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CCaappííttuulloo 33 DDEERRIIVVAADDAASS A derivada de uma função é considerada a ferramenta mais importante do cálculo diferencial. Essa popularidade é resultado das inúmeras aplicações dessa poderosa ferramenta. Por exemplo, o desenvolvimento de novos aparelhos e o aperfeiçoamento dos já existentes, de alguma forma, depende do conhecimento da derivada de uma função. É interessante saber que a derivada nasceu de uma idéia bem simples: o cálculo do coeficiente angular de uma reta usando limites. CONCEITO DE DERIVADA Antes de formalizar a definição de derivada, vamos começar com um exemplo numérico. EXEMPLO Considere a seguinte função: 2x)x(f = Primeiramente, vamos escolher dois valores de x: 1x 0 = e 2x1 = Os valores de y correspondentes a esses pontos são: 11)1(fy 20 === e 42)2(fy 21 === Então, a curva da função passa pelos pontos: )1,1()y,x(P 00 == )4,2()y,x(Q 11 == Podemos traçar uma reta que passa por P e Q cujo coeficiente angular é dado por: 3 1 3 12 14 xx yy x y m 01 01 == − − = − − = ∆ ∆ = O denominador do coeficiente angular é igual a: 1xxx 01 =−=∆ Graficamente, podemos enxergar melhor essa situação: Agora vamos fazer: 1,1x1 = Então: 21,11,1)1,1(fy 21 === CAPÍTULO 3 – DERIVADAS PÁGINA 2 Portanto, o ponto Q tem as seguintes coordenadas: )21,1 , 1,1()y,x(Q 11 == O coeficiente angular da reta que passa por P e Q é dado por: 1,2 1,0 21,0 11,1 121,1 xx yy x y m 01 01 == − − = − − = ∆ ∆ = Sendo que: 1,011,1xxx 01 =−=−=∆ Novamente, vamos fazer: 01,1x1 = Então: 0201,101,1)01,1(fy 21 === As coordenadas do ponto Q são iguais a: )0201,1 , 1,1()y,x(Q 11 == O coeficiente angular da reta que passa por P e Q é dado por: 01,2 01,0 0201,0 101,1 10201,1 xx yy x y m 01 01 == − − = − − = ∆ ∆ = Sendo que: 01,0101,1xxx 01 =−=−=∆ Vamos colocar todos os resultados obtidos na seguinte tabela: ∆∆∆∆x m 1 3 0,1 2,1 0,01 2,01 ... ... 0 2 À medida que ∆x se aproxima de zero, o ponto Q se aproximará cada vez mais de P e a reta que corta a função passará a tangenciá-la. O coeficiente angular da reta tangente a f(x) é igual a 2. A situação, quando ∆x tende a zero, pode ser vista no gráfico abaixo: Note que esse é um processo limite dado por: x ylimm 0x ∆ ∆ = →∆ Onde m é o coeficiente angular da reta tangente a f(x). Vamos formalizar o conceito de derivada comparando com o exemplo numérico mostrado. CAPÍTULO 3 – DERIVADAS PÁGINA 3 Definimos a derivada de uma função f(x) pelo seguinte limite: x )x(f)xx(flim 0x ∆ −∆+ →∆ Vamos mostrar, de uma forma genérica, o significado dessa expressão. Começamos colocando no gráfico os pontos P e Q: Note que podemos traçar uma reta que passa por P e Q. O coeficiente angular dessa reta é dado por: x )x(f)xx(f x)xx( )x(f)xx(f xx yy x y m 01 01 ∆ −∆+ = −∆+ −∆+ = − − = ∆ ∆ = À medida que ∆x tende a zero, o ponto Q se aproxima cada vez mais de P: No limite, quando ∆x tende a zero, a reta tangenciará a função no ponto P. O coeficiente angular dessa reta é então conhecido como derivada da função: Derivada = x )x(f)xx(flim 0x ∆ −∆+ →∆ Alguns autores costumam calcular a derivada através da fórmula equivalente: Derivada = h )x(f)hx(flim 0h −+ → A representação de derivada é feita colocando-se um apóstrofo após o símbolo f em f(x): )x(f ′ Então: x )x(f)xx(flim)x(f 0x ∆ −∆+ =′ →∆ ∆x→0 CAPÍTULO 3 – DERIVADAS PÁGINA 4 Pela definição, notamos que a derivada depende do valor de x. Isso significa que podemos calcular o coeficiente angular da reta tangente à função f(x) para qualquer valor de x escolhido. No capítulo 1, vimos que o coeficiente angular de uma reta fornece a taxa de variação da variável y em relação à variável x (por exemplo, graus Celsius por hora ou milhões por ano). Portanto, a derivada mede a taxa de variação da função f(x) num determinado ponto x, ou seja, quanto maior o valor da derivada em x então mais inclinada será a função f(x) nesse ponto. Vamos verificar essa afirmação através do seguinte gráfico: Podemos perceber que a reta r tem inclinação menor que a reta s. Nesse caso, a derivada em x1 é menor que a derivada em x2. O resultado é que a função f(x) em x2 é mais inclinada que em x1. ENCONTRANDO A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO Vamos aplicar o limite que define a derivada para estabelecermos as regras de derivação de algumas funções. • 5)x(f = 5)xx(f =∆+ (para qualquer valor de x, a função será sempre igual a 5) x )x(f)xx(flim)x(f 0x ∆ −∆+ =′ →∆ 0 x 55lim)x(f 0x = ∆ − =′ →∆ Resumo: A derivada de uma função constante é igual a zero. • x5)x(f = x5x5)xx(5)xx(f ∆+=∆+=∆+ x )x(f)xx(flim)x(f 0x ∆ −∆+ =′ →∆ x x5x5x5lim)x(f 0x ∆ −∆+ =′ →∆ 55lim x x5lim)x(f 0x0x == ∆ ∆ =′ →∆→∆ Resumo: A derivada de uma função linear é igual ao seu coeficiente