MODELAÇÃO HIDRODINÂMICA DE UM NAVIO EM UM SIMULADOR

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MODELAÇÃO HIDRODINÂMICA DE UM NAVIO EM UM SIMULADOR ATRAVÉS DE 
UM MODELO EMPÍRICO 
 
 
 
Ernesto de Sá Coutinho Junior 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rio de Janeiro 
Agosto de 2014 
 
Projeto de Graduação apresentado ao Curso de 
Engenharia Naval e Oceânica da Escola Politécnica, 
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte 
dos requisitos necessários à obtenção do título de 
Engenheiro. 
 
Orientador: Sergio Hamilton Sphaier 
ii 
 
MODELAÇÃO HIDRODINÂMICA DE UM NAVIO EM UM SIMULADOR ATRAVÉS DE 
UM MODELO EMPÍRICO 
 
 
Ernesto de Sá Coutinho Junior 
 
 
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE 
ENGENHARIA NAVAL E OCEÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS 
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO NAVAL E 
OCEÂNICO. 
 
 
Examinada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL 
AGOSTO de 2014 
 
Prof. Sergio Hamilton Sphaier, Dr-Ing. 
 
 
 
Prof. Paulo de Tarso T. Esperança, D.Sc. 
 
 
 
Prof. Claudio Alexis Rodriguez Castillo, D.Sc. 
 
 
iii 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Coutinho Júnior, Ernesto de Sá 
 Modelação Hidrodinâmica de um Navio em um 
Simulador Através de um Modelo Empírico /Ernesto de Sá 
Coutinho Júnior. – Rio de Janeiro: UFRJ/ESCOLA 
POLITÉCNICA, 2014. 
 ix, 54p.: il.; 29,7 cm. 
 Orientador: Sergio Hamilton Sphaier 
 Projeto de Graduação – UFRJ/ POLI/ Engenharia Naval 
e Oceânica, 2014 
 Referências Bibliográficas: p. 48. 
 1. Modelo Matemático de Manobras. 2. Otimização.I. 
Sphaier, Sergio Hamilton. II. Universidade Federal do Rio de 
Janeiro, UFRJ, Engenharia Naval e Oceânica. III. 
Modelação Hidrodinâmica de um Navio em um Simulador 
Através de um Modelo Empírico 
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Dedico este trabalho a toda 
minha família, principalmente 
aos meus pais e a minha 
esposa. 
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Agradecimento 
 
 Agradeço, primeiramente, a Deus por ter me feito chegar a esse momento, pelo 
caminho trilhado até agora e pelas pessoas que Ele pôs neste caminho para me 
ajudar. 
 
 Agradeço à minha família, que me apoiou nesta jornada. Em especial aos 
meus pais, Ernesto de Sá Coutinho e Rosemary Braga Rocco, e minha tia Arminia de 
Sá Coutinho (in memoriam) pelo incentivo durante esses anos, e à minha esposa, 
Fernanda Gonçalves de Melo Coutinho, pelo companheirismo e dedicação para que 
eu pudesse chegar a esse momento. 
 
 Um agradecimento aos vários companheiros de universidade que me ajudaram 
nos momentos mais difíceis, e que também compartilharam suas alegrias comigo. 
 
Gostaria de agradecer também ao querido professor Sergio Hamilton Sphaier, 
pela dedicação e amizade durante este trecho final de faculdade e início do meu ciclo 
profissional e, principalmente, pelo exemplo de profissionalismo que levarei para o 
resto da minha vida. 
 
 Um agradecimento especial para o Centro de Simulação Aquaviária – CSA, 
que acreditou e investiu neste projeto. Sem este investimento, não seria possível a 
realização deste trabalho. 
 
 
vi 
 
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à EscolaPolitécnica/UFRJ como parte 
dos requisitos necessários para a obtenção do título de Engenheiro Naval e Oceânico 
 
 
Modelação Hidrodinâmica de um Navio em um Simulador Através de um Modelo 
Empírico 
 
Ernesto de Sá Coutinho Junior 
 
Agosto/2014 
 
Orientador: Sergio Hamilton Sphaier 
 
 
Curso: Engenharia Naval e Oceânica 
 
Os simuladores de manobras de navios criam ambientes virtuais quesão utilizados 
tanto no treinamento de pessoal de bordo, quanto em análises de risco de manobras. 
Para que o simulador proporcione ao utilizador boa representação do que se vê e 
sente nas manobras, o navio virtual utilizado deve estar o mais próximo possível do 
navio real. 
Na literatura da área, podemos ver que as ações fluidas ao redor do casco são 
modeladas na forma polinomial, sendo que os coeficientes deste polinômio são 
chamados de “coeficiente hidrodinâmico” ou também de “derivada hidrodinâmica”. O 
trabalho de desenvolvimento do navio virtual se dá na edição dos coeficientes 
hidrodinâmicos em busca das manobras que queremos alcançar, sendo que estas 
manobras são retiradas a partir de resultados experimentais padrão, como a prova de 
mar. 
Neste trabalho, será desenvolvida uma metodologia para aferição do navio virtual, 
utilizando um otimizador como ferramenta de busca dos coeficientes hidrodinâmicos. 
Ao final poderemos ver os ganhos que esta metodologia proporcionará. 
 
Palavras-chave: Navio, Manobra de Navio, Modelo Matemático de Manobras de Navio, 
Coeficientes Hidrodinâmicos, Simulador, Otimização. 
 
 
 
vii 
 
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of 
the requirements for the degree of Engineer. 
 
 
HYDRODYNAMIC MODELING OF A SHIP IN A SIMULATOR BY AN EMPIRICAL 
MODEL 
 
Ernesto de Sá Coutinho Junior 
 
August/ 2014 
 
Advisor: Sergio Hamilton Sphaier 
 
 
Course: Naval Architecture and Marine Engineering 
 
The ship maneuvering simulators create a virtual environment used on the shipboard 
staff training as far as on the maneuvering risk analysis. In order for the simulator to 
provide to user a good representation of what is seen and felt on the maneuvers, the 
virtual ship used must be as close as possible of the real ship. 
On the literature of the area, we can see that the fluid actions around the hull are 
modeled in a polynomial form, in which the coefficient of this polynomial are called 
“hydrodynamic coefficient”, also called “hydrodynamic derivatives”. The virtual ship’s 
development takes place in the hydrodynamic coefficients’ edition seeking for the 
maneuvers we want to achieve, in which these maneuvers are extracted from the 
standard experimental results, like the sea trial. 
On this work, it will be developed a virtual ship assessment methodology, using an 
optimizer as a search tool of the hydrodynamic coefficients. In the end, we will see the 
gains provided by this methodology. 
 
Keywords: Ship, Ship maneuvers, Mathematical Model of Ship Maneuvering, 
Hydrodynamic Coefficients, Simulator, Optimization 
 
 
 
 
viii 
 
Sumário 
 
1 Introdução .......................................................................................................................... 1 
2 Objetivo .............................................................................................................................. 1 
3 Modelo Matemático em Simuladores de Manobras ................................................... 2 
4 Modelo de Simulador da Hydronautics ....................................................................... 10 
4.1 Executor de manobras ........................................................................................ 12 
4.2 Validação ............................................................................................................... 14 
5 Manobras básicas .......................................................................................................... 15 
5.1 Parada Brusca: .....................................................................................................15 
5.2 Parada por inércia ................................................................................................ 16 
5.3 Curva de giro ........................................................................................................ 17 
5.4 Zigzag .................................................................................................................... 18 
5.5 Espiral .................................................................................................................... 20 
5.6 Pull-out ................................................................................................................... 21 
6 Descrição das Metodologias Abordadas .................................................................... 22 
6.1 Metodologia Atual: ............................................................................................... 22 
6.2 Metodologia Proposta: ........................................................................................ 23 
7 Otimizador ....................................................................................................................... 24 
7.1 O otimizador: modeFrontier ................................................................................ 24 
7.2 Esquema dentro do otimizador .......................................................................... 25 
8 Resultados e discussões .............................................................................................. 26 
8.1 1º Parte: (Yv’ , Yr’ , Nv’ , Nr’) .............................................................................. 29 
8.1.1 Otimização com o SIMPLEX: ................................................................ 29 
8.1.2 Com o MOGA-II: ...................................................................................... 30 
8.1.3 Comparação ............................................................................................ 32 
8.2 2º Parte: (Yv’ , Yr’ , Nv’ , Nr’) + (Xudot’ , Yvdot’ , Yrdot’ , Nvdot’ , Nrdot’) . 32 
8.2.1 Com o SIMPLEX: .................................................................................... 32 
8.2.2 Com o MOGA-II: ...................................................................................... 34 
8.2.3 Comparação ............................................................................................ 35 
8.3 3º Parte: (Yv’ , Yr’ , Nv’ , Nr’) + (Xudot’ , Yvdot’ , Yrdot’ , Nvdot’ , Nrdot’) + 
(Xdrdr’ , Ydr’,Ndr’). ......................................................................................................... 36 
8.3.1 Com o SIMPLEX: .................................................................................... 36 
8.3.2 Com o MOGA-II: ...................................................................................... 38 
8.3.3 Comparação ............................................................................................ 39 
ix 
 
