Resolução da prova unidade 2

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Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo 
 
DISCIPLINA: CÁLCULO II – 2017.1 
PROVA 2 - MANHÃ 
RESOLUÇÃO
1) Calcular a área limitada pela curva 𝑦 =
𝑐
𝑥
 e pelo eixo dos 𝑥 no intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 
sendo 𝑎 e 𝑏 positivos. 
𝑆 = ∫
𝑐
𝑥
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 = 𝑐 ln 𝑥 |
𝑏
𝑎
= 𝑐(ln 𝑏 − ln 𝑎) =
𝑏
𝑎
 
= 𝑐. 𝑙𝑛 (
𝑏
𝑎
) 
2) Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo 
dado: 
a) 𝑦 = ln 𝑥 , 𝑦 = −1, 𝑦 = 2 e 𝑥 = 0 (eixo y) 
𝑦 = ln 𝑥 ⇒ 𝑥 = 𝑒𝑦 
𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑒𝑦)2𝑑𝑦 =
𝜋
2
𝑒2𝑦
2
−1
|
2
−1
=
𝜋
2
(𝑒4 − 𝑒−2) 𝑢. 𝑣 
b) 𝑦2 = 16𝑥 e 𝑦 = 4𝑥 (eixo x) 
Elevando 𝑦 = 4𝑥 ao quadrado e igualando a 𝑦2 = 16𝑥 temos: 
𝑦2 = 16𝑥2 
16𝑥 = 16𝑥2 
16𝑥2 − 16𝑥 = 0 
16𝑥(𝑥 − 1) = 0 (÷ 16) 
𝑥(𝑥 − 1) = 0 
𝑥 = 0 ou 𝑥 = 1 
𝑉 = 𝜋 ∫ (16𝑥 − 16𝑥²)𝑑𝑥 = 𝜋 (
16𝑥²
2
−
16𝑥3
3
)
1
0
|
1
0
= 𝜋 (8 −
16
3
) =
8𝜋
3
 𝑢. 𝑣 
 
 
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3) Calcular o comprimento de arco da função 𝑦2 = 𝑥3, 1 ≤ 𝑥 ≤ 4 
𝑦 = √𝑥3 = 𝑥
1
2 
𝑦′ =
3
2
𝑥
1
2 
𝐿 = ∫ √1 +
9
4
𝑥 𝑑𝑥
4
1
 
𝐿 =
4
9
∫ √𝑢 𝑑𝑢 =
4
9
∫ 𝑢
1
2 𝑑𝑢 =
4
1
4
1
 
=
4
9
.
𝑢
3
2
3
2
 |
4
1
=
4
9
.
2
3
(1 +
9
4
𝑥)
3
2
|
4
1
=
8
27
(10
3
2 − (
13
4
)
3
2
) 𝑢. 𝑐 
Na forma simplificada, temos: 
=
1
27
(40
3
2 − 13
3
2) 𝑢. 𝑐 
4) Encontrar a área da superfície obtida pela curva 𝑦 = √𝑅2 − 𝑥², −𝑅 ≤ 𝑥 ≤ 𝑅, ao 
redor do eixo x. 
𝑦 = (𝑅2 − 𝑥²)
1
2 =
1
2
(𝑅2 − 𝑥2)−
1
2(2𝑥) = −
𝑥
√𝑅2 − 𝑥²
 
𝑆𝑥 = 2𝜋 ∫ √𝑅2 − 𝑥2
𝑅
−𝑅
. √(
𝑥
√𝑅2 − 𝑥2
)
2
+ 1 𝑑𝑥 = 
= 2𝜋 ∫ √𝑅2 − 𝑥2
𝑅
−𝑅
. √
𝑥2
𝑅2 − 𝑥2
+ 1 𝑑𝑥 = 
= 2𝜋 ∫ √𝑅2 − 𝑥2
𝑅
−𝑅
. √
𝑥2+𝑅2−𝑥2
𝑅2−𝑥2
 𝑑𝑥 = 
= 2𝜋 ∫ √𝑅2 − 𝑥2
𝑅
−𝑅
.
√𝑅²
√𝑅2 − 𝑥2
 𝑑𝑥 = 
= 2𝜋 𝑅 ∫ 𝑑𝑥
𝑅
−𝑅
= 2𝜋 𝑅 𝑥 |
𝑅
−𝑅
= 
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= 2𝜋 𝑅(𝑅 − (−𝑅)) = 2𝜋 𝑅(2𝑅) = 4𝜋𝑅2 𝑢. 𝑎 
5) Um certo estudo indica que, daqui a 𝑥 anos, a população de uma cidade crescera a 
taxa de 117+200 𝑥 pessoas por ano. Qual será o amento da cidade nos próximos 10 
anos? 
𝑃′(𝑥) = (117 + 200𝑥)𝑑𝑥 
∫ 𝑃′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ (117 + 200𝑥)
10
0
10
0
𝑑𝑥 
𝑃(10) − 𝑃(0) = 117𝑥 + 200
𝑥²
2
|
10
0
= 
𝑃(10) = 1170 + 10.000 
𝑃(10) = 11.170 𝑝𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎𝑠