Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL

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2012 
Robson Fernando Missio e 
Alexandre Leseur dos Santos 
UFPR Campus Palotina 
08/06/2012 
ESTATÍSITICA EXPERIMENTAL 
 
2 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
CONTEÚDO 
DELINEAMENTOS EXPERIMENTAIS ............................................................................. 3 
DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO – DIC ................................................. 3 
DELINEAMENTO EM BLOCOS CASUALIZADOS – DBC .................................................... 8 
DELINEAMENTO EM QUADRADO LATINO – DQL ........................................................ 13 
EXERCÍCIOS .................................................................................................................. 18 
TESTES DE MÉDIAS ................................................................................................. 21 
TESTE DE TUKEY .......................................................................................................... 22 
TESTE DE DUNCAN ...................................................................................................... 24 
EXERCÍCIOS .................................................................................................................. 27 
ARRANJOS EXPERIMENTAIS .................................................................................... 28 
FATORIAL ..................................................................................................................... 28 
 
 
 
3 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
DELINEAMENTOS EXPERIMENTAIS 
 
DELINEAMENTO INTEIRAMENTE 
CASUALIZADO – DIC 
Características: 
 Os tratamentos são distribuídos aleatoriamente nas parcelas. 
 Recomendado para experimentos realizados em condições controladas e 
homogêneas. 
Vantagens: 
 Simplicidade. 
 Grande flexibilidade (qualquer nº de tratamentos e repetições podem ser 
usados). 
 Pode ser utilizado mesmo com diferentes nº de repetições entre tratamentos. 
 A perda de parcelas causa poucos problemas do que em outros delineamentos. 
 Possibilita ter igual nº de graus de liberdade do erro. 
Desvantagens: 
 Baixa precisão 
 Não há controle local; 
 Toda variação, exceto de tratamentos, vai para o resíduo, diminuindo a 
precisão experimental; 
Modelo estatístico: 
Seu modelo estatístico, considerando t tratamentos e r repetições, é 
 
Onde: 
Yij é o valor observado no i-ésimo tratamento da j-ésima repetição; 
m é a média geral, comum a todas as observações; 
ti é o efeito do i-ésimo tratamento; 
eij é o erro aleatório associado à observação Yij , tal que 
 
 
 Nas tr parcelas do experimento (UE) são casualizados os t tratamentos e suas 
r repetições. Suponha, por exemplo, um experimento delineado em DIC, com cinco 
tratamentos (A, B,..., E) e quatro repetições (1, 2, ..., 4) 
 
4 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
 
B C E D A 
E A C B D 
D B E A C 
C E B D A 
 
A variável resposta aleatória Yij é descrita a seguir: 
Tratamento Repetição Total 
(Yi.) 
Média 
( ̅ ) 1 2 ... r 
1 Y11 Y12 ... Y1r Y1. ̅ 
2 Y21 Y22 ... Y2r Y2. ̅ 
... ... ... ... ... ... ... 
t Yt1 Yt2 ... Ytr Yt. ̅ 
Total Y.. ̅ 
Com i=1, 2, ..., t e j=1, 2, ..., r 
 ∑ ; ̅ 
 
 
; ∑∑ ∑ ; ̅ 
 
 
 
 
EXEMPLO: Dados médios do diâmetro à altura do peito (DAP) de parcelas de um experimento 
de competições de 10 clones de Eucalyptus. 
Clones Repetições Total 
(Yi.) 1 2 3 4 
1 16,0 16,4 14,1 11,7 58,2 
2 14,3 14,5 13,8 14,6 57,2 
3 14,7 15,6 11,6 15,0 56,9 
4 13,4 13,1 14,7 15,1 56,5 
5 11,6 10,5 15,9 14,0 52,0 
6 11,0 15,0 10,7 13,0 49,7 
7 13,1 10,3 14,3 10,5 48,2 
8 10,3 13,2 10,2 13,0 46,7 
9 8,5 8,6 9,5 9,4 36,0 
10 8,2 8,4 9,3 9,2 35,1 
Total 496,5 
 
Soma de quadrado total: 
Fator de correção = 
 ∑ 
 
= 
 
 
 
 
5 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
 ∑ 
 ∑ 
 
 ∑ 
∑ 
∑ 
 
 
 
 
Soma de quadrado de tratamento: 
 
 
 
∑ 
 
 
 
 
Soma de quadrado do resíduo (erro): 
 
 
Com isso podemos fazer o quadro da análise da variância (ANOVA). 
Fonte de variação GL SQ QM F 
Tratamento (clones) t-1 = 9 160,98 17,89 6,91 
Resíduo t(r-1)= 30 77,56 2,59 
Total tr-1= 39 238,54 
Onde: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Região de não Rejeição de H0 
(1-α) 
Região de Rejeição de H0 
(α) 
 
6 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
 
Figura. Curva de F com suas regiões de decisão. 
 
Hipóteses a ser testada pelo teste F: 
H0: mi = 0 vs H1: mi ≠ 0 
Se: 
Fcalculado ≤ Ftabelado  Aceita-se H0, ou seja, as médias de tratamentos são iguais ou 
meramente ao acaso. 
Fcalculado > Ftabelado  Rejeita-se H0, ou seja, existe diferenças entre pelo menos duas 
médias de tratamentos 
 
Valor do F tabelado: 
- Graus de liberdade do numerador  GL tratamento 
- Graus de liberdade do denominador  GL resíduo 
 
Seguindo o exemplo acima: 
Ao nível de 5% de probabilidade: F (9; 30) = 2,21 
Ao nível de 1% de probabilidade: F (9; 30) = 3,07 
Conclusão: Como o F calculado foi maior que o F tabelado, ao nível de 1% de 
probabilidade, rejeita-se a hipótese H0, ou seja, existe diferenças entre pelo menos 
duas médias de tratamentos (clones). 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
APLICAÇÃO UTILIZANDO O SAS 
 
 
 
 
 
8 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
DELINEAMENTO EM BLOCOS 
CASUALIZADOS – DBC 
Características: 
 Utilizados quando as condições experimentais não são completamente 
homogêneas; 
 Dividir o experimento em blocos para ter homogeneidade dentro dos blocos; 
 Cada bloco contém uma repetição de cada tratamento; 
 Contempla os três princípios básicos da experimentação: 
 Repetição  existe pelo menos uma repetição de cada tratamento no 
experimento 
 Casualização  os tratamentos são distribuídos ao acaso dentro de 
cada bloco 
 Controle local  divisão da área experimental em blocos garante a 
uniformidade do experimento 
Vantagens: 
 O controle local reduz a variação que iria para o resíduo, melhorando a 
precisão do experimento. 
 Não há restrição quanto a localização dos blocos, dando maior flexibilidade de 
instalação e generalização dos resultados. 
 Qualquer nº de tratamentos ou repetição pode ser utilizado, desde que todos 
os tratamentos ocorram o mesmo nº de vezes em cada bloco. 
 A análise de variância é simples. 
Desvantagens: 
 A perda de parcela dificulta um pouco a análise; 
 O grande nº de tratamentos dificulta encontrar área homogênea em toda a 
extensão do bloco, reduzindo a eficiência do delineamento; 
Modelo estatístico: 
Seu modelo estatístico, considerando I tratamentos e J blocos, é 
 
Onde: 
Yij é o valor observado no i-ésimo tratamento do j-ésimo bloco; 
m é a média geral, comum a todas as observações; 
ti é o efeito do i-ésimo tratamento; 
 
9 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
bj é o efeito do j-ésimo bloco; 
eij é o erro aleatório associado à observação Yij , tal que 
 ~ 2ije N 0;σ
 
 No experimento são casualizados os i tratamentos em cada bloco e, nasequência, os j blocos. Suponha, por exemplo, um experimento delineado em DBC, 
com cinco tratamentos (A, B,..., E) e quatro blocos (1, 2, ..., 4) 
Bloco 1 B C E D A 
 
Bloco 2 E A C B D 
 
Bloco 4 D B E A C 
 
Bloco 3 C E B D A 
 
A variável resposta aleatória Yij é descrita a seguir: 
Tratamento Bloco Total 
(Yi.) 
Média 
1 2 ... b ( ̅ ) 
1 Y11 Y12 ... Y1b Y1. ̅ 
2 Y21 Y22 ... Y2b Y2. ̅ 
... ... ... ... ... ... ... 
t Yt1 Yt2 ... Yt. Yt. ̅ 
Total Y.1 Y.2 ... Y.b Y.. ̅ 
Com i=1, 2, ..., t e j=1, 2, ..., b 
 
Com as seguintes hipóteses a serem testadas 
H0: ti = 0 vs H1: ti ≠ 0
 
Ou seja, se há ou não efeito de tratamento. 
 
ANOVA em DBC 
 Para o processamento da ANOVA, a soma de quadrados total (SQtotal), 
associada a tb-1 graus de liberdade e que fornece a variação total dos dados, é 
decomposta nas fontes entre tratamentos, entre blocos e resíduo (erro). Este último 
corresponde à interação de tratamentos por blocos. 
 
 
 
 
 
10 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
 
 
 
Exemplo. Considere o teor protéico (%) avaliado em 11 cultivares de feijoeiro em um 
ensaio em DBC, com três repetições. Processe a ANOVA dos dados. 
Cultivares Blocos Total 
(Yi.) 
Média 
( ̅ 1 2 3 
1.Rubá 27,2 26,1 26,2 79,5 26,5 
2.Kaboon 26,6 26,7 26,7 79,9 26,6 
3.Pérola 29,5 29,4 29,5 88,5 29,5 
4.Perry marrow 30,9 31,3 31,4 93,6 31,2 
5.Michelite 27,7 27,9 27,3 82,8 27,6 
6.Cornel 33,7 33,5 33,3 100,5 33,5 
7.Tu 28,4 28,5 28,3 85,2 28,4 
8.AB136 27,3 27,3 27,4 82,0 27,3 
9.MDRK 30,1 30,2 29,9 90,2 30,1 
10.México 222 22,4 21,7 22,3 66,5 22,2 
11.Roko RC 45,7 45,9 46,3 138,0 46,0 
Total 329,5 328,5 328,6 986,8 29,9 
 
Cálculo das Somas de Quadrados 
Soma de quadrado total: 
Fator de correção = 
 ∑ 
 
= 
 
 
 
 ∑ 
 ∑ 
 
 ∑ 
 
Soma de quadrado de tratamento: 
 
 
 
∑ 
 
 
 
 
Soma de quadrado de bloco 
 
 
 
∑ 
 
 
 
 
Soma de quadrado do resíduo (erro): 
 
11 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
 
 
Com isso podemos fazer o quadro da análise da variância (ANOVA). 
Fonte de variação GL SQ QM F 
Bloco b-1= 2 0,06 
Tratamento (clones) t-1 = 10 1109,33 110,93 1331,48 
Resíduo (b-1)(t-1)= 20 1,67 0,08 
Total tb-1= 32 1111,06 
F(0,05; 10; 20)= 2,35; F(0,01; 10; 20)= 3,37 
 
Onde: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A expressão do teste F reflete a razão entre as variâncias de tratamento e a do 
erro, com distribuição de qui-quadrado e t-1 gl para o numerador e (t-1)(b-1) gl para o 
denominador. 
 Rejeita-se H0 se o valor calculado de F for maior ou igual ao valor de F obtido 
de tabela, tal como: 
 
 Não se aplica teste F para a fonte de variação de blocos, já que com a 
introdução do controle local gera-se uma restrição à casualização. Em conseqüência, 
tal fonte deveria ser testada com um outro erro gerado desta restrição. Outro aspecto 
relevante diz respeito à eficiência dos DBC sobre os DIC; ou seja quando usar um e 
outro. Para tanto, se denotarmos eficiência por E (%), veremos que ela é a razão entre 
os QM dos erros de DBC e DIC. O cálculo de E responde a inquietante questão do 
experimentador se teria sido melhor usar DBC ao invés de DIC. 
 
 
 
 
 
 
 
12 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
Hipóteses a ser testada pelo teste F: 
H0: m1 = m2 =...= m11 vs H1: m1 ≠ m2 ≠...≠ m11 
Se: 
Fcalculado ≤ Ftabelado  Aceita-se H0, ou seja, as médias de tratamentos são iguais ou 
meramente ao acaso. 
Fcalculado > Ftabelado  Rejeita-se H0, ou seja, existe diferenças entre pelo menos duas 
médias de tratamentos 
 
Valor do F tabelado: 
- Graus de liberdade do numerador  GL tratamento 
- Graus de liberdade do denominador  GL resíduo 
 
Seguindo o exemplo acima: 
Ao nível de 5% de probabilidade: F (10; 20) = 2,35 
Ao nível de 1% de probabilidade: F (10; 20) = 3,37 
Conclusão: Como o F calculado (1131,38) foi maior que o F tabelado (3,37), ao nível de 
1% de probabilidade, rejeita-se a hipótese H0, ou seja, existe diferenças entre pelo 
menos duas médias de tratamentos (cultivares de feijoeiro). 
 
 
 
 
13 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
DELINEAMENTO EM QUADRADO 
LATINO – DQL 
Características: 
 Contempla os três princípios da experimentação: 
i) Repetição; 
ii) Casualização; 
iii) Controle local; 
 O controle local é mais rígido do que os DBC; 
 Controle local é bidirecional  Linhas e Colunas; 
 Cada tratamento deve surgir uma única vez em cada linha e coluna; 
 O número de linhas, colunas e tratamentos deve ser o mesmo; 
 São poucos utilizados em áreas agronômicas, sendo mais utilizado em 
experimentação animal; 
Vantagens: 
 Mais rígido no controle ambiental e local. 
Desvantagens: 
 O número de tratamentos deve ser igual ao de linhas ou colunas e ao de 
repetições, por isso é pouco flexível; 
 Grande redução do número de GL do resíduo; 
Modelo estatístico: 
Identifica quais fatores estão influenciando a variável em estudo. O modelo 
apropriado para a ANOVA em DQL é: 
Yijk = m + ci + lj + tk + eijk 
onde: 
Yijk é o valor observado para a variável em estudo referente ao k-ésimo tratamento, da 
i-ésima linha, da j-ésima coluna; 
m é a média geral comum a todas as observações; 
ci é o efeito da i-ésima coluna sobre o valor Yijk; 
lj é o efeito da j-ésima linha sobre o valor Yijk; 
ti é o efeito do k-ésimo tratamento sobre o valor Yijk; 
 
14 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
eijk é o efeito do erro experimental associado ao valor Yijk; 
 
A casualização de experimentos em DQL 
 O procedimento para casualização exige que se sorteie primeiramente as 
linhas, em seguida se sorteie as colunas e, finalmente, se casualize um tratamento 
para a primeira linha ou coluna, sorteando-se os demais tratamentos para as demais 
linhas. Vejamos o esquema abaixo de um DQL 5 x 5 (tratamentos de A,...,E), a partir do 
qual se sorteará as L linhas, as C colunas e os cinco tratamentos. Note que, neste 
esquema inicial, se alocou o tratamento A na primeira célula (casela da linha 1, coluna 
1), alocando-se os demais tratamentos na linha 1, em ordem alfabética. Deste modo, o 
esquema alocará sempre o A na diagonal do quadrado, como abaixo: 
 C1 C2 C3 C4 C5 
L1 A B C D E 
L2 E A B C D 
L3 D E A B C 
L4 C D E A B 
L5 B C D E A 
A casualização do esquema sistemático acima começa pelo sorteio das linhas: 
 C1 C2 C3 C4 C5 
L4 C D E A B 
L2 E A B C D 
L5 B C D E A 
L1 A B C D E 
L3 D E A B C 
e finaliza pelo sorteio das colunas, resultando em um desenho em que cada 
tratamento surgirá uma única vez em cada linha e em cada coluna. 
 C5 C4 C1 C2 C3 
L4 B A C D E 
L2 D C E A B 
L5 A E B C D 
L1 E D A B C 
L3 C B D E A 
 
A variável resposta aleatória Yijk é descrita a seguir: 
Linha Coluna Total 
1 2 ... p 
1 Y111 Y122 ... Y1pp Y1.. 
2 Y212 Y222 ... Y2pp Y2.. 
... ... ... ... 
p Yp1p Yp2p ... Yppp Yp.. 
Total C1 = Y.1. C2 = Y.2. ... Cp = Y.p. Y... 
 
15 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
 
 
ANOVA em DQL 
Exemplo. Considere dados de produção de frutos de cacau obtidosde 5 cultivares 
ensaiados em quadrado latino. Processe a ANOVA dos dados. 
 Coluna 1 Coluna 2 Coluna 3 Coluna 4 Coluna 5 Total 
Linha 1 108,44 (1) 72,71 (4) 64,96 (3) 103,51 (2) 99,50 (5) 449,12 
Linha 2 60,98 (3) 83,86 (5) 62,21 (4) 88,78 (1) 77,70 (2) 373,53 
Linha 3 78,59 (5) 52,64 (2) 59,36 (1) 62,81 (4) 52,54 (3) 305,94 
Linha 4 43,20 (2) 51,69 (1) 64,93 (5) 62,44 (3) 48,80 (4) 271,06 
Linha 5 69,25 (4) 41,26 (3) 59,63 (2) 70,61 (5) 29,29 (1) 270,04 
Total 360,46 302,16 311,09 388,15 307,83 1669,69 
Números entre parênteses referem-se aos códigos dos tratamentos. 
Antes de processar a ANOVA em DQL é necessário construir uma tabela auxiliar 
contendo os totais de cada um dos tratamentos, para auxiliar no cálculo da soma de 
quadrados, como a seguir: 
Tratamentos Totais (Y..k) 
1 337,56 
2 336,68 
3 282,18 
4 315,78 
5 397,49 
 
 
Cálculo das Somas de Quadrados 
Soma de quadrado total: 
Fator de correção = 
 ∑ 
 
= 
 
 
 
 ∑ 
 ∑ 
 
 ∑ 
 
16 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
 
 
 
Soma de quadrado de coluna: 
 
 
 
∑ 
 
 
 
 
Soma de quadrado de linha: 
 
 
 
∑ 
 
 
 
 
Soma de quadrado de tratamento: 
 
 
 
∑ 
 
 
 
 
Soma de quadrado do resíduo (erro): 
 
 
 
Com isso podemos fazer o quadro da análise da variância (ANOVA). 
Fonte de variação GL SQ QM F 
Linha l-1= 4 4730,98 1182,74 
Coluna c-1= 4 1171,17 292,79 
Tratamento t-1 = 4 1413,61 353,40 2,50 
Resíduo (l-1)(l-2)= 12 1698,38 141,53 
Total lc-1= 24 9014,15 
F(0,05; 4; 12)= 3,26; F(0,01; 4; 12)= 5,41 
 
Hipóteses a ser testada pelo teste F: 
 
17 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
H0: ti = 0 vs H1: ti ≠ 0 
Se: 
Fcalculado ≤ Ftabelado  Aceita-se H0, ou seja, as médias de tratamentos são iguais ou 
meramente ao acaso. 
Fcalculado > Ftabelado  Rejeita-se H0, ou seja, existe diferenças entre pelo menos duas 
médias de tratamentos 
 
Valor do F tabelado: 
- Graus de liberdade do numerador  GL tratamento 
- Graus de liberdade do denominador  GL resíduo 
 
Seguindo o exemplo acima: 
Ao nível de 5% de probabilidade: F (4; 12) = 3,26 
Ao nível de 1% de probabilidade: F (4; 12) = 5,41 
Conclusão: Como o F calculado (2,50) foi menor que o F tabelado (3,26), ao nível de 5% 
de probabilidade, aceita-se a hipótese H0, ou seja, não existe diferenças entre as 
médias de tratamentos (cultivares de cacau). 
 
 
18 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
EXERCÍCIOS 
1. Quais são as vantagens e desvantagens do DIC, DCH e DBC? 
2. Considere um experimento instalado no delineamento inteiramente casualizado, em 
que os tratamentos, são 5 variedades de manga. Cada parcela foi constituída de 3 
árvores e cada tratamento foi repetido 6 vezes. Foi avaliado o número de frutos por 
parcela, descrito a seguir. 
 
 
Repetições Variedades 
A B C D E 
1 356 729 334 566 998 
2 411 826 369 547 880 
3 389 898 321 598 897 
4 337 963 378 521 958 
5 442 812 395 541 964 
6 389 934 344 569 978 
a) Análise de variância; 
b) Existe diferenças estatísticas entre as cinco variedades de manga?Justifique. 
 
3. Em um experimento em DIC, com cinco repetições, quatro cultivares de tomateiro 
foram avaliados para teores de sólidos solúveis totais da polpa dos frutos, conforme 
tabela abaixo: 
 
Cultivares 
Repetições 
I II III IV V 
C1 18,6 18,7 18,88 19,1 19,31 
C2 22,5 21,9 22,3 20,03 21,15 
C3 20 20,4 22,8 19,5 20,21 
C4 16,7 15,2 15,9 16,1 16,60 
 
Para α = 1%, processe: 
a) Análise de variância; 
 
 
19 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
 
4. Para o estudo de porta-enxertos em mangueira, utilizando-se como copa a 
variedade Imperial, instalou-se um experimento em DBC com quatro repetições, 
computando-se o número de frutos na primeira colheita, conforme tabela abaixo: 
Porta-enxerto Blocos 
I II III IV 
Espada 309,6 307,8 306,4 308,8 
Extrema 225,4 232,7 241,8 222,9 
OI. Neto 241,8 242,9 244 244,2 
Carlota 423,3 424,5 425,9 424,7 
Coco 127,6 128,6 129,5 127,9 
Pahiri 122,4 120,1 119,8 118,9 
 
Para α = 5%, processe: 
a) Análise de variância; 
 
5. Quais são as vantagens e desvantagens em se utilizar o delineamento quadrado 
latino? 
6. Faça o esquema da distribuição das parcelas de um experimento em DQL com 7 
tratamentos. 
7. Em um experimento de competição de cultivares de café (A, B, C, D e E) em DQL a 
produtividade de sacas beneficiadas é dada a seguir: 
A 
13,1 
D 
13,2 
B 
24,5 
C 
11,3 
E 
18,5 
C 
10,0 
E 
18,9 
D 
14,2 
B 
23,0 
A 
15,0 
E 
18,0 
B 
23,2 
C 
11,2 
A 
14,1 
D 
12,9 
 
20 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
B 
22,3 
A 
14,2 
E 
18,6 
D 
11,7 
C 
9,9 
D 
12,3 
C 
8,0 
A 
12,7 
E 
17,9 
B 
21,2 
 
Para α = 1%, processe: 
a) Análise de variância; 
8. Em um experimento de competição de cultivares milho (A, B, C e D) em DQL a 
produtividade kg/ planta é dada a seguir: 
A 
1,3 
D 
1,4 
B 
2,4 
C 
1,2 
C 
1,1 
A 
1,5 
D 
1,5 
B 
2,3 
D 
1,8 
B 
2,3 
C 
1,3 
A 
1,5 
B 
2,2 
C 
1,2 
A 
1,6 
D 
1,4 
Para α = 1 e 5%, processe a análise de variância. 
 
 
 
21 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
TESTES DE MÉDIAS 
Na análise de variância testam-se as médias de tratamentos ou fatores, 
mediante aplicação do teste F. Ao se comparar i tratamentos, com i=1,2, ..., I, testam-
se as hipóteses: 
0 1 2 I
H :μ =μ =…=μ
 versus 

1 i i'
H :μ μ
, para algum 
i i'
 
com a hipótese de nulidade (H0) remetendo à igualdade entre médias de tratamentos. 
Uma vez rejeitada H0 e, concomitantemente, aceita H1, fica demonstrada que, ao 
menos um par de médias de tratamentos difere entre si. Este resultado é fornecido 
pela aplicação do teste F. 
 Em casos onde temos apenas dois tratamentos, sejam eles qualitativos ou 
quantitativos, o teste F por si só é conclusivo. Neste caso, um valor de F calculado 
superior ao tabelado, indica a superioridade do tratamento com a maior média, e vice 
versa. 
Contudo, quando dispomos de mais de dois tratamentos em teste, o 
conhecimento sobre quais destas médias diferem entre si não é dado pelo F. Sendo 
assim, entram em cena os testes de comparações múltiplas de médias. 
 Convém lembrar que quando os tratamentos ou fatores forem quantitativos, a 
exemplo de doses crescentes de fertilizantes ou pesticidas, a análise a ser processada é 
a de regressão. Para tratamentos qualitativos, no entanto, tais como ensaios de 
variedades, os testes de comparação de médias são apropriados. 
 Atualmente existem diferentes testes aplicados para comparações de médias 
de tratamentos, dentre eles podemos citar: 
 O teste t de Student; 
 O teste de Tukey; 
 O teste de Duncan; 
 O teste de Dunnett; 
 O teste de Scheffé; 
 O teste de Bonferroni; 
 O teste de Conagin; 
 O teste de Scott-Knott; 
 DMS (Diferença Mínima Significativa); 
 Student-Newman-Keuls; 
Na ocasião apenas os testes de Tukey e Duncan serão abordados nesta disciplina.22 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
TESTE DE TUKEY 
 É um dos testes de médias mais utilizado em experimentação agronômica; 
 Recomendado quando se deseja testar todos os pares de médias entre sí; 
 Requer que todos os níveis de tratamentos tenham o mesmo número de 
repetições; 
 Requer que as comparações sejam duas a duas; 
 Recomendado quando se deseja testar todos os pares de contrastes entre si, 
ou seja, os I(I-1)/2 contrastes. É apropriado para se testar as hipóteses: 
H0: µi - µi’ = 0 vs H1: µi - µi’ ≠ 0 
O teste de Tukey baseia-se na amplitude padronizada ou estudentizada (q), ou 
seja, dividir uma variável aleatória pelo respectivo desvio padrão dos dados. 
A diferença mínima significativa (dms) para o teste Tukey é: 
 √
 
 
 
Onde: 
q é um valor tabelado considerando o número de tratamentos (n) e o grau de 
liberdade do resíduo (α). 
QMres é o valor do quadrado médio do resíduo. 
r é o número de repetições. 
 
 Desse modo, sempre que tivermos um contraste estimado entre duas médias 
| | , a diferença será significativa ao nível de probabilidade da tabela da 
qual se retirou o valor de q (n;α), ou seja, probabilidade igual a 5% (Tabela 1) e 1% 
(Tabela 2). 
Para ilustrar vamos voltar ao caso do exemplo do experimento de competições 
de clones de Eucalyptus da página 2. Neste exemplo temos 10 clones (tratamentos) no 
delineamento em DIC, com quatro repetições. O valor do QMres pode ser retirado do 
quadro da análise de variância (página 3), sendo 2,59. O valor de q (10; 30) tabelado ao 
nível de 5% de probabilidade foi de 4,82. Assim, a diferença mínima significativa pode 
ser calculada, como abaixo: 
 √
 
 
 √
 
 
 
O próximo passo é escrevermos em ordem decrescente as médias de 
tratamentos para maior facilidade de comparação. 
Clones Médias 
( ̅ ) 
1 14,55 
 
23 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
2 14,30 
3 14,22 
4 14,12 
5 13,00 
6 12,42 
7 12,05 
8 11,67 
9 9,00 
10 8,80 
Feito isso, acrescenta-se letras iguais aos contrastes entre duas médias de 
tratamentos que não ultrapassarem o valor de  (3,88), e letras diferentes aos 
contrastes de médias em que este valor for ultrapassado. 
O procedimento para comparação das médias, duas a duas, é mostrado a 
seguir: 
a) Tomando como base a maior média estimada, no exemplo a do Clone 1 (14,55) 
devemos fazer as comparações mostradas abaixo: 
 m1 – m10 = 14,55 – 8,80 = 5,75 > 3,88  diferença significativa entre C1 e C10, 
portanto indica-se estas duas médias por letras diferentes (A e B); 
 m1 – m9 = 14,55 – 9,0 = 5,55 > 3,88  diferença significativa entre C1 e C9, 
portanto indica-se estas duas médias por letras diferentes (A e B); 
 m1 – m8 = 14,55 – 11,67 = 2,88 < 3,88  diferença não significativa entre C1 e 
C8; neste caso concluímos que não existe diferença significativa entre C1 e C8, 
e por consequência (da ordem decrescente das médias) entre C1, C7, C6, C5, 
C4, C3 e C2. Assim identificamos as médias que não diferem entre si (C1, C2, 
C3, C4, C5, C6, C7 e C8), pela mesma letra “A”, como a seguir: 
Clones Médias 
( ̅ ) 
 
C1 14,55 A 
C2 14,30 A 
C3 14,22 A 
C4 14,12 A 
C5 13,00 A 
C6 12,42 A 
C7 12,05 A 
C8 11,67 A 
C9 9,00 B 
C10 8,80 B 
 
b) tomamos a seguir como base, o ponto de interseção entre as duas letras, no 
caso entre os Clones 8 e 9, e façamos a seguinte comparação: 
 m8 – m9 = 11,67 – 9,0 = 2,67 < 3,88  diferença não significativa entre C8 e C9, 
portanto indica-se estas duas médias por letras iguais, (B); 
 m7 – m9 = 12,05 – 9,0 = 3,05 < 3,88  diferença não significativa entre C7 e C9, 
portanto indica-se estas duas médias por letras iguais, (B); 
 
24 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
 m6 – m9 = 12,42 – 9,0 = 3,42 < 3,88  diferença não significativa entre C6 e C9, 
portanto indica-se estas duas médias por letras iguais, (B); 
 m5 – m9 = 13,00 – 9,0 = 4,0 > 3,88  diferença significativa entre C5 e C9, 
portanto indica-se estas duas médias por letras diferentes, mantendo como 
está; 
Clones Médias 
( ̅ ) 
 
C1 14,55 A 
C2 14,30 A 
C3 14,22 A 
C4 14,12 A 
C5 13,00 A 
C6 12,42 AB 
C7 12,05 AB 
C8 11,67 AB 
C9 9,00 B 
C10 8,80 B 
 
 As conclusões sobre os tratamentos são feitas observando-se as médias 
identificadas ou não pela mesma letra. No geral quando não há um tratamento padrão 
(testemunha) devemos nos atentar a responder as seguintes questionamentos: a) Qual 
é o melhor tratamento? b) quais são os tratamentos que não diferem 
significativamente do melhor? c) qual é o pior tratamento? d) quais são os tratamentos 
que não diferem significativamente do melhor? Por outro lado, quando temos entre os 
tratamentos uma testemunha (padrão), geralmente os questionamentos são: a) Qual 
ou quais os tratamentos melhores e piores que a testemunha? b) quais são os 
tratamentos que não diferem significativamente da testemunha? 
 
TESTE DE DUNCAN 
Duncan (1955) sugeriu um novo teste para comparações de médias. 
 
Características: 
 Mais trabalhoso que o teste de Tukey; 
 Resultados mais detalhados; 
 Discriminação dos tratamentos é mais facilitada; 
 Requer que todos os níveis de tratamentos tenham o mesmo número de 
repetições; 
 Requer que as comparações sejam duas a duas; 
 A diferença mínima significativa (z) para o testes de Duncan é alterado a cada 
comparação de médias; 
 
 
25 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
O teste de Duncan, assim como e de Tukey, baseia-se na amplitude 
padronizada ou estudentizada (z). 
A diferença mínima significativa (D) para o teste Duncan é: 
 √
 
 
 
Onde: 
z é um valor tabelado considerando o número de tratamentos (n) e o grau de 
liberdade do resíduo (α) e depende do número de médias envolvidas. 
QMres é o valor do quadrado médio do resíduo. 
r é o número de repetições. 
 
Para o teste de Duncan são necessárias tabelas especiais da variável aleatória z 
(Tabelas 3 e 4), a 5% e 1% de probabilidade. 
Para ilustrar vamos voltar ao caso do exemplo do experimento de competições de 
clones de Eucalyptus da página 2. Neste exemplo temos 10 clones (tratamentos) no 
delineamento em DIC, com quatro repetições. O valor do QMres pode ser retirado do 
quadro da análise de variância (página 3), sendo 2,59. 
As médias de tratamentos em ordem decrescente são: 
Clones Médias 
( ̅ ) 
1 14,55 
2 14,30 
3 14,22 
4 14,12 
5 13,00 
6 12,42 
7 12,05 
8 11,67 
9 9,00 
10 8,80 
 
Para facilitar o teste de Duncan, devemos seguir os passos abaixo: 
1) Obter os valores de D. Como são 10 tratamentos (t), temos 9 possíveis (t – 1) 
valores de D (D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, D9, D10). Para cada um dos valores de 
D, temos um valor de z(n;α) associado: 
Valores de z Valores de D 
Z(2;30;0,05) = 2,89 D2 = 2,33 
Z(3;30;0,05) = 3,04 D3 = 2,45 
Z(4;30;0,05) = 3,12 D4 = 2,51 
Z(5;30;0,05) = 3,20 D5 = 2,58 
Z(6;30;0,05) = 3,25 D6 = 2,62 
Z(7;30;0,05) = 3,29 D7 = 2,65 
Z(8;30;0,05) = 3,32 D8 = 2,67 
Z(9;30;0,05) = 3,35 D9 = 2,70 
 
26 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
Z(10;30;0,05) = 3,37 D10 = 2,71 
 
2) Iniciar o teste comparando a diferença entre a maior e menor média entre os 
tratamentos: 
m1 – m10 = 14,55 – 8,80 = 5,75 > D10 (2,71)  diferença significativa entre C1 
e C10; 
m1 – m9 = 14,55 – 9,00 = 5,55 > D9 (2,70)  diferença significativa entre C1 e 
C9; 
m1 – m8 = 14,55 – 11,67 = 2,88 > D8 (2,67)  diferença significativa entre C1 e 
C8; 
m1 – m7 = 14,55 – 12,05 = 2,50 < D7 (2,65)  diferença não significativa entreC1 e C7; 
Clones Médias 
( ̅ ) 
 
C1 14,55 A 
C2 14,30 AB 
C3 14,22 AB 
C4 14,12 AB 
C5 13,00 AB 
C6 12,42 AB 
C7 12,05 AB 
C8 11,67 B 
C9 9,00 C 
C10 8,80 C 
 
Conclusões: 
- A maior média foi do Clone C1 (14,55), entretanto, esta não difere estatisticamente 
dos clones C2, C3, C4, C5, C6 e C7, pelo teste de Duncan ao nível de 5% de 
probabilidade. 
- A menor média foi do clone C10 (8,80), entretanto esta não difere estatisticamente 
do clone C9, pelo teste de Duncan ao nível de 5% de probabilidade. 
- As médias dos clones C10 e C9, diferem estatisticamente dos demais clones, pelo 
teste de Duncan ao nível de 5% de probabilidade. 
- O clone C1 difere estatisticamente dos clones C8, C9 e C10, pelo teste de Duncan ao 
nível de 5% de probabilidade. 
 