8.4 4º Parte: ................................................................................................................. 40 
8.4.1 Com o SIMPLEX: .................................................................................... 41 
8.4.2 Com o MOGA-II: ...................................................................................... 43 
8.4.3 Comparação ............................................................................................ 45 
9 Conclusões e trabalhos futuros ................................................................................... 46 
10 Referências Bibliográficas ............................................................................................ 48 
ANEXOS .................................................................................................................................... 49 
1 Equações de movimento do modelo do MARAD ................................................... 49 
2 Coeficientes hidrodinâmicos ..................................................................................... 50 
3 Coeficientes Leme/Propulsor e Casco/Propulsor .................................................. 51 
4 Dados principais .......................................................................................................... 52 
5 Dados das manobras de curva de giro .................................................................... 53 
6 Dados das manobras de zigzag ............................................................................... 54 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
1 Introdução 
 
Os simuladores de manobra criam ambientes virtuais que se aproximam da 
realidade, e proporcionam, ao utilizador, uma boa representação do que se vê e sente 
nas manobras. 
Os simuladores se apresentam como boa ferramenta para treinamento de 
pessoal a baixo custo, pois proporcionam treinamento sem a necessidade de 
embarcar em um navio real. Além disso, simuladores servem como ferramenta para 
análise de manobras do tipo atracação e desatracação, aproximação de embarcações, 
entre outras. 
Neste contexto, uma preocupação com um navio bem ajustado ao navio real, 
se torna necessária. Como podemos ver na literatura, as forças e momentos atuantes 
no navio são descritos em termos polinomiais. E esta tarefa de ajuste dos coeficientes 
destes polinômios não é simples, devido a alguns fatores como: grande número de 
coeficientes envolvidos, grande número de manobras e movimentos que o navio 
executa e que precisam ser analisados para que fique bem ajustado, como também a 
natureza altamente não linear do problema. 
 
2 Objetivo 
 
O objetivo desse trabalho é desenvolver uma metodologia para 
desenvolvimento de um navio em um simulador de manobras, através de um método 
para identificar os coeficientes hidrodinâmicos a partir de resultados experimentais 
padrão, como a prova de mar de uma embarcação, buscando melhorar a forma como 
se ajustam os navios. 
Além disso, mostrou-se interessante buscar e desenvolver conhecimento sobre 
simuladores e seus modelos matemáticos de casco, propulsor, leme e máquina, para 
que este trabalho não seja só um relato de uma solução proposta, mas que também 
possa servir como fonte de conhecimento e estudo sobre modelos matemáticos em 
simuladores, possibilitando uma evolução deste mesmo trabalho no futuro, assim 
como base para outros trabalhos que poderão surgir. 
 
 
2 
 
3 Modelo Matemático em Simuladores de Manobras 
 
O modelo matemático de um simulador rege o comportamento do navio, e para 
representar os movimentos do navio devemos estabelecer as equações de 
movimento. Seguindo o desenvolvimento do modelo clássico de manobras, a 2ª Lei 
de Newton aplicada para um corpo rígido, expressa as equações de variação das 
quantidades de movimento linear e angular. 
 
 
Equação 1 
As equações acima são, inicialmente, escritas em um referencial inercial para a 
velocidade do centro de massa de um corpo, porém ao empregá-las para determinar 
os movimentos de um navio é mais conveniente utilizar um sistema solidário ao 
navio e então transferir essas equações para este sistema solidário. 
 
 
3 
 
Transferindo as equações do sistema inercial para o sistema solidário, como 
pode ser visto em [1], podemos chegar às equações de corpo rígido movendo-se no 
espaço para sistema de coordenadas fora do centro de gravidade do navio, ou seja, 
temos as equações que expressam a contribuição das forças de inércia da 2ª lei de 
Newton observada de um referencial solidário. 
 
 
Equação 2 
 
Como estamos trabalhando com manobra de navios de superfície em mar 
calmo, podemos assumir simplificações e utilizar apenas 3 G.L (surge, sway e yaw). 
Assim simplificamoso problema, e trabalhamos apenas com as equações do 
Movimento no plano Horizontal: 
 
 
 
 
Equação 3 
 
Tanto nas seis equações para os seis graus de liberdade, quanto para as três 
equações acima na dinâmica do navio no plano horizontal, têm que o lado direito 
descreve ações inerciais enquanto o lado esquerdo representa as ações externas, ou 
seja, forças e momentos externos totais agindo no navio. 
O ponto agora consiste em como formular as ações externas. 
Através de uma formulação teórica encontrou-se dificuldade de conseguir uma 
determinação das ações externas agindo no casco. Através de estudos experimentais, 
que tinham como proposta descrever as ações externas em função das velocidades e 
acelerações foi possível formular essas ações. 
 
 
 
4 
 
 
A descrição dessas ações se deu através de formulações polinomiais, como 
séries de potências (devidamente truncadas quando necessário). A expansão em série 
de Taylor é uma técnica que utiliza derivadas parciais para apresentar o valor de uma 
função com múltiplas variáveis. Classicamente esse desenvolvimento é feito em torno 
de uma situação (movimento) de referência = e expandindo a 
parcela complementar da força = + . Abaixo um exemplo de 
uma função F genérica de três variáveis x, y e z, para uma aproximação de segunda 
ordem. 
 
Equação 4 
 
Aplicando expansão em série de Taylor às forças e momento externos nas 
equações da Dinâmica do Navio no Plano Horizontal, podemos chegar aos polinômios 
que descrevem essas forças em função das velocidades e acelerações. As equações 
abaixo mostram apenas os termos de primeira ordem, porém a expansão pode seguir 
até a ordem que se queira. 
 
 
Equação 5 
 
Os coeficientes das equações acima são chamados de “Derivadas 
Hidrodinâmicas”. Para simplificarmos, usualmente expressamos essas derivadas 
como. 
5 
 
 
 
 
Aqui apresentamos apenas a nomenclatura das derivadas hidrodinâmicas 
lineares, porém pode-se estender o que fizemos para as derivadas de maiores ordens. 
Muitas vezes as equações de manobra são apresentadas na forma 
adimensional. Na literatura da área é muito comum encontrar duas formas de 
adimensionalização, 
 
 
Com as equações na forma adimensional podemos notar que a velocidade 
longitudinal (u0), pertencente ao movimento de referência, não aparece explicitamente 
nas equações após a adimensionalização. Assim temos coeficientes que independem 
do movimento de referência. 
Para exemplificar, extraímos duas equações do modelo linear de manobras e 
apresentamos abaixo: 
 
 
 
 
Equação 6 
 
 Onde 
 
 
 
6 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos notar que a velocidade longitudinal (u0) não está presente nas 
equações adimensionalizadas. 
Além disso, a adimensionalização faz com que os coeficientes hidrodinâmicos 
não estejam mais relacionados com as dimensões originais do navio. Com isso 
podemos comparar os coeficientes de navios diferentes e ver se estão em uma 
mesma faixa de utilização, como também nos possibilita a utilização dos coeficientes 
originalmente de um navio em outro navio. 
Voltando um pouco à descrição das ações, vale ressaltar que a expansão 
como foi apresentada mais acima nos mostra a forma clássica para encontrar os 
polinômios que representam as ações externas, no entanto possui aplicação limitada. 
A expansão em torno de um movimento U de referência, não consegue representar 
manobras para toda faixa de velocidades (altas e baixas velocidades), e para um 
simulador a proposta é que possa simular qualquer situação. Em literaturas da área 
podemos encontrar exemplos de polinômios desenvolvidos para representar as ações 
para qualquer velocidade. 
Além disso, para a aplicação prática temos que obrigatoriamente truncar a 
série num número finito de termos para que possamos utilizá-las. Com isso podemos 
dizer que temos as expressões das forças e momentos como funções polinomiais, 
através de polinômios em 
Dentre as principais análises nos estudos sobre manobrabilidade podemos 
ressaltar o estudo sobre estabilidade direcional, que utiliza o conhecido modelo linear 
de manobras trabalhando somente com os termos lineares dos polinômios descritos 
acima. Como este estudo baseia-se em pequenas perturbações em torno de uma 
situação de equilíbrio (U,0,0) , podemos verificar que se tratando da força lateral e do 
momento de yaw, os termos de acelerações e velocidades laterais (v’ e v), como 
também os termos de acelerações e velocidades de giro (r’ e r) estão em uma faixa 
muito próxima a zero. Com isso, termos não lineares podem ser desprezados por 
possuírem valores muito reduzidos se comparados com os termos lineares. 
Sendo assim, e trabalhando apenas com as equações em sway e yaw do 
modelo linear de manobras, podemos chegar à conclusão de que a estabilidade 
direcional do navio é balizada por oito coeficientes hidrodinâmicos lineares, e são eles 
Y , Y , Y , Y , N , N , N e N . Assim fica nítida a importância desse grupo de 
7 
 
derivadas, e isso será usado mais a frente. Porém o uso do modelo linear de 
manobras é bastante restrito, ou seja, para simuladores cuja proposta é realizar as 
mais diversas manobras os termos não lineares não devem ser desprezados. 
Segundo literatura da área, existem numerosas formulações de equações não-
lineares, as mais comuns são a cúbica e a quadrática, podendo chegar a formulações 
mais abrangentes. 
O desenvolvimento da formulação de forças e momentos não lineares é 
determinado por considerações de ordem teórica e da experiência prática. Os valores 
numéricos das derivadas hidrodinâmicas vêm de testes de modelo, como mecanismo 
movimento planar (PMM), braço giratório ou com um modelo de corrida livre. Com 
isso, as formulações encontradas dependem das condições que os dados 
experimentais são processados. 
Considerações sobre o comportamento da força hidrodinâmica lateral e do 
momento de yaw como reações a acelerações e velocidades são importantes. Como 
exemplo extraímos do PNA duas figuras para ilustrar o comportamento da força lateral 
e momento como reações à velocidade lateral. 
 