angular. CAPÍTULO 3 – DERIVADAS PÁGINA 5 • 2x5)x(f = 22222 x5xx10x5)xxx2x(5)xx(5)xx(f ∆+∆+=∆+∆+=∆+=∆+ x )x(f)xx(flim)x(f 0x ∆ −∆+ =′ →∆ x x5x5xx10x5lim)x(f 222 0x ∆ −∆+∆+ =′ →∆ x )x5x10(xlim x x5xx10lim)x(f 0x 2 0x ∆ ∆+∆ = ∆ ∆+∆ =′ →∆→∆ x10)x5x10(lim)x(f 0x =∆+=′ →∆ )x2(5)x(f ⋅⋅=′ Resumo: A derivada de uma função quadrática é igual à sua constante (5) multiplicada pelo valor do expoente (2) e pela variável x com o expoente reduzido de 1 unidade. • 3x5)x(f = )xxx3xx3x(5)xx(5)xx(f 32233 ∆+∆+∆+=∆+=∆+ 3223 x5xx15xx15x5)xx(f ∆+∆+∆+=∆+ x )x(f)xx(flim)x(f 0x ∆ −∆+ =′ →∆ x x5x5xx15xx15x5lim)x(f 33223 0x ∆ −∆+∆+∆+ =′ →∆ x )x5xx15x15(xlim x x5xx15xx15lim)x(f 22 0x 322 0x ∆ ∆+∆+∆ = ∆ ∆+∆+∆ =′ →∆→∆ 222 0x x15)x5xx15x15(lim)x(f =∆+∆+=′ →∆ )x3(5)x(f 2⋅⋅=′ Resumo: A derivada de uma função cúbica é igual à sua constante (5) multiplicada pelo valor do expoente (3) e pela variável x com o expoente reduzido de 1 unidade. A regra geral para o caso de funções com potências de x é dada por: nxk)x(f ⋅= 1nxnk)x(f −⋅⋅=′ EXEMPLO Calcular a derivada da função: 5x10)x(f = SOLUÇÃO Pela regra geral: 415 x50x510)x(f =⋅⋅=′ − CAPÍTULO 3 – DERIVADAS PÁGINA 6 Outras funções podem ser enquadradas na forma geral mostrada anteriormente. Por exemplo: • 2 x)x(f = Primeiramente, vamos modificar essa função: 2 1 2 1 xx)x(f == Aplicando a regra da derivada vista anteriormente: 1nxnk)x(f −⋅⋅=′ 2 2 1 2 11 2 1 x2 1 x 1 2 1 x 2 1 x 2 11)x(f ⋅ =⋅=⋅=⋅⋅=′ −− Resumo: A derivada da função raiz quadrada é formada colocando 1 no numerador, 2 (índice da raiz) no denominador, seguido da raiz quadrada de x. • 3 x)x(f = Primeiramente, vamos modificar essa função: 3 1 3 1 xx)x(f == Aplicando a regra da derivada: 1nxnk)x(f −⋅⋅=′ 3 2 3 2 3 21 3 1 x3 1 x 1 3 1 x 3 1 x 3 11)x(f ⋅ =⋅=⋅=⋅⋅=′ −− Resumo: A derivada da função raiz cúbica é formada colocando 1 no numerador,3 (índice da raiz) no denominador, seguido da raiz cúbica de x elevado à potência 2. • 4 3x)x(f = Primeiramente, vamos modificar essa função: 4 3 4 3 xx)x(f == Aplicando a regra da derivada: 1nxnk)x(f −⋅⋅=′ 4 1 4 1 4 11 4 3 x4 3 x 1 4 3 x 4 3 x 4 31)x(f ⋅ =⋅=⋅=⋅⋅=′ −− Resumo: A derivada da função é formada colocando 3 no numerador (potência de x dentro da raiz), 4 (índice da raiz) no denominador seguido da raiz quarta de x elevado à potência 1. A regra geral para o caso de funções raiz é dada por: q pxk)x(f ⋅= , com q>p q pq xq pk)x(f − ⋅ ⋅ =′ CAPÍTULO 3 – DERIVADAS PÁGINA 7 EXEMPLO Encontrar a derivada da função: 5 2x5)x(f ⋅= SOLUÇÃO Aplicando a regra para funções raiz: 5 35 25 x5 10 x5 25)x(f ⋅ = ⋅ ⋅ =′ − • x 1)x(f = Primeiramente, vamos modificar essa função: 1 1 x x 1)x(f −== Aplicando a regra da derivada: 1nxnk)x(f −⋅⋅=′ 2 211 x 1 x1x)1(1)x(f −=⋅−=⋅−⋅=′ −−− Resumo: A derivada da função é formada colocando -1 no numerador, seguido de x elevado à potência 2 no denominador. • 2x 1)x(f = Primeiramente, vamos modificar essa função: 2 2 x x 1)x(f −== Aplicando a regra da derivada: 1nxnk)x(f −⋅⋅=′ 3 312 x 2 x2x)2(1)x(f −=⋅−=⋅−⋅=′ −−− Resumo: A derivada da função é formada colocando -2 no numerador, seguido de x elevado à potência 3 no denominador. • 3x 1)x(f = Primeiramente, vamos modificar essa função: 3 3 x x 1)x(f −== Aplicando a regra da derivada: 1nxnk)x(f −⋅⋅=′ 4 413 x 3 x3x)3(1)x(f −=⋅−=⋅−⋅=′ −−− Resumo: A derivada da função é formada colocando -3 no numerador, seguido de x elevado à potência 4 no denominador. CAPÍTULO 3 – DERIVADAS PÁGINA 8 A regra geral esse tipo de função é dada por: nx 1k)x(f ⋅= 1n x )n(k)x(f + −⋅ =′ EXEMPLO Encontrar a derivada da função: 4x 3)x(f = SOLUÇÃO Aplicando a regra estabelecida: 514 x 12 x )4(3)x(f −=−⋅=′ + EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE Sabemos calcular o coeficiente angular da reta tangente a f(x). Nesse ponto, vamos encontrar a equação que define a reta tangente a f(x). EXEMPLO Encontrar a equação da reta tangente a 2x)x(f = no ponto 3x0 = . SOLUÇÃO O coeficiente angular da reta tangente à função 2x)x(f = é dada por: x2)x(f =′ No ponto 3x0 = , o valor do coeficiente angular é igual a: 632)3(f)x(f 0 =⋅=′=′ Se quisermos saber a equação dessa reta basta saber em que ponto ela passa. No caso, quando 3x0 = : 93)3(f)x(fy 200 ==== Então, a reta tangente passa pelo ponto P: )9,3()y,x(P 00 == Logo, a equação procurada é dada por: )xx(m)yy( 00 −⋅=− )xx()x(f)yy( 000 −⋅′=− )3x(6)9y( −⋅=− 9x6y −= O resultado é mostrado no gráfico ao lado. É importante notar que o sinal do coeficiente angular indica se a função é crescente ou decrescente em determinados intervalos. No exemplo anterior, quando x>0, a derivada será sempre positiva o que quer dizer que a função será sempre crescente nesse intervalo. Por outro lado, quando x<0, a derivada será sempre negativa o que quer dizer