 
27 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
EXERCÍCIOS 
1) Compare os testes de Tukey e Duncan. 
2) Considere os dados da Tabela abaixo. 
 
Teste de Tukey para comparação das médias dos volumes até 8 cm de diâmetro, a 5% 
de significância, na idade de 12 anos. 
Tratamentos Densidade (árv./ha) v8 médio (m3) Comparações 
 
1 (2,5 x 1,2 m) 3333 0,0954 a 
2 (2,5 x 2,0 m) 2000 0,1632 b 
3 (2,5 x 2,8 m) 1428 0,1951 bc 
4 (2,5 x 3,6 m) 1111 0,2340 cd 
5 (2,5 x 4,4 m) 909 0,2726 d 
 
Faça a interpretação dos resultados. 
3) Considere o exercício 2 e 4 (páginas 16 e 17) e realize o teste de Tukey. 
 
 
 
28 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
ARRANJOS EXPERIMENTAIS 
 
FATORIAL 
 Os delineamentos estudados até o momento, DIC, DBC e DQL levam em 
consideração apenas um fator (unifatorial) de cada vez. Os experimentos arranjados 
em esquema fatorial envolvem combinações entre todos os níveis dos vários fatores, 
razão pela qual é denominado fatorial completo, ou apenas parte das combinações, 
caracterizando o fatorial incompleto. É apropriado para casos em que se pretende 
avaliar muitos fatores ou muitos níveis de poucos fatores, simultaneamente. Por 
exemplo, podemos, num experimento com novas linhagens de algodão, combinar 4 
linhagens com 3 espaçamentos, obtendo um fatorial 4x3, onde temos todas as 12 
combinações possíveis. Num experimento de adubação mineral podemos combinar 3 
doses de nitrogênio com 3 de fósforo e 3 de potássio, obtendo um fatorial de 3x3x3, 
com 27 diferentes combinações. 
 
Exemplo da estrutura fatorial: 
 Suponha que um pesquisador queira avaliar dois clones elite de Eucalipto em 
três espaçamentos diferentes, no delineamento em DIC. 
Fatores: Dois  Clones (A e B) e Espaçamento (1, 2 e 3) 
Níveis: três cada 
Tratamentos: 6 
 
 
 Os níveis dos fatores são combinados entre si para formar uma relação de 
tratamentos a serem avaliados num mesmo experimento, conduzido de acordo com 
um delineamento experimental, adequado às condições de uniformidade das unidades 
experimentais. 
 Alguns exemplos de fatores e respectivos níveis: 
Fator Níveis 
Doses de NPK 0; 100; 200; 300 kg/ha 
Épocas de plantio Inverno; primavera; outono; verão 
 
29 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
Cultivares Cultivar A; cultivar B; ...; cultivar I 
Controle de plantas daninhas Testemunha; manual; mecânica; química 
Tipos de adubo Mineral; orgânico; foliar 
 
 Experimentos fatoriais podem ser aplicados à quaisquer dos delineamentos já 
estudados. São apropriados em situações onde se pretende investigar, por exemplo, 
aspectos prementes de pesquisa fitotécnica de uma nova espécie vegetal para cultivo, 
a exemplo de um ensaio simultâneo envolvendo espaçamentos e doses de adubação. 
Naturalmente que a concepção deste esquema traz em si a desvantagem de aumentar, 
sobremaneira, o número de tratamentos em teste, aumentando excessivamente a 
área experimental. Além disso, a análise de variância e a interpretação dos resultados, 
bem como a aplicação dos testes de médias ficam relativamente mais complicadas. 
Por outro lado, cabe ratificar que os fatoriais possibilitam a investigação simultânea de 
diversos fatores em jogo. 
 
Vantagens: 
 Possibilita investigar simultaneamente diversos fatores; 
 São mais eficientes do que DIC, DBC e DQL; 
Desvantagens: 
 Aumenta o número de tratamentos do teste; 
 Aumenta a área experimental; 
 A análise de variância (ANOVA), a interpretação dos resultados e o teste de 
médias ficam mais complicados; 
 
 O termo fatorial deve ser empregado somente quando forem usados dois ou 
mais fatores para compor a relação dos tratamentos. Os arranjos fatoriais podem ser 
classificados, quanto ao número de fatores, em: 
a) Bifatorial  quando são avaliados dois fatores em diferentes níveis cada 
um; 
b) Trifatorial  quando são avaliados três fatores em diferentes níveis cada 
um; 
 
 Em nossa disciplina vamos abordar apenas os arranjos bifatoriais. 
 Os fatoriais introduzem um conceito novo até aqui que é a interação 
entre níveis dos fatores em teste. A interação se traduz em uma relação de 
dependência entre dois ou mais fatores. Na prática, a interação reflete quanto da 
variação de um fator afeta a variação do outro ou está ligada a ela. 
 Com relação a interação entre dois fatores podemos ter: 
 
30 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
a) Ausência de interação  quando os níveis de um fator não interferem no 
desempenho dos níveis do outro fator. 
 
B2 30 50 
 
 
B1 
 20 40 
 A1 A2 
 
 50 B2 
 B1 
 30 40  Ausência de 
Interação 
 
 20 
 A1 A2 
 
b) Presença de interação  quando os níveis de um fator interferem no 
desempenho dos níveis do outro fator. Havendo interação, esta pode ser: positiva 
(sinergismo) ou negativa (antagonismo). 
 
B2 30 12 
 
 
B1 
 20 40 
 A1 A2 
 
 
 
 
 
 
 
31 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
 30 40 B1 
 
  Presença de 
Interação 
 
 20 12 B2 
 A1 A2 
 
Modelo estatístico 
 Seu modelo estatístico, considerando A e B tratamentos e seus níveis I e J, 
respectivamente, em DIC é: 
Yijk = m + Ai + Bj + ABij + eijk 
Onde: 
Yijk é o valor observado no i-ésimo nível do fator A, em combinação com o j-ésimo nível 
do fator B, na k-ésima repetição; 
m é a média geral, comum a todas as observações; 
Ai é o efeito do i-ésimo nível do fator A, medindo o desvio dele (
i.
μ
) em relação à 
média geral (
..
μ
), ou seja, 
i i. ..
α =μ -μ
 
Bj é o efeito do j-ésimo nível do fator B, medindo o desvio dele (
.j
μ
) em relação à 
média geral (
..
μ
), ou seja, 
j .j ..
b =μ -μ
. 
ABij é o efeito da interação do i-ésimo nível do fator A com o j-ésimo nível do fator B, 
medindo o desvio 
ij i. .j ..
μ -μ -μ +μ
. 
eijk é o erro aleatório associado à observação Yijk, tal que 
 2ijke ~N 0;σ
 
 
Com as seguintes hipóteses a serem testadas: 
a) Para o fator A 
H0: mi. = ... = mi’. VS H1: mi. ≠ ... ≠ mi’. 
 
b) Para o fator B 
H0: m.j = ... = m.j’ VS H1: m.j ≠ ... ≠ m.j’ 
c) Para a interação AB 
H0: mij – mi. – m.j – m.. = 0 vs H1: mij – mi. – m.j – m.. ≠ 0 
 
 
 
 
32 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
Exemplo de experimento em arranjo fatorial (2x2) no delineamento em DIC. 
 A0 A1 
B0 A0B0 A1BO 
B1 A0B1 A1B1 
 
 A0 A1 Total 
 25 41 
B0 32 84 35 114 198 
 27 38 
 35 60 
B1 28 96 67 186 282 
 33 59 
 180 300 480 
 
 
Cálculo das Somas de Quadrados 
Fator de correção = 
 ∑ 
 
= 
 
 
 
Soma de quadrado total: 
 ∑ 
 ∑∑ 
 
Soma de quadrado do fator A: 
 
∑ 
 
 
 (
 
 
) 
Soma de quadrado do fato B: 
 
∑ 
 
 
 (
 
 
) 
Soma de quadrado da interação: 
 
∑ 
 
 
 
33 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
 (
 
 
) 
Soma de quadrado do resíduo (erro): 
 
 
 
Com isso podemos fazer o quadro da análise da variância (ANOVA). 
Fonte de variação GL SQ QM F 
Irrigação i-1= 1 1200 1200 88,89* 
Calagem j-1= 1 588 588 43,56* 
Irriagação x Calagem (i-1)(j-1) = 1 300 300 22,22* 
Resíduo (l-1)(l-2)= 8 108 13,5 
Total ijk-1= 11 2196 
Média 40 
CV % 9,19 
 
Onde: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusão: 
 Existe diferença estatística entre os níveis dos fatores A e B; 
 
34 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
 Existem dependências entre os níveis dos fatores A e B, ou seja, os efeitos do 
fator A depende dos níveis do fator B e vice versa; 
 
Cálculo da Interação 
Para isso devemos montar o seguinte quadro auxiliar com os totais do tratamentos 
envolvidos: 
Irrigação Calagem Totais 
B0 B1 
A0 84 114 198 
A1 96 186 282 
Totais 180 300 480 
 
O primeiro desdobramento da fonte de interação entre os fatores irrigação e 
calagem é fixa o fator irrigação e variar o fator calagem. Desse modo temos o 
desdobramento de cada método de calagem dentro de irrigação, como obtido a 
seguir: 
Desdobramento Irrigação/Calagem 
 
 
 
∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim podemos observar o seguinte quadro da Anova: 
Fonte de variação GL SQ QM F 
Irrigação (A) 1 1200 1200 88,89** 
Calagem (B) 1 588 588 43,56** 
Irrigação x Calagem 1 300 300 22,22** 
 Irrigação/Calagem1 1 24 24 1,78ns 
 Irrigação/Calagem2 1 864 864 64,00** 
Resíduo 8 108 13,5 
Total 11 2196 
 
Uma maneira de comprovar se o cálculo foi efetuado com sucesso é: 
 
35 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
SQirrigação/calagem = SQirrig x calagem + SQcalagem 
SQirrigação/calagem = 300 + 588 = 888 
 
O segundo desdobramento da fonte de interação entre os fatores irrigação e 
calagem é fixar o fator calagem e variar o fator irrigação. Desse modo temos o 
desdobramento de cada método de irrigação dentro de calagem, como obtido a 
seguir: 
Desdobramento Calagem/Irrigação 
 
 
 
 
∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim podemos observar o seguinte quadro da Anova: 
Fonte de variação GL SQ QM F 
Irrigação (A) 1 1200 1200 88,89** 
Calagem (B) 1 588 588 43,56** 
Irrigação x Calagem 1 300 300 22,22** 
 Calagem/irrigação1 1 150 150 11,11** 
 Calagem/irrigação2 1 1350 1350 100,00** 
Resíduo 8 108 13,5 
Total 11 2196 
 
Uma maneira de comprovar se o cálculo foi efetuado com sucesso é: 
SQirrigação/calagem = SQirrig x calagem + SQirrigação 
SQirrigação/calagem = 300 + 1200 = 1500 
 
 
36 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
 
Teste Tukey para o caso da interação significativa. 
Irrigação Calagem Médias1 
B0 B1 
A0 28 38 33a 
A1 32 62 47b 
Médias1 30A 50B 
 
1Letras maiúsculas comparam médias de calagem e letras minúsculas as médias de irrigação, 
pelo teste Tukey a 5% de probabilidade. 
 