 
 
 
8 
 
A figura acima mostra as formas das funções que descrevem a força lateral e o 
momento de yaw como reações à velocidade lateral. As funções são sempre ímpares. 
No caso da força a função possui o sentido contrário ao sentido da velocidade: 
velocidades positivas acarretam forças negativas e vice-versa. Para o momento 
podemos ter a função passando pelo primeiro e terceiro diedros ou pelo segundo e 
quarto diedro, dependendo das contribuições do corpo de vante e de ré. 
Seguindo esta análise, termos com potência 2 nas expressões de forças e 
momentos podem ser descartados pelo caráter ímpar da força lateral e momento. 
Em 1970, Norrbin propôs que considerassem a velocidade e seu módulo na 
expansão em série de Taylor, considerando assim como duas variáveis 
distintas, para que o produto entre essas duas variáveis se comporte como uma 
função impar e gere valores, em módulo, como termos de potência 2. Assim os termos 
que anteriormente desapareciam pelo caráter da função, agora são considerados e as 
forças e momentos relacionados a ele não só dependem do seu módulo como também 
de seu sentido de orientação. 
Além de Norrbin (quadrado-absoluto, 1971), outros autores desenvolveram 
modelos quadráticos e os utilizaram intensamente na simulação de manobras, como e 
o caso do modelo utilizado pela Hydronautics (Hasselman, 1989). Já dentre os 
chamados modelos cúbicos podemos destacar o de Abkowitz (1964), que se 
demonstrou pertinente para manobras na típica situação de velocidadede cruzeiro e 
que pequenas perturbações são sobrepostas, ou seja, a velocidade média é bem 
maior que aquelas induzidas no curso da manobra. 
A partir desse ponto podemos dividir os modelos de manobras encontrados na 
literatura em 2 grupos: os modelos holísticos, e os modelos modulares. 
O modelo holístico pretende modelar a dinâmica das manobras (ou descrever 
as equações de movimento) de um navio como um sistema completo e fechado, 
enxergando casco, propulsor e leme como um único módulo. Ou seja, as derivadas 
hidrodinâmicas do modelo são extraídas com o modelo completo 
(casco+prolulsor+leme). Esse modelo tem boa capacidade de descrever manobras 
não lineares de navios em manobras típicas. Porém, como é tratado como um modelo 
integrado, não oferece flexibilidade quando se quer variar algum parâmetro, como o 
leme por exemplo. Isso exigiria uma revisão geral da função que descreve as ações 
externas. 
O modelo modular trata casco, propulsor, leme, entre outros, de forma 
independente, em módulos separados, e depois são integrados ao sistema. Esse 
modelo modular tem a vantagem de poder adicionar ou subtrair diversos efeitos como 
vento e corrente, sem grandes complicações. A desvantagem deste modelo, é que 
9 
 
como temos cada modulo tratado de forma independente, assim temos que trabalhar 
com expressões que representem a interação entre os módulos, e estas interações 
nem sempre são simples. A maioria dos simuladores comerciais está nesta categoria. 
Dentre os modelos holísticos podemos citar como exemplo o conhecido modelo 
cúbico de Abkowits[1]. Nele podemos observar que ao extraímos as derivadas 
hidrodinâmicas, por exemplo, a força lateral devido a uma velocidade lateral, Yv têm 
as contribuições do casco, leme e propulsor, e todos os demais apêndices 
constituintes do navio. 
Dentre os modelos modulares, podemos destacar o modelo de manobras da 
HYDRONAUTICS (utilizado pelo Maritime Administration - MARAD), e o modelo 
utilizado pelo simulador comercial NTPro 5000 da Transas Marine (Transas 
MathematicalModel [2]), como exemplos. A soma das forças e momentos externos 
totais agindo no navio, em um modelo modular, tem a seguinte forma. 
 
 
Equação 7 
 
 Ou seja, as contribuições de casco, leme, propulsor, vento, onda, corrente, 
thruster e outros, são calculados separadamente e depois somados, para compor a 
contribuição axial, lateral e o momento de yaw. 
Nas equações acima podemos ver varias componentes constituintes de um 
modelo modular, mas não vemos as interações entre elas explicitamente, isso porque 
neste modelo as interações já se encontram em uma das componentes da interação. 
O modelo de manobras da HYDRONAUTICS (utilizado pelo MARAD), e o 
modelo utilizado pelo simulador comercial NTPro 5000 da Transas Marine (Transas 
MathematicalModel), são modelos modulares, porém, a diferença entre eles consiste 
na forma como são apresentados os coeficientes hidrodinâmicos. No Modelo da 
Hydronautics os coeficientes hidrodinâmicos são números fixos, já no modelo da 
Transas os coeficientes variam de acordo com o ângulo de deriva (drift angle), e/ou 
10 
 
com a razão de giro (rate of turning/ turning rate), por exemplo. Ou seja, os 
coeficientes do Modelo da Hydronautics são números fixos, e os coeficientes do 
modelo da TRANSAS estão em forma de gráfico (tabela). Porém, não quer dizer que 
não são equivalentes, pois ambos representam os efeitos de força no casco. Pode-se 
dizer que não há uma vantagem aparente entre modelos matemáticos que possuem 
coeficientes hidrodinâmicos em forma de número ou em forma de gráfico (tabela), 
desde que ambos representem de forma realista os efeitos de força que se propõem a 
representar. 
4 Modelo de Simulador da Hydronautics 
 
O modelo matemático adotado para este trabalho foi o Modelo da Hydronautics 
(ver anexo 1) pois a publicação “The MARAD Systematic Series of Full-Form Ship 
Models” [3],serve como referência no estudo de manobras, pois possui um rico banco 
de dados, com coeficientes de um elevado número de modelos, assim como suas 
manobras, além de envolver efeitos do leme e propulsor, como também um estudo 
sobre estabilidade direcional, e efeitos de águas rasas em manobra. 
Como é um estudo que reúne um bom número de modelos, produzindo 
algumas manobras para esses modelos, e como trabalha com a parte de estabilidade 
direcional e efeitos de águas rasas, utilizando uma modelagem matemática do tipo 
modular, torna-se uma modelagem que apresenta uma flexibilidade para se trabalhar. 
Podemos assim explorar vários pontos, podemos com o tempo evoluir o trabalho 
incorporando outros efeitos, efeitos de águas rasas por exemplo. 
Mesmo se mostrando uma fonte de estudo valiosa, possui limitações. O 
Modelo da Hydronautics trabalha, no módulo do propulsor, com uma solução que 
reproduz muito bem as manobras em torno de uma velocidade de equilíbrio. 
A solução adotada parte da suposição que a velocidade da embarcação não 
muda muito durante a manobra e o empuxo criado pelo hélice é perfeitamente 
equilibrado com a resistência do navio na velocidade de serviço. 
Contudo, o modelo deve ser capaz de simular aceleração e desaceleração em 
uma região próxima à velocidade de equilíbrio, de modo que um termo que expressa 
um equilíbrio (ou desequilíbrio) entre o empuxo e resistência se faz necessário. 
Segue abaixo o termo que representa o balanço entre empuxo do propulsor e 
resistência do navio. 
 
11 
 
 
 
Equação 8 
Onde: 
 R(u) = Resistência total 
 T(u) = Empuxo do propulsor 
 = Coeficientes do polinômio 
 
 = velocidade do navio 
 = velocidade comandada 
 
O polinômio entre colchetes da equação acima controla o balanço entre 
resistência e propulsão. Os coeficientes deste polinômio são ajustados para que a 
função tenha a seguinte forma. 
 
12 
 
Com isso quando = 1, significa que = , a velocidade comandada é a 
mesma que a velocidade atual do navio. Dado = 1 o polinômio assume valor zero, 
evidenciando o ponto de equilíbrio R(u)=T(u) =0. 
Quando < 1, significa que > , a velocidade comandada é menor que a 
velocidade atual do navio. Assim o polinômio assume um valor negativo, gerando uma 
força contra o movimento do navio, desacelerando-o até a igualdade entre = 
(ponto de equilíbrio) 
Quando > 1, significa que < , a velocidade comandada é maior que a 
velocidade atual do navio. Assim o polinômio assume um valor positivo, gerando uma 
força a favor do movimento do navio, acelerando-o até a igualdade entre = 
(ponto de equilíbrio) 
A solução acima apresentada nos permite afirmar que manobras como curva 
de giro e zigzag são perfeitamente executadas por este modelo, porém a manobra de 
parada brusca não pode ser executada, pois a solução adotada não oferece uma 
flexibilidade para tal manobra. 
Porém, como as manobras que iremos utilizar estão muito bem representadas, 
essas limitações não impõem restrições a este presente trabalho. 
 
