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CCT0350 – MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Aula 14: Cálculo dos Predicados 1 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados Negação de Fórmulas Quantificadas Da definição de fórmula dada podemos perceber que um quantificador universal ou existencial pode ser precedido de uma negação. Regra da Negação do Quantificador Universal (~ ∀) Uma fórmula do tipo ~( ∀x)b gera uma linha na qual escrevemos a fórmula ( ∀x)~b. 2 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados Teorema: A negação de uma proposição da forma ∀x ∊ D, Q(x) é equivalente logicamente a proposição da forma x ∊ D | ~Q(x). Temos: ~( ∀x ∊ D, Q(x)) x ∊ D | ~Q(x). Exemplo: P: ∀ número primo p, p é impar 3 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados Teorema: A negação de uma proposição da forma ∀x ∊ D, Q(x) é equivalente logicamente a proposição da forma x ∊ D | ~Q(x). Simbolicamente temos: ~( ∀x ∊ D, Q(x)) x ∊ D | ~Q(x). Exemplo: P: ∀ número primo p, p é impar ~P: um número primo p| p não é impar 4 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados Teorema: A negação de uma proposição da forma ∀x ∊ D, Q(x) é equivalente logicamente a proposição da forma x ∊ D | ~Q(x). Simbolicamente temos: ~( ∀x ∊ D, Q(x)) x ∊ D | ~Q(x). Exemplo: P: ∀ número primo p, p é impar ~P: um número primo p| p não é impar Exemplo: P: Alguns peixes respiram ar. 5 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados Teorema: A negação de uma proposição da forma ∀x ∊ D, Q(x) é equivalente logicamente a proposição da forma x ∊ D | ~Q(x). Simbolicamente temos: ~( ∀x ∊ D, Q(x)) x ∊ D | ~Q(x). Exemplo: P: ∀ número primo p, p é impar ~P: um número primo p| p não é impar Exemplo: P: Alguns peixes respiram ar. ~P: Nenhum peixe respira ar. 6 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados Teorema: A negação de uma proposição da forma ∀x ∊ D, Q(x) é equivalente logicamente a proposição da forma x ∊ D | ~Q(x). Simbolicamente temos: ~( ∀x ∊ D, Q(x)) x ∊ D | ~Q(x). Exemplo: P: ∀ número primo p, p é impar ~P: um número primo p| p não é impar Exemplo: P: Alguns peixes respiram ar. ~P: Nenhum peixe respira ar. Observação: é errado dizer alguns peixes não respiram ar. 7 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados Regra da Negação do Quantificador Existencial (~ ) Uma fórmula do tipo ~( x)b gera uma linha na qual escrevemos a fórmula (∀ x)~b. Teorema: A negação de uma proposição da forma x ∊ D,Q(x) é equivalente logicamente a proposição da forma ∀ x ∊ D | ~Q(x). Temos: ~( x ∊D, Q(x)) ∀ x ∊ D | ~Q(x). 8 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados Regra da Negação do Quantificador Existencial (~ ) Uma fórmula do tipo ~( x)b gera uma linha na qual escrevemos a fórmula (∀ x)~b. Teorema: A negação de uma proposição da forma x ∊ D,Q(x) é equivalente logicamente a proposição da forma ∀ x ∊ D | ~Q(x). Simbolicamente temos: ~( x ∊D, Q(x)) ∀ x ∊ D | ~Q(x). Exemplo: P: um triangulo tal que a soma dos ângulos de T é igual a 100 graus. 9 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados Regra da Negação do Quantificador Existencial (~ ) Uma fórmula do tipo ~( x)b gera uma linha na qual escrevemos a fórmula (∀ x)~b. Teorema: A negação de uma proposição da forma x ∊ D,Q(x) é equivalente logicamente a proposição da forma ∀ x ∊ D | ~Q(x). Simbolicamente temos: ~( x ∊D, Q(x)) ∀ x ∊ D | ~Q(x). Exemplo: P: um triangulo tal que a soma dos ângulos de T é igual a 100 graus. ~P: ∀ triângulos T, a soma dos ângulos de T não é igual a 200 graus. 10 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados Temos: ~(∀ x,P(x) Q(x)) x | ~(P(x) Q(x)); Podemos decompor em uma sentença conjuntiva: ~(P(x) Q(x)) P(x)^ ~Q(x). substituindo temos: ~(∀ x,P(x) Q(x)) x | (P(x) ^ ~Q(x)); Exemplo: P: ∀ pessoas p, se p é loura então p tem olhos azuis. ~P: uma pessoa p tal que p é loura e p não tem olhos azuis. 11 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados Verdade por " default" Uma proposição da forma ∀x ∊D, se P(x) então Q(x) é chamada de verdade por “default" se P(x) é falso para cada x em D. Exemplo: Sejam cinco bolas azuis, cinco brancas e um prato. 