 
37 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR 
SIMPLES 
 
Exemplo: Livro Pimentel Gomes 2009 (pg 229) 
Um experimento com 5 tratamentos e 4 repetições em DIC. Os valores de X referem-se a 
diferentes doses de adubo usadas, e os de T, os totais de produção de cada tratamento nas 4 
repetições, como mostrado na Tabela abaixo: 
X T 
0 2,0 
1 2,0 
2 3,0 
3 4,0 
4 5,0 
 
A equação de regressão a ser testada é: 
 ou 
Onde: 
Y é o valor esperado da variável dependente; 
β0 é o valor do intercepto da reta, ou seja, valor esperado da variável Y quando X é igual a zero; 
β1 é o coeficiente de regressão ou coeficiente angular de inclinação da reta, ou seja, variação 
esperada na variável Y quando a variável X aumenta uma unidade; 
Para obtermos a equação da reta de regressão de Y em função de X, com os mínimos 
desvios de cada ponto em função da equação (estimadores lineares não viciados) 
 devemos obter os coeficientes β0 e β1 que minimizem ao máximo os erros ou desvios da 
reta de regressão e que são obtidos pela seguinte fórmula: 
 ̂ 
∑ 
 ∑ ∑ 
 
∑ 
 ∑ 
 
 
 ̂ ̅ ̂ ̅ 
 
Desse modo é possível obter a seguinte equação de regressão linear simples estimada: 
 ̂ ̂ ̂ 
 
38 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
 
Para facilitar na resolução do exemplo anterior devemos fazer uma tabela auxiliar: 
 X T XY 
 0 2,0 0 
 1 2,0 2 
 2 3,0 6 
 3 4,0 12 
 4 5,0 20 
∑ ∑ ∑ 10 16 40 
∑ 30 
 ̅ ̅ 2 3,2 
 
 ̂ 
∑ 
 ∑ ∑ 
 
∑ 
 ∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ̂ ̅ ̂ ̅ 
 
Assim, a equação de regressão é dada por: 
 ̂ ̂ ̂ 
 ̂ 
Utilizando a equação de regressão estimada por ̂ e substituindo os 
valores de X, podemos obter todos os valores estimados de y para cada valor de X, além de 
perceber que os desvios em relação a cada ponto é nulo, como pode ser visualizado na tabela 
abaixo. 
Tabela. Valores observados e preditos (estimados) para produção. 
X T ̂ Desvios ( ̂ 
0 2,0 1,6 (2,0 – 1,6) = 0,4 
1 2,0 2,4 (2,0 – 2,4) = -0,4 
2 3,0 3,2 (3,0 – 3,2) = -0,2 
3 4,0 4,0 (4,0 – 4,0) = 0 
4 5,0 4,8 (5,0 – 4,8) = 0,2 
 
 
39 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
Com isso podemos construir um gráfico contendo os pontos de X e Y, como segue. 
 
 
Por fim, podemos traçar a reta de regressão linear simples utilizando os pontos ̂ 
estimados anteriormente, como segue. 
 
Gráfico. Efeito linear de diferentes doses de adubo (X) na produção total (Y). 
 
 
 
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4
Y
 (
p
ro
d
u
çã
o
) 
X (doses de adubo) 
y = 1,6 + 0,8X 
R² = 0,9412 
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4
Y
 (
P
ro
d
u
çã
o
) 
X (Doses de adubo) 
 
40 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
Análise de variância da regressão 
Assim como demonstrado anteriormente a utilidade da Anova nos delineamentos 
experimentais, na análise de regressão ela é igualmente usada. Aqui o objetivo é avaliar a 
significância do coeficiente de regressão ̂ , que define o relacionamento ou não de X e Y. 
Portanto, o objetivo geral é decompor a soma de quadrados totais (SQtotal) em somas de 
quadrados da regressão (SQreg) e soma de quadrados dos desvios da regressão (SQdesvios). 
A soma de quadrados total é obtida por: 
 ∑ 
 ∑A soma de quadrados da regressão é obtida por: 
 
[∑ 
 ∑ ∑ 
 ]
∑ 
 ∑ 
 
 
 
E finalmente a soma de quadrados dos desvios da regressão é obtida por: 
SQdesvios = SQtotal - SQreg 
Para o exemplo em consideração temos: 
 ∑ 
 ∑ 
 
 ( ) 
 
 
 
 
[∑ 
 ∑ ∑ 
 ]
∑ 
 ∑ 
 
 
 
 
 
 
SQdesvios = SQtotal – Sqreg = 6,8 – 6,4 = 0,4 
Com os cálculos das somas dos quadrados totais, de regressão e residual, podemos construir o 
quadro de análise de variância da regressão abaixo, obedecendo as seguintes hipóteses: 
H0: ̂ 
H1: ̂ 
 Quadro da Anova da Regressão. 
Fonte de variação GL SQ QM F 
Regressão 1 1 6,40 6,40 48,12** 
Desvios da regressão n-2 3 0,40 0,133 
Total n-1 4 6,80 
Ft (1GL; 3GL; 5% = 10,13); Ft (1GL; 3GL; 1% = 34,12); 
Conclusão: Como o F calculado (48,12) é maior que o F tabelada a 5% e 1% de probabilidade, 
rejeita-se a hipótese H0 e aceita-se H1, ou seja, a diferentes doses de adubo estão linearmente 
 
41 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
relacionadas. Ainda podemos dizer que aumentos de doses de adubo proporcionam igual 
aumento ou ganho na produção. 
Coeficiente de determinação (R2) 
 O coeficiente de regressão R2 expressa quanto da variação total dos dados é explicada 
pela equação de regressão. Para o caso da regressão linear simples usa-se r2. O R2 quantifica a 
aderência do modelo de regressão adotado aos dados analisados, ou seja, é usado para 
verificar qual modelo melhor se ajusta aos dados. 
 O coeficiente de determinação é dado pela seguinte fórmula: 
 
 
 
 
Os valores de R2 podem variar de 0 até 1. Valores mais próximos de 1 indicam alta 
aderência ao modelo testado. 
Para o exemplo em questão temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, 94,12% da variação na variável Y (produção) está sendo explicada pela 
variável independente X (doses de adubo). 
 
APLICAÇÃO UTILIZANDO O SOFTWARE GENES 
O primeiro processo antes de realizar qualquer análise é a criação do arquivo de 
dados. Para isso, vamos usar o Excel. No Excel, devemos digitar os dados a serem analisados. 
Sempre lembrando, que o GENES não faz a leitura do cabeçalho, portanto, devemos digitar 
apenas números, como pode ser visto na figura abaixo: 
 
42 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
 
 
Após o termino da digitação de todos os dados, devemos salvar o arquivo para utiliza-
lo no GENES. Para isso, devemos salvar o arquivo, que pode conter qualquer nome (nosso 
caso: regteste) com a extensão ‘txt’[Texto (separado por tabulações)(*.txt). Como pode ser 
visualizado pela figura abaixo. 
 
OBS: Sempre salvar os arquivos dentro da pasta “dados” que dever ser instalada juntamente 
com o software GENES no diretório “c:” do seu computador. 
Uma vez criado e salvado o arquivo de dados, iniciamos o GENES e no menu 
“Estatística experimental” escolha o modo Regressões e posteriormente “Regressão Simples”. 
Como pode ser visualizado na figura abaixo. 
 
43 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
 
 
Com a seleção do modo Regressão Simples, a seguinte tela irá aparecer: 
 
 
 No ícone Arquivo de Dados, escolha o arquivo criado no Excel (nosso caso: 
regteste.txt). No ícone Declaração de Parâmetros, selecione o número de variáveis (nosso caso 
temos duas variáveis: dose de adubo e produção), e em seguida Retornar, como abaixo. 
 
44 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
 
 
 Em seguida clicando no ícone Nomes de Variáveis, podemos digitar os nomes das 
variáveis do nosso arquivo de dados, como abaixo: 
 
 
 Uma vez escolhido o nome das variáveis, devemos clicar em Processar, assim veremos 
a seguinte tela: 
 
45 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
 
 
 Neste momento devemos escolher quais são as variáveis dependentes (Y) e as 
independentes (X). Em nosso caso a Produção é Dependente (Y) e as doses são independentes 
(X). Portanto, temos que clicar no nome das variáveis para as caixas que queremos selecionar, 
e clicar em Prosseguir, como abaixo: 
 
 
 O resultado da Anova da regressão pode ser visualizado abaixo, no denominado 
arquivo de saída do Genes. 
 
46 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
 
 
 O software Genes permite exportar o resultado para o Word, Excel, etc, para ser 
manipulado posteriormente. Outra opção é apenas salvar o resultado em formato ‘txt’, que 
pode ser realisado na própria tela de saída. Após ter salvo o arquivo contendo o resultado da 
Anova, clicar em finalizar. O Genes irá apresentar, desse modo, um gráfico da regressão, 
contendo a equação da reta e o coeficiente de determinação (R2) como mostra a figura abaixo. 
 
 
 O gráfico pode ser alterado clicando em “Estilo de Gráfico”, pode ainda ser exportado 
e salvo. 
 