4.1 Executor de manobras 
 
Foi desenvolvido em linguagem FORTRAN um executor de manobras 
utilizando a formulação de forças do MARAD. O executor está estruturado de forma 
simples, com alguns arquivos de entrada, a parte de execução de manobras e os 
arquivos de saída. Abaixo o esquema de funcionamento do executor de manobras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
Curva de giro Zig-zag 
 
 
 
 
14 
 
Onde: 
– Arquivos de entrada 
• derivadas.in é o arquivo de entrada onde estão os coeficientes 
hidrodinâmicos; 
• dadosbasicos.in é o arquivo com dados básicos como lpp, rho, Dp 
(diâmetro do propulsor); 
• entraE.txt é o arquivo de entrada que contém aposição e as 
velocidades iniciais, diz quais são os arquivos que devem ser lidos e 
quais arquivos irão guardar dados.entraE1.txt e/ou entraE2.txt (Índice 
E - "ship E" MARAD) e (Índice 1 - manobra 1 curva de giro) e/ou (Índice 
2 - manobra 2 zig-zag); 
• giro.in ou zigzag.in são os arquivos que possuem dados para executar 
suas respectivas manobras. 
– Arquivos de saída 
• ParâmetrosZig.txt é o arquivo onde estão os dados de saída da 
manobra zigzag; 
• ParâmetrosGir.txt é o arquivo onde estão os dados de saída da 
manobra Curva de giro; 
• Os outros arquivos contêm os dados no tempo. Ex: velocE.dat (arquivo 
de velocidades) 
4.2 Validação 
 
Para validarmos o executor de manobras feito em Fortran, devemos comparar 
os resultados obtidos com os dados do MARAD. Foi escolhido o navio E do MARAD 
como objeto de estudo.Abaixo a comparação dos dados do executor de manobras e a 
saída do MARAD, para as manobras de curva de giro e de zigzag: 
 
Curva de giro 
 
Aproamento 90° Aproamento 180° 
 
time [s] advance [feet] transfer [feet] time [s] tactical diameter [feet] 
Executor 310.00 2877.80 1157.70 717.50 2995.40 
MARAD 300.58 2831.42 1112.86 703.46 2930.13 
Diferença 3.13% 1.64% 4.03% 2.00% 2.23% 
 
 
 
15 
 
Zigzag 
 
1º Overshoot [deg] 2º Overshoot [deg] Período [s] 
Executor -14.72 17.16 947.50 
MARAD -14.38 17.45 946.07 
Diferença 2.39% -1.64% 0.15% 
 
Como pode ser visto, a diferença entre o encontrado pelo executor e os dados 
do MARAD ficam abaixo de 5%, então podemos considerar que o executor está bem 
ajustado, e assim podemos utilizá-lo. 
5 Manobras básicas 
 
Ao longo dos anos, foram criadas manobras padronizadas, para que o navio 
comprove sua capacidade de manobra. Hoje, existem regulamentos como os da IMO- 
Standards for Ship Maneuverability [4], que estabelecem limites para algumas 
manobras. Aqui serão descritas algumas manobras básicas que são utilizadas para 
aferição do navio na metodologia atual. 
 
5.1 Parada Brusca: 
 
Esta manobra que serve para avaliar a capacidade de parar do navio. 
Com o navio em velocidade de serviço e com ordem de máquina de 100% 
avante, a máquina é revertida, ou seja, é ordenada a máxima ordem de máquina a ré. 
A manobra dura até o navio parar. 
Algumas medidas que podemos extrair dessa manobra: 
 Track Raech: distância percorrida; 
 Head Reach: distância percorrida na direção de aproamento inicial da 
manobra (momento em que foi ordenada a reversão da máquina); 
 Lateral Deviation ou Side Reach: distância lateral atingida, em relação a 
direção de aproamento inicial da manobra; 
 Tempo de reversão da máquina; 
 Tempo total de parada. 
 
16 
 
 
 
5.2 Parada por inércia 
 
Semelhante à manobra anterior, esta manobra que também serve para avaliar 
a capacidade de parar do navio, porém, testa a capacidade sem a ação do propulsor 
contra o movimento. 
Com o navio em velocidade de serviço (máxima) a vante e com ordem de 
máquina de 100%, a ordem da máquina é zerada. A manobra deveria durar ate o 
navio parar, porém como o tempo decorrido pode ser muito alto, em alguns casos é 
estipulada uma velocidade limite, por exemplo 5 nós. 
Algumas medidas que podemos extrair dessa manobra: 
 track reach: distância percorrida; 
 head reach: distância percorrida na direção de aproamento inicial da 
manobra (momento em que foi ordenado o zero da máquina); 
 lateral deviation ou side reach: distância lateral atingida, em relação à 
direção de aproamento inicial da manobra; 
 tempo de parada da máquina; 
 tempo total percorrido pelo navio. 
17 
 
5.3 Curva de giro 
 
Esta manobra serve para testar a capacidade de giro do navio. 
Com o navio em determinada velocidade, o leme é acionado totalmente para um 
dos bordos e não é mais modificado. Desta forma, o navio executa uma curva de giro. 
O teste é feito tanto para bombordo quanto para boreste, percorrendo-se um 
ângulo mínimo igual a 540º. Quando a corrente é muito forte, o navio pode alcançar 
um ângulo bem maior, como 720º, para que possa ser aparente o efeito de corrente 
sobre a manobra. 
A manobra apresenta 3 fases. Na primeira fase, o navio está apenas com 
velocidade longitudinal e, a partir do momento que o leme é acionado, o navio começa 
a apresentar aceleração e velocidade de giro, e aceleração e velocidade lateral. Na 
segunda fase, ocorre a evolução das velocidades e acelerações, ou seja, é uma fase 
transiente. Na terceira fase, o navio já não possui mais as acelerações e , e todas 
as velocidades (longitudinal, lateral e de giro) assim como o ângulo de deriva, estão 
constantes. Desta forma, pode-se dizer que o navio entrou em regime constante. 
Alguns dados que podemos extrair dessa manobra: 
 Avanço: distância percorrida na direção do aproamento inicial, até uma 
mudança de aproamento* de 90º; 
 Transferência: distância percorrida perpendicularmente à direção do 
aproamento inicial, até uma mudança de aproamento* de 90º; 
 Diâmetro tático: distância percorrida perpendicularmente à direção do 
aproamento inicial, até uma mudança de aproamento* de 180º; 
 raio de giro quando em regime constante 
 perda de velocidade; 
 ângulo de deriva. 
 
*O aproamento do navio é medido em relação ao aproamento inicial da 
manobra. 
18 
 
. 
 
5.4 Zigzag 
 
O teste de zig-zag é realizado para se avaliar as habilidades de giro inicial e de 
guinada do navio. 
Com o navio em determinada velocidade, o leme é acionado, por exemplo, 10º 
para bombordo (BB). A partir deste momento o navio começa a mudar seu 
aproamento para bombordo. Quando aproamento do navio atinge 10º BB, o leme é 
acionado e passa para 10º boreste (BE). Por inércia o aproamento do navio continua a 
aumentar até que atinge um aproamento máximo para bombordo, e então começa a 
retornar. Neste momento anotamos a diferença entre os 10º de leme e o aproamento 
máximo BB e chamamos de 1º ângulo de sobretiro (ou 1º overshoot angle). O 
aproamento começa a reduzir, passa pelo valor zero e começa a aumentar para 
boreste. Assim, quando o aproamento do navio atinge 10º BE, o leme é modificado 
novamente, e passa para 10º BB. Por inércia o navio continua seu movimento até 
atingir um aproamento máximo para boreste. Neste momento anotamos a diferença 
19 
 
entre os 10º de leme e o aproamento máximo BE e chamamos de 2º ângulo de 
sobretiro (ou 2º overshoot angle). 
Normalmente a manobra se completa quando temos o primeiro e o segundo 
ângulos de sobretiro. Porém este procedimento pode continuar para quantos ângulos 
de sobretiros forem desejados. 
Além de medir os ângulos de sobretiro, são anotados os tempos em que 
ocorreu cada ângulo, e chamamos de 1º overshoot time e 2º overshoot time. 
O início desta manobra é utilizado para avaliar a Initial Turning Ability. O navio 
não deve percorrer mais que 2,5 do seu comprimento antes que o navio mude em 10º 
seu aproamento. 
 
 
Alguns dados que podemos extrair dessa manobra: 
 1º overshoot angle; 
 2º overshoot angle; 
 1º overshoot time; 
 2º overshoot time; 
 Distância percorrida até a mudança de aproamento de 10º 
 
 
 
 
20 
 
5.5 Espiral 
 
A manobra espiral serve para avaliar, a estabilidade direcional da embarcação e 
a sua capacidade de manter o curso. Servem também para obter resposta a ângulos 
de leme pequenos. 
Na espiral direta (Dieudonné), com o navio em determinada velocidade, o leme é 
acionado a 25º para boreste e é mantido até que a razão de giro seja constante, ou 
seja, até que ele inicie uma curva de giro. O ângulo de leme é, então, diminuído em 5º 
e, mais uma vez, mantido até queo navio alcance uma nova razão de giro constante. 
Tal procedimento é repetido até que o leme tenha chegado até 25º no bordo oposto. 
Para que a manobra fique completa é necessário que o mesmo procedimento seja 
feito, iniciando por ambos os bordos. 
Na espiral reversa (Bech), o navio é mantido em uma razão de giro constante e o 
ângulo de leme médio requerido para produzir esta guinada é mensurado. 
A referência [5]Recommendations for an ITTC 1975 Manoeuvring Trial Code, 
recomenda que as flutuações do leme em torno do valor médio não devem exceder ±4 
graus, porém, na prática, consegue-se um desvio de ± 2 graus. 
Para navios, que demonstram características estáveis, tanto no método de 
espiral direto (Dieudonné) quanto reverso (Bech), podem ser utilizados para obter 
resposta a ângulos de leme pequenos. Para navio instáveis, porém, recomenda-se a 
espiral reversa. 
Abaixo o resultado para um navio estável e para um instável. E para o caso 
instável está ilustrada tanto a espiral direta (Dieudonné) quanto a espiral reversa 
(Bech). 
 
