Aula Equação de Bernoulli

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Prof. Me. Elenilson Tavares Cabral
ecabral.eng@gmail.com
HIDRÁULICA APLICADA
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A equação de Bernoulli é uma relação aproximada entre
pressão, velocidade e elevação e é válida em regiões de
escoamento incompressível e estacionário onde as forças de
atrito resultantes são desprezíveis.
Neste caso, considera-se que os efeitos das forças viscosa
são muito pequenos quando comparados aos efeitos da
inércia, da gravidade e da pressão. Porém, como todos os
fluidos possuem viscosidade, deve-se tomar cuidado onde
se aplica esta equação, pois em regiões próximas a paredes
sólidas (camadas-limite) e diretamente a jusante de corpos
(esteiras) tal equação não se aplica.
Equação de Bernoulli
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Escoamento Sem Atrito
Objeto no caminho do fluxo 
A equação de Bernoulli é válida
A equação de Bernoulli não é válida
Partindo-se da Segunda Lei de Newton (em mecânica dos
fluidos chamada de: relação da conservação da quantidade
de movimento linear) na direção s na qual uma partícula se
movimenta ao longo de uma linha de corrente (curva
tangente em todos os pontos ao vetor velocidade local
instantânea), chega-se a:
A equação acima é a famosa Equação de Bernoulli usada
em mecânica dos fluidos para escoamentos estacionários e
incompressíveis ao longo de uma linha de corrente em
regiões “sem” viscosidade.
Equação de Bernoulli
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Dedução
Fluxo ao longo de uma linha 
de Corrente
𝑷
𝝆
+
𝒗𝟐
𝟐
+ 𝒈 ⋅ 𝒛 = 𝑪𝒕𝒆
A equação de Bernoulli também pode ser escrita entre dois
pontos quaisquer na mesma linha de corrente, o que resulta
em:
A soma das energias de escoamento, cinética e potencial de
uma partícula de fluido é constante ao longo de uma linha
de corrente durante um escoamento estacionário quando
os efeitos da compressibilidade e do atrito são desprezíveis.
A equação de Bernoulli pode ser vista como: “O princípio da
conservação da energia mecânica”.
Equação de Bernoulli
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Dedução
Fluxo ao longo de uma linha 
de Corrente
𝑷𝟏
𝝆
+
𝒗𝟏
𝟐
𝟐
+ 𝒈 ⋅ 𝒛𝟏 =
𝑷𝟐
𝝆
+
𝒗𝟐
𝟐
𝟐
+ 𝒈 ⋅ 𝒛𝟐
Um tanque grande aberto para a atmosfera é preenchido
com água até uma altura de 5 m da saída da torneira.
Uma torneira próxima a parte inferior do taque é aberta,
e a água escoa para fora da torneira de maneira suave.
Determine a velocidade da água na saída.
Resp.: v = 9,9 m/s
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Exemplo
Equação de Bernoulli
Multiplicando a equação de Bernoulli pela massa específica r, tem-se:
(1) (2) (3)
(1) Pressão estática: pressão real do fluido (pressão termodinâmica).
(2) Pressão dinâmica: aumento de pressão quando o fluido em
movimento é parado (não há aumento da entropia).
(3) Pressão hidrostática: neste caso considera-se o nível em que o
fluido está e não a sua profundidade.
Pressão de estagnação: soma das pressões estática e dinâmica.
Equação de Bernoulli
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Pressões Estática, Dinâmica e de Estagnação
𝑷 +
𝝆 ⋅ 𝒗𝟐
𝟐
+ 𝝆 ⋅ 𝒈 ⋅ 𝒛 = 𝑪𝒕𝒆 𝑃𝑎
Um piezômetro e um tubo de Pitot são colocados em um
tubo de água horizontal para medir as pressões estática e
de estagnação (estática + dinâmica).
Para as alturas de coluna d’água indicadas, determine a
velocidade no centro do tubo e as pressões estática e de
estagnação aferidas.
Resp.: v = 1,53 m/s
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Exemplo
Equação de Bernoulli
Considere o escoamento de água mostrado na figura. A
pressão aplicada pelo êmbolo da seringa produzirá uma
pressão maior do que a atmosférica no ponto (1). A água
escoa pela agulha, ponto (2), com uma velocidade
bastante alta e atinge o ponto (3) no topo do jato.
Discuta, utilizando a equação de Bernoulli, a distribuição
da energia nos pontos (1), (2) e (3) do escoamento.
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Exemplo
Equação de Bernoulli
A água escoa de uma mangueira ligada a uma tubulação
de água à pressão manométrica de 400 kPa. Uma criança
coloca o polegar para cobrir a maior parte da saída da
mangueira, fazendo com que surja um fino jato de água à
alta velocidade. Se a mangueira for mantida para cima,
qual é a altura máxima que pode ser atingida pelo jato?
Resp.: *z = 40,8 m
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Exemplo
Equação de Bernoulli
A equação de Bernoulli é muito utilizada em mecânica dos fluidos e em muitos casos é
mal empregada, também. Algumas restrições devem ser aplicadas à sua utilização, tais
como:
1 – Escoamento estacionário;
2 – Escoamento com efeitos viscosos desprezíveis;
3 – Nenhum trabalho de eixo (nada de bombas, turbinas ou qualquer outra máquina ou
propulsor mecânico);
4 – Escoamento incompressível;
5 – Transferência de calor desprezível;
6 – Escoamento ao longo de uma linha de corrente (ou em escoamento irrotacional).
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Limitações do Uso
Equação de Bernoulli