que a função será sempre decrescente nesse intervalo. f(x)=x2 y=6x-9 CAPÍTULO 3 – DERIVADAS PÁGINA 9 O gráfico abaixo expressa bem o que afirmamos anteriormente: DERIVADAS DE OUTRAS FUNÇÕES Derivadas de outras funções podem ser demonstradas através de limites. A tabela a seguir mostra o resultado desse cálculo. Função Derivada )x(sen)x(f = )xcos()x(f =′ )xcos()x(f = )x(sen)x(f −=′ )x(tg)x(f = )x(sec)x(f 2=′ xe)x(f = xe)x(f =′ xa)x(f = alna)x(f x=′ xln)x(f = x 1)x(f =′ EXEMPLO Provar que, se xe)x(f = então xe)x(f =′ . SOLUÇÃO Primeiramente, devemos calcular: xxxx eee)xx(f ∆∆+ ⋅==∆+ A derivada da função é dada pelo seguinte limite: x 1elime x )1e(elim x )x(f)xx(flim)x(f x 0x x xx 0x0x ∆ − ⋅= ∆ − = ∆ −∆+ =′ ∆ →∆ ∆ →∆→∆ Para resolver esse limite, vamos fazer: 1eu x −= ∆ ⇒ )u1ln(x +=∆ Pela equação anterior, podemos concluir que: 0u → quando 0x →∆ Substituindo no limite: u 1 0u u 10u0u x 0x )u1ln(lim 1 )u1ln( 1lim)u1ln( ulim x 1elim + = + = + = ∆ − → →→ ∆ →∆ 1 eln 1 )u1(limln 1 x 1elim u 1 0u x 0x == + = ∆ − → ∆ →∆ Então: xe)x(f =′ CAPÍTULO 3 – DERIVADAS PÁGINA 10 PROPRIEDADES DA DERIVADA A derivada de uma função apresenta as seguintes propriedades: (a) [ ] )x(fk)x(fk ′⋅=′⋅ (b) [ ] )x(g)x(f)x(g)x(f ′+′=′+ (c) [ ] )x(g)x(f)x(g)x(f)x(g)x(f ′⋅+⋅′=′⋅ (d) [ ]2)x(g )x(g)x(f)x(g)x(f )x(g )x(f ′⋅−⋅′ = ′ , desde que g(x)≠0 EXEMPLO Calcular as derivadas: 1) 2x3)x(f = , então x6)x2(3)x(3)x(f 2 =⋅=′⋅=′ 2) )xcos(3)x(f = , então )x(sen3])x(sen[3])x[cos(3)x(f −=′−⋅=′⋅=′ 3) 23 x2x)x(f += , então x4x3)x(2)x()x(f 223 +=′⋅+′=′ 4) )xcos(x)x(f 3 ⋅= , então ])x[cos(x)xcos()x()x(f 33 ′⋅+⋅′=′ )x(senx)xcos(x3)]x(sen[x)xcos(x3)x(f 3232 ⋅−⋅=−⋅+⋅=′ 5) )xcos( x)x(f 3 = , então 2 33 )]x[cos( ])x[cos(x)xcos()x()x(f ′⋅−⋅′=′ )x(cos )x(senx)xcos(x3 )x(cos )]x(sen[x)xcos(x3)x(f 2 32 2 32 ⋅+⋅ = −⋅−⋅ =′ DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR A UM Até o momento, aprendemos apenas a calcular a primeira derivada (também chamada de derivada de primeira ordem). Vamos definir agora as derivadas de ordem superior a um. A segunda derivada é expressa por: ])x(f[)x(f ′′=′′ Para obtermos a segunda derivada da função, basta derivarmos a primeira derivada. EXEMPLO Encontrar a segunda derivada da função: 3x)x(f = SOLUÇÃO A primeira derivada é dada por: 2x3)x(f =′ Então, a segunda derivada é igual a: x6)x2(3)x(f =⋅=′′ Definimos as derivadas de ordem três, quatro, cinco e a derivada de ordem n da seguinte forma: ])x(f[)x(f ′′′=′′′ ])x(f[)x(f )iv( ′′′′= CAPÍTULO 3 – DERIVADAS PÁGINA 11 ])x(f[)x(f )iv()v( ′= ])x(f[)x(f )1n()n( ′= − Conforme a última fórmula, se quisermos obter a décima derivada de uma função, então, precisamos encontrar todas as derivadas de ordem inferior a dez. EXEMPLO Encontrar a quinta derivada da função: 10x)x(f = SOLUÇÃO A primeira derivada é dada por: 9x10])x(f[)x(f =′=′ A segunda derivada é igual a: 88 x90)x9(10])x(f[)x(f =⋅=′′=′′ A terceira derivada é igual a: 77 x720)x8(90])x(f[)x(f =⋅=′′′=′′′ A quarta derivada é igual a: 66)iv( x5040)x7(720])x(f[)x(f =⋅=′′′′= Finalmente, a quinta derivada é igual a: 55)iv()v( x30240)x6(5040])x(f[)x(f =⋅=′= NOTAÇÃO PARA DERIVADAS Chamamos de notação à maneira que representamos uma idéia matemática. Por exemplo, a notação de uma função é feita de uma das seguintes formas: f(x) ou y EXEMPLO A notação de primeira derivada é dada por uma das formas abaixo: )x(f ′ , y′ , y& ou dx dy A última forma é a mais importante e significa a primeira derivada de y em relação a x. A segunda derivada pode ser representada por uma das formas abaixo: )x(f ′′ , y ′′ , y&& ou 2 2 dx yd A notação da terceira derivada é dada por uma das seguintes formas: )x(f ′′′ , y ′′′ , y&&& ou 3 3 dx ydE assim sucessivamente, até a n-ésima derivada: )x(f )n( , )n(y ou n n dx yd REGRA DA CADEIA A derivada de uma função composta é conhecida como regra da cadeia, ou seja, desejamos conhecer a derivada de funções do tipo: ))x(g(fy = CAPÍTULO 3 – DERIVADAS PÁGINA 12 Nesse caso, vamos fazer: )x(gu = Então a função inicial se torna: )u(fy = A derivada de y em relação a x é dada por: dx du du dy du du dx dy dx dy ⋅=⋅= Essa expressão é conhecida como regra da cadeia. Podemos escrever a regra da cadeia de uma forma mais simples: )x(u)u(y dx dy ′⋅′= EXEMPLO Encontrar a derivada de y em relação a x da função: )xsen(y 2= SOLUÇÃO Podemos notar que a função 2x)x(g = está dentro da função seno. Devemos fazer então: 2xu = A função y se torna: )usen(y = A derivada de y em relação a u é igual a: )ucos()u(y =′ A derivada de u em relação a x é igual a: x2)x(u =′ Então a derivada de y em relação a x é dada por: )x(u)u(y dx dy ′⋅′= x2)ucos( dx dy ⋅= Substituindo u por x2 na equação anterior: x2)xcos( dx dy 2 ⋅= EXEMPLO Encontrar a derivada de y em relação a x da função