 
 
21 
 
 
 
Alguns dados que podemos extrair dessa manobra: 
 Loop height; 
 Loop width; 
 
5.6 Pull-out 
 
O teste pull-out serve para analisar a estabilidade dinâmica da embarcação. 
Na manobra, um ângulo de leme é aplicado até que o navio alcance uma razão 
de giro constante. Neste momento, voltamos o leme ao ângulo zero. Se o navio é 
estável, a razão de guinada decairá até zero e, se o navio é instável, a razão de giro 
reduzir-se-á a um valor residual da razão de guinada. 
Tais manobras devem ser conduzidas tanto para bombordo, quanto para 
boreste, para mostrar uma possível assimetria. Estas podem ser realizadas no final de 
um teste zig-zag ou curva de giro. 
 
 
 
 
 
22 
 
6 Descrição das Metodologias Abordadas 
6.1 Metodologia Atual: 
 
A metodologia atual de desenvolvimento de navios no simulador de manobras 
é baseada no empirismo, depende da experiência do desenvolvedor, é uma forma de 
trabalho tradicional que busca a solução de um problema utilizando o método de 
tentativa e erro. 
Partindo de um template, modificamos os coeficientes hidrodinâmicos 
ebuscamos atingir as manobras do navio real. É nessa busca que está presente o 
empirismo do método, quando o desenvolvedor escolhe um determinado coeficiente 
sabendo que a mudança deste em +10%, gera uma resposta nas manobras de uma 
determinada maneira esperada, como aumentar o diâmetro tático da curva de giro, ou 
no aumento da estabilidade direcional por exemplo. 
Seja qual for o comportamento desejado a experiência do desenvolvedor o faz 
caminhar em uma direção ou modificar alguns parâmetros específicos, pois estes lhes 
parecem mais influentes na manobra, e assim se dá a dependência na experiência do 
desenvolvedor. Normalmente esta experiência é adquirida pela observação de 
projetos anteriores, e isso pode acabar restringindo a possibilidades de soluções, 
enquanto poderia ser avaliado um grande número de possibilidades. 
Além do empirismo alguns outros pontos podem ser ressaltados, como o tempo 
gasto no desenvolvimento do navio, que hoje gira em torno de poucos meses. Isso na 
atual forma de trabalho do simulador está adequada, e não causa nenhuma 
interferência no planejamento de trabalho, porém tem-se a esperança de que este 
tempo possa ser reduzido. 
O último ponto trata da diferença encontrada em relação às manobras alvo. 
Sendo este ponto o mais importante, pois foi pensando nele que surgiu a ideia de uma 
metodologia que utilize um ferramental matemático em seu tratamento. Hoje a 
diferença alcançada é aceitável, porém não é otimizada. Sendo assim tanto este 
ponto, como os outros são vistos como passíveis de melhoria. 
 
 
 
 
 
 
23 
 
6.2 Metodologia Proposta: 
 
Na busca por uma forma mais racional e menos empírica de ajuste dos 
coeficientes, foi proposta uma metodologia que leva em consideração que o ajuste dos 
coeficientes é um problema altamente não linear, que possui objetivos conflitantes, e 
com um número de combinações a serem avaliadas tão grande, que propõe um 
método matemático para solução desse problema, empregando para isso um 
algoritmo de otimização. 
O algoritmo matemático de otimização apresenta um ambiente capaz de 
trabalhar com multi objetivos, que são conflitantes entre si, e capaz de realizar um 
grande número de combinações dado um grande número de variáveis. O problema 
assim passa a ser encarado como um problema de otimização, que possui variáveis 
de entrada, uma “caixa preta” que otimiza, e as variáveis de saída que são as 
respostas do sistema. 
Nessa metodologia, a diferença em relação às manobras alvo passa a ser 
encarada como um erro, na forma de uma função erro. Sendo esta composta em 
termos da soma do quadrado das diferenças. Abaixo a função erro empregada. 
 
funcao_erro= + + + + +
+ + + 
 
9 componentes (5 parâmetros da curva de giro e 4 parâmetros da zigzag), para maiores esclarecimentos 
ver as manobras nos itens 5.3 e 5.4 
 
Com isso, onde antes dependíamos da experiência de um desenvolvedor, 
agora temos um método matemático com capacidade de fazer um grande número de 
combinações. Além disso, com o emprego de um método matemático, a expectativa é 
que o tempo de busca dos coeficientes e consequentemente o tempo de 
desenvolvimento do navio seja reduzido significativamente. E com o emprego de uma 
função erro e métodos de otimização poderosos, a expectativa é minimizar o erro (ou 
diferença em relação ao alvo) o máximo possível, e assim trabalhar como manobras 
muito mais próximas da manobra real. 
24 
 
7 Otimizador 
7.1 O pacote otimizador: modeFrontier 
 
O software utilizado para otimização foi o modeFRONTIER [6]. Este software 
nos oferece a possibilidade de integração com vários programas, nos oferta vários 
métodos de otimização diferentes e possui ferramentas de pós-processamento muito 
úteis. Abaixo o texto extraído do site da ESSS (empresa que comercializa o software 
no Brasil). 
 
“modeFRONTIER é um software de otimização multidisciplinar multiobjetivo, 
integração de processos e pós-processamento que permite o fácil acoplamento com 
diversas ferramentas de Computer Aided Engineering (CAE) e Computer Aided Design 
(CAD), sejam comerciais ou de desenvolvimento in-house” 
 
Dentre os métodos de otimização disponíveis no modeFRONTIER, foram 
eleitos 2 métodos de naturezas diferentes para serem utilizados. Com base em 
relatórios técnicos disponíveis no modeFRONTIER, podemos resumir os métodos de 
otimização da seguinte forma: 
 
-SIMPLEX: é comumente utilizado para problemas de minimização 
multidimensionais. Simplex é um algoritmo para problemas de optimização não linear 
e não deve ser confundido com o método simplex para a programação linear. O 
método SIMPLEX [7] não necessita de derivadas da função, portanto, é mais robusto 
do que o algoritmo baseado em gradientes locais. No modeFRONTIER, o algoritmo 
original foi atualizado para conter variáveis discretas e restrições. De um ponto de 
vista geométrico, um simplex é um poliedro contendo N + 1 pontos num espaço n-
dimensional, assim, em duas dimensões é um triângulo, em três dimensões é um 
tetraedro, e assim por diante. O método simplex compara os valores da função 
objetivo no N + 1 vértices e, em seguida, move este poliedro gradualmente em direção 
ao ponto ótimo durante o processo iterativo. Para cada iteração do algoritmo, ele tenta 
substituir os vértices do simplex, que produzem os valores de altura da função, com 
vértices cujos valores da nova função são mais baixos. O objetivo deste algoritmo é 
mover o simplex, atravésda substituição de vértices, na vizinhança de um 
minimizador. O critério de terminação é delicado em qualquer algoritmo 
multidimensional. Uma vez que o algoritmo simplex não utiliza derivadas, nenhum 
critério de terminação está disponível com base no gradiente da função objetivo. 
25 
 
Assim, o algoritmo para quando não é possível encontrar uma solução com melhorias 
superiores a alguma tolerância. 
-Multi-objective genetic algorithm (MOGA-II): é um método de otimização 
mutliobjetivo baseado em algoritmogenético. O MOGA-II foi modificado, para não 
saturar a população com alguns pontos de Pareto locais, por isso nunca fica preso em 
soluções de Pareto locais. Além disso, o relatório técnico MOGA-II An improved Multi-
Objective Genetic Algorithm [8] prova que a velocidade de convergência é muito boa, 
se comparado com outros algoritmos genéticos normalizados. 
 
7.2 Esquema dentro do otimizador 
 
Abaixo o esquema dentro do otimizador, onde podemos ver o seguinte: 
Na cor vermelha, na parte superior, as variáveis de entrada (coeficientes 
hidrodinâmicos utilizados). 
Na cor amarela, no canto inferior direito, temos os valores de manobra alvo 
 Na cor verde, na parte inferior esquerda, são os valores de manobra que saem 
da otimização (estes são usados na funcao_erro). 
Na parte inferior central, abaixo de tudo, na cor azul, temos a função objetivo 
(funcao_erro). 
 
