Lista II Subespaços Vetoriais

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Prof. Juscimar Araujo
Curso de A´lgebra Linear
Lista - Subespac¸os Vetoriais
Ac¸ailaˆndia - Engenharia Civil
05.04.2018
Nome:
1. Seja V = R3. Mostre que W e´ subespac¸o de V, onde:
(a) W = {(a, b, 0)|a, b ∈ R}, isto e´, W e´ o plano xy.
(b) W = {(a, b, c)|a + b + c = 0}.
2. Seja V = R3. Mostre que W na˜o e´ subespac¸o de V , onde:
(a) W = {(a, b, c)|a ≥ 0}.
(b) W = {(a, b, c)|a2 + b2 + c2 ≤ 1}.
(c) W = {(a, b, c)|a, b, c ∈ Q}.
3. Seja V o espac¸o vetorial de todas as matrizes 2 x 2 sobre o corpo real R. Mostre que W na˜o e´ subespac¸o de
V , onde:
(a) W consiste em todas as matrizes com determinante nulo.
(b) W consiste em todas as matrizes A para as quais A2 = A.
4. Seja V o espac¸o vetorial dos polinoˆmios a0 + a1t + a2t
2 + ... + ant
n com coeficientes reais, isto e´, ai ∈ R.
Determine se W e´ ou na˜o e´ subespac¸o de V, onde:
(a) W consiste em todos os polinoˆmios com coeficientes inteiros;
(b) W consiste em todos os polinoˆmios com grau ≤ 3;
(c) W consiste em todos os polinoˆmios b0 + b1t
2 + b2t
4 + ... + bnt
2n.
5. Seja V o espac¸o vetorial em todas as func¸o˜es do corpo real R em R. Mostre que W na˜o e´ subespac¸o de V,
onde:
(a) W = {f |f(7) = 2 + f(1)};
(b) W consiste em todas as func¸o˜es na˜o negativas, isto e´, todas as func¸o˜es f para as quais f(x) ≥ 0, para
todo x ∈ R.
6. Mostre que os seguintes subconjuntos de R4 sa˜o subespac¸os:
(a) W = {(x, y, z, t) ∈ R4|x + y = 0 e z − t = 0}.
(b) U = {(x, y, z, t) ∈ R4|2x + y − t = 0 e z = 0}.
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