abaixo: 223 )x2xx(y ++= SOLUÇÃO Note que a função x2xx)x(g 23 ++= está dentro da função quadrática. Devemos fazer: x2xxu 23 ++= A função y se torna então: 2uy = A derivada de y em relação a u é igual a: u2)u(y =′ CAPÍTULO 3 – DERIVADAS PÁGINA 13 A derivada de u em relação a x é igual a: 2x2x3)x(u 2 ++=′ Então a derivada de y em relação a x é dada por: )x(u)u(y dx dy ′⋅′= )2x2x3(u2 dx dy 2 ++⋅= Substituindo a expressão de u na equação anterior: )2x2x3()x2xx(2 dx dy 223 ++⋅++= Podemos generalizar a regra da cadeia através da seguinte fórmula: dx df df df ... df df df df df dy dx dy n n 1n 3 2 2 1 1 ⋅⋅⋅⋅⋅= − Ou na forma mais simples: )x(f)f(f...)f(f)f(f)f(y dx dy nn1n32211 ′⋅′⋅⋅′⋅′⋅′= − EXEMPLO Encontrar a derivada de y em relação a x da função abaixo: ))x(ln(seny 3= SOLUÇÃO Para resolver o problema, devemos fazer: 3 2 xf = A função y se tornará então: ))f(ln(seny 2= Agora fazemos: )fln(f 21 = Isso torna a função y igual a: )f(seny 1= Começaremos calculando a derivada de f2 em relação a x: 2 2 x3)x(f =′ Em seguida, vamos calcular a derivada de f1 em relação a f2: 3 2 21 x 1 f 1)f(f ==′ O cálculo da derivada de y em função de f1 fornece: ))xcos(ln())fcos(ln()fcos()f(y 3211 ===′ A derivada de y em relação a x é dada pela regra da cadeia: )x(f)f(f)f(y dx dy 2211 ′⋅′⋅′= 2 3 3 x3 x 1))xcos(ln( dx dy ⋅⋅= Finalmente, a derivada de y em relação a x é dada por: x ))xcos(ln(3 dx dy 3⋅ = CAPÍTULO 3 – DERIVADAS PÁGINA 14 APLICAÇÕES DA REGRA DA CADEIA No capítulo 1, mostramos que a curva de Gauss é dada pela seguinte função: 2 x 2 1 e 2 1)x(f σ µ− ⋅− ⋅ piσ = Observando f(x) atentamente, podemos identificar uma composição de três funções. Portanto, para calcularmos a primeira derivada devemos fazer uso da regra da cadeia: )x(g)g(u)u(f dx dg dg du du df dx df ′⋅′⋅′=⋅⋅= Primeiramente, devemos fazer: σ µ− = xg A função f se tornará então: 2g 2 1 e 2 1f − ⋅ piσ = Agora fazemos: 2g 2 1 u −= Isso torna a função f igual a: ue 2 1f ⋅ piσ = Começaremos calculando a derivada de g em relação a x: σ =′ 1)x(g Lembre-se que o parâmetro µ que aparece em g é constante e a sua derivada é nula. Em seguida, vamos calcular a derivada de u em relação a g: g)g(u −=′ O cálculo da derivada de f em função de u fornece: uuu e 2 1)e( du d 2 1 e 2 1 du d)u(f ⋅ piσ =⋅ piσ = ⋅ piσ =′ Note que o parâmetro piσ 2 1 é constante, portanto, devemos derivar apenas a função exponencial. A derivada de f em relação a x é dada pela regra da cadeia: )x(g)g(u)u(f dx df ′⋅′⋅′= σ ⋅−⋅⋅ piσ = 1)g(e 2 1 dx df u Substituindo os valores de u e g: σ ⋅ σ µ− ⋅⋅ piσ −= σ µ− − 1x e 2 1 dx df 2 x 2 1 A derivada de f(x) será usada posteriormente para mostrar onde se localiza o ponto de máximo dessa função. Esse resultado é importante, pois nos informa qual é a ocorrência que tem a maior probabilidade de acontecer. Por exemplo, em uma distribuição de alturas dos alunos de uma escola, qual será a altura mais provável de ser encontrada ? CAPÍTULO 3 – DERIVADAS PÁGINA 15 DERIVADA DE FUNÇÃO INVERSA Vamos dividir por dy o numerador e o denominador da derivada dx dy : dydx dydy dx dy ÷ ÷ = Para encontrar a derivada de uma função inversa, basta aplicar a seguinte regra: dy dx 1 dx dy = EXEMPLO Encontrar a derivada da função abaixo: )x(arcseny = SOLUÇÃO A função inversa de y é dada por: x)y(sen = Derivando a expressão anterior: )ycos( dy dx = Então, a derivada de y em relação a x é igual a: ycos 1 dx dy = O segundo membro não pode ficar em função de y. Podemos eliminar a dependência de y através da relação trigonométrica fundamental: 1ycosysen 22 =+ ysen1ycos 22 −= 22 x1ysen1ycos −=−= Substituindo na expressão da derivada: 2x1 1 dx dy − = Resumo: a derivada da função arco-seno é igual a 2x1 1 − . EXEMPLO Encontrar a derivada da função abaixo: xlny = SOLUÇÃO A função inversa de y é dada por: xey = Derivando a expressão anterior: ye dy dx = CAPÍTULO 3 – DERIVADAS PÁGINA 16 Então, a derivada de y em relação a x é igual a: ye 1 dx dy = O segundo membro não pode ficar em função de y. Podemos eliminar a dependência de y sabendo que: xey = Então: x 1 dx dy = Resumo: a derivada da função logaritmo neperiano de x é igual a x 1 . Através desse método, podemos encontrar as seguintes derivadas: Função Derivada )xcos(ar)x(f = 2x1 1)x(f − −=′ )x(arctg)x(f = 2x1 1)x(f + =′ x)x(f = x2 1)x(f =′ DERIVADA DE FUNÇÃO IMPLÍCITA Quando existirem somente ocorrências da variável x no segundo membro da equação de uma função, então dizemos que a função é explícita. Esse tipo de função possui a seguinte representação: )x(fy = EXEMPLO São funções explícitas: 2x5y 2 −= )xcos(y = Note que a variável x aparece apenas no segundo membro em todas as funções dadas. Por outro lado, dizemos que uma função é implícita quando estiver na forma: 