 
26 
 
Na parte superior lateral direita, temos os arquivos necessários para que o 
executor de manobras funcione. E a linha central, é a lógica de funcionamento do 
otimizador, onde constam a população inicial, o método de otimização, a chamada do 
executor de manobras, um cálculo necessário para um valor de manobra, uma 
chamada para as manobras alvo e um fim lógico necessário, nesta ordem. 
8 Resultados e discussões 
 
Como dito anteriormente para objeto de estudo foi escolhido o navio E do 
MARAD. Abaixo seus dados principais, coeficientes hidrodinâmicos e dados de 
manobra: 
 
 
Navio E 
 
(a) Full-Load Condition 
Lpp (m) 312.83 
B (m) 62.57 
T (m) 20.85 
Displacement (Ton) 350000.00 
Wetted Surface (m2) 29355.50 
Cb 0.85 
L/B 5.00 
B/T 3.00 
 
(b) Ballast Condition 
T (m) 
 Mean 12.37 
FP 10.42 
AP 14.33 
Displacement (Ton) 196400.00 
Wetted Surface (m2) 22712.01 
 
( c ) Rudder and Propeller 
Rudder Planform Area (m2) 
 Total 217.02 
Movable 189.62 
Fixed 27.41 
Rudder Mean Span (m) 17.48 
Rudder Mean Chord (m) 12.38 
Propeller Diameter (m) 10.78 
 
27 
 
Navio E 
Xudot' -0.001330 
 
Yvdot' -0.020170 
 
Nrdot' -0.001360 
Xvr' 0.016080 
 
Y*' 0.000086 
 
N*' -0.000045 
Xvv' 0.002480 
 
Yv' -0.015120 
 
Nv' -0.010950 
Xdrdr' -0.002900 
 
Yv|v|' -0.053400 
 
Nv|v|' 0.013270 
Xrr' 0.000000 
 
Yr' 0.005570 
 
Nr' -0.004620 
Xvvn' 0.001000 
 
Yr|r|' 0.002300 
 
Nr|r|' -0.000380 
 
Yv|r|' -0.016300 
 
Nv|r|' -0.005150 
 
Yrdot' -0.000350 
 
Nvdot' 0.000020 
m' 0.022670 
 
Ydr' 0.005550 
 
Ndr' -0.002890 
Ix' 0.000101 
 
Yrn' 0.001670 
 
Nvn' 0.001670 
Iz' 0.001417 
 
Yvn' -0.003220 
 
Nrn' -0.000870 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
O trabalho foi desenvolvido em partes, cada parte é encarada como uma 
evolução da parte anterior, uma evolução no sentido de envolver um número maior de 
coeficientes a serem ajustados. A ideia é abordar os coeficientes que representam o 
casco, propulsor e leme para movimento do navio no plano, porem por uma limitação 
do modelo matemático adotado, a parte propulsiva não pode ser abordada (já 
discutido no capitulo 4), ou seja, neste estudo somente os coeficientes do casco e 
do leme serão considerados. 
Segundo literaturas da área podemos criar expectativas sobre quais 
coeficientes são mais influentes para algumas manobras. Tomando como base a 
formulação de forças e momentos adotados, podemos ver que, para valores baixos de 
velocidade lateral (ou ângulo de deriva) e razão de giro, os coeficientes lineares são 
altamente significativos, e à medida que a velocidade lateral e razão de giro vão 
crescendo, a força e momento agindo no casco passam a sentir uma maior influência 
dos termos não lineares. 
Em Viviani [9] um estudo de sensibilidade sobre alguns coeficientes em 
relação a manobras de curva de giro e zigzag é apresentado, e segundo a figura 
abaixo (retirada de Viviani [10]) podemos ver que os coeficientes lineares são os que 
apresentam maior influência nas curvas de giro e zigzag. 
 
 
 
Após o exposto acima, decidiu-se que o primeiro passo (primeira parte) 
envolveria somente a identificação dos termos lineares de velocidade do casco Yv’ , 
Yr’ , Nv’ , Nr’, pois parece ser o caso mais simples e significativo que pode ser 
avaliado. E a cada evolução serão incorporados outros coeficientes, tanto do casco 
como do leme. 
29 
 
Vale lembrar que não existe um grupo de coeficientes para cada manobra, e 
sim todos os coeficientes serão encontrados para satisfazer as duas manobras (curva 
de giro e zigzag) simultaneamente. 
 
O cenário criado é o seguinte: 
-1 Função objetivo com 9 componentes (5 parâmetros da curva de giro e 4 parâmetros 
da zigzag); 
-nenhuma restrição; 
-os valores de máximo e mínimo dos coeficientes são baseados nos valores de 
máximo e mínimo de cada coeficiente encontrado no MARAD 
 
Para tal problema utilizaremos 2 métodos de minimização, SIMPLEX e MOGA-II. 
 
8.1 1º Parte: Identificação dos coeficientes hidrodinâmicos lineares de 
velocidade do casco: (Yv’ , Yr’ , Nv’ , Nr’) 
 
Como primeiro passo, iremos identificar apenas os coeficientes hidrodinâmicos 
lineares do casco, ou seja, apenas esses 4 coeficientes serão as variáveis do nosso 
modelo matemático. Lembrando que a função erro é a nossa variável de interesse e 
deverá ser minimizada. 
8.1.1 Otimização com o SIMPLEX: 
 Otimização com 100 pontos de população inicial pelo método SOBOL 
(“RANDOM organizado”), e numero máximo de pontos de 5000. 
 
8.1.1.1 Histórico 
 
30 
 
8.1.1.2 Tabela com o resultado 
 
1º passo 
 
funcao_erro Yvl Yrl Nvl Nrl 
real 0.00000E+00 -0.01512 0.00557 -0.01095 -0.00462 
SIMPLEX_MCON 2.44073E-07 -0.01523 0.00552 -0.01097 -0.00463 
 
8.1.1.3 Visualização de manobras 
 
 
 
8.1.2 Com o MOGA-II: 
 
Otimização com 100 pontos de população inicial pelo método SOBOL 
(“RANDOM organizado”), e número máximo de gerações de 49, totalizando um 
máximo de 5000 ([100 iniciais] + {[49 gerações] * [100 pontos]} = 50 * 100 = 5000) 
pontos. 
 
 
 
 
 
31 
 
8.1.2.1 Histórico 
 
 
8.1.2.2 Tabela com o resultado 
 
1º passo 
 
funcao_erro Yvl Yrl Nvl Nrl 
real 0.00000E+00 -0.01512 0.00557 -0.01095 -0.00462 
MOGA2 2.31508E-05 -0.01344 0.00635 -0.01077 -0.00453 
 
8.1.2.3 Visualização de manobras 
 
32 
 
8.1.3 Comparação 
 
Sobre a funcao_erro, podemos ver que ambos ficaram com valores bem 
pequenos, sendo assim satisfatórios. 
Por uma análise visual podemos notar que, ambos mostraram bons resultados 
em termos de manobras. 
Mesmo não sendo o intuito deste trabalho comparar os coeficientes 
encontrados com os reais e sim as manobras encontradas com as manobras reais, 
podemos ver que por ambos os métodos, os coeficientes otimizados ficaram perto do 
valor real. 
 
1º passo 
 
funcao_erro Yvl Yrl Nvl Nrl 
real 0.00000E+00 -0.01512 0.00557 -0.01095 -0.00462 
SIMPLEX_MCON 2.44073E-07 -0.01523 0.00552 -0.01097 -0.00463 
MOGA2 2.31508E-05-0.01344 0.00635 -0.01077 -0.00453 
 
 
8.2 2º Parte: Identificação dos coeficientes hidrodinâmicos lineares de 
velocidade do casco + Lineares de aceleração do casco: (Yv’ , Yr’ , Nv’ , 
Nr’) + (Xudot’ , Yvdot’ , Yrdot’ , Nvdot’ , Nrdot’) 
 
O segundo passo busca a identificação de parâmetros levando em conta os 
efeitos dos coeficientes relacionados às acelerações, juntamente com os coeficientes 
lineares do casco utilizados no passo anterior. A função erro continua sendo a mesma. 
 
8.2.1 Com o SIMPLEX: 
 
 Otimização com 100 pontos de população inicial pelo método SOBOL 
(“RANDOM organizado”), e número máximo de pontos de 5000. 
 
 
 
 
 
33 
 
8.2.1.1 Histórico 
 
 
8.2.1.2 Tabela com os melhores 
 
2º passo 
 
funcao_erro Yvl Yrl Nvl Nrl 
real 0.00000E+00 -0.01512 0.00557 -0.01095 -0.00462 
SIMPLEX_MCON 5.58054E-04 -0.01040 0.00944 -0.01531 -0.00685 
 
 
 
Xudotl Yvdotl Yrdotl Nvdotl Nrdotl 
 
-0.00133 -0.02017 -0.00035 0.00002 -0.00136 
 
-0.00144 -0.01326 -0.00142 -0.00139 -0.00151 
 
8.2.1.3 Visualização de manobras 
 
(*id=0 representa a curva real, logo a outra curva é a otimizada). 
34 
 
8.2.2 Com o MOGA-II: 
 
Otimização com 100 pontos de população inicial pelo método SOBOL 
(“RANDOM organizado”), e número máximo de gerações de 49, totalizando um 
máximo de 5000 ([100 iniciais] + {[49 gerações] * [100 pontos]} = 50 * 100 = 5000) 
pontos. 
 