 
47 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
APLICAÇÃO UTILIZANDO O SOFTWARE SAS 
 
 
 
 
 
 
48 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR DE 
SEGUNDO GRAU 
 Em muitas situações ou ocasiões nos deparamos com casos em que há necessidade de 
se ajustar um modelo de equação de regressão aos dados de tratamentos quantitativos, como 
por exemplo: doses, tempo ou dadas, concentrações, etc. Na prática, os modelos mais 
utilizados em experimentos na área de ciências agrárias são: linear de primeiro grau e segundo 
grau. Os modelos de regressão não lineares não serão tratados nesta apostila. 
Modelo 
 O modelo de regressão linear de segundo grau ou quadrática é dado por: 
 
 ou 
 
 
Onde: 
Yi é o valor esperado da variável dependente Y no i-ésimo nível da variável independente X; 
β0 é o valor do intercepto da reta ou a constante de regressão, ou seja, valor esperado da 
variável Y quando X é igual a zero; 
β1 é o coeficiente de regressão; 
Xi é o i-ésimo nível da variável independente X; 
β2 é o coeficiente de regressão; 
Xi
2 é o i-ésimo nível da variável independente X elevado ao quadrado; 
ei é o erro associado à distância entre o valor observado Yi e o correspondente ponto na curva 
para o mesmo nível i de X; 
 A equação de regressão estimada utilizando o método dos mínimos quadrados é dada 
por: 
 ̂ ̂ ̂ ̂ 
 
 
 O ajuste da melhor equação de regressão depende do número de graus de liberdade 
da fonte de variação tratamentos (geralmente doses, tempo, data, concentração, etc). 
Portanto, experimentos em que temos quatro doses de adubo, por exemplo, podemos ajustar 
equações de regressão até o terceiro grau ou cúbica. Para experimentos em que temos cinco 
doses de adubo, por exemplo, podemos ajustar equações de regressão até o quarto grau. 
 
49 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
Entretanto, lembre-se de que as interpretações biológicas ou agronômicas dos resultados 
podem ser mais facilmente explicadas utilizando equações de primeiro e segundo grau. 
Análise de variância da regressão 
 Apenas a obtenção de uma equação de regressão estimada, não possibilita afirmar 
com a devida precisão estatística que X (variável independente) influencia significativamente Y 
(variável dependente). Portanto, o procedimento apropriado é a realização de uma análise de 
variância da regressão. A anova da regressão tem por objetivo decompor a fonte de variação 
tratamentos em todos os níveis lineares possíveis dentro do número de grau de liberdade 
disponíveis. Ou seja, testar estatisticamente pelo teste F qual a melhor equação que explica o 
ajuste entre oX e Y. 
 Assim devemos desdobrar o número de graus de liberdade de tratamentos para cada 
modelo de equação que queremos ajustar. Para melhor entendimento vamos considerar um 
exemplo apresentado abaixo: 
Doses Repetições Produção Totais Médias 
0 1 360.2 
 0 2 421.5 
 0 3 294.2 
 0 4 431.9 1507.7 376.9 
50 1 209.3 
 50 2 324.8 
 50 3 272.8 
 50 4 347.5 1154.3 288.6 
100 1 235.6 
 100 2 228.9 
 100 3 212.6 
 100 4 196.5 873.6 218.4 
150 1 78.5 
 150 2 167.9 
 150 3 77.9 
 150 4 204.2 528.5 132.1 
200 1 344.5 
 200 2 394.6 
 200 3 189.0 
 200 4 247.8 1175.9 294.0 
 
Realizando uma anova tradicional, como visto anteriormente para o delineamento em 
blocos casualizados, temos: 
Fonte de variação GL SQ QM F 
Bloco 3 28377,510 9459,170 
Tratamento (doses) 4 134847,753 33711,9383 11,86 
Resíduo 12 34112,635 2842,7196 
Total 19 197337,8980 
 
50 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
 
 A soma de quadrados da anova da regressão utilizando os coeficientes para 
ajustamento de polinômios ortogonais é dado por: 
 
 ∑ 
 
 ∑ 
 
Onde: 
ci é o coeficiente de ajustamento dos polinômios ortogonais; 
Y é o total dos tratamentos; 
r é o número de repetições ou de informações que geraram os tratamentos; 
 
 As tabelas dos coeficientes para interpolação de polinômios ortogonais foram obtidas 
de Pimentel-Gomes 2009 e para nosso exemplo podem ser visualizadas abaixo: 
 1º grau 2º grau 3º grau 4º grau 
 -2 +2 -1 +1 
 -1 -1 +2 -4 
 0 -2 0 +6 
 +1 -1 -2 -4 
 +2 +2 +1 +1 
Ci 10 14 10 70 
M 1 1 5/6 35/12 
 
Aplicando a equação acima para cada coeficiente de regressão (1º grau, 2º grau, 3º 
grau e 4º grau) temos: 
 
 ∑ 
 
 ∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∑ 
 
 ∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
 
 ∑ 
 
 ∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∑ 
 
 ∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, desse modo, podemos montar a tabela da anova da regressão, como abaixo: 
Fonte de variação GL SQ QM F 
Regressão linear (1º grau) 1 41563,81 41563,81 14,62** 
Regressão quadrática (2º grau) 1 67013,28 67013,28 23,57** 
Regressão cúbica (3º grau) 1 21150,80 21150,80 7,44* 
Regressão de 4º grau 1 5091,56 5091,56 1,79ns 
 
Tratamento (doses) 4 134847,753 33711,94 11,86 
Resíduo 12 34112,635 2842,72 
Total 19 197337,8980 
 
Neste caso as equações de regressão de 1º, 2º e 3º grau foram significativas, portanto 
devemos obter agora a equação de regressão ajustada para o modelo. Para isso, devemos 
calcular os coeficientes correspondentes a todos os componentes de regressão, como abaixo: 
 
∑ 
 ∑ 
 
 
 
 
 
∑ 
 ∑ 
 
 
 
 
 
∑ 
 ∑ 
 
 
 
 
Posteriormente temos que calcular a média dos valores de X e Y, como a seguir: 
 ̅ 
 
 
 
 ̅ 
 
 
 
A equação de regressão é dada por: 
 
52 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
 ̅ 
Em que: M e P podem ser encontrados na Tabela dos coeficientes para interpolação de 
polinômios ortogonais. Assim temos: 
 
 
 
 
 
Como sabemos que n é o número de níveis de X, a variável independente, e dado que 
os polinômios p se relacionam com X como abaixo, como temos cinco níveis de adubação 
(n=5), temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim a equação fica: 
 
 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
 )
 
A variável X é dada por: 
 
 ̅
 
 
Onde q é a diferença entre dois níveis sucessivos de X. Em nosso exemplo, q = 50, logo: 
 
 
 
 
 
 
 
E fica: 
 (
 
 
 ) (
 
 
 )
 
 (
 
 
 )
 
 
 
Simplificando, temos a seguinte equação: 
Y = 395,68 – 3,4124X + 0,0138X2 
 
 
 
53 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
Determinação do ponto máximo ou mínimo 
Utilizado para obter o valor de X da variável independente para o qual Y (variável 
dependente) é máximo ou mínimo. 
A fórmula utilizada é dada por: 
 
 ̂ 
 ̂ 
 
Com a seguinte equação, temos: 
Y = 395,68 – 3,4124X + 0,0138X2 
 
O ponto máximo seria dado por: 
 
 
 
 
 
Desse modo, o valor de Y quanto X for 123,64 é: 
Y = 395,68 – 3,4124(123,64) + 0,0138(123,64)2 
Y = 184,73 
 
 
54 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
CRITERIOS UTILIZADOS PARA ESCOLHA DO MODELO: 
 
1 - O coeficiente de determinação (R2): mostra o quanto da variação total está sendo 
explicado pela equação regressão. 
 
2 – Quadrado médio do resíduo: dá a estimativa do erro calculado pelo método dos mínimos 
quadrados. 
 
3 – O Coeficiente da regressão (ß) - é o que vem multiplicando a variável preditora.Por 
exemplo, indica que a cada unidade que estou variando na concentração ocorre uma variação 
de ß1 unidades na intensidade de doença (representada neste caso particular pela área abaixo 
da curva de progresso da severidade). 
 
4 – Significância do Coeficiente da regressão (ß1) - indica que se ß1 for igual a zero não existe 
efeito da variável concentração de inoculo sobre a severidade da doença 
 
5 - Analise do resíduo: refere-se a diferença entre os valores preditos pelo modelo e os valores 
observados. Num modelo adequado, os resíduos estão normalmente distribuídos, são 
independentes e têm variância constante. 
No gráfico Plot of NS*RES. - analisa-se a normalidade dos resíduos. Espera-se que os 
pontos estejam distribuídos ao longo de uma linha reta. 
 
No gráfico Plot of RES*PREDITO – analisa-se a homogeneidade da variância dos 
resíduos. Espera-se que os pontos estejam distribuídos aleatoriamente em torno de 
uma linha horizontal que corta o eixo Y no ponto zero (ou seja, não pode haver 
tendência em formar figuras geométricas). O sinal (+) indica adequação do modelo, 
enquanto o sinal (-) indica não adequação. 
 
6 - Falta de ajuste: testa hipótese H0 em que o modelo de regressão linear simples está 
adequado para estudar os dados. 
Se o teste F for significativo(a falta de ajustamento for significativo) implica que o 
QMDFA esta estimando alguma coisa a mais que a variância residual. Esta coisa ama 
mais é o vies, o seja a variância residual estaria incluindo um erro sistemático devido 
 
55 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
ao uso de uma modelo inapropriado. Neste caso conclui-se que o modelo de regressão 
linear simples não está adequado para descrever os dados. 
 
Se o teste F for não significativo indica que podemos admitir que o modelo seja 
adequado para descrever o dados e tanto o QMFA quanto o QMresiduo puro pode ser 
utilizado como estimativa da variância residual. Neste caso, uma estimativa conjunta 
da variância residual pode ser utilizada, permitindo trabalhar com maior numero de 
graus de liberdade no resíduo, 
 
7 -Bom senso - compreensão de questões biológicas 
 
 
 
56 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
AlfabetoGrego 
Maiúsculo Minúsculo Nome 
  alfa 
  beta 
  gama 
  delta 
  épsilon 
  dzeta 
  eta 
  teta 
  iota 
  kapa 
  lâmbda 
  mü(mi) 
  nü (ni) 
  Ksi 
  ônicron 
  pi 
  rô 
  sigma 
  tau 
  úpsilom (ipsilon) 
  fi 
  chi (qui) 
  psi 
  ômega 
 
 
 
