 
dívida 
Valor da 
proposta 
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 35 
No caso de a empresa liquidar a dívida logo após o pagamento da primeira parcela, tratar-se-
ia de substituir o fluxo atual por um único pagamento — chamemo-lo de P — que atendesse, 
igualmente, ao conceito de equivalência e, em conseqüência, à seguinte equação de valor: 
1,02
200
1,02
100
1,02
100
 P
421

 
 
P = $378,93. 
Conclusão: à taxa de juros de 2,0% a.m., é indiferente para as partes um único pagamento de 
$378,93, ou três parcelas de $136,70, a primeira sendo paga daqui a três meses. 
Nesse caso, a conveniência das partes é que determinaria a solução final. 
Sistemas de Amortização 
As operações de empréstimo e financiamento envolvem um valor, um regime de capitalização 
— normalmente, de juros compostos quando o prazo supera o ano — e uma forma de resgate, 
que pode se dar por um pagamento único no vencimento, ou por um conjunto de prestações, 
durante certo período. 
Quando o resgate ocorre a partir de um conjunto de prestações, há vários sistemas de amor-
tização que podem ser utilizados, destacando-se o Sistema Americano, o Sistema Francês (Ta-
bela Price) e o Sistema de Amortização Constante (SAC). 
Suponha um financiamento de $10.000, a ser liquidado em cinco prestações, à taxa de juros 
de 10% e utilizemos os sistemas de amortização indicados para determinar os fluxos de caixa 
correspondentes. 
Sistema de Amortização Americano 
Os juros são pagos ao final de cada período e o principal é pago no último período, 
junto com a última parcela de juros. 
Como o principal só é pago no final, os juros são iguais e calculados sobre esse valor até a 
última prestação. A planilha correspondente a esse plano de financiamento é apresentada 
abaixo. 
Valor da 
dívida 
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 36 
TABELA 2 
Como se depreende da tabela, os juros são calculados em relação ao valor do financiamento 
e são pagos periodicamente, mantendo o principal intacto até o último período, quando o 
financiamento é liquidado e a parcela restante de juros paga. 
Assim, o valor dos juros, constante, em cada período é igual a 
Juros = i x P 
O fluxo de caixa correspondente é o seguinte: 
Sistema de Amortização Francês (Tabela Price) 
O principal é liquidado através de prestações iguais e sucessivas, pagas ao final de 
cada período. 
Nesse sistema, que já foi visto quando discutimos Anuidades, cada prestação contém parcelas 
variáveis de juros e de amortização, como mostra a planilha a seguir. 
Período Saldo Juros no Saldo
Inicial Período Final Juros Amortização Total
0 - - 10.000,00 - - - 
1 10.000,00 1.000,00 11.000,00 1.000,00 - 1.000,00 
2 10.000,00 1.000,00 11.000,00 1.000,00 - 1.000,00 
3 10.000,00 1.000,00 11.000,00 1.000,00 - 1.000,00 
4 10.000,00 1.000,00 11.000,00 1.000,00 - 1.000,00 
5 10.000,00 1.000,00 11.000,00 1.000,00 10.000,00 11.000,00 
Pagamento ao fim do período
0 
1 2 3 4 5 
1.000 
10.000 
10.000 
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 37 
TABELA 3 
Os juros são calculados sobre o saldo do financiamento e, como a prestação é constante, à 
medida que os períodosse sucedem, essa prestação contém mais de amortização que de ju-
ros. 
O que caracteriza, portanto, este plano de financiamento é a prestação constante, determi-
nada por uma equação de valor que responde à seguinte pergunta: que conjunto de paga-
mento iguais, periódicos e sucessivos, no prazo estabelecido e à taxa de juros escolhida, tem 
o valor presente igual ao principal financiado? 
O fluxo de caixa de um plano de financiamento que utiliza a Tabela Price é 
Sistema de Amortização Constante (SAC) 
O principal é liquidado através de um conjunto de pagamentos, no qual as amortiza-
ções são iguais e as prestações, pagas ao final de cada período, contém parcela vari-
ável de juros. 
Agora, constante é o valor da amortização contida em cada prestação e calculada pela relação 
entre o principal financiado e o número de períodos: 
n
P
oAmortizaçã 
 