8.2.2.1 Histórico 
 
8.2.2.2 Tabela com os melhores 
 
2º passo 
 
Yvl Yrl Nvl Nrl 
real 0.00000E+00 -0.01512 0.00557 -0.01095 -0.00462 
MOGA2 5.11300E-04 -0.01396 0.00602 -0.01276 -0.00559 
 
 
 
Xudotl Yvdotl Yrdotl Nvdotl Nrdotl 
 
-0.00133 -0.02017 -0.00035 0.00002 -0.00136 
 
-0.00275 -0.02433 -0.00547 0.00086 -0.00104 
 
 
35 
 
8.2.2.3 Visualização de manobras 
 
 
(*id=0 representa a curva real, logo a outra curva é a otimizada) 
 
8.2.3 Comparação 
 
Sobre a funcao_erro, podemos ver que ambos ficaram com valores bem 
pequenos, sendo satisfatórios assim como o passo anterior. 
Por uma análise visual podemos notar que, ambos mostraram bons resultados 
em termos de manobras. 
Podemos ver que os 2 métodos começam a encontrar valores diferentes para 
os coeficientes envolvidos, porém não fogem do compromisso principal, as manobras. 
 
2º passo 
 
funcao_erro Yvl Yrl Nvl Nrl 
real 0.00000E+00 -0.01512 0.00557 -0.01095 -0.00462 
SIMPLEX_MCON 5.58054E-04 -0.01040 0.00944 -0.01531 -0.00685 
MOGA2 5.11300E-04 -0.01396 0.00602 -0.01276 -0.00559 
 
 
real Xudotl Yvdotl Yrdotl Nvdotl Nrdotl 
SIMPLEX_MCON -0.00133 -0.02017 -0.00035 0.00002 -0.00136 
MOGA2 -0.00144 -0.01326 -0.00142 -0.00139 -0.00151 
 
-0.00275 -0.02433 -0.00547 0.00086 -0.00104 
 
36 
 
8.3 3º Parte: Identificação dos coeficientes hidrodinâmicos lineares de 
velocidade do casco + Lineares de aceleração do casco + Coeficientes do 
Leme : (Yv’ , Yr’ , Nv’ , Nr’) + (Xudot’ , Yvdot’ , Yrdot’ , Nvdot’ , Nrdot’) + 
(Xdrdr’ , Ydr’,Ndr’). 
 
Neste terceiro passo os coeficientes do leme são incorporados ao processo de 
identificação. 
8.3.1 Com o SIMPLEX: 
 
Otimização com 100 pontos de população inicial pelo método SOBOL 
(“RANDOM organizado”), e número máximo de pontos de 5000. 
 
8.3.1.1 Histórico 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
8.3.1.2 Tabela com os melhores 
 
3º passo 
 
funcao_erro Yvl Yrl Nvl Nrl 
real 0.00000E+00 -0.01512 0.00557 -0.01095 -0.00462 
SIMPLEX_MCON 1.32014E-03 -0.00941 0.00966 -0.02 -0.00969 
 
 
 
 
 Yvdotl Yrdotl Nvdotl Nrdotl 
real -0.02017 -0.00035 0.00002 -0.00136 
SIMPLEX_MCON -0.01117 -0.00214 -0.00155 -0.00155 
 
 
Xudotl Xdrdrl Ydrl Ndrl 
real 
 
-0.00133 -0.0029 0.00555 -0.00289 
SIMPLEX_MCON 
 
-0.00884 -0.0054 0.00575 -0.00317 
 
 
8.3.1.3 Visualização de manobras 
 
 
(*id=0 representa a curva real, logo a outra curva é a otimizada) 
 
 
 
 
38 
 
8.3.2 Com o MOGA-II: 
 
Otimização com 100 pontos de população inicial pelo método SOBOL 
(“RANDOM organizado”), e número máximo de gerações de 49, totalizando um 
máximo de 5000 ([100 iniciais] + {[49 gerações] * [100 pontos]} = 50 * 100 = 5000) 
pontos. 
8.3.2.1 Histórico 
 
 
8.3.2.2 Tabela com os melhores 
 
3º passo 
 
 
funcao_erro Yvl Yrl Nvl Nrl 
real 0.00000E+00 -0.01512 0.00557 -0.01095 -0.00462 
MOGA2 6.14480E-04 -0.00901 0.00374 -0.01259 -0.00721 
 
 
 
 
 Yvdotl Yrdotl Nvdotl Nrdotl 
real -0.02017 -0.00035 0.00002 -0.00136 
MOGA2 -0.03 -0.00658 -0.00684 -0.0042 
 
 
Xudotl Xdrdrl Ydrl Ndrl 
real 
 
-0.00133 -0.0029 0.00555 -0.00289 
MOGA2 
 
-0.00309 -0.00309 0.00321 -0.0038 
39 
 
8.3.2.3 Visualização de manobras 
 
 
(*id=0 representa a curva real, logo a outra curva é a otimizada) 
 
8.3.3 Comparação 
 
Sobre a funcao_erro, podemos ver que ambos ficaram com valores bem 
pequenos, sendo satisfatórios assim como os passos anteriores. 
Por uma análise visual podemos notar que, ambos mostraram resultados, não 
tão bons como os passos anteriores, mas ainda assim similares à manobra real. 
Podemos ver que os 2 métodos encontram valores bem diferentes para a 
maioria dos coeficientes envolvidos, porém também não fogem do compromisso 
principal, as manobras. 
 
3º passo 
 
 
funcao_erro Yvl Yrl Nvl Nrl 
real 0.00000E+00 -0.01512 0.00557 -0.01095 -0.00462 
SIMPLEX_MCON 1.32014E-03 -0.00941 0.00966 -0.02 -0.00969 
MOGA2 6.14480E-04 -0.00901 0.00374 -0.01259 -0.00721 
 
 
Yvdotl Yrdotl Nvdotl Nrdotl 
real -0.02017 -0.00035 0.00002 -0.00136 
SIMPLEX_MCON 
 
-0.01117 -0.00214 -0.00155 -0.00155 
MOGA2 
 
-0.03 -0.00658 -0.00684 -0.0042 
40 
 
 
 
Xudotl Xdrdrl Ydrl Ndrl 
real 
 
-0.00133 -0.0029 0.00555 -0.00289 
SIMPLEX_MCON -0.00144 -0.0054 0.00575 -0.00317 
MOGA2 
 
-0.00275 -0.00309 0.00321 -0.0038 
8.4 4º Parte: Utilizando todos os termos utilizados na 3º parte, porem agora 
saindo de um navio template e tendo como alvo as manobras de outro 
navio 
 
Nesse passo utilizaremos todos os coeficientes utilizados no 3º passo, porém 
utilizaremos os coeficientes hidrodinâmicos do navio E e os dados gerais e manobras 
alvo do navio F. Ou seja, neste passo será feito o que mais se aproxima da forma de 
trabalho de um simulador comercial. A forma de trabalho começa com a escolha de 
um navio existente na biblioteca do simulador (navio template) mais próximo do navio 
real (neste caso o navio E é o template), e a partir da modificação dos dados gerais 
(utilização dos dados gerais do navio F ao invés dos dados do navio E), é feito o ajuste 
dos coeficientes hidrodinâmicos a fim de buscar a menor diferença entre as manobras 
do modelo virtual e do navio real. Vale lembrar que os coeficientes hidrodinâmicos 
utilizados pertencem ao navio template E, e que somente alguns coeficientes estarão 
envolvidos na otimização. 
Abaixo os dados gerais dos Navios Template E e do navio alvo F.além das 
manobras do navio F. 
 
Navio E Navio F 
 
(a) Full-Load Condition 
Lpp (m) 312.83 333.35 
B (m) 62.57 60.61 
T (m) 20.85 20.20 
Displacement (Ton) 350000 350000 
Wetted Surface (m2) 29,356 30,249 
Cb 0.85 0.85 
L/B 5.000 5.500 
B/T 3.000 3.000 
 
(b) Ballast Condition 
T (m) 
 Mean 12.4 12.0 
FP 10.4 10.1 
AP 14.3 13.9 
Displacement (Ton) 196,400.0 196,500.0 
Wetted Surface (m2) 22,712.0 23,345.641 
 
 
( c ) Rudder and Propeller 
Rudder Planform Area (m2) 
 Total 217.02 203.64 
Movable 189.62 178.00 
Fixed 27.41 25.64 
Rudder Mean Span (m) 17.48 16.93 
Rudder Mean Chord (m) 12.38 12.00 
Propeller Diameter (m) 10.78 10.44 
 
 
 
 
 
8.4.1 Com o SIMPLEX: 
 
 Otimização com 50 pontos de população inicial pelo método SOBOL 
(“RANDOM organizado”), e número máximo de pontos de 9999 (máximo para 
simplex). 
 