57 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
Tabela: Distribuição F para probabilidade 

t
p=P[F F]=0,05
. Graus de liberdade do 
numerador no topo e do denominador na margem esquerda da tabela. 
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 19,40 
3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 
4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 
5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 
6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 
7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 
8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 
9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 
10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 
11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85 
12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 
13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67 
14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60 
15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 
16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 
17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 2,45 
18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41 
19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 2,38 
20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 
21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37 2,32 
22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 2,30 
23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,32 2,27 
24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30 2,25 
25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28 2,24 
26 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27 2,22 
27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,37 2,31 2,25 2,20 
28 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 2,29 2,24 2,19 
29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,35 2,28 2,22 2,18 
30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16 
40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08 
60 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 1,99 
120 3,92 3,07 2,68 2,45 2,29 2,18 2,09 2,02 1,96 1,91 
Continuação... 
 12 14 15 16 18 20 30 40 60 120 
2 19,41 19,42 19,43 19,43 19,44 19,45 19,46 19,47 19,48 19,49 
3 8,74 8,71 8,70 8,69 8,67 8,66 8,62 8,59 8,57 8,55 
4 5,91 5,87 5,86 5,84 5,82 5,80 5,75 5,72 5,69 5,66 
5 4,68 4,64 4,62 4,60 4,58 4,56 4,50 4,46 4,43 4,40 
6 4,00 3,96 3,94 3,92 3,90 3,87 3,81 3,77 3,74 3,70 
7 3,57 3,53 3,51 3,49 3,47 3,44 3,38 3,34 3,30 3,27 
8 3,28 3,24 3,22 3,20 3,17 3,15 3,08 3,04 3,01 2,97 
9 3,07 3,03 3,01 2,99 2,96 2,94 2,86 2,83 2,79 2,75 
10 2,91 2,86 2,85 2,83 2,80 2,77 2,70 2,66 2,62 2,58 
11 2,79 2,74 2,72 2,70 2,67 2,65 2,57 2,53 2,49 2,45 
12 2,69 2,64 2,62 2,60 2,57 2,54 2,47 2,43 2,38 2,34 
13 2,60 2,55 2,53 2,51 2,48 2,46 2,38 2,34 2,30 2,25 
14 2,53 2,48 2,46 2,44 2,41 2,39 2,31 2,27 2,22 2,18 
15 2,48 2,42 2,40 2,38 2,35 2,33 2,25 2,20 2,16 2,11 
16 2,42 2,37 2,35 2,33 2,30 2,28 2,19 2,15 2,11 2,06 
17 2,38 2,33 2,31 2,29 2,26 2,23 2,15 2,10 2,06 2,01 
18 2,34 2,29 2,27 2,25 2,22 2,19 2,11 2,06 2,02 1,97 
19 2,31 2,26 2,23 2,21 2,18 2,16 2,07 2,03 1,98 1,93 
20 2,28 2,22 2,20 2,18 2,15 2,12 2,04 1,99 1,95 1,90 
21 2,25 2,20 2,18 2,16 2,12 2,10 2,01 1,96 1,92 1,87 
22 2,23 2,17 2,15 2,13 2,10 2,07 1,98 1,94 1,89 1,84 
23 2,20 2,15 2,13 2,11 2,08 2,05 1,96 1,91 1,86 1,81 
24 2,18 2,13 2,11 2,09 2,05 2,03 1,94 1,89 1,84 1,79 
25 2,16 2,11 2,09 2,07 2,04 2,01 1,92 1,87 1,82 1,77 
26 2,15 2,09 2,07 2,05 2,02 1,99 1,90 1,85 1,80 1,75 
27 2,13 2,08 2,06 2,04 2,00 1,97 1,88 1,84 1,79 1,73 
28 2,12 2,06 2,04 2,02 1,99 1,96 1,87 1,82 1,77 1,71 
29 2,10 2,05 2,03 2,01 1,97 1,94 1,85 1,81 1,75 1,70 
30 2,09 2,04 2,01 1,99 1,96 1,93 1,84 1,79 1,74 1,68 
40 2,00 1,95 1,92 1,90 1,87 1,84 1,74 1,69 1,64 1,58 
60 1,92 1,86 1,84 1,82 1,78 1,75 1,65 1,59 1,53 1,47 
120 1,83 1,78 1,75 1,73 1,69 1,66 1,55 1,50 1,43 1,35 
 
 
 
58 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
Tabela: Distribuição F para probabilidade 

t
p=P[F F]=0,01
. Graus de liberdade do 
numerador no topo e do denominador na margem esquerda da tabela. 
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
2 98,50 99,00 99,17 99,25 99,30 99,33 99,36 99,37 99,39 99,40 
3 34,12 30,82 29,46 28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,35 27,23 
4 21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,98 14,80 14,66 14,55 
5 16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,46 10,29 10,16 10,05 
6 13,75 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 
7 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6,62 
8 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 5,81 
9 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 5,26 
10 10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94 4,85 
11 9,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,89 4,74 4,63 4,54 
12 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39 4,30 
13 9,07 6,70 5,74 5,21 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19 4,10 
14 8,86 6,51 5,56 5,04 4,69 4,46 4,28 4,14 4,03 3,94 
15 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3,80 
16 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,78 3,69 
17 8,40 6,11 5,18 4,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,68 3,59 
18 8,29 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,84 3,71 3,60 3,51 
19 8,18 5,93 5,01 4,50 4,17 3,94 3,77 3,63 3,52 3,43 
20 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46 3,37 
21 8,02 5,78 4,87 4,37 4,04 3,81 3,64 3,51 3,40 3,31 
22 7,95 5,72 4,82 4,31 3,99 3,76 3,59 3,45 3,35 3,26 
23 7,88 5,66 4,76 4,26 3,94 3,71 3,54 3,41 3,30 3,21 
24 7,82 5,61 4,72 4,22 3,90 3,67 3,50 3,36 3,26 3,17 
25 7,77 5,57 4,68 4,18 3,85 3,63 3,46 3,32 3,22 3,13 
26 7,72 5,53 4,64 4,14 3,82 3,59 3,42 3,29 3,18 3,09 
27 7,68 5,49 4,60 4,11 3,78 3,56 3,39 3,26 3,15 3,06 
28 7,64 5,45 4,57 4,07 3,75 3,53 3,36 3,23 3,12 3,03 
29 7,60 5,42 4,54 4,04 3,73 3,50 3,33 3,20 3,09 3,00 
30 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,07 2,98 
40 7,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 3,12 2,99 2,89 2,80 
60 7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,95 2,82 2,72 2,63 
120 6,85 4,79 3,95 3,48 3,17 2,96 2,79 2,66 2,56 2,47 
Continuação... 
 12 14 15 16 18 20 30 40 60 120 
2 99,42 99,43 99,43 99,44 99,44 99,45 99,47 99,47 99,48 99,49 
3 27,05 26,92 26,87 26,83 26,75 26,69 26,50 26,41 26,32 26,22 
4 14,37 14,25 14,20 14,15 14,08 14,02 13,84 13,75 13,65 13,56 
5 9,89 9,77 9,72 9,68 9,61 9,55 9,38 9,29 9,20 9,11 
6 7,72 7,60 7,56 7,52 7,45 7,40 7,23 7,14 7,06 6,97 
7 6,47 6,36 6,31 6,28 6,21 6,16 5,99 5,91 5,82 5,74 
8 5,67 5,56 5,52 5,48 5,41 5,36 5,20 5,12 5,03 4,95 
9 5,11 5,01 4,96 4,92 4,86 4,81 4,65 4,57 4,48 4,40 
10 4,71 4,60 4,56 4,52 4,46 4,41 4,25 4,17 4,08 4,00 
11 4,40 4,29 4,25 4,21 4,15 4,10 3,94 3,86 3,78 3,69 
12 4,16 4,05 4,01 3,97 3,91 3,86 3,70 3,62 3,54 3,45 
13 3,96 3,86 3,82 3,78 3,72 3,66 3,51 3,43 3,34 3,25 
14 3,80 3,70 3,66 3,62 3,56 3,51 3,35 3,27 3,18 3,09 
15 3,67 3,56 3,52 3,49 3,42 3,37 3,21 3,13 3,05 2,96 
16 3,55 3,45 3,41 3,37 3,31 3,26 3,10 3,02 2,93 2,84 
17 3,46 3,35 3,31 3,27 3,21 3,16 3,00 2,92 2,83 2,75 
18 3,37 3,27 3,23 3,19 3,13 3,08 2,92 2,84 2,75 2,66 
19 3,30 3,19 3,15 3,12 3,05 3,00 2,84 2,76 2,67 2,58 
20 3,23 3,13 3,09 3,05 2,99 2,94 2,78 2,69 2,61 2,52 
21 3,17 3,07 3,03 2,99 2,93 2,88 2,72 2,64 2,55 2,46 
22 3,12 3,02 2,98 2,94 2,88 2,83 2,67 2,58 2,50 2,40 
23 3,07 2,97 2,93 2,89 2,83 2,78 2,62 2,54 2,45 2,35 
24 3,03 2,93 2,89 2,85 2,79 2,74 2,58 2,49 2,40 2,31 
25 2,99 2,89 2,85 2,81 2,75 2,70 2,54 2,45 2,36 2,27 
26 2,96 2,86 2,81 2,78 2,72 2,66 2,50 2,42 2,33 2,23 
27 2,93 2,82 2,78 2,75 2,68 2,63 2,47 2,38 2,29 2,20 
28 2,90 2,79 2,75 2,72 2,65 2,60 2,44 2,35 2,26 2,17 
29 2,87 2,77 2,73 2,69 2,63 2,57 2,41 2,33 2,23 2,14 
30 2,84 2,74 2,70 2,66 2,60 2,55 2,39 2,30 2,21 2,11 
40 2,66 2,56 2,52 2,48 2,42 2,37 2,20 2,11 2,02 1,92 
60 2,50 2,39 2,352,31 2,25 2,20 2,03 1,94 1,84 1,73 
120 2,34 2,23 2,19 2,15 2,09 2,03 1,86 1,76 1,66 1,53 
 
p 
 
59 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
Tabela 1: Valores da amplitude total estudentizada (q), para uso no teste de Tukey, ao nível de 
5% de probabilidade. 
 
n2\n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
1 17,97 26,98 32,82 37,08 40,41 43,12 45,40 47,36 49,07 50,59 
2 6,09 8,33 9,80 10,88 11,74 12,44 13,03 13,54 13,99 14,39 
3 4,50 5,91 6,83 7,50 8,04 8,48 8,85 9,18 9,46 9,72 
4 3,93 5,04 5,76 6,29 6,71 7,05 7,35 7,60 7,83 8,03 
5 3,64 4,60 5,22 5,67 6,03 6,33 6,58 6,80 7,00 7,17 
6 3,46 4,34 4,90 5,31 5,63 5,90 6,12 6,32 6,49 6,65 
7 3,34 4,17 4,68 5,06 5,36 5,61 5,82 6,00 6,16 6,30 
8 3,26 4,04 4,53 4,89 5,17 5,40 5,60 5,77 5,92 6,05 
9 3,20 3,95 4,42 4,76 5,02 5,24 5,43 5,60 5,74 5,87 
10 3,15 3,88 4,33 4,65 4,91 5,12 5,31 5,46 5,60 5,72 
11 3,11 3,82 4,26 4,57 4,82 5,03 5,20 5,35 5,49 5,61 
12 3,08 3,77 4,20 4,51 4,75 4,95 5,12 5,27 5,40 5,51 
13 3,06 3,74 4,15 4,45 4,69 4,89 5,05 5,19 5,32 5,43 
14 3,03 3,70 4,11 4,41 4,64 4,83 4,99 5,13 5,25 5,36 
15 3,01 3,67 4,08 4,37 4,60 4,78 4,94 5,08 5,20 5,31 
16 3,00 3,65 4,05 4,33 4,56 4,74 4,90 5,03 5,15 5,26 
17 2,98 3,63 4,02 4,30 4,52 4,71 4,86 4,99 5,11 5,21 
18 2,97 3,61 4,00 4,28 4,50 4,67 4,82 4,96 5,07 5,17 
19 2,96 3,59 3,98 4,25 4,47 4,65 4,79 4,92 5,04 5,14 
20 2,95 3,58 3,96 4,23 4,45 4,62 4,77 4,90 5,01 5,11 
24 2,92 3,53 3,90 4,17 4,37 4,54 4,68 4,81 4,92 5,01 
30 2,89 3,49 3,85 4,10 4,30 4,46 4,60 4,72 4,82 4,92 
40 2,86 3,44 3,79 4,04 4,23 4,39 4,52 4,64 4,74 4,82 
60 2,83 3,40 3,74 3,98 4,16 4,31 4,44 4,55 4,65 4,73 
120 2,80 3,36 3,69 3,92 4,10 4,24 4,36 4,47 4,56 4,64 
∞ 2,77 3,31 3,63 3,86 4,03 4,17 4,29 4,39 4,47 4,55 
 