1- três bolas azuis e uma branca são colocadas no prato. P: todas as bolas no prato são azuis. P é falso já que é possível identificar uma bola branca no prato. 12 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados A Proposição é falsa se sua negação for verdadeira. A negação é: ~P: Existe pelo menos uma bola no prato que não é azul. ~P só é verdadeira se houver (existir) no prato uma bola que não seja azul. Como não existe, a negação é falsa e assim a proposição é verdadeira por default. 13 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados A Proposição é falsa se sua negação for verdadeira. A negação é: ~P: Existe pelo menos uma bola no prato que não é azul. ~P só é verdadeira se houver (existir) no prato uma bola que não seja azul. Como não existe, a negação é falsa e assim a proposição é verdadeira por default. Exemplo: Qual a negação de P. P: ∀ pessoas x , uma pessoa y tal que x ama y. Para a sentença ser falsa temos que ter que a propriedade não será valida para todas as pessoas. 14 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados A Proposição é falsa se sua negação for verdadeira. A negação é: ~P: Existe pelo menos uma bola no prato que não é azul. ~P só é verdadeira se houver (existir) no prato uma bola que não seja azul. Como não existe, a negação é falsa e assim a proposição é verdadeira por default. Exemplo: Qual a negação de P. P: ∀ pessoas x , uma pessoa y tal que x ama y. Para a sentença ser falsa temos que ter que a propriedade não será valida para todas as pessoas. ~P: uma pessoa x tal que ~( uma pessoa y tal que x ama y) uma pessoa x tal que ∀ pessoas y, x não ama y. 15 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados Regra geral: P: ∀ x y tal que C(x,y) ~P: x tal que ∀ y, ~C(x,y) Exemplo: P: ∀ inteiro n, um inteiro k tal que n = 2k 16 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados Regra geral: P: ∀ x y tal que C(x,y) ~P: x tal que ∀ y, ~C(x,y) Exemplo: P: ∀ inteiro n, um inteiro k tal que n = 2k ~P: um inteiro n tal que ∀ inteiro k, n 2k. 17 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados Regra geral: P: x ∀y tal que ∀y,C(x,y) ~P: ∀ x, y tal que ~C(x,y) Exemplo: P: uma pessoa x tal que ∀ pessoas y, x ama y ~P: ∀ pessoas x, uma pessoa y tal que x não ama y. 18 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados Proposição universal é uma generalização da conjunção (^) ∀x ∊ D, Q(x) Q(x1) ^Q(x2)^...^Q(xn) Exemplo: Q(x) : x.x, D = {0,1} ∀ x ∊D, Q(x) Q(0) ^Q(1) 19 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados Proposição universal é uma generalização da conjunção (): x ∊ D tal que Q(x) Q(x1) Q(x2) ... Q(xn) Exemplo: Q(x) : x+x, D = {0,1} x ∊ D tal que Q(x) Q(0) Q(1) 20 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculodos Predicados Seja a proposição condicional universal (PCU): Exemplo: ∀ x ∊ R, se x > 2 então x2 > 4. 21 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados Seja a proposição condicional universal (PCU): Exemplo: ∀ x ∊ R, se x > 2 então x2 > 4. Exemplo: 22 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados Seja a proposição condicional universal (PCU): Exemplo: ∀ x ∊ R, se x > 2 então x2 > 4. Exemplo: Exemplo : 23 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados Exemplo: a fórmula ( ∀x)P(x) e o conjunto universo U={a,b,c}. É evidente que nesse caso temos: (∀ x)P(x) P(a) ^ P(b) ^ P(c). Podemos considerar então que: ~(∀ x)P(x) ~(P(a) ^ P(b) ^ P(c)) ~P(a) ~P(b) ~P(c) o qual significa que existe no mínimo um objeto em U tal que ~P(x), ou seja, ~(∀ x)P(x) ( x) ~P(x) ou ainda, de modo geral, para uma fórmula a qualquer temos: ~(∀ x) a ( x) ~a 24 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados Da equivalência anterior segue imediatamente que: (2). ~( ∀x)~P(x) ( x)P(x) (3). ~( x)P(x) (∀ x)~P(x) (4). ~( x)~P(x) (∀ x)P(x) 25 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados Relações Lógicas Os elementos básicos da sintaxe do cálculo de predicados são símbolos que se referem a: objetos relações funções Termos: são expressões lógicas que se referem a um objeto. Uma sentença atômica será composta por um predicado, aplicado a um ou mais termos. Fórmulas serão compostas por predicados ligados através de conectivos lógicos. 