/ 
42 
 
8.4.1.1 Histórico 
 
 
8.4.1.2 Tabela com os melhores 
 
4º passo 
 
funcao_erro Yvl Yrl Nvl Nrl 
real 0.00000E+00 -0.01295 0.00473 -0.00876 -0.00351 
4simplex 2.50612E-04 -0.01367 0.00587 -0.01427 -0.00634 
 
 
Yvdotl Yrdotl Nvdotl Nrdotl 
real 
 
-0.01677 -0.00035 -0.00002 -0.001099 
4simplex 
 
-0.02783 -0.00536 -0.0044 -0.00232 
 
 
Xudotl Xdrdrl Ydrl Ndrl 
real 
 
-0.001045 -0.0024 0.0045 -0.00235 
4simplex 
 
-0.00524 -0.00379 0.00549 -0.00245 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
8.4.1.3 Visualização de manobras 
 
 
(*id=0 representa a curva real, logo a outra curva é a otimizada) 
 
8.4.2 Com o MOGA-II: 
 
Otimização com 50 pontos de população inicial pelo método SOBOL 
(“RANDOM organizado”), e número máximo de gerações de 199, totalizando um 
máximo de 10000 ([50 iniciais] + {[199 gerações] * [50 pontos]} = 50 * 200 = 10000) 
pontos. 
8.4.2.1 Histórico 
 
44 
 
8.4.2.2 Tabela com os melhores 
 
4º passo 
 
funcao_erro Yvl Yrl Nvl Nrl 
real 0.00000E+00 -0.01295 0.00473 -0.00876 -0.00351 
4moga 1.93149E-03 -0.00545 0.00118 -0.01354 -0.00947 
 
 
 
Yvdotl Yrdotl Nvdotl Nrdotl 
real 
 
-0.01677 -0.00035 -0.00002 -0.001099 
4moga 
 
-0.02504 -0.00441 -0.00999 -0.00501 
 
 
 
Xudotl Xdrdrl Ydrl Ndrl 
real 
 
-0.001045 -0.0024 0.0045 -0.00235 
4moga 
 
-0.00844 -0.00387 0.00249 -0.00432 
 
8.4.2.3 Visualização de manobras 
 
 
(*id=0 representa a curva real, logo a outra curva é a otimizada) 
 
 
 
 
45 
 
8.4.3 Comparação 
 
Sobre a funcao_erro, podemos ver que ambos ficaram com valores bem 
pequenos, sendo satisfatórios assim como os passos anteriores. 
Por uma análise visual podemos notar que, para zigzag ambos apresentaram 
bons resultados. Porém o método simplex apresentou melhores resultados que o 
MOGA2 para a manobra de curva de giro, mais especificamente após a marcação do 
diâmetro tático que é o ultimo ponto considerado na curva de giro. 
Podemos ver que os 2 métodos encontram valores bem diferentes para a 
maioria dos coeficientes envolvidos, porém, como os passos anteriores,não fogem do 
compromisso principal, as manobras. 
 
4º passo 
 
funcao_erro Yvl Yrl Nvl Nrl 
real 0.00000E+00 -0.01295 0.00473 -0.00876 -0.00351 
4simplex 2.50612E-04 -0.01367 0.00587 -0.01427 -0.00634 
4moga 1.93149E-03 -0.00545 0.00118 -0.01354 -0.00947 
 
 
 
Yvdotl Yrdotl Nvdotl Nrdotl 
real 
 
-0.01677 -0.00035 -0.00002 -0.001099 
4simplex 
 
-0.02783 -0.00536 -0.0044 -0.00232 
4moga 
 
-0.02504 -0.00441 -0.00999 -0.00501 
 
 
 
Xudotl Xdrdrl Ydrl Ndrl 
real 
 
-0.001045 -0.0024 0.0045 -0.00235 
4simplex 
 
-0.00524 -0.00379 0.00549 -0.00245 
4moga 
 
-0.00844 -0.00387 0.00249 -0.00432 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
9 Conclusões e trabalhos futuros 
 
 Dado os resultados encontrados, podemos analisar os valores da função erro 
frente alguns limites encontrados, e assim julgar se a diferença encontrada através da 
funcao_erro está aceitável. 
Abaixo um gráfico contendo o valor da funcao_erro (eixo Y-escala logarítmica) 
para cada passo (eixo X) e cada método utilizado, assim como os limites de erro. 
Ou seja, se a funcao_erro possuir um valor menor que a linha “media<5%” 
podemos afirmar que, a média de todos os erros está abaixo de 5 %. 
Se a funcao_erro possuir um valor menor que a linha “nenhum erro >5%” 
podemos afirmar que, nenhum dos erros (individualmente) está acima de 5 %. 
E assim de maneira análoga para as linhas “nenhum erro >2%” e “nenhum erro 
>1%”. 
 
 
 Com o gráfico acima podemos ver que todos os valores da funcao_erro ficaram 
abaixo do limite de “nenhum erro >5%”. Então, como nenhum erro está acima de 5%, 
pode-se avaliar de forma positiva o método proposto. 
 
 Como crítica pode-se levantar alguns pontos: 
 1º O modelo matemático de manobra adotado pode ser mais bem explorado, 
incorporando ao casco e leme, também a parte propulsiva. 
media < 5%
nenhum erro > 5%
nenhum erro > 2%
nenhum erro > 1%
1.00E-07
1.00E-06
1.00E-05
1.00E-04
1.00E-03
1.00E-02
1.00E-01
1.00E+00
0 1 2 3 4
fu
n
ca
o
_e
rr
o
Passo
Função Erro X Passo
simplex
moga II
47 
 
2º O número de coeficientes, neste trabalho ficou em 12, sendo que 
exploramos basicamente os lineares. Sendo que no total, entre lineares e não lineares, 
o modelo matemático possui 43. 
3º O número de manobras envolvidas, 
4º E o número de parâmetros de cada manobra, se desdobrando em uma 
funcao_erro mais abrangente. 
5º O efeito de águas rasas. 
6º Outros métodos de otimização, ou uma composição em 2 estágios dos 
métodos. 
 
Por exemplo, o 4º item da lista acima ficou bem nítido, quando no 4º passo o 
método MOGA2 apresentou boa aderência à manobra de curva de giro até a 
marcação de diâmetro tático, e após esse ponto a curva otimizada “fecha” mais que a 
real. Sem dúvida, se existisse um parâmetro após a marcação do diâmetro tático na 
funcao_erro, como por exemplo, steady diameter, o resultado encontrado não 
apresentaria este comportamento. 
Qualquer melhoria em um dos pontos acima viria a enriquecer o que já mostrou 
bons resultados. 
Ao término deste trabalho, podemos perceber que a ferramenta matemática 
proposta se mostrou extremamente satisfatória, apresentando um ganho de tempo 
significativo, já que em média o tempo de processamento fica e torno de 1000 pontos 
analisados por hora. 
Ou seja, em um período de aproximadamente 10 horas fizemos a aferição das 
manobras de um navio (4º passo), e contando com o tempo de preparação da 
ferramenta matemática que foi de aproximadamente meio dia, temos que em 2 ou 3 
dias já fizemos a grande maioria da aferição de um navio. 
Além disso, tanto visualmente quanto em forma de funcao_erro, as manobras 
ficaram muito próximas da manobra real. De forma que um desenvolvedor com certa 
experiência, e com um navio base muito próximo do real, poderia demorar muito mais, 
em torno de ate 1 ou 2 meses. 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
10 Referências Bibliográficas 
 
[1] ABKOWITZ, M. A.,Stability and Motion Control of Ocean Vehicles. 1ed. 
Massachusetts, MIT Press, 1969. 
 
[2] Manual doSimulador NTPRO 5000 - Descriptionof TRANSAS Ship Motion 
Mathematical Modeling, Transas Marine, October 2012 
 
[3] ROSEMAN, D. (editor), The MARAD Systematic Series of Full-Form Ship 
Models, Jersey City, NJ, Society of Naval Architects and Marine Engineers (SNAME 
1987. 
 
[4] International Maritime Organization (IMO, 2002a): Resolution “Standards for Ship 
Maneuverability,”MSC.137(76) 4 December 2002. 
 
[5] Recommendations for an ITTC 1975 Manoeuvring Trial Code, 14
th
ITTC, pp.350-
365, 1975 
 
[6] Software modeFRONTIER® v. 4.4.1 
 
[7] S. Poles, The SIMPLEX Method, Esteco Technical Report 2003-005. 
 
[8] S. Poles, MOGA-II An improved Multi-Objective Genetic Algorithm, Esteco 
Technical Report 2003-006. 
 
[9] M. Viviani, R. Depascale, L. Sebastiani,C. PodenzanaBonvino, R. Datola, M. 
Soave, “Alternative Methods for the Identification of Hydrodynamic Coeficients 
from Standard Manoeuvres” MARSIM 2003 
 
[10]M. Viviani, “APPLICATION OF SYSTEM IDENTIFICATION FOR THE 
IMPROVEMENT OF MANOEUVRABILITY PREDICTION FOR TWIN-SCREW 
SHIPS”, MARSIM 2009 
 
[11] Luíza Ferreira Andrade, “Provas de mar - Procedimentos para realização e 
métodos para análise”, UFRJ 2008 
 
[12] Edward V. Lewis (Editor) “Resistance, Propulsion and Vibration”; in 
“Principles of Naval Architecture”, Volume II, SNAME, 1989. 
 
[13]Edward V. Lewis (Editor) “Motions in Waves and Controllability”; in “Principles 
of Naval Architecture”, Volume III, SNAME, 1989. 
 
[14] American Bureau of Shipping (ABS 2006) “Guide for VESSEL 
MANEUVERABILITY”, Houston, TX , 2006 
 
[15] Interim Standards for Ship Manouevring, Resolution A.751, 1993 
 
[16]Manoeuvring Committee of 23
rd
ITTC, ITTC Recommended Procedures and 
Guidelines: Full Scale Manoeuvring Trials Procedure, 23
rd
ITTC 2002, Rev 01, 2002 
 
 
 
 
 
49 
 
ANEXOS 
1 Equações de movimento do modelo do MARAD 
 
50 
 
2 Coeficientes hidrodinâmicos 
 
 
 
51 
 
3 Coeficientes Leme/Propulsor e Casco/Propulsor 
 
52 
 
4 Dados principais 
 
53 
 
5 Dados das manobras de curva de giro 
 
54 
 
6 Dados das manobras de zigzag