n2\n1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
1 50,59 51,96 53,20 54,33 55,36 56,32 57,22 58,04 58,83 59,56 
2 14,39 14,75 15,08 15,38 16,65 15,91 16,14 16,37 16,57 16,77 
3 9,72 9,95 10,15 10,35 10,53 10,69 10,84 10,98 11,11 11,24 
4 8,03 8,21 8,37 8,53 8,66 8,79 8,91 9,03 9,13 9,23 
5 7,17 7,32 7,47 7,60 7,72 7,83 7,93 8,03 8,12 8,21 
6 6,65 6,79 6,92 7,03 7,14 7,24 7,34 7,43 7,51 7,59 
7 6,30 6,43 6,55 6,66 6,76 6,85 6,94 7,02 7,10 7,17 
8 6,05 6,18 6,29 6,39 6,48 6,57 6,65 6,73 6,80 6,87 
9 5,87 5,98 6,09 6,19 6,28 6,36 6,44 6,51 6,58 6,64 
10 5,72 5,83 5,94 6,03 6,11 6,19 6,27 6,34 6,41 6,47 
11 5,61 5,71 5,81 5,90 5,98 6,06 6,13 6,20 6,27 6,33 
12 5,51 5,62 5,71 5,80 5,88 5,95 6,02 6,09 6,15 6,21 
13 5,43 5,53 5,63 5,71 5,79 5,86 5,93 6,00 6,06 6,11 
14 5,36 5,46 5,55 5,64 5,71 5,79 5,85 5,92 5,97 6,03 
15 5,31 5,40 5,49 5,57 5,65 5,72 5,79 5,85 5,90 5,96 
16 5,26 5,35 5,44 5,52 5,59 5,66 5,73 5,79 5,84 5,90 
17 5,21 5,31 5,39 5,47 5,54 5,61 5,68 5,73 5,79 5,84 
18 5,17 5,27 5,35 5,43 5,50 5,57 5,63 5,69 5,74 5,79 
19 5,14 5,23 5,32 5,39 5,46 5,53 5,59 5,65 5,70 5,75 
20 5,11 5,20 5,28 5,36 5,43 5,49 5,55 5,61 5,66 5,71 
24 5,01 5,10 5,18 5,25 5,32 5,38 5,44 5,49 5,55 5,59 
30 4,92 5,00 5,08 5,15 5,21 5,27 5,33 5,38 5,43 5,48 
40 4,82 4,90 4,98 5,04 5,11 5,16 5,22 5,27 5,31 5,36 
60 4,73 4,81 4,88 4,94 5,00 5,06 5,11 5,15 5,20 5,24 
120 4,64 4,71 4,78 4,84 4,90 4,95 5,00 5,04 5,09 5,13 
∞ 4,55 4,62 4,69 4,74 4,80 4,85 4,89 4,93 4,97 5,01 
 n1 = número de tratamentos; n2 = número de graus de liberdade do erro 
 
 
60 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
Tabela 2: Valores da amplitude total estudentizada (q), para uso no teste de Tukey, ao nível de 
1% de probabilidade. 
 
n2\n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
1 90,03 135,0 164,3 185,6 202,2 215,8 227,2 237,0 245,6 253,2 
2 14,04 19,02 22,29 24,72 26,63 28,20 29,53 30,68 31,69 32,59 
3 8,26 10,62 12,17 13,33 14,24 15,00 15,64 16,20 16,69 17,13 
4 6,51 8,12 9,17 9,96 10,58 11,10 11,55 11,93 12,27 12,57 
5 5,70 6,98 7,80 8,42 8,91 9,32 9,70 9,97 10,24 10,48 
6 5,24 6,33 7,03 7,56 7,97 8,32 8,61 8,87 9,10 9,30 
7 4,95 5,92 6,54 7,00 7,37 7,68 7,94 8,17 8,37 8,55 
8 4,75 5,64 6,20 6,62 6,96 7,24 7,47 7,68 7,86 8,03 
9 4,60 5,43 5,96 6,35 6,66 6,92 7,13 7,32 7,50 7,65 
10 4,48 5,27 5,77 6,14 6,43 6,67 6,88 7,06 7,21 7,36 
11 4,39 5,15 5,62 5,97 6,25 6,48 6,67 6,84 6,99 7,13 
12 4,32 5,05 5,50 5,84 6,10 6,32 6,51 6,67 6,81 6,94 
13 4,26 4,96 5,40 5,73 5,98 6,19 6,37 6,53 6,67 6,79 
14 4,21 4,90 5,32 5,63 5,88 6,08 6,26 6,41 6,54 6,66 
15 4,17 4,84 5,25 5,56 5,80 5,99 6,16 6,31 6,44 6,56 
16 4,13 4,79 5,19 5,49 5,72 5,92 6,08 6,22 6,35 6,46 
17 4,10 4,74 5,14 5,43 5,66 5,85 6,01 6,15 6,27 6,38 
18 4,07 4,70 5,09 5,38 5,60 5,79 5,94 6,08 6,20 6,31 
19 4,05 4,67 5,05 5,33 5,55 5,74 5,89 6,02 6,14 6,25 
20 4,02 4,64 5,02 5,29 5,51 5,69 5,84 5,97 6,09 6,19 
24 3,96 4,55 4,91 5,17 5,37 5,54 5,68 5,81 5,92 6,02 
30 3,89 4,46 4,80 5,05 5,24 5,40 5,54 5,65 5,76 5,85 
40 3,82 4,37 4,70 4,93 5,11 5,26 5,39 5,50 5,60 5,69 
60 3,76 4,28 4,60 4,82 4,99 5,13 5,25 5,36 5,45 5,53 
120 3,70 4,20 4,50 4,71 4,87 5,00 5,12 5,21 5,30 5,38 
∞ 3,64 4,12 4,40 4,60 4,76 4,88 4,99 5,08 5,16 5,23 
 
n2\n1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
1 253,2 260,0 266,2 271,8 277,0 281,8 286,3 290,4 294,3 298,0 
2 32,59 33,40 34,13 34,81 35,43 36,00 36,53 37,03 37,50 37,95 
3 17,13 17,53 17,89 18,22 18,52 18,81 19,07 19,32 19,55 19,77 
4 12,57 12,84 13,09 13,32 13,53 13,73 13,91 14,08 14,24 14,40 
5 10,48 10,70 10,89 11,08 11,24 11,40 11,55 11,68 11,81 11,93 
6 9,30 9,48 9,65 9,81 9,95 10,08 10,21 10,32 10,43 10,54 
7 8,55 8,71 8,86 9,00 9,12 9,24 9,35 9,46 9,55 9,65 
8 8,03 8,18 8,31 8,44 8,55 8,66 8,76 8,85 8,94 9,03 
9 7,65 7,78 7,91 8,02 8,13 8,23 8,32 8,41 8,50 8,58 
10 7,36 7,48 7,60 7,71 7,81 7,91 7,99 8,08 8,15 8,23 
11 7,13 7,25 7,36 7,46 7,56 7,65 7,73 7,81 7,88 7,95 
12 6,94 7,06 7,17 7,26 7,36 7,44 7,52 7,59 7,66 7,73 
13 6,79 6,90 7,01 7,10 7,19 7,27 7,34 7,42 7,48 7,55 
14 6,66 6,77 6,87 6,96 7,05 7,13 7,20 7,27 7,33 7,40 
15 6,56 6,66 6,76 6,84 6,93 7,00 7,07 7,14 7,20 7,26 
16 6,46 6,56 6,66 6,74 6,82 6,90 6,97 7,03 7,09 7,15 
17 6,38 6,48 6,57 6,66 6,73 6,81 6,87 6,94 7,00 7,05 
18 6,31 6,41 6,50 6,58 6,66 6,72 6,79 6,85 6,91 6,97 
19 6,25 6,34 6,43 6,51 6,58 6,65 6,72 6,78 6,84 6,89 
20 6,19 6,28 6,37 6,45 6,52 6,59 6,65 6,71 6,77 6,82 
24 6,02 6,11 6,19 6,26 6,33 6,39 6,45 6,51 6,56 6,61 
30 5,85 5,93 6,01 6,08 6,14 6,20 6,26 6,31 6,36 6,41 
40 5,69 5,76 5,84 5,90 5,96 6,02 6,07 6,12 6,16 6,21 
60 5,53 5,60 5,67 5,73 5,78 5,84 5,89 5,93 5,97 6,02 
120 5,38 5,44 5,50 5,56 5,61 5,66 5,71 5,75 5,79 5,83 
∞ 5,23 5,29 5,35 5,40 5,45 5,49 5,54 5,57 5,61 5,64 
 n1 = número de tratamentos; n2 = número de graus de liberdade do erro 
 
 
61 Estatística Experimental – Missio, RF e Santos, AL 
Tabela 3: Valores da amplitude total estudentizada (z), para uso no teste de Duncan, ao nível 
de 5% de probabilidade. 
 
n2\n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
1 17,97 17,97 17,97 17,97 17,97 17,97 17,97 17,97 17,97 17,97 
2 6,09 6,09 6,09 6,09 6,09 6,09 6,09 6,09 6,09 6,09 
3 4,50 4,52 4,52 4,52 4,52 4,52 4,52 4,52 4,52 4,52 
4 3,93 4,01 4,03 4,03 4,03 4,03 4,03 4,03 4,03 4,03 
5 3,64 3,75 3,80 3,81 3,81 3,81 3,81 3,81 3,81 3,81 
6 3,46 3,59 3,65 3,68 3,69 3,70 3,70 3,70 3,70 3,70 
7 3,34 3,48 3,55 3,59 3,61 3,62 3,63 3,63 3,63 3,63 
8 3,26 3,40 3,48 3,52 3,55 3,57 3,58 3,58 3,58 3,58 
9 3,20 3,34 3,42 3,47 3,50 3,52 3,54 3,54 3,55 3,55 
10 3,15 3,29 3,38 3,43 3,47 3,49 3,51 3,52 3,52 3,53 
11 3,11 3,26 3,34 3,40 3,44 3,46 3,48 3,49 3,50 3,51 
12 3,08 3,23 3,31 3,37 3,41 3,44 3,46 3,47 3,48 3,49 
13 3,06 3,20 3,29 3,35 3,39 3,42 3,44 3,46 3,47 3,48 
14 3,03 3,18 3,27 3,33 3,37 3,40 3,43 3,44 3,46 3,47 
15 3,01 3,16 3,25 3,31 3,36 3,39 3,41 3,43 3,45 3,46 
16 3,00 3,14 3,24 3,30 3,34 3,38 3,40 3,42 3,44 3,45 
17 2,98 3,13 3,22 3,29 3,33 3,37 3,39 3,41 3,43 3,44 
18 2,97 3,12