Período Saldo Juros no Saldo
Inicial Período Final Juros Amortização Total
0 - - 10.000,00 - - - 
1 10.000,00 1.000,00 11.000,00 1.000,00 1.637,97 2.637,97 
2 8.362,03 836,20 9.198,23 836,20 1.801,77 2.637,97 
3 6.560,25 656,03 7.216,28 656,03 1.981,95 2.637,97 
4 4.578,30 457,83 5.036,13 457,83 2.180,14 2.637,97 
5 2.398,16 239,82 2.637,97 239,82 2.398,16 2.637,97 
Pagamento ao fim do período
0 
1 2 3 4 5 
2.637,97 
10.000 
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 38 
TABELA 4 
Os juros são calculados sobre o saldo do financiamento e, como a amortização é constante, à 
medida que os períodos se sucedem, as prestações, diferentes, refletem a redução periódica 
dos juros. 
O fluxo de caixa de um plano de financiamento que utiliza o SAC é o seguinte. 
Cabe assinalar, finalmente, que os três planos constituem, apenas, fórmulas alternativas de 
liquidação do financiamento, em cinco parcelas, e equivalentes, vez que todas têm o mesmo 
valor presente: $10.000. 
Exercícios 
 
1. Um principal de $10.000,00 é financiado pelo prazo de quatro meses, a uma taxa de 1,5% 
ao mês, no regime de juros compostos. Determinar os valores dos juros contidos na 4a. 
prestação, respectivamente no Sistema PRICE e no Sistema de Amortizações Constantes – 
SAC. ($38,34 e $37,50) 
2. Um financiamento com um principal de $10.000,00 deve ser liquidado num prazo de cinco 
anos, a uma taxa de juros compostos de 9% ao ano, por meio dos seguintes planos: 
 sistema Price (prestações iguais); 
 sistema de amortizações constantes – SAC; 
 sistema misto, em que cada prestação é composta de 80% da prestação do sistema 
Price, e 20% da prestação do sistema de amortização constantes. 
Determinar o valor dos juros contidos na 3ª prestação de cada Sistema. ($585,70; $540,00 
Período Saldo Juros no Saldo
Inicial Período Final Juros Amortização Total
0 - - 10.000,00 - - - 
1 10.000,00 1.000,00 11.000,00 1.000,00 2.000,00 3.000,00 
2 8.000,00 800,00 8.800,00 800,00 2.000,00 2.800,00 
3 6.000,00 600,00 6.600,00 600,00 2.000,00 2.600,00 
4 4.000,00 400,00 4.400,00 400,00 2.000,00 2.400,00 
5 2.000,00 200,00 2.200,00 200,00 2.000,00 2.200,00 
Pagamento ao fim do período
0 
1 2 3 4 5 
3.000 
10.000 
2.800 
2.600 
2.400 
2.200 
Matemática Financeira Prof. Roberto Moreno 
 