0)y,x(f = A derivada desse tipo de função é feita usando as regras e as propriedades das derivadas de funções explícitas. EXEMPLO Encontre a derivada da seguinte função implícita: 02xy 22 =++ SOLUÇÃO Tomando a derivada em relação a x nos dois membros: )0( dx d)2xy( dx d 22 =++ CAPÍTULO 3 – DERIVADAS PÁGINA 17 Podemos aplicar a propriedade da derivada da soma para encontrar: )0( dx d)2( dx d)x( dx d)y( dx d 22 =++ Fazendo 2yu = , podemos calcular a derivada do primeiro termo através da regra da cadeia: dx dy dy du dx du ⋅=dx dyy2)y( dx d 2 ⋅= Chamando 2xu = , podemos calcular a derivada do segundo termo: x2 dx du = x2)x( dx d 2 = As derivadas do terceiro termo do primeiro membro e do segundo membro são iguais a zero já que a derivada de uma constante é igual a zero. Vamos substituir as derivadas em cada um dos termos da equação de origem: 0x2 dx dyy2 =+ Isolando dx dy no primeiro membro teremos: y x y2 x2 dx dy −=−= EXEMPLO Encontre a derivada da seguinte função implícita: 01xxy 2 =−+ SOLUÇÃO Podemos aplicar a propriedade da derivada da soma para encontrar: )0( dx d)1( dx d)x( dx d)xy( dx d 2 =−+ O primeiro termo é a derivada do produto de duas funções: y dx dy x dx dxy dx dy x)xy( dx d +=+= Chamando 2xu = , podemos calcular a derivada do segundo termo: x2 dx du = As derivadas do terceiro termo do primeiro membro e do segundo membro são iguais a zero já que a derivada de uma constante é igual a zero. Vamos substituir as derivadas em cada um dos termos da equação de origem: 0x2y dx dy x =++ + −= x x2y dx dy CAPÍTULO 3 – DERIVADAS PÁGINA 18 DERIVABILIDADE E CONTINUIDADE Em alguns casos, uma função pode ser contínua mas não ser derivável num ponto. Isso significa que a continuidade não garante que a função é derivável. Por outro lado, se uma função é derivável num ponto podemos ter certeza que a função é contínua. Funções que apresentam pontas ou cantos nos seus gráficos são contínuas mas não são deriváveis. EXEMPLO As funções abaixo são contínuas mas não são deriváveis nas pontas ou cantos: Gráfico com ponta Gráfico com canto Quando uma função é contínua mas não é derivável, torna-se impossível traçar uma única reta tangente nos pontos em que ocorrem os cantos e as pontas. Veja o gráfico: Note que podemos traçar as retas r e s tangentes à função f(x) no ponto p. Na verdade, existem infinitas retas que tangenciam a função no ponto p. Provamos que uma função pode ser contínua mas não derivável através dos limites que definem a continuidade e a derivada. INTERVALOS DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO Analisando o sinal da primeira derivada, podemos ter uma idéia do comportamento de uma determinada função. Observe o gráfico abaixo: CAPÍTULO 3 – DERIVADAS PÁGINA 19 Para cada um dos pontos analisados, podemos observar que o coeficiente angular da reta tangente à função tem um sinal diferente. Na primeira reta à esquerda o coeficiente angular é negativo, logo, a reta tangente é decrescente e a função também está decrescendo. Já na segunda reta à esquerda o coeficiente angular é positivo, portanto, a reta tangente é crescente e a função está crescendo. Lembramos que o coeficiente angular da reta tangente à função f(x) é dado pela primeira derivada de f(x), portanto, o seu sinal mostra onde a função cresce ou decresce. EXEMPLO Caracterizar a função abaixo em crescente ou decrescente em x=2. x27xy 3 −= SOLUÇÃO A primeira derivada é dada por: 27x3y 2 −=′ No ponto x=2, a primeira derivada é igual a: 152723)2(y 2 −=−⋅=′ Como a primeira derivada é negativa, então a função x27xy 3 −= é decrescente em x=2. EXEMPLO Partindo do exemplo anterior, caracterizar a função em crescente ou decrescente em x=4. SOLUÇÃO No ponto x=4, a primeira derivada é igual a: 212743)4(y 2 =−⋅=′ Como a primeira derivada é positiva, então a função x27xy 3 −= é crescente em x=4. CONCAVIDADE E PONTO DE INFLEXÃO Assim como a primeira derivada, a segunda derivada também tem um significado especial. É possível demonstrar que a segunda derivada indica a concavidade da função no ponto. • Quando a segunda derivada é positiva, a concavidade está para cima; • Quando a segunda derivada é negativa, a concavidade está para baixo. EXEMPLO Considere a função: cbxaxy 2 ++= SOLUÇÃO A segunda derivada é dada por: bax2y +=′ a2y =′′ O que podemos perceber é que, dependendo do sinal de a, a segunda derivada mostra se a concavidade da função está para cima ou para baixo. Como a segunda derivada é constante, então a função possui apenas uma concavidade. EXEMPLO Qual é a concavidade da função no ponto x=2 ? 