26 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados Quantificador Universal (∀x P(x) ) Lê-se para todo x, P(x) ou para qualquer x, P(x). Quantificador Existencial (x P(x)) Lê-se para algum x, P(x) ou existe x, P(x). Exemplos: Todo homem é mortal : ∀x (Homem(x) Mortal(x)) 27 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados Teorema: Generalização da Lei de De Morgan para os quantificadores: ~ ∀x P(x) x ~P(x) ~ x P(x) ∀ x ~P(x) Exemplo: “Não é todo homem que é egoísta” equivale a “Existe pelo menos um homem que não é egoísta” 28 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados Argumento e Regras de Inferência Adicionais Procedimento de inferência em lógica de predicados é semelhante ao visto em lógica proposicional, porém mais complex. 1- presença dos quantificadores 2- presença de variáveis Este procedimento leva em conta duas noções fundamentais: a) Substituição b) Unificação 29 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados Argumento e Regras de Inferência Adicionais. Uma substituição é um conjunto finito de associações entre variáveis e expressões tais que: 1- cada variável é associada no máximo com uma única expressão. 2- nenhuma variável com uma expressão associada ocorre no escopo de qualquer outra expressão. Cada variável é associada no máximo com uma única expressão: a) nenhuma variável com uma expressão b) associada ocorre no escopo de qualquer outra expressão 30 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados Unificação Trata-se do processo que determina se duas expressões podem se tornar idênticas se suas variáveis forem substituídas de modo apropriado. 31 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados Regras de Inferência A primeira regra de inferência: Instanciação Universal (IU) Se todos os objetos de um dado universo possuem uma dada propriedade, então um objeto particular desse universo também possui essa propriedade. Podemos escrever: onde é uma fórmula que resulta de pela substituição de cada ocorrência da variável livre u por um termo t, é uma regra de inferência, ou seja, é uma implicação tautológica. 32 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados Regras de Inferência Exemplo: Todos os homens são mortais. Sócrates é um homem. Logo, Sócrates é mortal. 33 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados Regras de Inferência Exemplo: Todos os homens são mortais. Sócrates é um homem. Logo, Sócrates é mortal. 34 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados No passo 3, a Instanciação Universal consistiu em substituir, a premissa 1, x por Sócrates. 35 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados A segunda regra de inferência: Generalização Universal (GU) Se um objeto, arbitrariamente escolhido dentre um universo, tiver uma certa propriedade, todos os objetos desse universo terão essa propriedade onde é uma fórmula e w um objeto arbitrariamente escolhido, é uma regra de inferência. Exemplo: Todos os humanos são mortais. Todos os gregos são humanos. Logo, todos os gregos são mortais. 36 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados Nos passos 3 e 4 a instanciação universal substitui x pelo mesmo elemento k, como as premissas são verdadeiras para todo x, são verdadeiras para x = k. No passo 5, diz que determinado k é grego, então k é mortal. k é qualquer objeto do universo. No passo 6 estamos afirmando se qualquer objeto do universo é grego, então esse objeto é mortal. 37 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados Terceira regra de inferência: Generalização Existencial (GE) O que é verdadeiro para um dado objeto, é verdadeiro para algum objeto. onde w é constante ou variável, u é variável, e w resulta de u pela substituição das ocorrências livres de u por w; se w for uma variável, deve ocorrer livre em w nos locais em que u ocorrer livre em u. 38 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados Exemplo: Todos os tigres são animais ferozes. Tita é um tigre. Logo, existem animais ferozes. 