 
 39 
e $576,56) 
3. Uma instituição financeira oferece financiamentos de 24 meses e deseja que todos os seus 
planos de financiamento sejam equivalentes, no regime de juros compostos, a uma taxa 
efetiva de 1,5% ao mês. Considerar um principal de $10.000,00 e determinar os valores 
das parcelas dos seguintes planos de financiamento: 
 Plano A: 24 prestações mensais, a primeira 30 dias após a liberação dos recursos; 
($499,24) 
 Plano B: 24 prestações mensais de $250,00, mais quatro prestações semestrais iguais; 
($1.552,65) 
 Plano C: quatro prestações semestrais de $1.000,00, mais 24 prestações mensais 
iguais; ($338,72) 
 Plano D: 24 prestações mensais de $200,00, mais duas parcelas intermediárias iguais, 
sendo a primeira no final do 8o. mês e a segunda no final do 16o. mês. ($3.576,86) 
4. Um financiamento de $10.000,00 deve ser liquidado com 18 prestações mensais a uma 
taxa efetiva de 1,5% ao mês, no regime de juros compostos. Determinar: 
 o valor da prestação mensal, sabendo-se que o 1o. pagamento ocorre no ato da libera-
ção dos recursos do financiamento; 
 o novo valor da prestação mensal, caso seja efetuado o pagamento de uma parcela 
intermediária de $1.000,00, no final do 10o. mês, a contar da data da liberação dos 
recursos. 
Observar que as prestações mensais são antecipadas, e assumir que no final do 10o. mês 
são realizados os pagamentos da parcela intermediária e da prestação mensal correspon-
dente. ($628,63 e $574,46) 
5. Um financiamento de $10.000,00 deve ser liquidado no prazo de 12 meses e a uma taxa 
efetiva de 1,5% ao mês, no regime de juros compostos. 
Determinar os valores dos seguintes planos equivalentes para a liquidação desse financi-
amento: 
 Plano A: valor da prestação mensal, sabendo-se que o 1o. pagamento ocorre um mês 
após a liberação do financiamento; ($916,80) 
 Plano B: novo valor dessa prestação, no caso de haver pagamento de duas parcelas 
intermediárias de R$1.000,00, sendo a 1a. no final do 4o. mês e a 2a. no final do 7o. mês. 
Considerar que nesses meses são efetuados os pagamentos da parcela intermediária 
de $1.000,00 e também da prestação mensal correspondente; ($747,81) 
 Plano C: novo valor dessa prestação, no caso de haver pagamento de duas parcelas 
intermediárias de R$1.000,00, sendo a 1a. no final do 4o. mês e a 2a. no final do 7o. mês. 
Considerar que nesses meses são efetuados apenas os pagamentos da parcela inter-
mediária de $1.000,00, não havendo o pagamento da prestação mensal. ($899,88) 
6. Uma empresa imobiliária vende um imóvel por $100.000,00, e oferece ao seu cliente um 
financiamento com um prazo de 12 meses e a uma taxa efetiva de juros de 1,5% ao mês, 
no regime de juros compostos. O financiamento deve ser liquidado com 12 pagamentos 
mensais iguais, mais duas parcelas intermediárias semestrais de mesmo valor. Determinar 
os valores da prestação mensal e das parcelas semestrais, sabendo-se que o valor de cada 
parcela semestral corresponde a três vezes o valor da prestação mensal. ($6.188,00 e $ 
Matemática Financeira Prof. Roberto Moreno 
 
 
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(18.564,00) 
7. Uma financeira oferece dois planos equivalentes de financiamento, um com quatro paga-
mentos trimestrais e outro com dois pagamentos semestrais. A taxa cobrada nesses dois 
planos é igual a 3% ao trimestre, a juros compostos. Determinar o percentual do valor do 
financiamento a ser pago à vista, caso se opte pelo pagamento semestral, de modo a fazer 
com que o valor das prestações semestrais seja igual ao valor das prestações trimestrais. 
(50,74%) 
8. Um financiamento cujo principal é $10.000,00 deve ser liquidado por meio de 12 presta-
ções mensais, a serem pagas a partir de 30 dias após a liberação dos recursos. As seis 
primeiras prestações são iguais a $1.000,00 e as seis últimas prestações também devem 
ter valores iguais. Determinar o valor dessas últimas seis prestações para que a taxa efetiva 
de juros desse financiamento seja igual a 1,2% ao mês, no regime de juros compostos. 
($792,07) 
 
9. Determinar o valor de X que torna equivalentes os dois fluxos de caixa indicados na tabela 
a seguir, a uma taxa de 8% ao ano, a juros compostos. ($855,49) 
Ano Fluxo A Fluxo B 
0 0,00 0,00 
1 0,00 700,00 
2 1.000,00 700,00 
3 1.000,00 700,00 
4 1.000,00