1xx3y 3 ++= CAPÍTULO 3 – DERIVADAS PÁGINA 20 SOLUÇÃO A segunda derivada é dada por: 1x9y 2 +=′ x18y =′′ O ponto x=2 "enxerga" a função y com concavidade para cima porque: 36218)2(y =⋅=′′ é positivo. EXEMPLO No exemplo anterior, qual é a concavidade da função no ponto x=-1 ? SOLUÇÃO O ponto x=-1 "enxerga" a função y com concavidade para baixo já que: 18)1(18)1(y −=−⋅=−′′ é negativo. Em algumas funções, existe um valor de x em que a segunda derivada se anula. Esse ponto é chamado ponto de inflexão. Nesse caso, o valor de x encontrado separa a função em duas concavidades diferentes. EXEMPLO Encontrar, se houver, o ponto de inflexão da função: 1x12x2y 23 +−= SOLUÇÃO A segunda derivada é dada por: x24x6y 2 −=′ 24x12y −=′′ Igualando a segunda derivada a zero: 0y =′′ 024x12 =− 24x12 = 2x = O ponto x=2 separa a função em dois tipos de concavidade. Por exemplo, para qualquer x<2 o valor da segunda derivada é negativo, então a função tem concavidade para baixo. Já para x>2, o valor da segunda derivada é positivo e a função tem concavidade para cima. Observe o gráfico: Então 2x = é ponto de inflexão. Concavidade para cima Concavidade para baixo CAPÍTULO 3 – DERIVADAS PÁGINA 21 PONTO DE MÁXIMO E MÍNIMO Numa função do segundo grau, xv é chamado ponto de máximo ou de mínimo, dependendo da sua concavidade. Vamos agora formalizar um método para encontrar esse ponto para qualquer tipo de função. Sabemos que a primeira derivada fornece o coeficiente angular da reta tangente a qualquer função. Pois bem, em algumas funções, existe um valor de x em que a primeira derivada se anula. Nesse ponto x estamos sobre o ponto de máximo ou de mínimo. EXEMPLO Imagine uma estrada com altos e baixos. Um automóvel está no ponto mais alto (máximo) ou mais baixo (mínimo) quando o automóvel se encontra alinhado na horizontal. Quando o automóvel está alinhado na horizontal, o coeficiente angular da reta tangente à estrada é igual a zero (reta com inclinação nula). Conhecendo a concavidade da função, saberemos se x é um ponto de máximo ou de mínimo. Essa informação é dada pelo sinal da segunda derivada. Graficamente, isso significa: EXEMPLO Encontrar, se existir, o ponto de máximo ou mínimo da função: 6x5xy 2 +−= SOLUÇÃO Primeiro, vamos encontrar as duas derivadas da função acima: 5x2y −=′ 2y =′′ CAPÍTULO 3 – DERIVADAS PÁGINA 22 Igualando a primeira derivada a zero: 0y =′ 05x2 =− 2 5 x = Esse ponto é chamado de mínimo já que a função, analisando o sinal da segunda derivada, tem concavidade para cima. Compare com os cálculos que você já tinha aprendido no capítulo de funções! EXEMPLO Encontrar, se existir, o ponto de máximo ou mínimo da função: 2x27xy 3 +−= SOLUÇÃO Primeiro, vamos encontrar as duas derivadas da função acima: 27x3y 2 −=′ x6y =′′ Igualando a primeira derivada a zero: 0y =′ 027x3 2 =− 27x3 2 = 3x ±= Substituindo x=+3 na segunda derivada: 18)3(6)3(y =+⋅=+′′ A função tem concavidade para cima e +3 é o ponto de mínimo. Agora, substituindo x=-3 na segunda derivada: 18)3(6)3(y −=−⋅=−′′ A função tem concavidade parabaixo e -3 é o ponto de máximo. Através do gráfico da função, podemos localizar esses dois pontos: Pontos de máximo e mínimo podem ser locais ou globais. Um ponto x=p é chamado de máximo local se não existir um valor da função maior que f(p) na vizinhança de p. Por outro lado, um ponto x=p é chamado de mínimo local se não existir um valor da função menor que f(p) na vizinhança de p. CAPÍTULO 3 – DERIVADAS PÁGINA 23 Um ponto p é chamado máximo global se não existir um valor da função maior que f(p) para qualquer valor de x dentro do domínio da função. Um ponto p é chamado mínimo global se não existir um valor da função menor que f(p) para qualquer valor de x dentro do domínio da função. APLICAÇÕES DE MÁXIMO E MÍNIMO Mostramos anteriormente que a curva de Gauss: 2 x 2 1 e 2 1)x(f σ µ− ⋅− ⋅ piσ = Tem derivada igual a: σ ⋅ σ µ− ⋅⋅ piσ −= σ µ− − 1x e 2 1 dx df 2 x 2 1 Vamos encontrar onde se localiza o seu ponto de máximo. Primeiramente, devemos igualar a derivada a zero: 0 dx df = 01xe 2 1 2 x 2 1 = σ ⋅ σ µ− ⋅⋅ piσ − σ µ− − Alguns termos presentes na equação acima nunca serão iguais a zero, como por exemplo: piσ − 2 1 e σ 1 , já que σ é sempre maior que zero; 2 x 2 1 e σ µ− − , pois a função exponencial nunca se anula. A única possibilidade da derivada se tornar nula acontecerá quando: 0x = σ µ− Então: µ=x Esse resultado nos conduz à seguinte interpretação: a ocorrência que possui a maior possibilidade de acontecimento é a média das ocorrências. Isso significa que, se pesquisarmos as alturas dos alunos de uma escola, será mais provável encontrarmos alunos com a altura média. Para o ponto de máximo, a função f(x) é igual a: piσ =⋅ piσ =µ σ µ−µ ⋅− 2 1 e 2 1)(f 2 2 1 Note que a dispersão das ocorrências, dada por σ, faz com que a curva de Gauss fique mais concentrada em torno da média (mais comprimida) ou mais