39 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados Quarta regra de inferência: Instanciação Existencial(IE) O que é verdadeiro para algum objeto, é verdadeiro para um dado objeto, desde que esse objeto não tenha sido utilizado anteriormente na dedução. Exemplo: Todos os tigres são ferozes. Alguns animais são tigres. Logo, alguns animais são ferozes. 40 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados Exemplo: Todos os tigres são ferozes. Alguns animais são tigres. Logo, alguns animais são ferozes. 41 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados Cuidados: ao aplicar a Instanciação Existencial,certifique-se que o termo a ser utilizado não tenha sido utilizado anteriormente na dedução; não aplicar Generalização Universal às variáveis introduzidas por Instanciação Existencial. Isso decorre do fato de que não se pode generalizar um fato verdadeiro apenas para algum elemento; isto é, de x Fx não podemos inferir ∀x Fx. Há muitos argumentos que não podem ser demonstrados, verificados ou testados com o uso exclusivo das Regras de Inferência, assim, torna-se necessário recorrer a um princípio da inferência adicional, a Regra da Substituição de proposições equivalentes. 42 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados 43 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados 44 MATEMÁTICAAPLICADA A COMPUTAÇÃO Cálculo dos Predicados AULA 14: Cálculo dos Predicados Exemplo: Demonstração de que é valido o argumento 45 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 14: Cálculo dos Predicados Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 1- Demonstre que a proposição é valida: p q, r ~q p ~r Exercícios Propostos 46 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 14: Cálculo dos Predicados Sugestão de resolução dos exercícios propostos. Exercícios Propostos 1- Demonstre que a proposição é valida: p q, r ~q p ~r 47 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 14: Cálculo dos Predicados 2- Escreva os argumentos de forma adequada: 1- Todos os gatos tem garras. 2- Tom é um gato. 3- Tom tem garras. Sugestão de resolução dos exercícios propostos. Exercícios Propostos 48 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 14: Cálculo dos Predicados Sugestão de resolução dos exercícios propostos. Exercícios Propostos 2- Escreva os argumentos de forma adequada : 1- Todos os gatos tem garras. 2- Tom é um gato. 3- Tom tem garras. Solução: 49 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 14: Cálculo dos Predicados Demonstre formalmente: Sugestão de resolução dos exercícios propostos. Exercícios Propostos 50 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 14: Cálculo dos Predicados Sugestão de resolução dos exercícios propostos. Exercícios Propostos Demonstre formalmente: 51 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 14: Cálculo dos Predicados Indicação de Leitura Específica Recomendamos a leitura do capítulo referente Teoria de Conjuntos no material didático. Acesse a Biblioteca Virtual da Estácio e pesquise mais exercícios nos livros de Teoria de Conjuntos disponíveis. Sugestão de material: http://www.otricolor.com/images/noticias/1278/Inicia%E7%E3o%20a%20L%F3gica%20Matem%E1tica.%20Edegard%20Filho.%20Editota%20Nobel%20(1).pdf https://www.google.com.br/?gfe_rd=cr&ei=TdqhVaOOEeGB8QeEu4DIDA&gws_rd=ssl#q=Proposi%C3%A7%C3%B5es+Simples http://www.feata.edu.br/downloads/revistas/avessodoavesso/v3_artigo04_logica.pdf http://uol.iesde.com.br/aprovaconcursos/demo_aprova_concursos/raciocinio_logico_01.pdf Indicação de Leitura 52 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 14: Cálculo dos Predicados Indicação de Leitura Específica Sugestão de leitura: https://docente.ifrn.edu.br/cleonelima/disciplinas/fundamentos-de-programacao-2.8401.1m/fundamentos-de-logica-e-algoritmos-1.8401.1v/apostila-equivalencias-logicas Indicação de Leitura 53 VAMOS AOS PRÓXIMOS PASSOS? Unidade 7 - Métodos de Demonstração 7.1. Vacuidade. Trivial. Direta. Indireta; 7.2. Contradição ou Redução ao Absurdo. 54
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