dispersa (mais achatada). CAPÍTULO 3 – DERIVADAS PÁGINA 24 REGRAS DE L’HÔPITAL As regras de L’Hôpital são usadas nos cálculos de limites dos tipos: 0 0 )x(g )x(flim px = → ou ∞± ∞± = → )x(g )x(flim px Esses limites podem ser resolvidos fazendo: )x(g )x(flim)x(g )x(flim pxpx ′ ′ = →→ EXEMPLO Encontrar o limite: 2x 6x5xlim 2 2x − +− → SOLUÇÃO O limite dado é do tipo: 0 0 )x(g )x(flim px = → Devemos então derivar as funções presentes no numerador e no denominador: 6x5x)x(f 2 +−= ⇒ 5x2)x(f −=′ 2x)x(g −= ⇒ 1)x(g =′ Então o limite é dado por: 1 1 5x2lim 2x 6x5xlim 2x 2 2x −= − = − +− →→ Note que: 13xlim 2x )2x()3x(lim 2x 6x5xlim 2x2x 2 2x −=−= − −⋅− = − +− →→→ EXEMPLO Encontrar o limite: 2x 6x5xlim 2 2 x − +− +∞→ SOLUÇÃO O limite dado é do tipo: ∞+ ∞+ = → )x(g )x(flim px Devemos então derivar as funções presentes no numerador e no denominador: 6x5x)x(f 2 +−= ⇒ 5x2)x(f −=′ 2x)x(g 2 −= ⇒ x2)x(g =′ Então o limite é dado por: x2 51lim x2 5x2lim 2x 6x5xlim xx2 2 x −= − = − +− +∞→+∞→+∞→ CAPÍTULO 3 – DERIVADAS PÁGINA 25 Aplicando a propriedade do limite da soma (ou subtração) de funções: 1 x 1lim 2 51 2x 6x5xlim x2 2 x =⋅−= − +− +∞→+∞→ Tente aplicar a técnica de dividir o numerador e o denominador pela maior potência de x para encontrar o resultado do limite e verifique que o resultado é o mesmo. APLICAÇÕES DA DERIVADA Vamos escolher algumas aplicações bem simples. A primeira aplicação consiste em analisar o Movimento Uniformemente Variado (MUV) do ponto de vista da derivada. Considere a função horária do espaço no MUV: 2 at tvs)t(s 2 00 ++= A primeira derivada dessa função em relação a t é dada por: atv)t(v dt ds 0 +== A equação acima nos mostra que a taxa de variação do espaço com o tempo é igual à velocidade instantânea. Definição: "Velocidade é a taxa de variação do espaço com o tempo". A velocidade pode ser encontrada derivando a função horária do espaço em relação ao tempo. Ao calcularmos a derivada da velocidade encontraremos: a dt dv = A equação acima nos mostra que a taxa de variação da velocidade com o tempo é igual à aceleração instantânea que, nesse caso, é constante. Note que a aceleração pode ser obtida derivando uma vez a velocidade ou derivando duas vezes o espaço: 2 2 dt sd a dt dv == Definição: "Aceleração é a taxa de variação da velocidade com o tempo". A aceleração pode ser encontrada derivando a função horária da velocidade em relação ao tempo. EXEMPLO Partindo da seguinte equação horária do espaço: 2t3t32)t(s ++= , sendo s=[m], t=[s], v=[m/s] e a=[m/s2] Encontrar a expressão da velocidade em função do tempo. SOLUÇÃO A velocidade instantânea é dada pela primeira derivada do espaço em relação ao tempo: t63 dt ds)t(v +== Se quisermos calcular a velocidade do móvel no tempo t=2s, devemos fazer: 15263)2(v =⋅+= m/s CAPÍTULO 3 – DERIVADAS PÁGINA 26 Em Economia, precisamos encontrar o número de quantidades produzidas de um produto que maximiza o lucro. EXEMPLO Considere a seguinte função de produção: 12q10q)q(Lucro 2 ++−= , sendo Lucro=[em $10.000] e q=[em 1.000 unidades] Encontre o número de unidades que devem ser produzidas para obtermos lucro máximo. SOLUÇÃO A primeira derivada é dada por: 10q2)q(oLucr +−=′ A segunda derivada é dada por: 2)q(oLucr −=′′ Para o lucro ser máximo, então a primeira derivada deve ser nula e a segunda ser negativa: 0)q(oLucr =′ 010q2 =+− 10q2 −=− 5q = Como q deve ser expressa em 1.000 unidades, então 5.000 unidades devem ser produzidas para que o lucro seja máximo. O valor do lucro máximo é obtido substituindo q=5 na equação: 12q10q)q(Lucro 2 ++−= 37125105)5(Lucro 2 =+⋅+−= Como o lucro deve ser dado em $10.000, então o lucro máximo é igual a $370.000. A última aplicação está relacionada à área de otimização (utilização ótima de recursos). EXEMPLO Um papelão quadrado com 120 cm de lado deve ser transformado em uma caixa sem tampa que permita o maior volume possível. Determinar a medida x do lado de cada quadrado que será retirado nos quatro cantos do papelão. Formato para corte e dobradura do papelão Como o lado do papelão quadrado mede 120cm, o fundo da caixa será um quadrado de lado (120-2x) cm e a altura da caixa medirá x cm. O volume será dado por: x14400x480x4)x2120(x)x(V 232 +−=−⋅= A sua primeira derivada é igual a: 14400x960x12)x(V 2 +−=′ CAPÍTULO 3 – DERIVADAS PÁGINA 27 Igualando a zero: 014400x960x12 2 =+− 01200x80x 2 =+− Essa equação possui as seguintes raízes: 60x =′ e 20x =′′ Se 60x = cm, o papelão será cortado ao meio e não conseguiremos montar uma caixa. Se usarmos 20x = cm, a caixa terá um fundo quadrado com o lado medindo 80 cm. O volume máximo será: 2)x2120(x)x(V −⋅= 000.128)202120(20)20(V 2 =⋅−⋅= cm3 SÉRIES DE POTÊNCIAS DE X As séries de potências são polinômios com infinitostermos que servem para descrever uma função f(x) de forma aproximada. Essa abordagem se revela muito interessante no tratamento computacional aproximado de funções. Uma função qualquer, que tenha derivadas contínuas até a ordem n, pode ser colocada sob a forma de série de potências de x: n n 1n 1n 4 4 3 3 2 210 xaxa...xaxaxaxaa)x(f ⋅+⋅++⋅+⋅+⋅+⋅+= −− É imediato saber que 0a)0(f = . Ao calcularmos a primeira derivada de f(x), encontramos: 1n n 3 4 2 3 1 21 xan...xa4xa3xa2a)x(f −⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+=′ Com 1a)0(f =′ . Ao calcularmos a segunda derivada de f(x), encontramos: 2n n 2 4 1 32 xa)1n(n...xa34xa23a12)x(f −⋅⋅−⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=′′ Com 22 a!2a12)0(f =⋅⋅=′′ . Ao calcularmos a terceira derivada de f(x), encontramos: 3n n 1 43 xa)2n()1n(n...xa234a123)x(f −⋅⋅−⋅−⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=′′′ Com 33 a!3a123)0(f =⋅⋅⋅=′′′ . Ao fazermos esse processo sucessivamente, encontraremos: • Para a derivada n-1: 1 n1n )1n( xa23...)1n(na123...)2n()1n()x(f ⋅⋅⋅⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅⋅⋅−⋅−= − − Com 1n1n )1n( a)!1n(a123...)2n()1n()0(f −− − −=⋅⋅⋅⋅⋅−⋅−= • Para a derivada n: n )n( a123...)2n()1n(n)x(f ⋅⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅= Com nn )n( a!na123...)2n()1n(n)0(f =⋅⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅= Substituindo cada uma das constantes a0, a1, a2, a3,..., an-1, an na série de potências: n )n( 1n )1n( 32 x !n )0(f x)!1n( )0(f ...x !3 )0(f x !2 )0(f x)0(f)0(f)x(f + − ++ ′′′ + ′′ +′+= − − Esta série de potências é conhecida como série de MacLaurin e é válida para valores de x próximos de zero (ponto de referência da série). CAPÍTULO 3 – DERIVADAS PÁGINA 28 EXEMPLO Colocar xe)x(f = em série de potências de x. SOLUÇÃO Sabemos que todas as derivadas de f(x) são iguais: x)n()1n( e)x(f)x(f...)x(f)x(f)x(f)x(f ====′′′=′′=′= − Então: 1)0(f)0(f...)0(f)0(f)0(f)0(f )n()1n( ====′′′=′′=′= − A série de potências de f(x) é dada por: n )n( 1n )1n( 32 x !n )0(f x)!1n( )0(f ...x !3 )0(f x !2 )0(f x)0(f)0(f)x(f + − ++ ′′′ + ′′ +′+= − − !n x )!1n( x ... !3 x !2 x x1e n1n32 x + − +++++= − EXEMPLO Calcular 5,0e através da série de potências de x com dois, três e quatro termos. Comparar o resultado com o valor fornecido pela calculadora. SOLUÇÃO O valor fornecido pela calculadora é igual a: 648721271,1e 5,0 = • Com dois termos: x1)x(f += 5,15,01)5,0(f =+= • Com três termos: !2 x x1)x(f 2 ++= 625,1 !2 )5,0(5,01)5,0(f 2 =++= • Com quatro termos: !3 x !2 x x1)x(f 32 +++= ...64583,1 !3 )5,0( !2 )5,0(5,01)5,0(f 32 =+++= Note que o resultado se aproxima cada vez mais do valor de 5,0e fornecido pela calculadora. CAPÍTULO 3 – DERIVADAS PÁGINA 29 APLICAÇÕES DE SÉRIES DE POTÊNCIAS DE X Uma das aplicações de séries de potência é a simplificação do modelo matemático do funcionamento do diodo. No capítulo 1, mostramos que o funcionamento do diodo pode ser modelado pela seguinte equação: T d nV v DD eIi = Onde: iD é a corrente total (contínua mais alternada) sobre o diodo; ID é a corrente contínua sobre diodo; vd é a tensão alternada sobre o diodo; VT é a tensão térmica (≈25mV); n é uma constante que vale 1 para diodos em circuitos integrados e vale 2 para diodos em circuitos discretos. A aproximação da função exponencial é feita através da série de potências: !k x ... !3 x !2 x x1e k32 x +++++= Fazendo a transformação de variáveis: T d nV v x = n T d 3 T d 2 T d T dnV v nV v !k 1 ... nV v !3 1 nV v !2 1 nV v1e T d ⋅++ ⋅+ ⋅++= Para Td nVv << , podemos desprezar os termos com potência maior que 2: T dnV v nV v1e T d +≈ Então, o modelo do diodo é dado por: +⋅= T d DD nV v1Ii d T D DD v nV IIi += Fazendo: D T d I nV r = O modelo do diodo se torna: d d DD r v Ii += O elemento rd é chamado resistência dinâmica do diodo. Note que o modelo do diodo foi consideravelmente simplificado de uma função exponencial para uma função do 1o grau. O modelo de pequenos sinais só é válido se a tensão de sinal vd for muito menor que a tensão térmica VT ( Td nVv << ). Na prática, o modelo de pequenos sinais pode ser justificado para tensões alternadas de até 10mV. CAPÍTULO 3 – DERIVADAS PÁGINA 30 DERIVADAS NO MATHEMATICA Derivadas podem ser facilmente calculadas no Mathematica através dos comandos: • Aspas simples ( ' ): esse comando calcula a primeira derivada da função. EXEMPLO Sin'[x] Cos'[x] Log'[x] ArcTan'[x] • D[função, {variável a ser derivada,ordem da derivada}] EXEMPLO D[x^3,{x,2}] - Calcula a terceira derivada da função em relação a x. D[Cos[x],{x,5}] - Calcula a quinta derivada da função em relação a x. D[Log[x],x] - Calcula a primeira derivada da função em relação a x.
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